2016东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测(二)数学(文科)试题及答案说课讲解
2024 年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测(二)数学参考答案
2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学（参考答案）一、单项选择题：1．D 2．B 3. A 4．C 5.A 6．C 7.B 8.C 二、多项选择题:6．()662163264P A −==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴” 则()345666641264C C C P AB ++==，则()()()4163P AB P B A P A == 【答案】C7. 直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与平面1111A B C D 所成角大小分别为1θ，2θ，3θ，4θ等价于直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与直线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 成角大小分别为12πθ−，22πθ−，32πθ−,42πθ−，由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则2422ππθθ−<−，1PB 与1BB 成角更小，则点P 在线段OB 上 【答案】B8.由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，则A ，B 显然错误，对于C ，D 而言，()2()e ()e ()()e e x x x x f x f x f x f x y ''−−'==，由图像可知(),0x ∈−∞，()e xf x y =单调递增，()0,x ∈+∞，()e x f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得最大值为1 【答案】C 9. 由实系数一元二次方程求根公式知i z i z 2321,232121−−=+−=，21,z z 是1的两个立方虚根， 则222123212321z i i z =−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=(与21,z z 顺序无关），A 正确； 因为13231==z z ，所以03231=−z z ，B 正确；0122221≠−=−z z z z ，C 错误；2121111z z z z z ===，D 正确.【答案】ABD10．已知所有棱长都相等，不妨设为1.A ：过S 作直线l ∥AD ，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点E ，BC 中点F ，连接ES ，FS ， 则∠ESF 为二面角A-l -B 的平面角，连接EF ，在△EFS 中， cos∠ESF =(√3)2+(√3)2−12(√32)2 = 13≠0所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错；B ：取SB 中点G ，SC 中点H ，连接OGH ，可知平面OGH ∥平面SAD ，所以当P ∈GH 时，OP ∥平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确；C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大， cos∠SEO =12√32=√33>12，所以∠SEO<π3，所以不存在Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为π3，故出错误；D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，则∠SIO 为二面角S-MN-O 的平面角，当MN 都无限向点B 靠拢时，∠SIO →π4；当M →A ，N →C 时，∠SHO →π2， 所以二面角S-MN-O 范围是(π4，π2)，故D 正确. 【答案】BD 11.A ：|a n |=1(n−c )2+1，|a n+1|=1(n+1−c )2+1，(n +1−c )2+1−[(n −c )2+1]=2n +1−2c因为c ≤1,n ∈N ∗，所以2n +1−2c >0 所以(n +1−c )2+1>(n −c )2+1 所以|a n+1|<|a n |，即数列{||}n a 单调递减，故A 正确； B ：a 1=−1(1−c )2+1<0当n 为偶数时，1n a a ≥必成立，c 任意；当n 为奇数且n ≥3时，1n a a ≥为−1(n−c )2+1≥−1(1−c )2+1 等价于(n −c )2+1≥(1−c )2+1 等价于c ≤n+12，而(n+12)min=2，所以c ≤2. 综上c ≤2，故B 错误；C ：显然当i,j 同奇或同偶时，必有0i j a a +≠当i 为奇数，j 为偶数时，a i +a j =−1(i −c )2+1+1(j −c )2+1=(i +j −2c )(i −j )[(i −c )2+1][(j −c )2+1]因为i+j 为奇数，2c 为偶数，*c ∈N ，所以i +j −2c ≠0， 所以0i j a a +≠，故C 正确；D ：先考虑最大项，最小项和为0，再调整： 若和为0，则c 必为相邻两整数正中间，如：上图是c=3.5情形，a 3+a 4=0；当c →3.4时，会有|a 3|>|a 4|,a 3+a 4<0,如下图——当c →3.6时，会有|a 3|<|a 4|,a 3+a 4>0,如下图——即c 靠近偶数时，{}n a 的最大项与最小项之和为正数，临界值为*1122,22k c k k −<<+∈N ，故D 正确.【答案】ACD12.3381log 16333313log 2,161118181log log 2log 22log 31616161616f f f f −<<−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13.设点),(y x P ，由PA PB 2=得422=+y x ，若该圆上有且只有3个点直线:340l x y m ++=的距离为1，则圆心到直线的距离1==md ，解得5±=m .1,3,5,,21n +，42121212n n n C +++++21212n n C ++++210212n n C ++−−15．（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =……3分 sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan 3A =−，23A π∠= ………………6分 （2）由题意可知ABD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，即111sin 60sin 60sin120222c b bc +=，化简可得b c bc +=， ……………9分 在ABC ∆中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +−−+−===−从而()2220122bc bc bc −−=−，解得5bc =或4bc =−（舍） ………………12分所以11sin 5sin12022534ABC S bc A ∆==⨯= ………………13分16.（1）当0a =时，()e x x f x =，则1()e x x f x −'=，(1)0f '=，1(1)ef =， 所以切线方程为1ey =………………3分 （2）当1a =时，()e e x xf x x −=−，21e ()(1)e e e x x x xx f x x −−−'=−−= ………………4分令2()1e x g x x =−−，2()12e 0x g x '=−−<故()g x 在R 上单调递减，而(0)0g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点即：0是()f x '在R 上的唯一零点 ………………6分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：()f x (,0)−∞ ………………8分 ()f x 的极大值为(0)1f =−，无极小值. ………………9分 （3）由题意知1−−≤−x x xeae xe，即x x x e e xe a 1−−−≥，即ee x a x 12−≥，设()e e x x m x 12−=，则()()x x x x e x e xe e x m 22222212−=−='， ………………………………11分令()0='x m ，解得21=x ， 当()()x m x m x ,0,21,>'⎪⎭⎫ ⎝⎛∞−∈单调递增，当()()x m x m x ,0,,21<'⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈单调递减， 所以()ee e m x m 2112121max −=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛=， ……………………………………………14分 所以ea 21−≥. ………………………………………………………………………………15分17．（1）方法一：AB B A 2111= ,112222AA AB AA AD ∴⋅=⋅== ………………1分 1121AA AD A D −−=()()111121211AA AD AB AP A D P D −+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=+=∴λλλ ……………2分()()()AD AB AA AD AB AC P D +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=⋅∴11121211λλλ()()()11221121211AA AD AA AB AD AB ⋅−+⋅−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλλ()()0142121818=−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλ,1AC P D ⊥∴即.1AC P D ⊥ ……………………………………………………5分（1）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有 )A，)B，()C ，()D ，122A h ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，122C h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，122D h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0M()AC =−()()1(1),22222AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=−+−+−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132D A h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭112222D P D A AP h h λ⎛⎫=+=−+−+− ⎪ ⎪⎝⎭………………………4分 故10AC D P ⋅=，所以1D P AC⊥………………………………………5分（2）方法一：确定正四棱台的高（传统法） 取OC 中点E ,则ABCD E C 平面⊥1，作AM EF ⊥，垂足为F ，连结F C 1，由三垂线定理得AM F C ⊥1，所以FE C 1∠为平面1AMC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为22=AB ，2324343=⨯==∆∆AMC AME S S , ……………………………………7分 10103,2321=∴=⋅∴EF AM EF ………………………………………………8分,3102tan ,73cos 11=∠∴=∠FE C FE C 即2,310211=∴=E C EF E C ………………11分 方法二：确定正四棱台的高（空间向量） 设平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =设平面1AMC 的法向量为(),,m x y z =，()AM =−，122AC h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭则有10AM m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0022x y hz ⎧+=⎪⎨−++=⎪⎩，令x =，则()22,3m = ………………8分又题意可得3cos ,7m n ==，可得2h = ………………11分因为23λ=，经过计算可得40,0,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，1D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，142,3D P ⎛⎫= ⎪⎭ ………………13分 将2h =代入，可得平面1AMC 的法向量()42,2m = ………………14分 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP m θ===………………17分 18.（1）设(),B x y '，POP θ'∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩， ……………3分消去θ得22163x y +=所以B '点轨迹Ω的方程22163x y += ……………5分 （2）方法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124260k x kmx m +++−= ()()()22222441226488240km k m k m ∆=−+−=−+>，即2263m k <+ 从而122412kmx x k −+=+，21222612m x x k −=+1212121211112222AM AN y y kx m kx m k k x x x x −−+−+−⋅=⋅=⋅−−−−()()()()2212121212111242k x x k m x x m x x x x +−++−==−++整理得24210k km m ++−=，即()()()()2412121210k m k k k m −++=+−+= ………………8分当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =−+ 当210k m −+=时，直线MN 的方程为()21y k x =−+，恒过()2,1A 点，不合题意………………10分 设(),G G G x y ，将()11,M x y ，()22,N x y将M N 、两点代入到椭圆中22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得22221212063x x y y −−+=，即()()()()()()1212121212121212032602y y y y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫−− ⎪−+⎝⎭==−+−+⎛⎫−− ⎪⎝⎭，12MN OG k k ⋅=−，故1OGk = ………………14分设OG 与y 轴负半轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以4πα=设OA 与x 轴正半轴所形成的夹角为β，因为()2,1A，所以sin 5β=，cos 5β= cos cos 2AOG παβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭()()sin sin cos cos 1si 0n αβαβαβ=−+=−+=− …………17分方法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线AM 的方程为()21y k x =−+()2221163y k x x y ⎧⎪⎨+==−+⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +−−+−−= 从而21288412A k k x x k−−⋅=+，故21244212k k x k −−=+， 将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k −−=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭又12AM AN k k ⋅=，将上式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭212112MN y y k x x −==−−，下面同方法一方法三： 以()2,1A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程()()2221163x y −−+=，在新坐标系下设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1mx ny +=将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得()()224240x x mx ny y y mx ny +++++=整理得()()()224244140n y n m xy m x +++++=即：()()()24244140y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =， 直线MN 的方程为21mx my +=，12MN k =−，下面同方法一方法四：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++−= 因为1x ，2x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++−=+−−①又1212111222AM AN y y k k x x −−⋅=⋅=−− 整理得：()()()()121222211x x y y −−−−− ()()21212112220m m x x k x x k k −−⎛⎫⎛⎫=−−−+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++−=+−−②令1m x k −=得：()()()222212211111242212m m m m k km m k x x k k k k −−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++−=+−− ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③②+③()22k ⨯−可得：整理得24210k km m ++−=，下面同方法一（以上方法可酌情给分）19.