芝罘区数学新课标人教A版高中数学知识点总结专题9导数及其应用
新课标人教a版高中数学全部知识点
新课标人教a版高中数学全部知识点新课标人教A版高中数学涵盖了丰富的知识点，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。
以下是该版本高中数学的全部知识点概述：1. 集合论- 集合的概念和表示- 集合的运算（交集、并集、补集、差集）- 子集和幂集- 集合恒等式和代数运算2. 函数- 函数的定义和性质- 函数的表示方法（解析式、图象、列表）- 函数的单调性、奇偶性和周期性- 反函数和复合函数- 基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）3. 三角学- 三角函数的定义- 三角函数的图象和性质- 三角恒等式- 解三角形- 三角函数的反函数4. 向量- 向量的基本概念- 向量的运算（加法、减法、数乘、点积、叉积）- 向量的坐标表示- 向量在几何和物理中的应用5. 几何- 平面几何（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线） - 空间几何（立体几何、向量空间）- 几何证明方法- 几何变换（平移、旋转、缩放）6. 概率与统计- 随机事件和概率- 概率的计算- 随机变量及其分布- 统计数据的收集、整理和分析- 统计图表和统计量7. 数列与级数- 数列的概念和性质- 等差数列和等比数列- 数列的求和- 无穷级数的概念和性质8. 微积分- 极限的概念和性质- 导数的概念和运算- 微分的应用- 积分的概念和运算- 积分的应用9. 线性代数- 矩阵的概念和运算- 行列式的概念和性质- 线性方程组的解法- 向量空间和线性变换10. 算法与逻辑- 算法的基本概念- 逻辑运算和逻辑推理- 算法的实现和优化这些知识点构成了高中数学的基础框架，通过系统学习，学生可以掌握数学的基本概念、原理和方法，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
导数及其应用知识点总结
导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。
在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。
一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。
二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。
2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。
3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。
4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。
5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。
三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。
2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。
3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。
高中数学：导数及其应用课标解读知识点分析 新人教A版选修1-1
导数及其应用课标解读1、整体定位《标准》中对导数及其应用的整体定位如下：“微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。
通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
”为了更好地理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（1）要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。
由于在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们如何处理这部分内容呢？导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是通过实际的背景和具体应用事例—膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解。
（2）导数的运算不宜要求过高由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。
这里，只要求学生能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=x 1,y=x 的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。
（3）注重导数在研究函数和生活实践中的应用导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具。
这里，我们要求学生能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》章末复习归纳整理
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5．利用导数研究函数的极值要注意 (1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言 的． (2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能 没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函 数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小． (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零 的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点 为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异 号．
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在 x∈[1,2)上，g′(x)<0；在 x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使 g(x)＝0 在[1,3]
g1≥0， 上恰有两个相异的实根，则g2<0，
g3≥0，
解得－2<c≤0.
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专题四 导数与函数、不等式 利用导数知识解决不等式问题是我们常见的一个热点问题，
