【35套精选试卷合集】广东省华南师大附中2019-2020学年数学高一下期末模拟试卷含答案
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷副标题1. 已知角α的终边经过点P(4,−3)，则tanα的值为( )A. 34B. 45C. −45D. −342. 下列命题中正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C. 0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ D. OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 若sinα>0，且tanα<0，则角α的终边位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 函数y =3cos(25x −π6)的最小正周期是( )A.2 π5B.5 π2C. 2πD. 5π5. 已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为( )cm 2A. πB. 4πC. 2πD. √2π6. 已知tanα=12，则cosα+sinαcosα−sinα=( )A. 2B. −2C. 3D. −37. 已知向量a ⃗ =(1,1−cosθ)，b ⃗ =(1+cosθ,12)，且a ⃗ //b ⃗ ，则锐角θ= ______ ． 8. 已知cosα=45，cos(α+β)=35，且α，β均为锐角，那么cosβ=( )A. 2425B. 725或−1C. 1D. 7259. 如图是函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象，则其解析式是( )A. f(x)=3sin(x +π3) B. f(x)=3sin(2x +π3) C. f(x)=3sin(2x −π3)D. f(x)=3sin(2x +π6)10. 关于函数f(x)=cos|x|+|cosx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间(0,1)单调递减 ③f(x)在[−π,π]有2个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③11. 如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、AC 上的两点，且|BD|=|DC|，|AE||EC|=23，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 1114 B. 87 C. 57 D. 13712. 定义在R 内的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)，且当x ∈[2,4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3x 2+2x ,3<x <4g(x)=ax +1，对∀x 1∈[−2,0)，∃x 2∈[−2,1]，使得g(x 2)=f(x 1)，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−18]∪[18,+∞) B. [−14,0)∪(0,18] C. (0,8]D. (−∞,−14]∪[18,+∞)13. 求值：sin13π6= ______ ．14. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB =3，BD =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 函数f(x)=sin2x ，若f(x +t)为偶函数，则最小的正数t 的值为______ ． 16. 若12(tanx +sinx)−12|tanx −sinx|−k ≥0在x ∈[3π4,54π]恒成立，则k 的取值范围是______ ．17. 已知tanα，tanβ是方程6x 2−5x +1=0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2.求：tan(α+β)及α+β的值．18. 已知平面向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(9,x)，c ⃗ =(4,y)，且a ⃗ //b ⃗ ，a⃗ ⊥c ⃗ (1)求b ⃗ 与c⃗ (2)若m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，n ⃗ =a ⃗ +c ⃗ ，求向量m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角的大小．19. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x ，y 的值； (2)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°时，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．20.如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪ABC，直角边AB=40米，AC=40√3米，扇形花坛ADE是草坪的一部分，其半径为20米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路OM和ON，考虑到小区整体规划，要求M、N在斜边BC上，O在弧DE⏜上，OM//AB，ON//AC，．(1)设∠OAE=θ，记f(θ)=OM+ON，求f(θ)的表达式，并求出此函数的定义域；(2)经核算，两条路每米铺设费用均为400元，如何设计θ的大小使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．21.已知函数f(x)=2sin(3ωx+π3)，其中ω>0(1)若f(x+θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值；(2)若f(x)在(0,π3]上是增函数，求ω的最大值；(3)当ω=23时，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．22.已知a，b∈R，a≠0，函数f(x)=−√2(sinx+cosx)+b，g(x)=asinx⋅cosx+a 2+1a+2．(1)若x∈(0,π)，f(x)=−2√55+b，求sinx−cosx的值；(2)若不等式f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立，求b的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵角α的终边经过点P(4,−3)，∴x =4，y =−3，则tanα=yx =−34， 故选：D ．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，满足向量的的加法运算法则，所以A 正确； AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以B 不正确； 0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，不正确，所以C 不正确； OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不正确，所以D 不正确． 故选：A ．利用向量的和以及向量的数量积的运算法则判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，向量的加法以及向量的数量积的判断，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵sinα>0，则角α的终边位于一二象限， ∵由tanα<0，∴角α的终边位于二四象限， ∴角α的终边位于第二象限． 故选择B ．由sinα>0，则角α的终边位于一二象限，由tanα<0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．4.【答案】D【解析】解：由周期公式可得：函数y =3cos(25x −π6)的最小正周期T =2π25=5π．故选：D ．由三角函数的周期性及其求法即可求解．本题主要考查了余弦函数的周期性，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，是基础题．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，∴半径r=ππ4=4，∴这条弧所在的扇形面积为S=12×π×4=2πcm2．故选：C．6.【答案】C【解析】解：∵cosα+sinαcosα−sinα=1+tanα1−tanα=3故选C．对所求式分子分母同时除以cosα，转化成关于tanα的关系式即可得到答案．本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，这种题型经常在考试中遇到．7.【答案】π4【解析】解：∵a⃗=(1,1−cosθ)，b⃗ =(1+cosθ,12)，且a⃗//b⃗ ，∴(1−cosθ)(1+cosθ)−12=0，即1−cos2θ−12=0，即cos2θ=12，∵θ为锐角，∴cosθ=√22，则θ=π4，故答案为：π4．根据向量平行的坐标公式进行化简求解即可．本题主要考查向量平行的坐标公式的应用以及三角函数函数求值，比较基础．8.【答案】A【解析】解：∵α，β均为锐角， ∴0<α+β<π，∵cosα=45，cos(α+β)=35， ∴sinα=35，sin(α+β)=45，则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos[(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=45×35+45×35=2425, 故选：A ．根据同角关系式，结合两角和差的余弦公式进行转化进行求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合同角三角函数关系以及两角和差的余弦公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由图象知A =3，函数的周期T =5π6−(−π6)=π，即2πω=π，即ω=2， 则f(x)=3sin(2x +φ)，由五点对应法得2×(−π6)+φ=0， 即φ=π3，则f(x)=3sin(2x +π3)， 故选：B ．根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A ，ω和φ的值是解决本题的关键． 10.【答案】A【解析】解：关于函数f(x)=cos|x|+|cosx|有下述四个结论：f(x +π)=f(x)，可得T =π．①∵f(−x)=f(x)，∴f(x)是偶函数，正确；②f(x)在区间(0,1)上，f(x)=2cosx ，∴f(x)在区间(0,1)上单调递减，正确； ③考察在x ∈[0,π]上，当x ∈[0,π2]上时，f(x)=2cosx ，有一个零点π2；当x ∈(π2,π]上时，f(x)=cosx −cosx =0，有无数个零点． 因此f(x)在[−π,π]有无数个零点，因此③不正确． ④由③可得：f(x)的最大值为2，正确． 其中所有正确结论的编号是①②④． 故选：A ．由①可得：f(x)是偶函数，且周期T =π.