（1）剔除第10天数据的()911 2.2100.4 2.499i i y y=⨯−===∑新，()12959t +++==新101118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=−⨯= ⎪⎝⎭∑新；1022138510285i i t =⎛⎫=−= ⎪⎝⎭∑新所以12221114.7395 2.4673285956000ni ii nii b x y nx yxnx==−−⨯⨯===−⨯−∑∑故67322072.4560001200a =−⨯=，所以673220760001200y x =+. ……………4分 （以上每个新数据求解正确，可给1分）（2）由题意可知()1223355n n n P P P n −−=+≥，其中125P =，22231955525P =⨯+= ……6分 将此式变形可得112123232525555n n n n n n P P P P P P λλλλ−−−−−⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫−=−+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−⎝⎭令3525λλ−=−，解得1λ=或35λ=− ………………8分方法一：当35λ=−时，则()11233355n n n n P P P P n −−−+=+≥，所以135n n P P −⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数列首项为2131932152555P P +=+⨯=，故()13125n n P P n −+=≥， 将()13125n n P P n −+=≥变形可得()15352858n n P P n −⎛⎫−=−−≥ ⎪⎝⎭所以58n P ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以首项为1525985840P −=−=−，公比为35−的等比数列 故15938405n n P −⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即19354058n n P −⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭………………12分 方法二：当1λ=时，则()()112335n n n n P P P P n −−−−=−−≥， 所以{}1n n P P −−是以首项为21192925525P P −=−=，公比为35−的等比数列， 故()21932n n n P P n −−⎛⎫−=−≥ ⎪成立 ，25593255⎝⎭⎛⎫− ⎪⎝⎭累加可得 0121933325555n n P P −⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦213319139553254054015n n −−⎛⎫⎛⎫+−⨯− ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==−−+ ⎪⎛⎫⎝⎭−− ⎪⎝⎭故1113940540n n P P −⎛⎫=−−++ ⎪⎝⎭，即1935533=4058885n nn P −⎛⎫⎛⎫=−−++− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭………………12分 （3）解答：①当n 为偶数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25. ………………………………14分②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，…………………………17分。
2016年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷(文科)(解析版)
4.已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数，若当x v 0时，f (x) =Tog2( - 2x)，则f (32) =( )A. - 32B. - 6C. 6D. 64 【考点】函数奇偶性的性质.【分析】真假利用函数的奇偶性的性质求解即可. 【解答】 解：因为当xv 0时，f (x) = - log2 (- 2x), f (32) =f (- 32) =- log264= - 6, 故选：B.5.抛物线y 2=2px (p>0)上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为 1,则p=( )A. 77B. 1C. 2D. 4 2【考点】抛物线的简单性质.【分析】根据抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论. 【解答】解：抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离， 抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 p=2 .故答案选：C.6.已知06( ,二厂)且sin Ocos 9=a,其中a£ (0, 1),则tan 0的可能取值是( )A . - 3 B. 3 或耳 C.— D. -3或—【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】把已知等式两边平方， 可得2sin 0 £os9=a 2- 1,由a 的范围及B ( 一 , C )， 一 ............ ........................ .. …一，、碍 sin 0 *Cos(K 0,且 | sin 。
| v | cos 。
| ,由此碍到 0^( -------- , C),答案可求.【解答】 解：由sin 0+cos0=a,两边平方可得 2sin 0 "Cos 。
=a 2 - 1, .，• 0C (- q • C),从而 tan 06 (— 1, 0). 故选：C.7. 已知正二棱锥 V - ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正二棱锥侧面积是二1，由a€(0, 1)及 B £ (-分，~),有sin 0 £os 0< 0,且 | sin 0| < | cos 印，A. B. C. 18 D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图画出对应直观图，根据正三棱锥的结构特征判断出顶点V在底面上的射影，由图象和勾股定理求出三棱锥的高，再求出侧面上的高即斜高，由三角形的面积公式求出正三棱锥侧面的面积.【解答】解：由三视图画出直观图如图所示：O是定点V在底面的射影，且。
(2016沈阳二模)辽宁省沈阳市2016年高三第二次模拟(数学文)
辽省省2011年东北三省四市统一考试暨市高三教学质量监测（二）数 学（文科）命 题：东北三省四市联合命制时间：120分钟 总分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）题～第（24）题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡及答题纸上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡（纸）一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．（1）已知集合{}1,0,A a =-，{}|01B x x =<<，若A B ≠∅，则实数a 的取值围是A.{}1B.(,0)-∞C.(1,)+∞D.(0,1)（2）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S a 的值为 A.154B.152C.74 D.72（3）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，恰好抽到了4个男生、6个女生．给出下列命题：（1）该抽样可能是简单的随机抽样；（2）该抽样一定不是系统抽样；（3）该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率．其中真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （4）已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则21z z ⋅为A ．i 2321+ B ．i 2123+ C ．i 2321- D ．i 2123- （5）已知命题p ：抛物线22x y =的准线方程为21-=y ；命题q ：若函数)1(+x f 为偶 函数，则)(x f 关于1=x 对称．则下列命题是真命题的是A ．q p ∧ B.)q (p ⌝∨ C.()()p q ⌝∧⌝ D.q p ∨ （6）已知图象不间断函数)(x f 是区间],[b a 上的单调函数，且在区间(,)a b 上存在零点．图1是用二分法求方程开始 定义()f x 输入精确度d 和区间(,)a b参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差 ()()()[]222211x x x x x x n s n -++-+-=其中x 为样本平均数柱体体积公式 V Sh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式 13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积和体积公式24S R π=，343V R π=其中R 为球的半径()0f x =近似解的程序框图，判断框可以填写的容有如下四个选择：①0)()(<m f a f ； ②0)()(>m f a f ； ③0)()(<m f b f ； ④0)()(>m f b f 其中能够正确求出近似解的是（ ） A ．①、③ B ．②、③ C ．①、④ D ．②、④（7）等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ．则“1||d a >”是“n S 的最小值为1S ，且n S 无最大值”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件（8）曲线33y x x =-在点(0,0)处的切线方程为A ．y x =-B ．3y x =-C ．y x =D ．3y x =（9）已知三个互不重合的平面γβα、、，且a αβ=，b αγ=，c βγ=，给出下列命题：①若c a ,b a ⊥⊥，则c b ⊥；②若P b a = ，则P c a = ；③若c a ,b a ⊥⊥，则γα⊥；④若b //a ，则c //a ．其中正确命题个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（10）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为e ，则它的渐近线方程为A ． 1 y e x =-B ．2 1 y e x =±-C ．21y e x =±-D ．1y e x =- （11）设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值围是A ．(0,1)B ．)0,(-∞C ．)21,(-∞D ．)1,(-∞（12）已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值围是A ．14[,]23B ．1(0,]2C ．24[,]33D ．1[,1]2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应的位置上． （13）在棱长为2的正方体随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为． （14）已知O 为坐标原点，点M 的坐标为)1,2(，点(,)N x y 的坐标x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x . 则OM ON ⋅的取值围是． （15）对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有.OB OA OA OB 0=⋅+⋅ 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 一点，则有.OC S OB S OA S OBA OCA OBC 0=⋅+⋅+⋅ ．将它类比到空间的情形应该是： 若O 是四面体ABCD 一点，则有．（16）已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图3所示，成绩不小于90分为及格． （Ⅰ）甲班10名同学成绩标准差 乙班10名同学成绩标准差（填“>”，“<”）； （Ⅱ）从甲班4名及格同学中抽取两人，从乙班2名80分以下的同学中取一人，求三人平均分不及格的概率.甲 乙 257 368 24 68 7 89 1089 678 1235 12222俯视图左视图主视图图2 图3（18）（本小题满分12分）如图4，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，点E 、G 分别是CD 、PC 的中点，点F 在PD 上，且PF :FD =2:1 （Ⅰ）证明：EA PB ⊥； （Ⅱ）证明：BG 面AFC ．（19）（本小题满分12分）如图5，ABC ∆中，,2,332sin ==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =（Ⅰ）求BC 的长；（Ⅱ）求DBC ∆的面积．DAB5图4（20）（本小题满分12分）设a 为实数，函数()22xf x e x a =-+,x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当ln 21a >-且0x >时，221xe x ax >-+.（21）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足t =+（O 为坐标原点）PB PA ＜53时，数t 取值围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图6，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A 、B ，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ．求证：（Ⅰ）CAG BAC ∠=∠； （Ⅱ）AF AE AC ⋅=2．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，将曲线⎩⎨⎧==αsin y αcos x 4（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C . 以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲对于任意实数)0(≠a a 和b ，不等式|)2||1(||||2|||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，试数x 的取值围．图62011年东北三省四市统一考试暨市高三教学质量监测（二）数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）D （2）A （3）B （4）A （5）D （6）C （7）A （8）B （9）C （10）B （11）D （12）A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）16π-（14）]6,1[ （15） ·OA + ·OB + ·OC + ·OD =0 （16） π34三、解答题：本大题共共70分. （17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）>． …………………3分 （Ⅱ）抽取情况为：92，94，78； 92，94，79； 92，106，78； 92，106，79；92，108，78； 92，108，79； 94，106，78； 94，106，79； 94，108，78； 94，108，79； 106，108，78； 106，108，79．总共有12种． …………………9分 这12种平均分不及格是92，94，78； 92，94，79；共2种． …………………11分 所以三人平均分不及格的概率为61． …………………12分 （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒， 所以ACD ∆为等边三角形，又因为E 是CD 的中点，所以AB EA ⊥．……2分 又PA ⊥平面ABCD ，所以PA EA ⊥． ……3分 所以⊥EA 面PAB ，所以PB EA ⊥． ……5分（Ⅱ）取PF 中点M ，所以FD MF PM ==．…………………………………………6分连接MG ，CF //MG ，所以//MG 面AFC ．……………………………………8分连接BD ,BM ，设O BD AC = ，连接OF ，所以OF //BM ，所以//BM 面AFC ． ················································ 10分 所以面//BGM 面AFC ，所以//BG 面AFC ．…………………………………12分（19）（本小题满分12分）V ACD O -V BCD O -V ABD O -V ABC O -解：（Ⅰ）因为332=∠ABC sin，所以313121=⨯-=∠ABC cos . ··················· 2分 在ABC ∆中，设b AC ,a BC 3==， 则由余弦定理可得a a b 344922-+= ① ················································ 5分 在ABD ∆和DBC ∆中，由余弦定理可得b b ADB cos 3316431642-+=∠， b a b BDC cos 33831622-+=∠． ································································· 7分 因为BDC cos ADB cos ∠-=∠，所以有b a b b b 338316331643164222-+-=-+，所以322a b -＝－6 ② 由①②可得13==b ,a，即3=BC ． ······················································· 9分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得ABC ∆的面积为223223221=⨯⨯⨯， 所以DBC ∆的面积为322． ······························································· 12分 （注：也可以设b BC ,a BA==，所以b a BD 3231+=，用向量法解决；或者以B 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，用坐标法解答；或者过A 作BC 平行线交BD 延长线于E ，用正余弦定理解答．具体过程略）（20）（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由()22,x f x e x a x R =-+∈知'()2,xf x e x R =-∈。