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②当 Δ＝0 即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2，有 f′(x)＝0，对其余的 x ＞0 都有 f′(x)＞0.此时 f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数． ③当 Δ＞0 即 a＞2 2时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 x1＝a－ 2a2－8，x2＝a＋ 2a2－8，0＜x1＜x2. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
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x 0 (0,2) 2 (2，t)
t
f′(x) 0 － 0 ＋
f(x) 2
－2
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0. 所以f(x)max＝f(0)＝2. (3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c， g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结高中数学中的导数是一项重要的概念，它是微积分基础知识的核心之一。
导数的概念和应用涉及到函数的变化率、切线、最值和曲率等方面。
接下来，我将总结高中数学导数的知识点，并通过题目的方式进行阐述。
1. 导数的定义与求导法则（题目1）已知函数f(x)=x^2+3x-2，求其在x=1处的导数。
（题目2）设函数g(x)=2x^3-5x^2+4x-1，求函数g(x)在x=2处的导数。
2. 导数的几何解释（题目3）函数y=x^2-2x+1的图像上某点处的斜率为3，该点的横、纵坐标分别是多少？（题目4）某曲线在点P处的斜率为2，该曲线在P点的切线方程是什么？3. 导数与函数的性质（题目5）已知函数y=x^2-4x+5，求函数的单调增区间和极值点。
（题目6）已知函数y=2x^3-3x^2+1，求函数的单调减区间和驻点。
4. 高阶导数（题目7）已知函数f(x)=x^3-2x^2+3x-4，求f(x)的二阶导数。
（题目8）设函数g(x)=3x^4+2x^3-5x^2+x，求g(x)的三阶导数。
5. 隐函数求导（题目9）已知方程x^2+y^2=25，求在点(3,4)处的导数。
（题目10）已知方程x^3+y^3=16，求在点(2,2)处的导数。
6. 反函数求导（题目11）已知函数f(x)=3x^2+2x-1，在x=2处的导数为5，求函数f(x)的原函数f-1(x)在x=5处的导数。
（题目12）已知函数g(x)=4x^3-x^2+2，在x=-1处的导数为6，求函数g(x)的反函数g-1(x)在x=6处的导数。
7. 导数的应用（题目13）将一块铁板的长度为12cm，宽度为8cm，去掉一个小方块后，折成一个长方形盒子。
求去掉的小方块尺寸使得盒子的容积最大。
（题目14）某天气预报显示，一天中的温度变化符合函数规律T(t)=2t^2-5t+15，在什么时间温度变化最快？以上就是高中数学导数的主要知识点总结及相关题目。
高中数学导数应用知识点精讲
高中数学导数应用知识点精讲在高中数学的学习中，导数是一个极其重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还为解决实际问题提供了有力的工具。
接下来，让我们深入探讨一下高中数学中导数的应用知识点。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点的瞬时变化率。
如果函数 y ＝ f(x) 在点x ＝ x₀处的导数存在，那么其定义式为：f'（x₀) ＝ lim （Δx→0)f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。
通俗地说，导数表示了函数在某一点处的切线斜率。
例如，对于函数 f(x) ＝ x²，我们来求它在 x ＝ 1 处的导数。
f(1 ＋Δx) ＝（1 ＋Δx)² ＝ 1 ＋2Δx ＋（Δx)² ，f(1) ＝ 1 。
那么 f'（1) ＝ lim （Δx→0) （1 ＋2Δx ＋（Δx)² 1) ／Δx ＝ lim （Δx→0) （2 ＋Δx) ＝2 ，所以函数 f(x) ＝ x²在 x ＝ 1 处的导数为 2 ，意味着在 x ＝ 1 处的切线斜率为 2 。
二、导数的几何意义导数的几何意义是函数图象在某一点处的切线斜率。
如果函数在某点处的导数存在，那么该点处的切线方程可以通过点斜式来求得。
比如，已知函数 f(x) ＝ 2x 3 ，其导数为 f'（x) ＝ 2 。
在点（2, 1) 处，切线的斜率为 2 ，所以切线方程为 y 1 ＝ 2(x 2) ，即 y ＝ 2x 3 。
三、导数与函数的单调性通过导数可以判断函数的单调性。
若函数在某个区间内的导数大于零，则函数在该区间单调递增；若导数小于零，则函数在该区间单调递减。
以函数 f(x) ＝ x³ 3x²为例，其导数为 f'（x) ＝ 3x² 6x 。
令 f'（x) ＞0 ，解得 x ＜ 0 或 x ＞ 2 ，所以函数在（∞， 0) 和（2, ＋∞）上单调递增；令 f'（x) ＜ 0 ，解得 0 ＜ x ＜ 2 ，所以函数在（0, 2) 上单调递减。
高中数学中的导数应用知识点总结
高中数学中的导数应用知识点总结导数是高中数学中的一个重要概念和工具，它在许多数学问题的研究中起着重要的作用。
本文将对高中数学中的导数应用知识点进行总结，包括导数的定义与性质、导数的计算方法以及导数在实际问题中的应用。
一、导数的定义与性质导数的定义是函数在某一点处的变化率，通常用极限来表示。
具体而言，给定函数y = f(x)，在x点处的导数可以定义为：```f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h```其中，f'(x)表示函数f(x)在x点处的导数，h表示一个趋近于0的实数。
导数的性质包括：1. 导数存在性：函数在某一点处存在导数，即函数在该点处可导；2. 导数的唯一性：函数在某一点处的导数唯一；3. 可导函数的连续性：函数在某一点处可导，则该点处连续；4. 常数函数导数为0：对于常数函数y = c，导数f'(x) = 0。
二、导数的计算方法导数的计算方法包括基本导数公式和导数的四则运算法则。
1. 基本导数公式：常见的函数导数计算公式如下：- 常数函数导数：f(x) = c，f'(x) = 0；- 幂函数导数：f(x) = x^n，f'(x) = nx^(n-1)；- 指数函数导数：f(x) = e^x，f'(x) = e^x；- 对数函数导数：f(x) = loga(x)，f'(x) = 1 / (xlna)，其中a为底数；- 三角函数导数：f(x) = sin(x)，f'(x) = cos(x)等。