只要考察在x ∈[0,π]上，当x ∈[0,π2]上时，f(x)=2cosx ；当x ∈(π2,π]上时，f(x)=0，即可得出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：因为|BD|=|DC|，|AE||EC|=23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE −+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =25(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =35BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又A ，M ，D 三点共线，则存在b ∈R ，使得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−b)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−b2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以{35a =b 25a =1−b 2，解得{a =57b =37， 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =37BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +27BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以由平面向量基本定理可得λ=37，μ=27， 所以λ+μ=57． 故选：C ．由向量的线性运算可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又A ，M ，D 三点共线，则存在b ∈R ，使得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−b)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则可建立关于a ，b 的方程组，即可求得a 值，从而可得λ，μ，进而得解．本题主要考查平面向量的线性运算、平面向量的基本定理，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：当x ∈[2,4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3x 2+2x,3<x <4，可得f(x)在[2,3]上单调递减，在(3,4)上单调递增， ∴f(x)在[2,3]上的值域为[3,4]， 在(3,4)上的值域为(113,92)， ∴f(x)在[2,4)上的值域为[3,92)， ∵f(x +2)=2f(x)，∴f(x)=12f(x +2)=14f(x +4)，∴f(x)在[−2,0)上的值域为[34,98)， 当a >0时，g(x)为增函数，g(x)=ax +1在[−2,1]上的值域为[−2a +1,a +1]，∴{34≥−2a +198≤a +1，解得a ≥18；当a <0时，g(x)为减函数，g(x)在[−2,1]上的值域为[−a +1,2a +1]，∴{34≥a +198≤−2a +1，解得a ≤−14； 当a =0时，g(x)为常数函数，值域为{1}，不符合题意； 综上，a 的范围是a ≥18或a ≤−14． 故选：D ．求出f(x)在[2,4]上的值域，利用f(x)的性质得出f(x)在[−2,0]上的值域，再求出g(x)在[−2,1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围 本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．13.【答案】12【解析】解：sin 13π6=sin(2π+π6)=sin π6=12．故答案为：12．利用诱导公式即可求解．本题考查运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】152【解析】解：如图，∵AB =3，BD =1，∠B =60°，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ > =9+3×1×(−12)=152．故答案为：152．利用向量的加法法则化AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，展开后利用数量积运算得答案． 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法法则，是基础题．15.【答案】π4．【解析】解：因为f(x)=sin2x ， 所以f(x +t)=sin(2x +2t)， 若f(x +t)为偶函数，则函数图象关于x =0对称，即x =0时函数y =sin(2x +2t)取得最值， 所以2t =π2+kπ，即t =π4+kπ2，k ∈Z ，当k =0时，最小的正数t 的值为π4． 故答案为：π4．由已知结合正弦函数为偶函数，图象关于y 轴对称且在对称轴处取得最值，代入可求． 本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,−1]【解析】解：∵tanx−sinx=sinx(1cosx −1)，x∈[3π4,5π4]，∴cosx<0，①当x∈[3π4,π)时，sinx>0，∴tanx−sinx=sinx(1cosx−1)<0，∴12(tanx+sinx)−12|tanx−sinx|−k=tanx−k≥0，∴k≤tanx，∵x∈[3π4,π),∴tanx的最小值为tan3π4=−1，∴k≤−1．②当x∈[π,5π4]时，sinx≤0，∴tanx−sinx=sinx(1cosx−1)>0，∴12(tanx+sinx)−12|tanx−sinx|−k=sinx−k≥0，∴k≤sinx，∵x∈[π,54π),∴sinx的最小值为sin5π4=−√22，∴k≤−√22．综上所述，k≤−1．∴k的取值范围是(−∞,−1]．故答案为：(−∞,−1]．由x∈[3π4,5π4]，得cosx<0.当x∈[3π4,π)时，sinx>0，推导出k≤tanx，从而得到k≤−1；当x∈[π,5π4]，时，推导出k≤sinx，从而得到k≤−√22.由此能求出k的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．17.【答案】解：∵tanα、tan β为方程6x2−5x+1=0的两根，∴tanα+tanβ=56，tanαtanβ=16，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=561−16=1．∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α+β<2π，∴α+β=5π4．【解析】本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．由条件利用韦达定理，两角和的正切公式求出tan(α+β)的值，再结合0<α<π2，π<β<3π2，求得α+β的值．18.【答案】解：(1)由a ⃗ //b ⃗ 得3x −4×9=0，解得x =12； 由a ⃗ ⊥c ⃗ 得9×4+xy =0， 解得y =−36x=−3612=−3；所以b ⃗ =(9,12)，c ⃗ =(4,−3)； (2)m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ =(−3,−4)， n ⃗ =a ⃗ +c ⃗ =(7,1)；所以m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−3×7−4×1=−25， |m ⃗⃗⃗ |=√(−3)2+(−4)2=5， |n ⃗ |=√72+12=5√2； 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=5×5√2=−√22， 所以向量m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角为3π4．【解析】(1)由a ⃗ //b ⃗ 求出x 的值，由a ⃗ ⊥c ⃗ 求出y 的值，从而得出b ⃗ 、c⃗ ； (2)计算m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ ，利用平面向量夹角的公式求出cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >，即得夹角的大小． 本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．19.【答案】解：(1)由BP⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =12，y =12；(2)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23×42+13×22+13×4×2×cos60°=−8．【解析】(1)由BP⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可； (2)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题．20.【答案】解：(1)过O 、N 作AC 的垂线交AC 与F 、G 两点，则：AF =20cosθ，OF =NG =20sinθ，CG =20√3sinθ， ∴ON =40√3−20(√3sinθ+cosθ)，OM =√33ON ， 则f(θ)=(1+√33)[40√3−20(√3sinθ+cosθ)]，θ∈(0,π2);(2)f(θ)=(1+√33)[40√3−40sin(θ+π6)]，∵θ∈(0,π2)，∴θ+π6∈(π6,2π3)，∴当θ+π6=π2，即θ=π3时， f(θ)min =80√33， 故总费用最少为320003√3元.【解析】本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力，属于中档题．(1)过O 、N 作AC 的垂线交AC 与F 、G 两点，求出OM ，ON ，即可求出f(θ)的表达式，并求出此函数的定义域；(2)利用辅助角公式化简，即可得出结论．21.【答案】解：(1)由函数解析式f(x)=2sin(3ωx +π3)，ω>0整理可得f(x+θ)=2sin[3ω(x+θ)+π3]=2sin(3ωx+3ωθ+π3)，由f(x+θ)的周期为2π，根据周期公式2π=2π3ω，且ω>0，得ω=13，∴f(x+θ)=2sin(x+θ+π3)，∵f(x+θ)为偶函数，定义域x∈R关于y轴对称，令g(x)=f(x+θ)=2sin(x+θ+π3)，∴g(−x)=g(x)，2sin(x+θ+π3)=2sin(−x+θ+π3)，∴x+θ+π3=π−(−x+θ+π3)+2kπ，k∈Z，∴θ=kπ+π6，k∈Z.∴ω=13，θ=kπ+π6，k∈Z．(2)∵ω>0，∴当x∈(0,π3]时，3ωx+π3∈(π3,ωπ+π3]，设u=3ωx+π3，由于y=sinu在(π3,π2]上是增函数，在[π2,3π2]上是减函数，∴ωπ+π3≤π2，∴ω≤16，∴ω的最大值为16．(3)当ω=23时，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，∴g(x)=2sin2x+1，令g(x)=0，得x=kπ+7π12或x=kπ+11π12，k∈Z，∴在[0,π]上恰好有两个零点，若y=g(x)在[0,b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+11π12=59π12．【解析】本题考查的知识点是函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质，函数f(x)= Asin(ωx+φ)的解析式求法，难度中档．