2016年辽宁省沈阳二中高考数学四模试卷(文科)
2016年辽宁省沈阳二中高考数学四模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x-2＜0}，则A∪B（）A.（-∞，2）B.（0，1）C.（-2，2）D.（-∞，1）【答案】C【解析】解：∵A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|x2+x-2＜0}={x|-2＜x＜1}，∴A∪B={x|0＜x＜2}∪{x|-2＜x＜1}=（-2，2）．故选：C．分别求解对数不等式及一元二次不等式化简A，B，再由并集运算得答案．本题考查并集及其运算，考查了对数不等式及一元二次不等式的解法，是基础题．2.已知复数z满足（z-2i）（1+i）=|1-i|（i为虚数单位），在复平面内，复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】解：∵|1-i|=，∴（z-2i）（1+i）=|1-i|=2，则，∴复数z对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．求出|1-i|，再把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知实数a满足|a|＜2，则事件“点M（1，1）与N（2，0）分别位于直线l：ax-2y+1=0两侧”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：要使点M（1，1）与点N（2，0）分别位于直线l：ax-2y+1=0两侧，则（a-2+1）（2a+1）＜0．即-＜a＜1．又|a|＜2，即-2＜a＜2，由测度比为长度比得：点M（1，1）与点N（2，0）分别位于直线l两侧的概率为：P==．故选：C．根据点M（1，1）与点N（2，0）分别位于直线l：ax-2y+1=0两侧，求出a的取值范围，再利用几何概型求出对应的概率．本题考查了几何概型的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．4.如图茎叶图表示的是甲乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示，若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）A.{2}B.{1，2}C.{0，1，2}D.{2，3}【答案】C【解析】解：由茎叶图知，甲的平均成绩为×（88+92+93）=91；乙的平均成绩为×（90+91+90+m）=90+，又∵91≥90+，∴m≤2，又m∈N，∴m的可能取值集合为{0，1，2}．故选：C．由茎叶图中的数据，求出甲、乙二人的平均成绩，列出不等式求出m的取值集合．本题考查了茎叶图与平均数的应用问题，也考查了识图与用图的问题，是基础题．5.在等比数列{a n}中，a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A.3B.C.3或D.-3或【答案】C【解析】解：在等比数列{a n}中，∵a5•a11=a3•a13=3，a3+a13=4，则a3=1，a13=3，或a3=3，a13=1当a3=1，a13=3时，q10=3，=q10=3，当a3=3，a13=1时，q10=，=q10=故选：C由已知中等比数列{a n}中，a5•a11=3，a3+a13=4，根据等比数列的性质我们易得到a3=1，a13=3，或a3=3，a13=1，分别求出对应的公比q满足的条件，即可得到的值．本题考查的知识点是等比数列的性质，其中根据a5•a11=a3•a13=3，结合a3+a13=4构造方程组，求出a3与a13的值，是解答本题的关键．6.下列说法正确的是（）A.命题“若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）内单调递减，则a＜0”的逆否命题是“若a≥0，则幂函数f（x）=x a在（0，+∞）内单调递增”B.已知命题p和q，若p∧q为假命题，则命题p、q中必有一个是真命题、一个是假命题C.若x，y∈R，则“x=y”是“”的充要条件D.若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1＞0【答案】C【解析】解：对于A：命题“若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）内单调递减，则a＜0”的逆否命题是：“若a≥0，则幂函数f（x）=x a在（0，+∞）内不单调递减，故A错误；对于B：已知命题p和q，若p∧q为假命题，则命题p、q可能都是假命题，故B错误；对于C：若x，y∈R，则“x=y”能推出（x-y）2≤0即“”，是充分条件，由“”即（x-y）2≤0，能推出x=y，是必要条件，故C正确；对于D：若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故D错误，故选：C．分别对A、B、C、D各个选项进行判断，从而求出答案．本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断以及不等式问题，是一道综合题．7.设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中：①a⊂α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β．能推得a⊥b的条件有（）组．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：①∵b∥β，∴过b与β相交的直线c∥b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立；②在α内作直线c垂直于α，β的交线，∵α⊥β，∴c⊥β，∵a⊥α，∴a⊥c，∵b⊥β，∴b∥c，∴a⊥b，故结论成立；③∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，故结论成立；④∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，∵b∥β，∴过b与β相交的直线c∥b，a⊥c，∴a⊥b，故结论成立故选C．①利用线面平行的性质，可得过b与β相交的直线c∥b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立；②在α内作直线c垂直于α，β的交线，则可得c⊥β，由a⊥α，可得a⊥c，由b⊥β，可得b∥c，从而a⊥b；③由b⊥β，α∥β，可得b⊥α，利用线面垂直的性质可得a⊥b；④由a⊥α，α∥β，可得a⊥β，由b∥β，可得过b与β相交的直线c∥b，从而可得结论．本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A.0，3B.0，4C.2，3 D.2，4【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=8-6=2，i=2满足a＞b，a=6-2=4，i=3满足a＞b，a=4-2=2，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为2，i的值为4．故选：D．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9.设向量=（4，3），向量在向量上的投影为，在x抽正方向上的投影为2，且||≤14，则为（）A.（2，14）B.（2，-）C.（-2，）D.（2，8）【答案】B【解析】解：设=（x，y），∵在上的投影为=||×cos＜，＞==，又∵在x轴的正方向的投影为2，∴x=2，代入上式得，化为7y2-96y-28=0，解得y=或14．∵≤14，∴y=，∴，．故选B．利用向量的数量积运算、投影、模的计算公式即可得出．本题考查了向量的数量积运算、投影、模的计算公式．10.如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（）A. B.2 C.D.【答案】C【解析】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得-=1，又=c∴-4×=1，化简得c4-6a2c2+a4=0∴e4-6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故选C．先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F得到交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4-6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e 本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的应用，考查双曲线的离心率，解题的关键是得出a，c的方程．11.若f（x）=xsinx+cosx，则f（1），f（）以及f（）的大小关系是（）A.＜＜B.＜＜C.＜＜D.＜＜【答案】D【解析】解：∵f（x）=xsinx+cosx，∴求导数，可得f'（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx∵当0＜x＜时，f'（x）=xcosx＞0，∴f（x）在区间[0，]上为增函数∵1＜＜，∴f（1）＜f（）＜f（）故选：D求导数得f'（x）=xcosx，从而0＜x＜时f'（x）＞0成立，得到f（x）在区间[0，]上为增函数，由此结合题意即可得到答案．本题给出含有三角函数的函数，求几何函数值的大小关系，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．12.若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，，＞，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：∵a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，∴a，b分别为函数y=4-x与函数y=lgx，y=10x图象交点的横坐标由于y=x与y=4-x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10x的图象关于y=x对称∴a+b=4∴函数f（x）=，，＞当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，∴x=-2或x=-1，满足题意当x＞0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意∴关于x的方程f（x）=x的解的个数是3故选C．先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数．本题考查函数与方程的联系，考查根的个数的研究，解题的关键是求出分段函数的解析式，有一定的综合性．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为______ ．【答案】[kπ-，kπ+]，k∈Z【解析】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数的周期为π，f（）=sin（+φ）=1，f（-）=sin（-+φ）=-1，故+φ=2kπ+，且-+φ=2kπ-，k∈Z，即φ=2kπ+，k∈Z．故取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故答案为：[kπ-，kπ+]，k∈Z．由条件可得+φ=2kπ+，且-+φ=2kπ-，k∈Z，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的值域、单调性，属于中档题．14.一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______ ．【答案】【解析】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，三条侧棱互相垂直，长度分别为1，1，2，∴体积为=，∴该几何体的体积是23-=．故答案为：．由三视图可得，正方体，被一个平面截去一个三棱锥，三条侧棱互相垂直，长度分别为1，1，2，计算体积即可得出结论．本题考查了由几何体的三视图求相关问题；关键是正确还原几何体．15.如果实数x，y满足条件，则的取值范围是______ ．【答案】[4，7]【解析】解：作出不等式组；对应的区域，包括边界，如图=3+2×；因为表示过两点（1，1）与（x，y）的直线的斜率，当直线过区域中的点（-2，-1）时，直线斜率是，当直线过区域中的点（0，-1）时，直线的斜率是2，当直线过区域中的点（-1，0）时，直线斜率是，由图形知∈[，2]故=3+2×∈[4，7]故答案为[4，7]作出不等式组对应的区域，化简=3+2×由的几何意义求它的取值范围，然后再代入=3+2×求的取值范围．本题考查线性规划基础知识，在求目标函数的取值范围时，本题考虑到了几何意义，从而实现了把求取值范围的问题变成了求过两点的直线斜率的问题，使得问题得解．16.设数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n-2n+1（n∈N+），则数列{a n}的通项公式为______ ．【答案】a n=（n+1）•2n【解析】解：∵S n=2a n-2n+1（n∈N+），∴n=1时，a1=2a1-4，解得a1=4；n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-2n+1-，化为：a n-2a n=2n，∴=1，∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n-1）=n+1，∴a n=（n+1）•2n．故答案为：a n=（n+1）•2n．由S n=2a n-2n+1（n∈N+），利用递推关系可得：a n-2a n=2n，变形为=1，再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，角A的对边长等于2，向量=，，向量=，．（1）求•取得最大值时的角A的大小；（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值．【答案】解：（1）•=2-．因为A+B+C=π，所以B+C=π-A，于是•=+cos A=-2=-2．因为，，所以当且仅当=，即A=时，•取得最大值．故•取得最大值时的角A=；（2）设角、B、C所对的边长分别为a、b、c由余弦定理，得b2+c2-a2=2bccos A即bc+4=b2+c2≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号．又S△ABC=bcsin A=bc≤．当且仅当a=b=c=2时，△ABC的面积最大为．【解析】（1）根据平面向量的数量积的运算法则求出•，然后根据三角形的内角和定理，利用二倍角的余弦函数公式化简后进行配方得到•=-2，由为锐角，利用二次函数求最值得到•取最小值时sin=，根据特殊角的三角函数值求出A即可；（2）由a=2，根据第一问求得cos A的值，利用余弦定理和基本不等式求出bc的最大值，根据S△ABC=bcsin A=bc，把bc的最大值代入到面积公式里得到面积的最大值．考查学生会进行平面向量的数量积的运算，灵活运用二次函数求值的方法及灵活运用余弦定理化简求值．会利用基本不等式求最值．18.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c 的值．（结论不要求证明）（注：s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）【答案】解：（Ⅰ）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为1000×=750人；（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件M，记体育成绩在[60，70）的学生为A1，A2，体育成绩在[80，90）的学生为B1，B2，B3，则从这两组学生中随机抽取2人，所有可能的结果如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共10种，而事件M所包含的结果有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）共7种，因此事件M发生的概率为P（M）=；（Ⅲ）a，b，c的值分别是为70，80，100．【解析】（Ⅰ）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数．（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件M，记体育成绩在[60，70）的学生为A1，A2，体育成绩在[80，90）的学生为B1，B2，B3，由此利用列举法能求出在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率．（Ⅲ）由题意，能写出数据a，b，c的方差s2最大时，a，b，c的值．本题考查折线图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意注意对立事件概率计算公式的合理运用．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD．（Ⅰ）求证：B1C∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求证：AC⊥B1D；（Ⅲ）若AD=2AA1，判断直线B1D与平面ACD1是否垂直？并说明理由．【答案】（本题满分为14分）证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，∴BC∥平面ADD1A1，…（2分）∵CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，又∵BC∩CC1=C，∴平面BCC1B1∥平面ADD1A1，…（3分）又∵B1C⊂平面BCC1B1，∴B1C∥平面ADD1A1．…（4分）（Ⅱ）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴BB1⊥AC，…（5分）又∵AC⊥BD，BB1∩BD=B，∴AC⊥平面BB1D，…（7分）又∵B1D⊂底面BB1D，∴AC⊥B1D；…（9分）（Ⅲ）结论：直线B1D与平面ACD1不垂直，…（10分）证明：假设B1D⊥平面ACD1，由AD1⊂平面ACD1，可得B1D⊥AD1，…（11分）由棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，∠BAD=90°，可得：A1B1⊥AA1，A1B1⊥A1D1，又∵AA1∩A1D1=A1，∴A1B1⊥平面AA1D1D，∴A1B1⊥AD1，…（12分）又∵A1B1∩B1D=B1，∴AD1⊥平面A1B1D，∴AD1⊥A1D，…（13分）这与四边形AA1D1D为矩形，且AD=2AA1矛盾，故直线B1D与平面ACD1不垂直．