2. 导数的四则运算法则：导数的四则运算法则包括求和、差、积和商的导数运算法则。
- 求和法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)；- 差法则：(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)；- 积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / g^2(x)，其中g(x) ≠ 0。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分中非常重要的一个概念，它描述了一个函数在其中一点处的变化率。
导数的应用非常广泛，不仅在数学中有着重要的意义，也在物理、经济、工程等领域中得到了广泛的应用。
下面将详细介绍导数的定义、性质及其应用。
首先，我们来看导数的定义。
设函数f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，则导数的定义为：f'(a) = lim_(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)其中，lim表示极限运算。
这个定义表明，导数可以通过求极限来得到，它描述了函数在点a处的变化率。
根据导数的定义，我们可以得到一些导数的基本性质。
首先，导数有线性性质，即对于任意的实数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有：（af(x)+bg(x))' = af'(x)+bg'(x)其次，导数满足乘法法则和链式法则。
乘法法则表明，对于函数的乘积，其导数可以通过各个函数的导数来计算，具体而言有：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)链式法则表明，对于复合函数，其导数可以通过外层函数和内层函数的导数来计算，具体而言有：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)此外，导数还满足反函数法则和导数的平均值定理。
反函数法则表明，对于反函数，其导数可以通过原函数的导数来计算，具体而言有：(f^(-1)(y))'=1/f'(x)导数的平均值定理表明，对于一个区间[a,b]上连续且可导的函数f(x)，存在一个点c，在[a,b]内，使得f'(c)等于函数在该区间的平均变化率。
了解了导数的定义和性质后，我们可以来看一些导数的应用。
首先，导数可以用于计算函数在其中一点的斜率。
具体而言，如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，那么它就可以表示函数在该点处的斜率，即函数在该点处的切线的斜率。
其次，导数还可以用于确定函数的最值。
高中数学导数知识点归纳总结
高中数学导数知识点归纳总结在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的概念和工具。
掌握导数的基本概念和运算方法，对于后续学习和应用都有着至关重要的作用。
本文将对高中数学中的导数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，表示了函数在该点附近的变化趋势。
给定一个函数f(x)，在点x=a处的导数表示为f'(a)，可以通过求极限的方式进行定义，即：f'(a) = lim┬(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)二、导数的几何意义1. 斜率：导数可以表示函数图像在某一点处的切线的斜率。
对于一元函数来说，导数就是切线的斜率。
2. 切线和法线：导数为0的点对应函数图像上的极值点（极大值或极小值），而导数不存在的点对应函数图像上的拐点。
3. 减函数和增函数：如果导数大于0，则函数在该点处是增函数；如果导数小于0，则函数在该点处是减函数。
三、导数的基本运算法则1. 常数法则：f(x) = C，则f'(x) = 0，其中C为常数。
2. 基本导数公式：- f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n为实数。
- f(x) = e^x，则f'(x) = e^x- f(x) = a^x，则f'(x) = ln(a)·a^x，其中a>0且a≠1。
- f(x) = log(a)(x)，则f'(x) = 1/(x·ln(a))，其中a>0且a≠1。
3. 乘法法则：(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)4. 除法法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
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x
f ( x) f ( x)
(, x1 )
x1
( x1 , x2 )
…
xn
( xn , )
正负 单调性
0
正负 单调性
0正负 单调性来自（4）检查 f ( x) 的符号并由表格判断极值。 ●3. 求函数的最大值与最小值： 如果函数 f ( x) 在定义域 I 内存在 x0 ，使得对任意的 x I ，总有 f ( x) f ( x0 ) ， 则称 f ( x0 ) 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但 在定义域内的最值是唯一的。 求函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的最大值和最小值的步骤：
f ( x) ；
贰
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高考数学专题九导数及其应用
③解不等式 f ( x) 0 ，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式
f ( x) 0 ，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题 （如确定参数的取值 范围） ： 设函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 内可导， (1)如果函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 上为增函数,则 f ( x) 0 (其中使 f ( x) 0 的
三、导数的应用 ●1. 求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 内可导， （1）如果恒 f ( x) 0 ，则函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 上为增函数； （2）如果恒 f ( x) 0 ，则函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 上为减函数； （3）如果恒 f ( x) 0 ，则函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数 y f ( x) 的定义域；②求导数