(1)根据周期公式2π=2π3ω，且ω>0，得ω值，根据f(x+θ)是偶函数，f(−x+θ)=f(x+θ)，可得θ的值；(2)根据正弦函数的单调性，可得ωπ+π3≤π2，解得答案；(3)若y=g(x)在[0,b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，进而得到答案．22.【答案】解：(1)依题意得sinx +cosx =√105， ∴sin 2x +cos 2x +2sinxcosx =25，即2sinxcosx =−35，…(1分) ∴1−2sinxcosx =85，即sin 2x +cos 2x −2sinxcosx =(sinx −cosx)2=85，…(2分) 由2sinxcosx =−35<0，x ∈(0,π)，得x ∈(π2,π)，…(3分) ∴sinx >0，cosx <0，∴sinx −cosx >0， ∴sinx −cosx =2√105.…(4分) (2)不等式f(x)≤g(x)对任意x ∈R 恒成立，即不等式b ≤asinx ⋅cosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1a +2对任意x ∈R 恒成立， 即b ≤[asinxcosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1a +2]min ，…(5分) 下求函数y =asinx ⋅cosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1a +2的最小值， 令t =sinx +cosx ，则t =√2sin(x +π4)∈[−√2,√2]，且sinxcosx =t2−12，…(6分)令m(t)=y =asinxcosx +√2(sinx +cosx)+a2+1a +2， =a(t 2−1)2+√2t +a 2+1a +2=a 2t 2+√2t +1a +2，=a2(t 2+2√2at)+1a +2=a2(t +√2a)2+2，(a ≠0)，…(7分)1°当−√2a <−√2，即0<a <1时，m(t)在区间[−√2,√2]上单调递增，∴m(t)min =m(−√2)=a +1a .…(8分)2°当−√2≤−√2a <0，即a ≥1时，m(t)min =m(−√2a)=2.…(9分)3°当0<−√2a ≤√2，即a ≤−1时，m(t)min =m(−√2)=a +1a .…(10分)4°当−√2a>√2，即−1<a <0时，m(t)min =m(−√2)=a +1a .…(11分)∴y min ={2,a ≥1a +1a ,a <1,a ≠0， 所以当a ≥1时，b ≤2；当a <0或0<a <1时，b ≤a +1a .…(12分)【解析】(1)推导出sinx+cosx=√105，从而2sinxcosx=−35，进而sin2x+cos2x−2sinxcosx=(sinx−cosx)2=85，由此能求出sinx−cosx．(2)推导出b≤[asinxcosx+√2(sinx+cosx)+a2+1a+2]min，再求出函数y=asinx⋅cosx+√2(sinx+cosx)+a2+1a+2的最小值，令t=sinx+cosx，令m(t)=y=a2(t+√2a)2+2，(a≠0)，由此进行分类讨论经，能求出b的取值范围．本题考查三角函数求值，考查实数值的范围的求法，考查三角函数恒等式、构造法、配方法、换元法等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
广东省韶关市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题答案与评分标准0715
x
−
6
在
y
轴右侧的前
4
个零点分别是:
6
,
7 6
,
13 6
, 19 6
,
因为函数
f
(x)
在0, 有且仅有 3 个零点,
13
所以
6 19
6
故
13 6
,
19 6
D
正确.
对
C,由
D
选项中
13 6
,
19 6
,取
=3
，易知
C
错误
故选: ABD
三、填空题（16 题第一空 2 分，第二空 3 分）
即 PC = 2AP ,所以点 P 是 CA 边上的第二个三等分点, BP = BA + AP = BA + 1 AC 3
故 BP = BA + 1 (BC − BA) = 2 BA + 1 BC = 2 a + 1 b ，故选 C
3
33
33
二、多项选择题（全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分）
2019—2020 学年度第二学期教学检测
一、单项选择题
题号
1
高一数学参考答案及评分标准
234源自5678
9
10
答案
C
D
B
C
A
A
B
A
D
C
1. 【解析】 U = x N |1 x 6 = 1, 2,3, 4,5, 6,, A = 2,3,CU A = 1, 4,5, 6 ，选 C
2.【解析】 AO = 1 AC = 1 a + 1 b , OA = − 1 a − 1 b ，故选 D
2019-2020学年广东省高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年广东省高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3} 2．在等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝（）A．7B．9C．11D．133．在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为（）A．9B．10C．18D．204．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1＝（0，0），2＝（1，﹣2）B．1＝（﹣1，2），2＝（5，7）C．1＝（3，5），2＝（6，10）D．1＝（2，﹣3），2＝（，﹣）5．已知a＝log32，b＝（）﹣0.1，c＝，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．已知平面向量＝（3，0），＝（，），则与的夹角为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝，B＝，a＝6，则b ＝（）A．3B．2C．6D．8．在正项等比数列{a n}中，若a6＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11＝（）A．5B．6C．10D．119．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.65D．0.610．等边三角形ABC的边长为1，＝，＝，＝，那么•+•+•等于（）A．3B．﹣3C．D．11．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y 2.2n 4.5 4.8 6.7若回归直线方程是＝0.95x+2.6，则下列说法不正确的是（）A．n的值是4.3B．变量x，y呈正相关关系C．若x＝6，则y的值一定是8.3D．若x的值增加1，则y的值约增加0.9512．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝3，b∈（2，3），且a2＝3b cos B+b2cos A，则cos A的取值范围为（）A．[，]B．（，）C．[，]D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知a＞0，则5a+的最小值是．14．某学校高一、高二、高三共有3600名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本．已知高一有1280名学生，高二有1200名学生．则在该学校的高三学生中应抽取名．15．在相距3千米的A，B两个观察点观察目标点C，其中观察点B在观察点A的正东方向，在观察点A处观察，目标点C在北偏东15°方向上，在观察点B处观察，目标点C 在西北方向上，则A，C两点之间的距离是千米．16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500h．若合理安排生产可使收入最大为元．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知向量，满足||＝，＝（1，2），且∥，求的坐标；（2）已知A（﹣1，﹣4），B（5，2），C（3，4），判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．18．为研究某农作物的生长状态，某研究机构在甲、乙两块试验田中各随机抽取了6株农作物，并测量其株高（单位：cm），得到如图茎叶图：（1）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值，并比较它们的大小；（2）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的方差，并说明哪块试验田的此种农作物长得相对较齐．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若2S n＝23+a2n+4，求n．20．某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：2015年2016年2017年2018年2019年年份收入和支出收入x（万元）99.61010.411支出y（万元）7.37.588.58.7（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年的年收入为9.5万元，请根据（1）中的线性回归方程预测该家庭2020年的年支出金额．（参考公式：回归方程＝x +中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝﹣）21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）＝a sin C，且a＝2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．22．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：D．2．在等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝（）A．7B．9C．11D．13【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a7＝a3+4d，代入数据计算可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝a3+4d＝（﹣1）+2×4＝7；故选：A．3．在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为（）A．9B．10C．18D．20【分析】由样本的频数等于样本容量与频率的乘积可得所求．解：频数为50×0.18＝9．故选：A．4．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1＝（0，0），2＝（1，﹣2）B．1＝（﹣1，2），2＝（5，7）C．1＝（3，5），2＝（6，10）D．1＝（2，﹣3），2＝（，﹣）【分析】不共线的两个向量才可作为基底，从而判断每个选项的两个向量是否共线，这样即可找出能作为基底的一组向量．解：A.，∴共线，不能作为基底；B．﹣1×7﹣2×5≠0；∴不共线，可以作为基底；C.；∴共线，不能作为基底；D.；∴共线，不能作为基底．故选：B．5．已知a＝log32，b＝（）﹣0.1，c＝，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【分析】利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性直接求解．