…（14分）【解析】（Ⅰ）先证明BC∥平面ADD1A1，CC1∥平面ADD1A1，又BC∩CC1=C，即可证明平面BCC1B1∥平面ADD1A1，从而可证B1C∥平面ADD1A1．（Ⅱ）先证明BB1⊥AC，又AC⊥BD，BB1∩BD=B，即可证明AC⊥平面BB1D，从而可证AC⊥B1D；（Ⅲ）用反证法，假设B1D⊥平面ACD1，由AD1⊂平面ACD1，可得B1D⊥AD1，再证明A1B1⊥AD1，即可证明AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥A1D，这与四边形AA1D1D 为矩形，且AD=2AA1矛盾，故得证．本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了反证法的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20.已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上．若椭圆上的点A（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和等于4．（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若|DP|=|PE|，求直线DE的方程；（3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大值，求直线MN的方程．【答案】解：（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0）∵椭圆上的点A（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和等于4∴∴a=2，b=1∴c==∴椭圆的方程为，焦点F1（-，0），F2（，0）；（2）由题意P为线段DE的中点，且直线不与x轴垂直设D（x1，y1），E（x2，y2），代入椭圆方程可得，两方程相减可得=0∴斜率k=-1，∴直线DE的方程为4x+4y-5=0；（3）当直线MN与x轴垂直时，方程为x=1，S△OMN=；当直线MN不与x轴垂直时，设方程为y=k（x-1），M（x3，y3），N（x4，y4），直线代入椭圆方程，消去x可得（4k2+1）y2+2ky-3k2=0∴y3+y4=-，y3y4=∴S△OMN=|y3-y4|=2设=t（t＞3），g（t）=t++2∴g′（t）=1-＞0，∴g（t）＞，∴S△OMN＜综上，直线MN的方程为x=1．【解析】（1）设椭圆的方程，利用椭圆上的点A（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和等于4，建立方程组，即可求出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）由题意P为线段DE的中点，且直线不与x轴垂直，利用点差法，即可求直线DE 的方程；（3）分类讨论，确定△OMN面积，利用△OMN面积取得最大值，即可求直线MN的方程．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．21.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（ab∈R）（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求b的值；（2）若对任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的取值范围．【答案】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）在x=1处有极值10，∴解得或，当a=4，b=-11时，f′（x）=3x2+8x-11，其中△＞0，所以函数有极值点，当a=-3，b=3时，f′（x）=3（x-1）2≥0，所以函数无极值点，∴b的值为-11；（2）解法一：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，则F（a）=2xa+3x2+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，∵x≥0，F（a）在a∈[-4，+∞）单调递增或为常数函数，所以得F（a）min=F（-4）=-8x+3x2+b≥0对任意的x∈[0，2]恒成立，即b≥（-3x2+8x）max，又-3x2+8x=-3（x-）2+≤，当x=时（-3x2+8x）max=，得b≥；解法二：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立即b≥-3x2-2ax对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥（-3x2-2ax）max．令F（x）=-3x2-2ax=-3（x+）2+，①当a≥0时，F（x）max=0，∴b≥0；②当-4≤a＜0时，F（x）max=，∴b≥．又∵（）MAX=，∴b≥．【解析】（1）先对函数求导f'（x）=3x2+2ax+b，由题意可得f（1）=10，f′（1）=0，结合导数存在的条件可求；（2）解法一：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，构造关于a的函数F（a）=2xa+3x2+b≥0对任意a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，结合函数单调性可得F（a）min=F（-4）从而有b≥（-3x2+8x）max，解法二：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥-3x2-2ax 对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥（-3x2-2ax）max．构造函数F（x）=-3x2-2ax=-3（x+）2+，结合二次函数的性质进行求解函数F（x）的最大值即可．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，利用构造函数的思想把恒成立转化为求解函数的最值问题，要注意构造思想在解题中的应用．22.如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．【答案】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD又∠BAE=∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC=∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB∴BC=BE=4设AE=x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE=又AE•EC=BE•ED EC=6-x∴4×∴x=即要求的AE的长是【解析】（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．（2）根据角的等量代换得到一个三角形中两个角相等，得到等腰三角形，得到BE=4，可以证明△ABE与△DEC相似，得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可．本题考查与圆有关的比例线段，考查圆内接多边形的性质与判定，考查用方程思想解决几何中要求的线段的长，本题是一个应用知识点比较多的题目．23.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线（θ为参数）和定点A（0，），F1，F2是左右焦点．（Ⅰ）求经过点F1垂直于直线AF2的直线L的参数方程．（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．【答案】解：（1）圆锥曲线，化为普通方程得+=1，所以焦点为F1（-1，0），F2（1，0），∴直线AF2的斜率k==-因此，经过点F1垂直于直线AF2的直线L的斜率k1=-=，直线L的倾斜角为30°所以直线L的参数方程是°°，即（t为参数）．（6分）（2）直线AF2的斜率k=-，倾斜角是120°，设P（ρ，θ）是直线AF2上任一点，则°°，即ρsin（120°-θ）=sin60°，化简得ρcosθ+ρsinθ=所以直线AF2的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-=0．（10分）【解析】（1）利用三角函数中的平方关系消去参数θ，将圆锥曲线化为普通方程，从而求出其焦点坐标，再利用直线的斜率求得直线L的倾斜角，最后利用直线的参数方程形式，即可得到直线L的参数方程．（2）设P（ρ，θ）是直线AF2上任一点，利用正弦定理列出关于ρ、θ的关系式，化简即得直线AF2的极坐标方程．本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．24.已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a-1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a-1＞0即为|x-2|+a-1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（-∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（-∞，a+1）∪（3-a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x-2|＞-|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x-2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值范围是（-∞，5）．【解析】（1）不等式转化为|x-2|+|a-1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x-2|+|x+3|＞m 恒成立，利用不等式的性质求出|x-2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．。
2016届东北三省四市教研联合体高三第二次模拟数学(文)试题(图片版,)
2016年二模文科数学答案13、4 14、6 15、①② 16、117. （I ）设数列}{n a 的公差为d ，数列}{n b 的公比为q由题意可得,2,91-==d a …………（2分） n a n 211-=…………（3分）,211==q b …………（5分） nn b ⎪⎭⎫⎝⎛=21…………（6分）（II ）|211|||n a n -=，…………（7分）当2105n n T n n -=≤时，，…………（9分） 当501062+-=≥n n T n n 时，，…………（11分）所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-=6,50105,1022n n n n n n T n …………（12分）18. （I …………（3分）； …………（6分） （II ）喜欢运动的女志愿者有6人，分别设为A 、B 、C 、D 、E 、F ，其中A 、B 、C 、D 懂得医疗救护，则从这6人中任取2人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种取法，…………（8分）其中两人都懂得医疗救护的有AB,AC,AD,BC,BD,CD ，共6种. …………（10分） 2人都能胜任医疗救护工作”为事件A ，…………（12分） 19. （Ⅰ）连接ED ，MN ∥ED …………（2分）又EFDA MN 平面⊄，EFDA ED 平面⊂ 所以MN ∥EFDA 平面…………（5分） （Ⅱ）由题意EFDA 平面⊥EFCB 平面⋂EFDA 平面EF EFCB =平面，CF ⊥EF ，⊂CF EFCB 平面 所以CF ⊥EFDA 平面…………（8分） 又EFDA c EFDA M V V --=21…………（9分） 4=EFDA S …………（10分）所以2=-EFDA M V …………（12分）20. （Ⅰ） 解：设),(),,(n m A y x C⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2022n y m x …………（1分）所以⎩⎨⎧-=-=y n xm 4…………（2分）又4)4(2--=m n …………（3分）所以所求方程为y x 42= …………（4分）（Ⅱ）假设存在点),(00y x P设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ，直线AB 的方程为1+=kx y联立⎩⎨⎧=+=yx kx y 412 ，得0442=--kx x ，…………（5分） 则⎩⎨⎧-==+442121x x kx x …………（6分）切线PA 的方程为)(241121x x x x y -=-点),(00y x P 代入化简得04200121=+-y x x x 同理得04200222=+-y x x x …………（7分）所以知21,x x 是方程042002=+-y x x x的两根…………（9分）则44021-==y x x …………（10分）所以10-=y ，代入圆方程得00=x …………（11分） 所以存在点)1,0(-P …………（12分）21. 解：（I ）因为函数()x f 的定义域为()∞+，0. …………（2分）()x xx x f -=-='111，. …………（3分） 令 ()0111>-=-='x xx x f ，得10<<x令 ()0111<-=-='x xx x f ，得1>x . …………（4分）所以函数()x f 的单调递增区间为()10，， 函数()x f 的单调递减区间为()∞+，1. …………（5分） （II ）证明：根据题意，()1ln (0)2g x x m x x=+->， 因为1x ，2x 是函数()1ln 2g x x m x=+-的两个零点， 所以111ln 02x m x +-=，221ln 02x m x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-, …………7分 即112221ln 2x x x x x x -=，故1212122lnx x x x x x -=.那么1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=.令12x t x =，其中01t <<，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 构造函数1()2ln (01)h t t t t t=--<<， ……………10分则22(1)'()t h t t -=.因为01t <<，所以'()0h t >恒成立，故()(1)h t h <，即12ln 0t t t--<.可知112ln t t t->，故121x x +>. ……………12分 22. （Ⅰ）由题意可知BDC CBD ∠=∠…………（1分）所以DAC CAB ∠=∠…………（2分）由角分线定理可知，AB BM AD MD =，即AB MD AD BM⋅=⋅得证. …………（4分）（Ⅱ）由题意BM CP MD CB =，即AB CP AD CB =，. …………（4分）由四点共圆有BAD BCP ∠=∠. …………（5分）所以BCP ∆∽BAD ∆.. …………（6分） 所以ADB CBP ∠=∠. …………（7分）又BAC CBP ∠=∠，ADB ACB ∠=∠. …………（8分） 所以ACB BAC ∠=∠. …………（9分） 所以AC AB =. …………（10分）23. 解：(I)曲线C 的直角坐标方程为141222=+y x …………（1分）左焦点)0,22(-F 代入直线AB 的参数方程 得22-=m …………（2分）直线AB 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 222222（为参数t ） 代入椭圆方程得0222=--t t …………（3分） 所以||||FB FA ⋅=2…………（4分）(Ⅱ) 设椭圆C 的内接矩形的顶点为)sin 2,cos 32(θθ，)sin 2,cos 32(θθ-，)sin 2,cos 32(θθ-，)20)(sin 2,cos 32(πθθθ<<--…………（6分） 所以椭圆C 的内接矩形的周长为θθsin 8cos 38+=)3sin(16πθ+…………（8分）当23ππθ=+时，即6πθ=时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值16…………（10分）24. 解析：(I)错误！未找到引用源。
2016年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测(二)数学(理科)试题及答案