f ( x0 x) f ( x0 ) ； （ 3 ） 取 极 限 ， 当 x 无 限 趋 近 与 0 时 ， x
f ( x0 x) f ( x0 ) 无限趋近与一个常数 A，则 f ( x0 ) A 。 x
●4. 导数的几何意义： 函数 f (x) 在 x x0 处的导数就是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。 由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出 y f ( x) 在 x0 处的导数，即为曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的 斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为
肆
叁
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（1）求
在区间
上的极值； 比较， 得到 在区间 上的最大
（2） 将第一步中求得的极值与
值与最小值。 ●4. 解决不等式的有关问题： （1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。 的值域是 不等式 不等式 时， ，即 ，即 ； 。
恒成立的充要条件是 恒成立的充要条件是 的值域是 时， ； 。
a v(t ) 表示瞬时加速度。
壹
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二、导数的运算 ●1. 常见函数的导数： （1） (kx b) k (k, b 为常数)； （3） ( x) 1 ； （5） ( x3 ) 3x 2 ； （7） ( x ) 1 ；
2 x
（2） C 0 (C 为常数)； （4） ( x 2 ) 2 x ； （6） ( 1 ) 12 ；
不等式 不等式
恒成立的充要条件是 恒成立的充要条件是 可转化为证明 。
（2） 证明不等式 转化为证明
， 或利用函数
的单调性，
●5. 导数在实际生活中的应用： 实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数 来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在 解题时要加以说明。
（12） (ln x) 1 ；
x
（14） (cos x) sin x 。
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ] ( g ( x) 0) 。 g ( x) g 2 ( x)
●3. 简单复合函数的导数：
yu ux ，即 y x yu a 。 若 y f (u ), u ax b ，则 yx
y f ( x0 x) f ( x0 ) 无限趋近于一个常数 A，则称函数 f (x) x x
在 x x0 处可导， 并称该常数 A 为函数 f (x) 在 x x0 处的导数， 记作 f ( x0 ) 。 函数 f (x) 在 x x0 处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 ●3. 求函数导数的基本步骤： （1）求函数的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) ； （2） 求平均变化率：
x 值不构成区间)；
(2) 如果函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 上为减函数,则 f ( x) 0 (其中使 f ( x) 0 的
x 值不构成区间)；
(3) 如果函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 上为常数函数,则 f ( x) 0 恒成立。 ●2. 求函数的极值： 设 函 数 y f ( x) 在 x0 及 其 附 近 有 定 义 ， 如 果 对 x0 附 近 的 所 有 的 点 都 有 ，则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极小值（或极大值） 。 f ( x) f ( x0 ) （或 f ( x) f ( x0 ) ） 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是： （1）确定函数 f ( x) 的定义域； （2）求导数 f ( x) ； （3）求方程 f ( x) 0 的全 部实根， 顺次将定义域分成若干个小区间， 并列表： x 变化时，f ( x) x1 x2 xn ， 和 f ( x) 值的变化情况：
x x
（8） ( x α ) αx α 1 （α为常数） ； （ 10 ）
（9） (a x ) a x ln a(a 0, a 1) ；
(log a x) 1 log a e 1 (a 0, a 1) ； x x ln a
（11） (e x ) e x ； （13） (sin x) cos x ； ●2. 函数的和、差、积、商的导数： （1） [ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) ； （2） [Cf ( x)] Cf ( x) （C 为常数） ； （3） [ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ； （4） [
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专题九导数及其应用
【知识概要】 一、导数的概念和几何意义 ● 1. 函数 的平均 变化 率：函 数 f (x) 在区 间 [x1, x2 ] 上的 平均变 化率 为：
f ( x2 ) f ( x1 ) 。 x2 x1
●2. 导数的定义：设函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 上有定义， x0 (a, b) ，若 x 无 限趋近于 0 时，比值
y y0 f ( x0 )( x x0 ) 。
当点 P( x0 , y0 ) 不在 y f ( x) 上时，求经过点 P 的 y f ( x) 的切线方程，可设切 点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地，如 果曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线平行与 y 轴，这时导数不存在，根据切线 定义，可得切线方程为 x x0 。 ●5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数 S (t ) ，则 V S (t ) 表示瞬时速度，