解：∴0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，b＝（）﹣0.1＞（）0＝1，c＝＜0，∴b＞a＞c．故选：B．6．已知平面向量＝（3，0），＝（，），则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据条件可求出，，然后即可求出的值，从而得出与的夹角．解：∵，，∴，且，∴．故选：D．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝，B＝，a＝6，则b ＝（）A．3B．2C．6D．【分析】由已知利用正弦定理即可计算求解．解：因为A＝，B＝，a＝6，则由正弦定理，可得b＝＝＝2．故选：B．8．在正项等比数列{a n}中，若a6＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11＝（）A．5B．6C．10D．11【分析】由题意利用等比数列的性质，对数的运算性质，求得结果．解：因为a6＝3，所以，log3a1+log3a2+log3a3+...+log3a11＝log3（a1a2a3 (11)＝＝log3311＝11，故选：D．9．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.65D．0.6【分析】设事件D为“抽到幸运奖”，则事件A，B，C，D互为互斥事件，记事件M ＝{抽到三等奖或幸运奖}，则P（M）＝1﹣P（A）﹣P（B）．解：奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，设事件D为“抽到幸运奖”，则事件A，B，C，D互为互斥事件，记事件M＝{抽到三等奖或幸运奖}，P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则P（M）＝1﹣P（A）﹣P（B）＝1﹣0.1﹣0.25＝0.65．故选：C．10．等边三角形ABC的边长为1，＝，＝，＝，那么•+•+•等于（）A．3B．﹣3C．D．【分析】先确定出各向量的夹角，然后根据向量的数量积的定义即可求解解：由题意可得，＝∴＝＝﹣故选：D．11．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y 2.2n 4.5 4.8 6.7若回归直线方程是＝0.95x+2.6，则下列说法不正确的是（）A．n的值是4.3B．变量x，y呈正相关关系C．若x＝6，则y的值一定是8.3D．若x的值增加1，则y的值约增加0.95【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得n，然后逐一核对四个选项得答案．解：，，∴样本点的中心为（2，），代入＝0.95x+2.6，得，解得n＝4.3．故A正确；∵y关于x的线性回归方程为，∴变量x，y呈正相关关系，故B正确；若x＝6，则求得，但不能断定y的值一定是8.3，故C错误；若x的值增加1，则y的值约增加0.95，故D正确．故选：C．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝3，b∈（2，3），且a2＝3b cos B+b2cos A，则cos A的取值范围为（）A．[，]B．（，）C．[，]D．（，）【分析】由已知利用余弦定理可求c＝，可求cos A＝，由已知可求范围b2∈（12，18），求得范围b2+∈（，），即可得解cos A的范围．解：因为a＝3，a2＝3b cos B+b2cos A，所以9＝3b•+b2•，所以bc＝9，所以c＝，则cos A＝＝．因为b∈（2，3），所以b2∈（12，18），所以b2+∈（，），则cos A∈（，）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知a＞0，则5a+的最小值是10．【分析】直接使用基本不等式即可求出答案．解：∵a＞0，∴5a+≥2＝10（当且仅当5a＝也即a＝1时，等号成立）．故答案为：10．14．某学校高一、高二、高三共有3600名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本．已知高一有1280名学生，高二有1200名学生．则在该学校的高三学生中应抽取28名．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．解：高三学生人数：3600﹣1280﹣1200＝1120．∴该学校的高三学生中应抽取：1120×15．在相距3千米的A，B两个观察点观察目标点C，其中观察点B在观察点A的正东方向，在观察点A处观察，目标点C在北偏东15°方向上，在观察点B处观察，目标点C 在西北方向上，则A，C两点之间的距离是千米．【分析】由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，利用三角形内角和定理可求∠ACB＝60°，由正弦定理即可求解AC的值．解：由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，所以∠ACB＝60°，所以由正弦定理＝，可得＝，可得AC＝＝．故答案为：．16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500h．若合理安排生产可使收入最大为800000元．【分析】设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为z＝3000x+2000y．写出约束条件，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为z＝3000x+2000y．需要满足的条件是，作出可行域如图，作直线z＝3000x+2000y，当直线过点A时，z取最大值．联立，解得A（200，100），则z的最大值为800000元．故答案为：800000．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知向量，满足||＝，＝（1，2），且∥，求的坐标；（2）已知A（﹣1，﹣4），B（5，2），C（3，4），判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【分析】（1）设＝（x，y），由题意可得，解得x，y的值即可得解．（2）由已知可求，的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求•＝0，可得，即可得解．解：（1）设＝（x，y），则，解得，或，于是＝（1，2），或＝（﹣1，﹣2）．（2）△ABC是直角三角形，∠B为直角．证明：∵＝（﹣1，﹣4）﹣（5，2）＝（﹣6，﹣6），＝（3，4）﹣（5，2）＝（﹣2，2），∴•＝﹣6×（﹣2）+（﹣6）×2＝0，∴，即△ABC是直角三角形，∠B为直角．18．为研究某农作物的生长状态，某研究机构在甲、乙两块试验田中各随机抽取了6株农作物，并测量其株高（单位：cm），得到如图茎叶图：（1）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值，并比较它们的大小；（2）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的方差，并说明哪块试验田的此种农作物长得相对较齐．【分析】（1）根据茎叶图的概念和平均数的计算方法即可得解；（2）根据方差的计算分别求出和，而方差越小，农作物长得越齐．解：（1）＝＝30cm，＝＝30cm．∴甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值相等．（2）＝＝，＝＝．∴＜，即甲试验田的此种农作物长得相对较齐．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若2S n＝23+a2n+4，求n．【分析】（1）依题意结合数列的通项公式，能列出两个关于基本量首项a1和公差d的两个方程，解方程即可得数列{a n}的通项公式；（2）将2S n＝23+a2n+4转化为关于n的一元二次方程，解方程即可得答案．解：（1）设数列{a n}的公差为d，依题意得，所以，解得，所以a n＝2n﹣1．（2）由（1）得，因为2S n＝23+a2n+4，所以2n2＝23+2×（2n+4）﹣1，化简得n2﹣2n﹣15＝0，解得n＝5或n＝﹣3（舍去）．20．某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：2015年2016年2017年2018年2019年年份收入和支出收入x（万元）99.61010.411支出y（万元）7.37.588.58.7（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年的年收入为9.5万元，请根据（1）中的线性回归方程预测该家庭2020年的年支出金额．（参考公式：回归方程＝x +中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝﹣）【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，可得y关于x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9.5求得y值即可．解：（1）由题意可得，＝，，，＝1.8，，≈0.24．∴y关于x的线性回归方程为；（2）当2020年的年收入为9.5万元时，．∴预测该家庭2020年的年支出金额为7.65万元．21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）＝a sin C，且a＝2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得b2＝ac，结合a ＝2c，利用余弦定理可求cos B＝，结合范围利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，结合a＝2c，可求a的值，由（1）可求b的值，即可得解三角形的周长．解：（1）因为b sin（A+C）＝a sin C，可得b sin B＝a sin C，所以b2＝ac…因为a＝2c，所以cos B＝＝＝＝，…因为0＜B＜π，所以sin B＝＝＝…（2）因为△ABC的面积为ac sin B＝c2＝4，所以c＝4…因为a＝2c，所以a＝8…因为b2＝ac＝32，所以b＝4…故△ABC的周长为a+b+c＝8+4+4＝12+4…22．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）由已知数列递推式直接利用构造新数列的方法证明数列{a n﹣2}是等比数列；（2）利用（1）的结论求得a n，进一步利用裂项相消法分类求出数列{b n}的前n项和为T n，再分类求出T n的最大值，即可求得m的取值范围．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a n+1﹣3a n+4＝0，∴a n+1﹣2＝3（a n﹣2），即＝3（常数）．数列{a n﹣2}是以12为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即．∴b n＝＝．当n为偶数时，＝；当n为奇数时，﹣…+＝．当n为偶数时，是递减的，此时当n＝2时，T n取最大值﹣，则m ≥﹣；当n为奇数时，T n＝﹣是递增的，此时T n＜﹣，则m≥﹣．综上，m的取值范围是[﹣，+∞）．。
2023-2024学年广东省广州市华南师范大学附属中学高三下学期模拟(二)数学试卷含详解
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件,利用补集,交集的定义求解即得.