2016年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数 学（理科）沈阳命题：沈阳市第四中学 吴 哲 沈阳市第二十中学 何运亮沈阳市第二十七中学 李 刚 沈阳市第五十六中学 高文珍 沈阳市第二十中学 王 艳 沈阳市第三十一中学 李曙光沈阳主审：沈阳市教育研究院 周善富本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题． 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效． 3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知则A B =I ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=9331x xB ，集合{}31<<-=x x A （ ） A. ()1,2 B. ()1,2- C. ()1,3 D. ()1,3- 2. 设复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且i z +=21，则12z z ⋅=（ ） A. i 34+- B. i 34- C. i 43-- D. i 43-A ．4B ．4C ．-4D ．4-5. 已知}6,5,4,3,2,1{,∈y x ，且7=+y x ，则2xy ≥的概率（ ）A. 31 B ．32 C ．21 D. 656. 已知2tan =α，α为第一象限角，则ααcos 2sin +的值为（ ）A.B.C.7. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥A B A P 11-的左视图可能为（）AB C D 8. 将函数)2sin()(ϕ+=x x f )2|(|πϕ<的图象向右平移12π 个单位后的图象关于y 轴对称，则函数)(x f 在]2,0[π上的最小值为（ ） A.23 B.21 C. 21- D.23-9. 见右侧程序框图，若输入110011a =，则输出结果是（ A. 51 B. 49 C. 47 D. 4510. 已知点F 是双曲线C ： (0,0)a b >>的右焦点，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M 且MF 与双曲线的实轴垂直则，双曲线C 离心率是（ ） A. B. C. D. 2 11. 在ABC ∆中，D 是BC 中点，已知90BAD C ∠+∠=︒，则ABC ∆的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形12.当0>x 时，总有，偶函数)(x f 定义在(1,0)(0,1)-U 上，且0)21(=f恒成立，则不等式 的解集为（ ）A. {11<<-x x 且}0≠x B. {211|-<<-x x 或}121<<x C. 2121|<<⎩⎨⎧-x x 且⎭⎬⎫≠0x D. 211|-<<-⎩⎨⎧x x 或⎭⎬⎫<<210x55524+554+222221x y a b -=)(2)1ln()()1(2x f x x f x x>-⋅'-0)(<x f B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上）13. 已知实数y x ,满足120x y x y ≤+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值为 . 14. 在椭圆221369x y +=上有两个动点M ，N ，若()2,0K 为定点，且0=⋅KN KM ，则NM KM ⋅的最小值为 .15. 已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为 .16.设G 是一个非空集合，*是定义在G 上的一个运算.如果同时满足下述四个条件： （ⅰ）对于,a b G ∀∈，都有a b G *∈；（ⅱ）对于,,a b c G ∀∈，都有()()a b c a b c **=**； （iii ）对于,a G e G ∀∈∃∈，使得a e e a a *=*=；（iv ）对于,'a G a G ∀∈∃∈，使得''a a a a e *=*=（注：“e ”同（iii ）中的“e ”）. 则称G 关于运算*构成一个群.现给出下列集合和运算：①G 是整数集合，*为加法；②G 是奇数集合，*为乘法；③G 是平面向量集合，*为数量积运算；④G 是非零复数集合，*为乘法. 其中G 关于运算*构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）.三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 满足()11511,432n n a a a n -==-≥.（I ）求证：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）令()2log 1n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm ）：男生成绩在175cm 以上（包括175cm ）定义为“合格”，成绩在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“不合格”．女生成绩在165cm 以上（包括165cm ）定义为“合格”，成绩在165cm 以下（不包括165cm ）定义为“不合格”．（I ）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；（II ）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率； （III ）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X 表示其中男生的人数，写出X 的分布列，并求X 的数学期望．19、（本小题满分12分）如图（1），在等腰梯形ABCD 中，AB CD P ，,E F 分别为AB 和CD 的中点，且2AB EF ==，6CD =，M 为BC 中点，现将梯形BEFC 沿EF 所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA ，如图（2）所示，N 是线段CD 上一动点，且CN ND λ=.（Ⅰ）当12λ=时，求证：MN P 平面ADFE ； （Ⅱ）当1=λ时，求二面角M NA F --的余弦值.(1)(2)MFDE CABN20.（本小题满分12分）动点P 在抛物线22x y =上，过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ，设12PM PQ =u u u u r u u u r.（I ）求点M 的轨迹E 的方程；（II ）设点()4,4S -，过)5,4(N 的直线l 交轨迹E 于,A B 两点，设直线,SA SB 的斜率分别为12,k k ，求12k k -的最小值.21. (本小题满分12分)已知函数)cos ()(1x a e x f x+-=-，a ∈R .（I ）若函数)(x f 存在单调减区间，求实数a 的取值范围；（II ）若0a =，证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∀21,1x ，总有0)1cos()(2)1(>+⋅'+--x x f x f .请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为O e 的内接四边形且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作O e 的切线交DC 的延长线于点P .（Ⅰ）求证：AB MD AD BM ⋅=⋅；（Ⅱ）若CP MD CB BM ⋅=⋅，求证：AB BC =.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(2x m t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上.（I ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB ⋅的值； （Ⅱ）设曲线C 的内接矩形的周长为p ，求p 的最大值.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知0x ∃∈R 使得关于x 的不等式12x x t ---≥错误!未找到引用源。
2016届辽宁省沈阳东北育才学校高三上二模数学(文)试题(解析版)
2016届辽宁省沈阳东北育才学校高三上二模数学（文）试题一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | 1＜x ≤3}，B ＝{x | x ＞2}，则A ∩C U B 等于（ ） A.{x | 1≤x ≤2} B.{ x | 1≤x ＜2} C.{x | 1＜x ≤2} D.{x | 1≤x ≤3} 【答案】C【解析】试题分析：因为(],3U C B =-∞,所以A B A ⋂=，故选C ． 【考点】集合——交集、补集． 2．命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ）A.若α≠4π，则tan α≠1 B.若α=4π，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠4πD.若tan α≠1，则α=4π【答案】C【解析】试题分析：逆否命题是交换条件和结论，并且对条件和结论都否定，故选C ． 【考点】命题——逆否命题．3．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是下图中的（ ）【答案】A【解析】试题分析：由()f x 图象可知1,01b a <-<<，所以xa 为减函数，再向下移动1b >个单位，故选A ．【考点】1、二次函数图象与性质；2、指数函数图象平移．【易错点晴】对于()f x 来说，,a b 是其零点，结合图象可以得到它们的范围，阅读题意的时候要注意已知条件a b >——小括号里面的数往往是很重要的条件；对于()g x 来说，我们把它分成两个部分，第一部分是x a 为指数函数，图象单调递减且经过()0,1，再向下移动超过1个单位即可得出结论.4．如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AM m AB =， AN n AC =，则=+n m （ ）A ．1B ．2C ．21D ．3 【答案】B【解析】试题分析：因为O 是BC 的中点，所以2A B A C A O +=，即2m A M n A N A O +=，即()()()2m A OO+++,所以2m n +=.【考点】平面向量基本定理．5．若函数()f x 的导函数2'()43f x x x =-+，则使得函数()1f x - 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈（ ）A ．[]0,1B ．[]3,5C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】C【解析】试题分析：()()2'()4313f x x x x x =-+=--，所以()f x 在区间[]1,3上单调递减，()f x 图象向右平移一个单位得到()1f x -图象，所以()1f x -在区间[]2,4上单调递减.用集合的观点考虑“充分不必要条件”，在选项中，范围比[]2,4小的选项为C ．【考点】1、函数导数；2、图象平移；3、充要条件． 6．在ABC∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c ,,.a b c ,,.a b c sin cos sin cos a B C c B A +1,2b =,a b B >∠=且则（ ）A.56πB.3π C ．23π D.6π【答案】D【解析】试题分析：由正弦定理得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，因为sin 0B >，所以1sin cos sin cos 2A C C A +=，即1s i n ()s i n 2A C B +==，又因为a b >，所以6B π=． 【考点】1、解三角形----正弦定理；2、两角和的正弦公式．7．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和。
东北三省四城市联考暨沈阳市2024届高三下学期数学质量检测(二)(含答案与解析)_9763
2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学沈阳命题：沈阳市第一二〇中学 东北育才学校 沈阳铁路实验中学沈阳主审：沈阳市教育研究院本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3．考试结束后，考生将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-2. 抛物线2:y ax Γ=过点()2,1，则Γ的准线方程为（ ） A 1x =B. 1y =-C. 2x =-D. =2y -3. 已知向量()()2,4,3,1a b ==-，则“k =是“()()a kb a kb +⊥- ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ） A.127B. 127-C.247D. 247-.5. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b cB. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B =“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则()P B A =（ ）A.516B.1132C.4163D.15647. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形ABCD 内一点（不含边界），记O 为正方形ABCD 的中心，直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角分别为123,,θθθ，4θ．若1324,θθθθ=>，则点P 在（ ） A. 线段OA 上B. 线段OB 上C. 线段OC 上D. 线段OD 上8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅最小值为1C. 函数()exf x y =的最大值为1的D. 函数()exf x y =最小值为1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A. 212z z =B. 33120z z -=C. 22120z z -=D. 121z z =10. 已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，O 为顶点S 在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）A. 平面SAD ⊥平面SBCB. 侧面SBC 内存在无穷多个点P ，使得//OP 平面SADC. 在正方形ABCD 的边上存在点Q ，使得直线SQ 与底面所成角大小为π3D. 动点,M N 分别在棱AB 和BC 上（不含端点），则二面角S MN O --的范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭11. 已知数列{}n a 的通项公式为()()()2111,2,3,1nn a n n c =-⋅=+- ，则下列说法正确的有（）A. 若1c ≤，则数列{}n a 单调递减 B. 若对任意*n ∈N ，都有1n a a ≥，则1c ≤ C. 若*c ∈N ，则对任意*,i j ∈N ，都有0i j a a +≠ D. 若{}n a 的最大项与最小项之和为正数，则*1122,22k c k k -<<+∈N 第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．12. 已知函数()()3,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．13. 已知()()1,0,4,0,2A B PB PA --=，若平面内满足到直线:340l x y m ++=的距离为1的点P 有且只有3个，则实数m =________． 14. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向的量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =. （1）求角A 大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 16. 已知函数()e ,ex x xf x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1ex f x -≤恒成立，求a 的取值范围．17. 正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．（1）求证1D P AC ⊥；（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．18.P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．的（1）求B '点轨迹Ω的方程；（2）点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n P n∈．①求n P 最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．的参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】化简集合B ，由集合的交集定义计算即可. 【详解】因为{}{}3|1,0,1B x x x ===-，所以{}1,0,1A B =- . 故选：D2. 抛物线2:y ax Γ=过点()2,1，则Γ的准线方程为（ ） A. 1x = B. 1y =- C. 2x =-D. =2y -【答案】B 【解析】【分析】把点()2,1代入抛物线方程，再求得准线方程. 【详解】把点()2,1代入抛物线方程2y ax =，得14a =，解得14a =， 所以抛物线方程为24x y =，准线方程为1y =-. 故选：B.3. 已知向量()()2,4,3,1a b ==-，则“k =是“()()a kb a kb +⊥- ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】计算()()a kb a kb +⊥-时k 的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可.【详解】当()()a kb a kb +⊥- 时，()()0a kb a kb +⋅-= ，即2220ak b -=，故()()2222224310k⎡⎤+-+-=⎣⎦，解得k =故“k =是“()()a kb a kb +⊥-”的充分不必要条件.故选：A4. 已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ） A.127B. 127-C.247D. 247-【答案】C 【解析】【分析】根据1sin cos 5a a +=结合()0,πa ∈可得sin ,cos a a 与tan a ，进而可得tan2a . 【详解】1sin cos 5a a +=则()21sin cos 12sin cos 25a a a a +=+=，即12sin cos 25a a =-，又因为()0,πa ∈，故sin 0a >，cos 0a <，π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()249sin cos 12sin cos 25a a a a -=-=，因为π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7sin cos 5a a -=，结合1sin cos 5a a +=可得4sin 5a =，3cos 5a =-，则4tan 3a =-.故2282tan 243tan21tan 7413a a a -===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：C5. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b cB. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a【解析】【分析】根据题意合理进行推理，求解答案即可.【详解】由题意得丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，故从事b 工作的人不是丙， 又从事b 工作人年龄比甲的年龄小，故从事b 工作的人不是甲， 则推出从事b 工作的人一定是乙，又从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，故乙的年龄小于甲的年龄， 而乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，故从事c 工作的人是丙， 可反推出从事a 工作的人是甲，显然甲、乙、丙的职业分别是,,a b c . 故选：A6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B =“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则()P B A =（ ）A.516B.1132C.4163D.1564【答案】C 【解析】【分析】根据条件概率的公式，分析()(),P A P AB 求解即可.【详解】662163()264P A -==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”， 则3456666C +C +C 41()264P AB ==，则()41()()63P AB P B A P A ==∣ 故选：C7. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形ABCD 内一点（不含边界），记O 为正方形ABCD 的中心，的直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角分别为123,,θθθ，4θ．若1324,θθθθ=>，则点P 在（ ） A. 线段OA 上 B. 线段OB 上C. 线段OC 上D. 线段OD 上【答案】B 【解析】【分析】根据线面角的定义可得直线1111,,,PA PB PC PD 与直线1111,,,AA BB CC DD 所成角大小关系，再根据1324,θθθθ=>判断即可.【详解】直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角大小分别为1234,,,θθθθ， 等价于直线1111,,,PA PB PC PD 与直线1111,,,AA BB CC DD 成角大小分别为1234ππππ,,,2222θθθθ----， 由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则241ππ,22PB θθ-<-与1BB 所成角更小， 则点P 在线段OB 上.故选：B.8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅的最小值为1C. 函数()exf x y =最大值为1D. 函数()exf x y =的最小值为1【答案】C 【解析】【分析】AB 选项，先判断出虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，求导得到()e xy f x =⋅在R上单调递增，AB 错误；再求导得到(,0)x ∈-∞时，()e x f x y =单调递增，当,()0x ∈+∞时，()e xf x y =单调递减，故C 正确，D 错误.【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=， 实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e xxxy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()e xf x y =单调递增，当,()0x ∈+∞，()()0e x f x f x y '-'=<，()exf x y =单调递减， 所以函数()e x f x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误. 故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A. 212z z = B. 33120z z -=C. 22120z z -=D. 121z z =【答案】ABD的【解析】【分析】求解可得121122z z =-=--，再逐个选项判断即可.【详解】对A ，由实系数一元二次方程求根公式知121122z z =-=--，则22121122z z ⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭（与12,z z 顺序无关），故A 正确； 对B ，因为33121z z ==，所以33120z z -=，故B 正确； 对C ，由A ，2212210z z z z -=-≠，故C 错误；对D ，由韦达定理可得121z z =，故D 正确． 故选：ABD10. 已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，O 为顶点S 在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）A. 平面SAD ⊥平面SBCB. 侧面SBC 内存在无穷多个点P ，使得//OP 平面SADC. 在正方形ABCD 的边上存在点Q ，使得直线SQ 与底面所成角大小为π3D. 动点,M N 分别在棱AB 和BC 上（不含端点），则二面角S MN O --的范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】过S 作直线l AD ∥，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点,E BC 中点F ，连接,ES FS ，求得cos ESF ∠可判断A ；取SB 中点,G SC 中点H ，连接,,OG OH GH ，可得，P GH ∈，可判断B ；由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大，可得1cos 2SEO ∠>，判断C ；作OI 垂直于MN ，连接SI ，则SIO ∠为二面角S MN O --的平面角，求得二面角S MN O --范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，判断D . 【详解】已知所有棱长都相等，不妨设为1．对于A ：过S 作直线l AD ∥，因为BC AD ∥，所以l BC ∥， 所以l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点,E BC 中点F ，连接,ES FS ，由正四棱锥S ABCD -， 可得,SE AD SF BC ⊥⊥，所以,l AD l BC ⊥⊥， 所以ESF ∠为二面角A l B --的平面角，连接EF ，在EFS中，2211cos 03ESF +-∠==≠ 所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错误；对于B ：取SB 中点,G SC 中点H ，连接,,OG OH GH ，因为,OG SD OH SA ，又,OG OH ⊄平面 SAD ，,SD SA ⊂平面SAD ， 所以//OG 平面SAD ，//OH 平面SAD ，又OG OH O = ，所以平面//OGH 平面SAD ，所以当P GH ∈时，//OP 平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确； 对于C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成角最大，1cos 2SEO ∠==>，所以π3SEO ∠<，所以不布存Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为3π，故C错误；对于D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，因为SO ⊥平面ABCD ，又MN ⊂平面ABCD ，所以SO MN ⊥，又SO OI O = ，所以MN ⊥平面SIO ，因为SI ⊂平面SIO ，所以MN ⊥SI ， 因为则SIO ∠为二面角S MN O --的平面角，的当MN 都无限向点B 靠拢时，π4SIO ∠→；当,M A N C →→时，π2SHO ∠→， 所以二面角S MN O --范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确． 故选：BD.11. 已知数列{}n a 的通项公式为()()()2111,2,3,1nn a n n c =-⋅=+- ，则下列说法正确的有（）A. 若1c ≤，则数列{}n a 单调递减B. 若对任意*n ∈N ，都有1n a a ≥，则1c ≤C. 若*c ∈N ，则对任意*,i j ∈N ，都有0i j a a +≠D. 若{}n a 的最大项与最小项之和为正数，则*1122,22k c k k -<<+∈N 【答案】ACD 【解析】【分析】对于选项A ，求出12211,()1(1)1n n a a n c n c +==-++-+，再作差判断两式分母的大小关系判断即可；对于选项B ，求解1a ，再分n 为奇数与偶数的情况讨论即可；对于选项C ，分n 为奇数与偶数的情况讨论，进而求和分析是否为0即可；对于选项D ，先将条件转化为：到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，再分情况讨论即可. 【详解】对于选项A ，由条件知()211n a n c =+-，()12111n a n c +=-++，而()()()()22112112c n c n c n -+-+=--++，结合1c ≤，*N n ∈知212210n c n +-≥->，所以()()22111n c n c +>+--+， 所以1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减，故A 正确； 对于选项B ，首先有()121011a c =-<+-. 若2≤c ，则当n 为偶数时，()()122110111n a c a n c >---+=>=+，从而1n a a ≥必成立；而当n 为奇数且3n ≥时，由30n c c -≥->，知332341n c n c c c c c c -=-≥-=-+≥-+=-，31n c n c c c -=-≥->-，从而1c n c -≤-，即()()221c n c --≤，这意味着()()12211111n a c c a n -≥--+=-=+.所以只要2≤c ，就一定有1n a a ≥恒成立，所以由1n a a ≥恒成立不可能得到1c ≤，故B 错误； 对于选项C ，显然当,i j 同为奇数或同为偶数时，必有,i j a a 同号，故0i j a a +≠； 而当,i j 的奇偶性不同时，i j +为奇数，此时不妨设,i j 分别是奇数和偶数，则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222221121111111111i ji j i j c a i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c a +-+--+-+=-+===+++++++-----------+- 因为*c ∈N ，故2c 为偶数，而i j +为奇数，所以20i j c +-≠， 所以0i j a a +≠，故C 正确；对于选项D ，首先显然的是，最大项必定是某个第偶数项，最小项必定是某个第奇数项. 当1n n =为偶数时，要让()211n a n c =+-最大，即要让n c -最小；而当2n n =为奇数时，要让()211n n c a =--+最小，即要让n c -最小.设1n 和2n 分别是到c 距离最小的正偶数和正奇数，则条件相当于120n n a a +>. 而()()()()()()()()12222122221212111111n n n n a c a n n n n c c c c c =----+--+=-+++-，故条件等价于()()2221n c n c ->-，即21c n c n ->-.这表明，条件等价于，到c 距离最小的正奇数到c 的距离，大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离. 若1c ≤，则到c 距离最小的正奇数和正偶数分别是1和2，而由1110c -≥-=可知2211c c c c -≥->-=-，不符合条件；若1c >，c 是正奇数，则到c 距离最小的正奇数到c 的距离为0，不可能大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，不符合条件；若1c >，且c 不是正奇数，设到c 的距离最近的正偶数为()*2k k ∈N，则2121k c k -<<+.此时到c 距离最小的正偶数到c 的距离为2k c -，从而到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于2k c -，进一步知任意正奇数到c 的距离都大于2k c -.从而212k c k c +->-，212k c k c -->-，这意味着()()()22021********k c k c k c k c <+---=⋅+-=+-，()()()22021********k c k c k c c k <----=-⋅--=-+，所以112222k c k -<<+. 综上，112222k c k -<<+，*k ∈N ，故D 正确． 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的数列通项中含有()1n-，这往往意味着我们需要对n 的奇偶性作分类讨论，分两种情况对数列进行讨论才可全面地解决问题.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．12. 已知函数()()3,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】8116【解析】【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】331log log 1616=-Q ，233163<<， 313log 216∴-<<-，381log 1633331118181log log 2log 22log 31616161616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：811613. 已知()()1,0,4,0,2A B PB PA --=，若平面内满足到直线:340l x y m ++=的距离为1的点P 有且只有3个，则实数m =________．【答案】5或5- 【解析】【分析】设出动点P 的坐标，由2PB PA =求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线:340l x y m ++=的距离等于1即可.【详解】设点(,)P x y ，由||2||PB PA == 两边平方整理得：224x y +=，即点P 的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2. 若该圆上有且只有3个点到直线:340l x y m ++=的距离为1， 则圆心到直线的距离||15m d ==，解得5m =±． 故答案为：5或5-.14. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）【答案】 ①. 40 ②.21312n +- 【解析】【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解4A ；根据21(21)n ++和21(21)n +-的展开式相减得到21n A +的通项公式.【详解】根据乘法原理和加法原理得到133444C 2C 240A =⋅+⋅=．奇数维向量，范数为奇数，则1i x =的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，21n +， 根据乘法原理和加法原理得到123225242102121212121C 2C 2C 2C 2nn n n n n n n n A --++++++=++++L ，212102112222210212121213(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n n +++-+++++=+=++++L 2102112222210212121211(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n ++-+++++=-=-+--L两式相减得到2121312n n A ++-=.故答案为：2；21312n +-. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =. （1）求角A 的大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 【答案】（1）2π3（2 【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得tan A =，可得结果；（2）由三角形面积公式并利用ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc +=，再由余弦定理即可求得5bc =,由三角形的面积公式可得结果. 【小问1详解】因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan A =，2π3A =. 【小问2详解】由题意可知ABD ACD ABC S S S +=△△△， 即1π1π12πsin sin sin 232323c b bc +=，化简可得b c bc +=， 在ABC 中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===-，从而()2220122bc bc bc--=-，解得5bc =或4bc =-（舍），所以11sin 5sin12022ABC S bc A ==⨯⨯︒=△.16. 已知函数()e ,ex x xf x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1e xf x -≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1ey =（2）()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞-，()f x 的极大值为1-，无极小值（3）12ea ≥- 【解析】【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可. （2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可. （3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 当0a =时，()ex x f x =， 则()1e x xf x -'=，()10f '=，()11ef =， 所以切线方程为1ey =． 【小问2详解】当1a =时，()e e xxf x x -=-，()()21e 1e e exxxxx f x x -'--=--=． 