【详解】由 ,得 或 ,而 .
所以 .
故选：B
2.若复数 （其中 ,i为虚数单位）为纯虚数,则复数 在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的除法求出 ,结合已知求出 值即可得解.
若
A. 是等差数列
B. 是等差数列
C. 是等差数列
D. 是等差数列
【答案】A
【详解】 表示点 到对面直线的距离（设为 ）乘以 长度的一半.
即 ,由题目中条件可知 的长度为定值.
那么我们需要知道 的关系式.
由于 和两个垂足构成了直角梯形.
那么 .
其中 为两条线的夹角,即为定值.
那么 .
.
作差后： ,都为定值,所以 为定值．故选A．
（2）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中,甲袋装3个小球,其中2个是黑球,乙袋装4个小球,其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球,当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取,直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y,求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
【详解】建立如图所示坐标系,设 .
显然直线l的斜率存在,故不妨设直线l的方程为 .
由题意得B与 关于直线l对称,所以 .
又 的中点 在直线l上,故 ,①
由于 ,得 .
将 代入①得 .
由每次翻折后点 都落在边 上,所以 ,即 .
所以点M的轨迹方程 ,（ ）.
2024届广东省华南师大附中数学高一下期末综合测试试题含解析
2024届广东省华南师大附中数学高一下期末综合测试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．215是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知10sina =，且a 为第二象限角，则()2tan a π+=（ ） A ．34-B ．35C ．35D ．343．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：现在，将十进制整数2019化成16进制数为（ ） A ．7E 3B ．7F 3C ．8E 3D ．8F 34．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移()0αα>个单位长度后，其图象关于y 轴对称，则α的最小值为( ) A ．12πB ．6π C ．512π D ．712π5．已知函数()sin f x x x =+，则下列命题正确的是（ ） ①()f x 的最大值为2； ②()f x 的图象关于,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③()f x 在区间5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则12373x x x π++=； A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④6．直线()()21210a x ay a R +-+=∈的倾斜角不可能为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．56π 7．在等差数列{}n a 中，如果14736939,27a a a a a a ++=++=，则数列{}n a 前9项的和为( ) A ．297B ．144C ．99D ．668． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．2B ．3C ．10D ．159．若实数a 满足20a a +<,则2,,a a a -的大小关系是：A ．2a a a -<<B ．2a a a <-<C ．2a a a <-<D ．2a a a <<-10．已知0a >，且1a ≠，把底数相同的指数函数()xf x a =与对数函数()log a g x x=图象的公共点称为()f x （或()g x ）的“亮点”．当116a =时，在下列四点1(1,1)P ，211,2()2P ，311,2()4P ，411,4()2P 中，能成为()f x 的“亮点”有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届广东省广州市华南师大附属中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析
2024届广东省广州市华南师大附属中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量m ，n ，若1m =，22m n -=，则m n n -+的最大值为( )A ．BC ．4D ．52．A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形3．若向量(4,3)a =，(1,2)b =--，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．-2B ．2C ．-D ．4．已知函数21()cos sin 2f x x x =++，下列结论错误．．的是( ) A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数 B ．()f x 在[],0π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 5．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1406．已知(1,)P t -在角α终边上，若sin 5α=，则t =（ ） A ．12B ．-2C ．2D ．2±7．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ）A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -<C ．110x y-> D ．ln x +ln y >08．在ABC ∆中，点D 满足3BC BD =，则（ ） A ．1233AD AB AC =- B ．1233AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =- D ．2133AD AB AC =+ 9．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（） A ．高一学生被抽到的可能性最大 B ．高二学生被抽到的可能性最大 C ．高三学生被抽到的可能性最大D ．每位学生被抽到的可能性相等10．已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若2sin b a B =，则A 等于( ) A ．30B ．60C ．60120或D ．30150或二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省重点名校2019-2020学年高一下学期期末调研数学试题含解析
广东省重点名校2019-2020学年高一下学期期末调研数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若()2sinsinsin777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的个数是（ ） A ．16 B ．72C ．86D ．100【答案】C 【解析】 【详解】 令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.2．已知两个变量x ，y 之间具有线性相关关系，试验测得(x ，y)的四组值分别为(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,7)，则y 与x 之间的回归直线方程为( ) A ．y ＝0.8x ＋3 B ．y ＝－1.2x ＋7.5 C ．y ＝1.6x ＋0.5 D ．y ＝1.3x ＋1.2【答案】C 【解析】试题分析：设样本中线点为00(,)x y ，其中001+2+3+45245+79===4242x y ++=，，即样本中心点为5922（，），因为回归直线必过样本中心点，将5922（，）代入四个选项只有B,C 成立，画出散点图分析可知两个变量x ，y 之间正相关，故C 正确． 考点：回归直线方程3．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =c =( )A ．23B ．2C 2D ．1【答案】B【解析】1333,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===3cos 2A =, 所以()222313232c c =+-⨯⨯，整理得2320,c c -+=求得1c =或 2.c若1c =，则三角形为等腰三角形，030,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想. 当求出3cos 2A =后，要及时判断出0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.4．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．5618-B ．55-C ．65D ．255【答案】D 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE 与BF 所成角的余弦值． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点， A （2，0，0），E （0，1，2），B （2，2，0），F （0，2，1），AE ＝（﹣2，1，2），BF ＝（﹣2，0，1）， 设异面直线AE 与BF 所成角的平面角为θ，则cosθ＝•AE BFAE BF＝,∴异面直线AE 与BF ． 故选D ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题. 5．函数()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ). A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为2π的偶函数 D ．周期为2π奇函数【答案】B 【解析】因()1cos(2)[1cos(2)]sin 2sin 22sin 222f x x x x x x ππ=-+---=+=，故()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-是奇函数，且最小正周期是，即22T ππ==，应选答案B ． 点睛：解答本题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进行化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题的答案．6．已知a b =+=，则下列结论正确的是（ ）A ．a b =B ．a b >C ．a b <D ．不能确定【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出2a 与2b 的值，比较易得22b a >，变形可得答案． 【详解】解：根据题意，229a ==+229b ==+易得22b a >，则有a b <， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查不等式的大小比较，属于基础题．7．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．恰有一个红球与恰有二个红球D．至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60 角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BECN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．9．在ABC 中，2AB AC ==，且120BAC ︒∠=，若(01)BM BC λλ=<<，则()AM AB AC ⋅+=（ ） A ．2 B ．1C ．3 D ．12【答案】A 【解析】 【分析】取BC 的中点D ，连接DA ，根据()2AM AB AC AD AM ⋅+=⋅，即可得解. 【详解】取BC 的中点D ，连接DA ，在ABC 中，2AB AC ==，且120BAC ︒∠=， 所以,1DA BC AD ⊥=，2AB AC AD +=()22cos 22AM AB AC AD AM AD AM MAD AD AD ⋅+=⋅=⋅⋅∠=⋅=.此题考查求向量的数量积，涉及平面向量的线性运算，根据数量积的几何意义求解，可以简化计算. 10．数列2122,1,,,325---的一个通项公式为（ ）A ．12(1)n n a n+=- B ．(1)2nn n a n =-+ C ．2(1)nn a n=- D ．1(1)2n n n a n +=-+ 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值,将1n =代入四个选项即可排除错误选项. 【详解】将1n =代入四个选项,可得A 中12,a =B 中11,3a =-D 中11,3a = 只有C 中12,a =- 所以排除ABD 选项 故选：C 【点睛】本题考查了根据几个项选择数列的通项公式,特殊值法是解决此类问题的简单方法,属于基础题. 11．执行如图所示的程序框图，若输人的n 值为2019，则S ＝A ．B ．C ．D ．【分析】根据程序框图可知，当时结束计算，此时.【详解】计算过程如下表所示：周期为6 n 2019 k1 2 …20182019S…k<n 是 是 是 是 否故选B. 【点睛】本题考查程序框图，选用表格计算更加直观，此题关键在于判断何时循环结束. 12．如右图所示的直观图，其表示的平面图形是 （A ）正三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）直角三角形【答案】D 【解析】略二、填空题：本题共4小题13．已知圆C 的圆心在直线240x y --=5C 上存在点M ，它到定点(0,4)A -的距离与到原点O 5C 的纵坐标的取值范围是__________． 【答案】1[3,]5- 【解析】因为圆心C 在直线240x y --=上，设圆心(24,)C b b +， 则圆C 的方程为22(24)()5x b y b --+-=，设点(,)M x y ，因为MA MO==化简得22240x y y +--=，即22(1)5x y +-=，所以点M 在以(0,1)D CD ≤≤即0≤≤205141720b b ≤++≤， 由2051417b b ≤++，得b R ∈，由25141720b b ++≤，得135b -≤≤， 所以圆心C 的纵坐标的取值范围是1[3,]5-.点睛：本题主要考查了圆的方程，动点的轨迹方程、两圆的位置关系、解不等式等知识的综合运用，着重考查了转化与化归思想和学生的运算求解能力，解答中根据题设条件得到动点M 的轨迹方程，利用两圆的位置关系，列出不等式上解答的关键.对于直线与圆的位置关系问题，要熟记有关圆的性质，同时注意数形结合思想的灵活运用.14．已知tan 2x =，且(),x ππ∈-，则x =________. 【答案】arctan 2或arctan 2π-+ 【解析】 【分析】利用正切函数的单调性及周期性，可知在区间(,)2ππ--与区间(0,)2π内各有一值，从而求出。
广东省华南师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
广东省华南师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题第一卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =Z ，{}2,1,1,2A =--，{}2|320B x x x =-+=，则()U A B =ð（ ）． A ．{}1,2B ．{}1,2--C ．{}1,2-D ．{}1,2-2．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点的附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--= A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.53．函数()lg(10)f x x +-的定义域为（ ）．A ．RB ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[1,10]D ．(1,10)4．设集合A =R ，集合{}|0B y y =>，下列对应关系中是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）．A ．||x y x →=B ．21(1)x y x →=-C ．12xx y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭D ．x y →=5．若2log 3a =，3log 2b =，1log 23c =，21log 3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）．A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<6．设函数2,0()(),0x x f x g x x ⎧>=⎨<⎩若()f x 是奇函数，则(2)f -的值是（ ）．A ．14B ．4C ．14-D ．4-7．设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则()y f x =（ ）．A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点8．已知函数2x y =与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则不等式210f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤的解集为（ ）．A ．(2,1]--B ．[2,1]--C ．(,1][0,)-∞-+∞D ．(2,0)-9．函数2()log |1|f x x =-的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D．10．已知函数22,1()log ,1ax ax x f x x x ⎧-+-⎪=⎨>⎪⎩≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．03a <≤B ．2a ≥C ．23a ≤≤D ．02a <≤或3a ≥11．设函数()f x 定义在实数集上，(1)(1)f x f x +=-，且当1x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ）．A ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知函数2|21|,1()log (),1x x f x x m x +<⎧=⎨->⎩，若123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），且123x x x ++的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为（ ）． A ．0B ．1-C ．1D ．2第二卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数2()(1)1(0)x g x a a -=++>的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为__________．14．已知幂函数223()()m m f x x m --=∈Z 的图象关于y 轴对称，并且()f x 在第一象限是单调递减函数，则m =__________．15．函数212()log (23)f x x x =--的单调递增区间为__________． 16．已知函数2()|log |f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m +=__________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程） 17．（本小题满分10分）（1）计算0141333270.064[(2)]|0.01|8-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭．（2）2log 33lg 2524++．18（本小题满分12分）设集合{}|2,12xA y y x ==≤≤，{}|0ln 1B x x =<<，{}|12,C x t x t t =+<<∈R ．（1）求A B ．（2）若A C C =，求t 的取值范围．19．（本小题满分12分） 已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）确定函数()f x 的解析式．（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明．20．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单 单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式．（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．21．（本小题满分10分）函数()f x 对一切实数x 、y 均有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式． （Ⅱ）解不等式(|3|)4f x -<．（Ⅲ）对任意的110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，210,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有12()2log ()a f x x +<，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分10分）定义：对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a =+-∈R ，试判断()f x 是否为定义域R 上的“局部奇函数”?若是，求出所有满足()()f x f x -=-的x 的值；若不是，请说明事由．（Ⅱ）若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． （Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．广东省华南师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案第一卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =Z ，{}2,1,1,2A =--，{}2|320B x x x =-+=，则()U A B =ð（ ）． A ．{}1,2B ．{}1,2--C ．{}1,2-D ．{}1,2-【答案】B【解析】{}2|320B x x x =-+=，2320x x -+=， (1)(2)0x x --=， 11x =，22x =，∴{}1,2B =， 又{}2,1,1,2A =--， ∴{}()1,2U A B =--ð． 故选B ．2．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点的附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--= A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【解析】由图中参考数据可得(1.43750)0f >，(1.40625)0f <， 又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为1.4． 故选C ．3．函数()lg(10)f x x +-的定义域为（ ）．