令()21e xg x x =--，()212e0xg x =--<'，故()g x 在R 上单调递减，而()00g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点 即：0是()f x '在R 上的唯一零点当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),0∞-()0,∞+()f x ' +-()f x极大值()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞- ()f x 的极大值为()01f =-，无极小值【小问3详解】 由题意知1ee exx x x a ---≤，即1e e ex x xx a ---≥，即21e e x x a ≥-， 设()21e e x x m x =-，则()()22222e 2e 12e e x x x x x x m x '--==， 令()0m x '=，解得12x =， 当1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x ，()0m x '>，()m x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0m x '<，()m x 单调递减， 所以()max 1e11122e 2e m x m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， 所以12ea ≥-17. 正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．（1）求证1D P AC ⊥；（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可. 方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 方法一：∵1112A B AB =，∴112AA AB AA AD ⋅=⋅== ． ∵1112D A AD AA =--∴()()111111122D P D A AP AB AD AA λλλ⎛⎫=+=-+-+- ⎪⎝⎭∴()()()11111122D P AC AB AD AA AB AD λλλ⎡⎤⎛⎫⋅=-+-+-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()22111111122AB AD AB AA AD AA λλλλ⎛⎫=-+-+-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭()()1181841022λλλ⎛⎫=-+-+-= ⎪⎝⎭．∴1D P AC ⊥，即1D P AC ⊥．方法二：以底面ABCD 的中心O 为原点，以OM 方向为y 轴，过O 点平行于AD 向前方向为x 轴， 以过点O 垂直平面ABCD 向上方向为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有)A，)B，()C，()D，1A h⎫⎪⎪⎭，1C h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1D h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()M，()AC=-()()()110,,,2AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1D A h⎫=-⎪⎪⎭，11D P D A AP h hλ⎛⎫=+=++-⎪⎪⎝⎭．故1AC D P⋅=，所以1D P AC⊥．【小问2详解】设平面ABCD的法向量为()0,0,1n=，设平面1AMC的法向量为(),,m x y z=，()AM=，1AC h⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，则有1AM mAC m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即x y hz⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令x=，则(),3m=．又题意可得3cos,7m n==，可得2h=．因为23λ=，经过计算可得40,0,3P⎛⎫⎪⎝⎭，12D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，143D P⎫=⎪⎭．将2h =代入，可得平面1AMC的法向量()m =． 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP θ=18.P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．（1）求B '点轨迹Ω的方程；（2）点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．【答案】（1）22163x y += （2） 【解析】【分析】（1）设(,),B x y POP θ''∠=，根据条件得到cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩，消元即可求出结果； （2）法一：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立直线MN 与椭圆方程得到()222124260k x kmx m +++-=，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k --+==++，根据题设得到直线MN 的方程为12y x m =-+，再利用点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，得到1OG k =，从而有OG与y轴负平轴所形成的夹角为π4α=，再求出OA 与x 正半轴所形成的夹角，即可解决问题；法二：设()()1122,,,M x y N x y ，直线AM 的方程为(2)1y k x =-+，直接求出,M N ，再根据条件求出12MN k =-，后面同法一；法三：建立新的坐标系，在新的坐标系中，得椭圆的方程为22(2)(1)163x y --+=，及直线MN 的方程为1mx ny +=，联立直线与椭圆，再结合条件得到2n m =，从而有12MN k =-，后面同法一；法四：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程得()222124220kxkmx m +++-=，进而得到()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++-=+--，通过令2x =，得到()()()()222124128221222k km m k x x +++-=+--，令1mx k-=，得到()()2222122(1)1111242212m m m m k km m k x x k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而有 24210k km m ++-=，下面同方法一.【小问1详解】设(,),B x y POP θ''∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩，消去θ得22163x y +=，所以B '点轨迹Ω的方程为22163x y +=. 【小问2详解】方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，22163y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222124260k x kmx m +++-=， ()()22222Δ(4)41226488240km k mk m =-+-=-+>，即2263m k <+由韦达定理知2121222426,1212km m x x x x k k --+==++， ()()221212121212121212(1)(1)111112222242AM ANk x x k m x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +-++---+-+-⋅=⋅=⋅==-----++， 所以222222222(226)4(1)128(1)1226122114m k m k m k k m km k k m ++---++--++=++，整理得24210k km m ++-=， 即()241(21)(21)(21)0k m k k k m -++=+-+=， 当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =-+ 当210k m -+=时，直线MN 的方程为(2)1y k x =-+，恒过(2,1)A 点，不合题意 设(),G G G x y ，将()()1122,,,M x y N x y ，将M 、N 两点代入到椭圆得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212063x x y y --+=， 即()()()()()()121212*********2032602y yy y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭==-+-+⎛⎫--⎪⎝⎭，所以12MN OG k k ⋅=-，故1OG k =，设OG与y 轴负平轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以π4α=， 设OA与x 正半轴所形成的夹角为β，因为(2,1)A，所以sin ββ==πcos cos sin()(sin cos cos sin )2AOG αβαβαβαβ⎛⎫∠=++=-+=-+= ⎪⎝⎭方法二：设()()1122,,,M x y N x y ，直线AM 的方程为(2)1y k x =-+22(2)1163y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +--+--=从而21288412A k k x x k --⋅=+，故21244212k k x k --=+，将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k --=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭， 又12AM ANk k ⋅=，将式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭， 212112MN y y k x x -==--，下面同方法一方法三：以(2,1)A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程22(2)(1)163x y --+=，在新坐标系下设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为1mx ny += 将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得224()24()0x x mx ny y y mx ny +++++=， 整理得22(42)(44)(14)0n y n m xy m x +++++=即：2(42)(44)(14)0y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =， 直线MN 的方程为121,2MN mx my k +==-，下面同方法一 方法四：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++-= 因为12,x x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++-=+--①又1212111222AM AN y y k k x x --⋅=⋅=--整理得：()()()()121222211x x y y -----()()21212112220m m x x k x x k k --⎛⎫⎛⎫=---+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++-=+--②令1m x k -=得：()()2222122(1)1111242212m m m m k km m k x x k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③()22k +⨯-②③可得：整理得24210k km m ++-=，下面同方法一【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问，通过设出直线MN 的方程为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线MN 与椭圆方程得到()222124260k x kmx m +++-=，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k--+==++，根据题设得到直线MN 的方程为12y x m =-+，再利用点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，得到1OG k =，从而将问题转化成πcos cos 2AOG αβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭解决，其中α为OG与y 轴负平轴所形成的夹角，β为OA与x 正半轴所形成的夹角.19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n P n ∈．①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． 【答案】（1）673220760001200y t =+ （2）533885nn P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1925，最小值为25；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用最小二乘法，结合数据分析与公式的变换即可得解； （2）利用全概率公式得到1223(3)55n n n P P P n --=+≥，再两次利用构造法依次求得135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭常数列，是58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而得解；（3）①结合（2）中结论，分类讨论n 为偶数与n 为奇数，结合数列的单调性即可得解；②理解数列收敛的定义，取0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而得证.【小问1详解】剔除第10天数据的911 2.2100.4() 2.499i i y y =⨯-===∑新， 123456789()59t ++++++++==新，91118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭∑新，922138510285i i t =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑新， 所以91292219()()114.7395 2.46732859560ˆ009()i i i i i x y t y b t t ==⎛⎫-⋅ ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新， 故67322072.4560001200a =-⨯=，所以673220760001200y t =+． 【小问2详解】由题意可知1223(3)55n n n P P P n --=+≥， 其中12222319,555525P P ==⨯+=， 所以11233(3)55n n n n P P P P n ---+=+≥，又2131932152555P P +=+⨯=， 所以135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，故131(2)5n n P P n -+=≥， 所以1535(2)858n n P P n -⎛⎫-=--≥ ⎪⎝⎭，又1525985840P -=-=-， 所以58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为940-，公比为35-的等比数列，故15938405n n P -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即19355334058885n nn P -⎛⎫⎛⎫=-⋅-+=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【小问3详解】①当n 为偶数时，53353358858858n nn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，53353358858858nnn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25.②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）， 当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，358log 353333338858585n n n P εε⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=⋅<⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n P 收敛.【点睛】思路点睛：本题第2小问求n P 的常见思路是，利用独立事件的概率公式、条件概率公式或全概率公式等得到关于n P 的递推式，再利用数列的构造法即可得解.。