A ．RB ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[1,10]D ．(1,10)【答案】D【解析】本题主要考查函数的定义域． 对于函数2()lg(10)f x x +-，0≠，10x ->且100x ->，故定义域为{}|110x x <<． 故选D ．4．设集合A =R ，集合{}|0B y y =>，下列对应关系中是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）．A ．||x y x →=B ．21(1)x y x →=-C ．12xx y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭D ．x y →=【答案】C【解析】∵|0|0=，而0+∉R ，集合A 中的元素0在集合B 中没有像，故选项A 不是映射． 对于选项B ，集合A 中的元素1在集合B 中没有像，故选项B 不是映射．对于选项C ，集合A 中的所有元素在集合B 中都有唯一的像和它对应，故选项C 是映射． 对于选项D ，由于函数的定义域不是R ，故选项D 不是映射． 故选C ．5．若2log 3a =，3log 2b =，1log 23c =，21log 3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）．A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<【答案】A【解析】由于函数0.5log y x =在(0,)+∞上是减函数，故有0a b <<． 再由01c <<，0.30221d =>=，可得a b c d <<<． 故选A ．6．设函数2,0()(),0x x f x g x x ⎧>=⎨<⎩若()f x 是奇函数，则(2)f -的值是（ ）．A ．14B ．4C ．14-D ．4-【答案】C【解析】由()f x 是奇函数得()()f x f x =--，再由0x <时，()2x f x =，求出()g x 的解析式，再求出(2)g 的值． ∵()f x 为奇函数，0x <时，()2x f x =，∴0x >时，1()()22xxf x f x -=--=-=-， 即1()2x g x =-，1(2)4f =-． 故选C ．7．设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则()y f x =（ ）．A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点【答案】D【解析】由题得3()3x f x x -'=，令()0f x '>得3x >，令()0f x '<得03x <<，()0f x '=得3x =，故知函数()f x 在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,)+∞为增函数， 在点3x =处有极小值1ln30-<， 又1(1)03f =>，e(e)103f =-<，1110e 3ef ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭． 故选D ．8．已知函数2x y =与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则不等式210f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤的解集为（ ）．A ．(2,1]--B ．[2,1]--C ．(,1][0,)-∞-+∞D ．(2,0)-【答案】B【解析】∵函数2x y =与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称， ∴2()log f x x =，∴221010f x x ⎛⎫⎛⎫--⇔-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，∴2011x <--≤，∴221x -<-≤，解得21x -<-≤． 故选B ．9．函数2()log |1|f x x =-的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D．【答案】A【解析】2()log |1|f x x =-中函数有定义， 则|1|0x ->，即{}|1x x x ∈≠， 则排除B ，C ，D ． 故选A ．10．已知函数22,1()log ,1ax ax x f x x x ⎧-+-⎪=⎨>⎪⎩≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．03a <≤B ．2a ≥C ．23a ≤≤D ．02a <≤或3a ≥【答案】C【解析】当1x ≤时，2()2f x x ax =-+-的对称轴为2ax =， 由递增可得，12a≤，解得2a ≥，当1x >时，()log a f x x =递增，可得1a >， 由x ∈R ，()f x 递增，即有12log 10a a -+-=≤， 解得3a ≤．综上可得，a 的范围是23a ≤≤． 故选C ．11．设函数()f x 定义在实数集上，(1)(1)f x f x +=-，且当1x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ）．A ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由(1)(1)f x f x +=-，得函数()f x 关于1x =对称， 当1x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为减函数，则当1x ≤时，函数()f x 为增函数， ∵(2)(11)f f =+ (11)f =- (0)f =， ∴11(0)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选D ．12．已知函数2|21|,1()log (),1x x f x x m x +<⎧=⎨->⎩，若123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），且123x x x ++的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为（ ）． A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】作出()f x 的图象，如图所示， 可令123x x x <<，则有图知点1(0)x ，2(,0)x关于直线12x =-对称，所以121x x +=-，又12318x x x <++<，所以329x <<，由于123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等）， 结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得23log (9)m =-，解得1m =． 故选C ．第二卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数2()(1)1(0)x g x a a -=++>的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为__________． 【答案】(2,2)A【解析】解：令20x -=得2x =，则0(2)(1)12g a =++=， 所以函数()g x 的图象恒过定点(2,2)A ．14．已知幂函数223()()m m f x x m --=∈Z 的图象关于y 轴对称，并且()f x 在第一象限是单调递减函数，则m =__________．【答案】1【解析】因为幂函数223()()m m f x x m --=∈Z 的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 是偶函数， ∴223m m --为偶数， ∴22m m -为奇数， 故1m =．15．函数212()log (23)f x x x =--的单调递增区间为__________．【答案】(,1)-∞-【解析】函数的定义域为{}|31x x x ><-或，令223t x x =--，则12log y t =， 因为12log y t=在(0,)+∞单调递减223t x x =--在(,1)-∞-单调递减，在(3,)+∞单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．16．已知函数2()|log |f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m +=__________． 【答案】52【解析】由对数函数的性质知∵2()|log |f x x =正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，∴01m n <<<，以及1mn =，又函数在区间2[,]m n 上的最大值为2，由于()()f m f n =，2()2()f m f m =，故可得2()2f m =，即22|log |2m =，即22log 2m =-，即214m =， 可得12m =，2n =，则52m n +=． 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）17．（本小题满分10分）（1）计算0141333270.064[(2)]|0.01|8-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭． （2）2log 33lg 2524++． 【答案】见解析．【解析】（1）0141333270.064[(2)]|0.01|8-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭ 4113323320.41(2)0.01⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭=-+-+41170.41(2)0.1121616-=-+-+=-+=-． 综上所述，结论是：716-．（2）2log 33lg 2524++ 原式3232lg53lg 24=⨯⨯++ 3(lg5lg2)32=++ 39322=+=． 18（本小题满分12分）设集合{}|2,12x A y y x ==≤≤，{}|0ln 1B x x =<<，{}|12,C x t x t t =+<<∈R ． （1）求A B ．（2）若A C C =，求t 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）{}|24A y y =≤≤，{}|1e B x x =<<， 所以{}|2e AB t t =<≤．（2）因为A C C =，所以C A ⊆，若C 是空集，则21t t +≤，得到1t ≤，若C 非空，则122412t t t t +⎧⎪⎨⎪+<⎩≥≤，得12t <≤， 综上所述，2t ≤，即t 的取值范围是(,2]-∞．19．（本小题满分12分） 已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）确定函数()f x 的解析式．（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可知()()f x f x -=-， ∴2211ax b ax b x x -++=-++， ∴0b =， ∴2()1ax f x x =+，又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴1a =， ∴2()1x f x x =+． （2）当(1,1)x ∈-时，函数()f x 是增函数，证明如下：对于任意1x 、2(1,1)x ∈-，且12x x <， 则22221221112211221222222211212()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-----=-==++++++， ∵1211x x -<<<，∴210x x ->，1210x x ->，又∵2110x +>，2210x +>， ∴21122212()(1)0(1)(1)x x x x x x -->++， ∴21()()0f x f x ->，所以在(1,1)-上单调递增．20．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单 单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式．（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x <≤时，设()v x ax b =+，再由已知得20002060a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故函数()v x 的表达式60,020()1(200),202003x v x x x <⎧⎪=⎨-⎪⎩≤≤≤． （Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得60,020()1(200),202003x x f x x x x <⎧⎪=⎨-⎪⎩≤≤≤，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200⨯=，当20200x ≤≤时，211(200)10000(20)33(0)32x x x f x x +-⎡⎤-=⎢⎥⎣=⎦≤， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立．所以，当100x =时，()f x 在区间(20,200]上取得最大值100003． 综上所述，当100x =时，()f x 在区间[0,200]上取得最大值为1000033333≈。