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2016年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数 学（文科）沈阳命题：沈阳市第二十中学 王 艳 沈阳市第三十一中学 李曙光沈阳市第四中学 吴 哲 沈阳市第二十中学 何运亮 沈阳市第二十七中学 李 刚 沈阳市第五十六中学 高文珍沈阳主审：沈阳市教育研究院 周善富本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题． 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效． 3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合{}13A x x =-<<，集合{}21<<-=x x B ，则A B =I （ ） A.()1,2 B.()1,2- C. ()1,3 D. ()1,3- 2. 设复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且i z +=21，则2z =（ ）A ．4B ．4C ．-4D ．4-5. 某集团计划调整某种产品的价格,为此销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查,其中该产品的价格x(元)与销售量已知销售量y 与价格x 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为:40y bx =+,若该集团调整该产品的价格到10.2元，预测批发市场中该产品的日销售量约为( )A. 7.66万件B. 7.86万件C. 8.06万件D. 7.36万件 6. 已知2tan =α，α为第一象限角，则α2sin 的值为（ ）A. B.C. D.7. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥A B A P 11-的左视图可能为（ ）A B C D 主视方向 8. 将函数)2sin()(ϕ+=x x f )2|(|πϕ<的图象向右平移12π 个单位后的图象关于y 轴对称，则函数)(x f 在]2,0[π上的最小值为（ ）A. B.21 C. 21- D.23-9. 见右侧程序框图，若输入110011a =，则输出结果是（ ）A. 51B. 49C. 47D. 4510. 已知点F 是双曲线C ： (0,0)a b >>的右焦点，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M 且与双曲线的实轴垂直则，双曲线C 的离心率是（ ） A. B. C. D. 2 11. 在ABC ∆中，a ,b,c 分别为角A,B,C 的对边，满足B b A a cos cos =,则ABC ∆的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，若，则x 的取值范围是（ ）53-5545423531|(ln )(ln )|(1)2f x f x f -<B 22221xy ab-=A. 1(0,)eB. (0,)eC. 1(,)e eD. (,)e +∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上）13. 已知实数y x ,满足1200x y x y ≤+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值为 .14. 在椭圆221369x y +=上有两个动点M ，N ，若()2,0K 为定点，且0=⋅KN KM ，则NM KM ⋅的最小值为 .15. 设集合S T ,满足S T ⊆且S ≠∅，若S 满足下面的条件：（ⅰ）,a b S ∀∈，都有a -b S ∈且ab S ∈；（ⅱ）,r S n T ∀∈∈，都有rn S ∈. 则称S 是T 的一个理想，记作S T <.现给出下列3对集合：①{}0S T ==,R ;②{}S T ==,Z 偶数；③S T ==R,C ，其中满足S T <的集合对的序号是_____________（将你认为正确的序号都写上）.16. 已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为 .三.解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且434(1)S a =+，3435a a =，数列{}n b 是等比数列，且123b b b =，152b a =.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者. 调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动.（Ⅱ）判断性别与喜欢运动是否有关，并说明理由.（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率.附：()()()()()()22n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++19、（本小题满分12分）如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB CDP，,E F分别为AB和CD的中点，且2AB EF==，6CD=，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD上一点，且12CN ND=.（Ⅰ）求证：MN P平面ADFE；（Ⅱ）求三棱锥F AMN-的体积.(1)(2)MFDE CBN20. (本小题满分12分)动点P 在抛物线22x y =上，过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ，设12PM PQ =u u u u r u u u r.（I ）求点M 的轨迹E 的方程；（II ）设点(4,4)S -，过点(4,5)N 的直线l 交轨迹E 于,A B 两点，设直线,SA SB 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值.21. (本小题满分12分)已知函数()ax x x f -ln =.（I ）若函数()f x 在()∞+，1上单调递减，求实数a 的取值范围； （II ）当1a =时，函数()1()2g x f x x m x=++-有两个零点1x ，2x ，且12x x <. 求证：121x x +>.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为O e 的内接四边形且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作O e 的切线交DC 的延长线于点P .（Ⅰ）求证：AB MD AD BM ⋅=⋅；（Ⅱ）若CP MD CB BM ⋅=⋅，求证：AB BC =.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(2x m t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上.（I ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB ⋅的值； （Ⅱ）设曲线C 的内接矩形的周长为p ，求p 的最大值.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知0x ∃∈R 使得关于x 的不等式12x x t ---≥成立． （I ）求满足条件的实数t 集合T ；（Ⅱ）若1,1m n >>，且对于t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，试求m n +的最小值.2016年沈阳市高三教学质量监测（二）数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一．选择题1.B2.B3.B4.B5.D6.C7.D8.D9.A 10.C 11.D 12.C 一．选择题1.解：根据交集的运算，可见选B.2.解：由复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称可知22z i =-+，选B.5．解：由题可知，10,8,x y ==所以81040b =⨯+，即 3.2b =-，回归直线方程为3.240y x =-+，当10.2x =时， 3.210.2407.36y =-⨯+=，故选D .6.解：由题sin α=，cos α=，所以4sin 225α==，所以选C. 7.解：在长方体1111D C B A ABCD -中, 三棱锥A B A P 11-的左视图中， 1B 、 1A 、A 的射影分别是1C 、1D 、D .所以选D. 8.解：由题2()sin(2)cos(2)1263f x x x πππϕϕ-=-+=+-依题2,3k k Z πϕπ=+∈，所以3πϕ=-.这样()sin(2)3f x x π=- 又22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以min ()f x = D . 9.A10.解：由题2b b a=，所以a b =，选C. 11.解：由正弦定理得sin cos sin cos A A B B =,则sin 2sin 2A B =，所以A B =或+=2A B π.选D.12解：根据对数运算法则，1ln=-ln x x，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1|(ln )(ln )|(ln )2f x f x f x -=，1|(ln )(ln )|(1)2f x f x f -<即为()(ln )1f x f <，所以()()1(ln )1f f x f -<<，即()()1(ln )1f f x f -<<，又因为函数()f x 是区间R 上是增函数，所以11ln 1x x e e-<<⇒<<，选C.二.填空题 13. 4 14.23315.①②16.313.解：14. 解：因为0=⋅KN KM ，令(,)M x y 所以由向量数量积的几何意义可知：()2222KM NM KM x y ⋅==-+u u u u r u u u u r u u u u r ，又因为点M 在椭圆上，则4922x y -=，带入上式，得()222238232433KM NM KM x y x ⎛⎫⋅==-+=-+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r ，当83x =时，NM KM ⋅取得最小值233. 15.解：对于③，不妨取实数1，复数i ，两者相乘后得复数i ，不属于实数集.16.解 ：如图所示，设O 为外接球球心，三棱柱的高为h ，则由题意可知，'O 'O 'O 1A B C ===，O '2h E =，2''14h A E =-，23''34h A B =-， 此时三棱柱的体积为333(4)V h h =-+，其中02h <<. 令34 (02)y h h h =-+<<，则2'34y h =-+，令'0y =，则23h =，当230h <<时，'0y >，函数y 增.当232h <<时，'0y <,函数y 减. 故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为233. 三.解答题17.解：(I) 令等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()11114642136515a d a d a d a d ⎧+=++⎪⎨+=+⎪⎩，解得192a d =⎧⎨=-⎩，则112n a n =-，………………3分令数列{}n b 的公比为q ，由已知得2211121b q b q b ⎧=⎨=⎩，解得11212b q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.………………………6分（2）由(I)知，210n S n n =-，……………………………………………………………8分22510,521050,6n n n S n n n T S S n n n ⎧=-≤⎪=⎨-=-+≥⎪⎩…………………………………………………12分………………………4分 （Ⅱ）假设：是否喜欢运动与性别无关，由已知数据可求得：………………………7分1.1575 3.841<，因此，我们认为喜欢运动与性别无关. ………………………8分（Ⅲ）喜欢运动的女志愿者有6人，设分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，其中A 、B 、C 、D 懂得医疗救护，则从这6人中任取2人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种取法，其中两人都懂得医疗救护的有AB,AC,AD,BC,BD,CD ，共6种. ………………………10分设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件A ，...........................12分 19.解：（Ⅰ）过点M 作MP EF ⊥于点P ，过点N 作NQ FD ⊥于点Q ，连接PQ . 由题意，平面EFCB ⊥平面EFDA ，MP EF ⊥，所以MP ⊥平面EFDA ， (2)分 且 2.2BE CFMP +== 又,CF EF DF EF ⊥⊥，所以EF ⊥平面CFD ，又NQ ⊂平面CFD ，所以NQ EF ⊥. ……………4分 又NQ FD ⊥，所以NQ ⊥平面EFDA . …………………6分又12CN ND =，则223NQ CF ==，即//MP NQ =，可知MN PQ P 且PQ ⊂平面ADFE ，则MN P 平面ADFE ；………………………………………………………8分（Ⅱ）延长DA,FE,CB 交于一点H ，由（Ⅰ）知，//MN PQ 且MN PQ = ，易证13PQ DH =，13MN DH∴=，所以11122122233929AMN A C C CDH S MN h DH h DH h S ∆∆=⋅=⋅⋅=⋅⋅= ，令F 到面CDH 的距离为h ，123193AMN F AMN AMN F CDH CDH CDH S hV S V S S h ∆-∆-∆∆⋅===⋅， ……………………………………………………10分119333322F CDH C FDH V V --==⨯⨯⨯⨯=，1F AMN V -=. ………………………12分20.解：（I ）设点),(y x M ，),(00y x P ，则由21=，得⎩⎨⎧==y y x x 200， (3)分因为点P 在抛物线y x 22=上，所以，y x 42=. …………………………..6分 （II ）解法一：由已知，直线l 的斜率一定存在， 设点()11,y x A ，()22,y x B ，则 联立⎩⎨⎧=+-=yx x k y 45)4(2，得，0201642=-+-k kx x ，由韦达定理，得⎩⎨⎧-==+201642121k x x kx x ， …………………8分当直线l 经过点S 即41-=x 或42-=x 时，当41-=x 时，直线SA 的斜率看作抛物线在点A 处的切线斜率，则 21-=k ，812=k ，此时4121-=k k ； 同理，当点B 与点S 重合时，4121-=k k （学生如果没有讨论，不扣分）直线l 不经过点S 即41-≠x 且42-≠x 时, ∵44,44222111+-=+-=x y k x y k ， )4)(4()14)(14(212121+++-+-=∴x x k kx k kx k k …………………10分16)(41816))(4(21212212212++++-++-+=x x x x k k x x k k x x k 4143281-=--=k k . ……………………12分解法二: 由已知，直线l 的斜率一定存在，设点()11,y x A ，()22,y x B ，则联立⎩⎨⎧=+-=yx x k y 45)4(2得，0201642=-+-k kx x ，由韦达定理，得⎩⎨⎧-==+201642121k x x kx x ， …………………8分当直线l 经过点S 即41-=x 或42-=x 时，当41-=x 时，直线SA 的斜率看作抛物线在点A 处的切线斜率，则 21-=k ，812=k ，此时4121-=k k ； 同理，当点B 与点S 重合时，4121-=k k （学生如果没有讨论，不扣分）直线l 不经过点S 即41-≠x 且42-≠x 时,∵212121212444444,4444x x x x k k x x ----====++，12121212(4)(4)4()161616x x x x x x k k ---++∴==…………………10分 1620161616k k --+=14=-. ……………………12分解法三: 设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，由直线l 过)5,4(N 交轨迹E 于,A B 两点得:221212554444x x x x --=--,化简整理得:()1212420x x x x =+- …………...10分 ()1212121212124204()16(4)(4)4()16161616x x x x x x x x x x k k +--++⎡⎤---++⎣⎦∴===14=-. ……………………12分21.解：（I ）因为()ax x x f -ln =，则()xaxa x x f -=-='11， 若函数()ax x x f -ln =在()∞+，1上单调递减，则1-0ax ≤在()∞+，1上恒成立， 即当1x >时1a x>恒成立，所以1≥a . ………………5分 （II ）证明：根据题意，()1ln (0)2g x x m x x=+->， 因为1x ，2x 是函数()1ln 2g x x m x=+-的两个零点， 所以111ln 02x m x +-=，221ln 02x m x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =- , …………7分 即112221ln 2x x x x x x -=，故1212122lnx x x x x x -=.那么1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=.令12x t x =，其中01t <<，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 构造函数1()2ln (01)h t t t t t=--<<， ……………10分则22(1)'()t h t t -=.因为01t <<，所以'()0h t >恒成立，故()(1)h t h <，即12ln 0t t t--<. 可知112ln t t t->，故121x x +>. ……………12分22. 解：（Ⅰ）由BC CD =可知，BAC DAC∠=∠，…………………………………2分由角分线定理可知，AB BM AD MD =，即AB MD AD BM ⋅=⋅得证. ………5分（Ⅱ）由CP MD CB BM ⋅=⋅，可知BM CP MDCB=，又CB CD =，所以BM CPMD CB=， 所以PB AC P . ………………………………………………………………………8分 所以PBC ACB ∠=∠（内错角），又PBC BAC ∠=∠（线切角），所以ACB BAC ∠=∠，所以AB BC =. ……………………………………………10分23.解：(I)直线AB 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 222222（为参数t ），……………3分 代入椭圆方程得022=--t t ，所以||||FB FA ⋅=2. ………………………………5分 (Ⅱ)设椭圆C 的内接矩形的顶点为)sin 2,cos 32(θθ，)sin 2,cos 32(θθ-，)sin 2,cos 32(θθ-，(,2sin )(0).2πθθθ--<<……………………8分所以椭圆C的内接矩形的周长为4sin )θθ+=16sin().3πθ+当23ππθ=+时，即6πθ=时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值16.……10分24.解：(I)()12121x x x x ---≤---=, ……………………………………………3分 所以121x x ---≤，所以t 的取值范围为(],1-∞.………………………………5分 (Ⅱ)由(I)知，对于t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，只需33max log log m n t ⋅≥, 所以33log log 1m n ⋅≥，…………………………………………………………………7分 又因为1,1m n >>，所以33log 0,log 0m n >>.又()()223333333log log log 1log log log =log 24mn m n m n m n m n +⎛⎫≤⋅≤== ⎪⎝⎭时，取等号，此时， 所以()23log 4mn ≥，所以3log 2mn ≥，9mn ≥，所以6m n +≥≥，即m n +的最小值为6()==3m n 此时.………………………10分。