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高一下学期期末数学试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．cos660o的值为( ).A.12-B.32-C.12D.322.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲 乙 丙 丁 平均环数x 8.3 8.8 8.8 8.7 方差ss3.53.62.25.4从这四个A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.某全日制大学共有学生2018人，其中专科生有2018人，本科生有2018人，研究生有2018人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )人. A.65,150,65 B.30，150，100 C.93,94,93 D.80,120,804.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( ).A.r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B.r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C.r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D.r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 35.已知(,),()a 54b 3,2==r r ，则与2a 3b -r r平行的单位向量为( ).A.()525，B.((525525，或C.((525525或，D.525， 6.要得到函数y=2的图象，只需将函数y=2π4)的图象上所有的点的( ).A.横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B.横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 再向左平行移动π4个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 再向右平行移动π8个单位长度7.在如图所示的程序框图中，输入A=192，B=22， 则输出的结果是( ). A.0 B.2 C.4 D.68.己知α为锐角，且πtan(πα)cos(β)23502--++=，tan(πα)sin(πβ)61+++=，则sin α的值是( ).....35373101A B C D 571039.如图的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输 出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该 填入下面四个选项中的( ).A.c ＞x ？B.x ＞c ？C.c ＞b ？D.b ＞c ？10.在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且1AN NC 2=u u r u u r，P 是BN上的一点，若2AP mAB AC 9=+u u r u u r u u r，则实数m 的值为( ).....11A B C 1D 39311.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，如图所示，那么不等式f(x)cosx ＜0的解集是( ).ππππ.(,)(,)(,).(,)(,)(,)A 3013B 10132222----U U U Uπ.(,)(,)(,).(,)(,)(,)C 310113D 301132----U U U U12.关于x 的方程sin cos 32x 2x k 1+=+在π[,]02内有相异两实根，则k 的取值范围为( )A.(-3，l)B.[0,1)C.(-2，1)D.(0,2)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若πsin(α)435-=，则πcos(α)6+=____________.14.茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评 中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的 平均成绩超过乙的平均成绩的概率是______. 15.如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ， AP=3，点Q 是△BCD 内(包括边界)的动点，则AP AQ ⋅u u r u u r的取值范围是___________.16.给出下列说法：①终边在y 轴上的角的集合是π{α|α,k Z}k 2=∈②若函数f(x)=asin2x+btanx+2，且f(-3)=5，则f(3)的值为-1③函数y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cos πx(-2≤x ≤4}的图像所有交点的横坐标之和等于6，其中正确的说法是__________〔写出所有正确说法的序号) 三、解答题17.(本小题满分10分)已知||,||a 4b 3==r r.(1)若a 与b r r 的夹角为60o，求()()a 2b a 3b +⋅-r r r r ；(2)若()()2a 3b 2a b -⋅+r r r r=61，求a 与b r r 的夹角18.(本小题满分12分)已知函数πf(x)cos(x )sin 222x 3=-+，(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期； (2)若α为锐角，且αf()324=，求sin α的值.19,(本小题满分12分)某校从高一年级周末考试的学生中抽出6O 名学生，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示： (1)依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(2)已知在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.20.(本小题满分12分)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，-π2＜ϕ＜π2，x∈R)的部分图象如图所示.(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)当x∈π[π,]6--时，求f(x)的取值范围.21.(本小题满分12分)设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(l)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0，t+1]任取的一个数，b是从区间[0,t]任取的一个数，其中t满足2≤t≤3，求方程有实根的概率，并求出其概率的最大值.22.(本小题满分12分)已知A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω＞0,π2-＜ϕ＜0)图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点P(l，3，若|f(x1)-f(x2)|=4时，|x1-x2|的最小值为π3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x∈π[,]6时，不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围。
参考答案一、选择题1.C2.C3.A4.A5.B6.C7.B8.C9.A 10.B 11.B 12.B二、填空题13.45- 14. 4515.[9,18] 16.②③三、解答题17.解：(1)∵||,||a 4b 3==r r ，a 与b r r 的夹角为60o，∴||||cos o a b a b 606⋅=⋅⋅=r r r r∴()()22a 2b a 3b a a b 6b 44+⋅-=-⋅-=-r r r r r r r r ……………………………………5分(2)∵()()222a 3b 2a b =4a 4a b 3b 374a b 61-⋅+-⋅-=-⋅=r r r r r r r r r r ，∴a b 6⋅=-r r∴cos θ||||a b 12a b ⋅==-⋅r rr r ，又0o ≤θ≤180o ，∴θ=120o. …………………………10分18.解：(1)πππf(x)cos(x )sin cos x cos sin xsin (cos x)222x 2212333=-+=++-cos x x cos x x cos x 11221222122=++-=-+πsin(x )216=-+所以f(x)的最大值为2，最小正周期π……………………………………6分 (2)由απf()sin(α)31264=-+=得πsin(α)164-=-∵0＜α＜π2，∴-π6＜α-π6＜π3，πcos(α)6-=. sin α=sin[(α-π6)+π6]=sin(α-π6)cos π6+cos(α-π6)sin π6分19.解：(1)由图知，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.020+0.030+0.025+0.005)×10=0.80 所以，抽样学生成绩的合格率是80%. 利用组中值估算抽样学生的平均分：x =45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72估计这次考试的平均分是72分………………………………………………6分(2)从95,96,97,98,99,100中抽取2个数，全部可能的基本事件有：（95，96），（95,97），（95,98），（95,99），（95,100），（96，98），（96,99），（96,100），（97,98），（97,99），（97,100），（98,99），（98,100），（99,100），共15个基本事件.如果这2个数恰好是两个学生的成绩，则这2个学生在[90,100]段，而[90,100]的人数是3人，不妨设这3人的成绩是95,96,97.则事件A ：“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本事件：（95，96），（95,97），（96,97).共有3个基本事件.所以所求的概率为P(A)=315=15. ………………………12分20.解：(1)由图象得A=1，πππT 24362=-=，所以T=2π，则ω=1.将点(π6，1)代入得sin(π6+ϕ)=1，而-π2＜ϕ＜π2，所以ϕ=π3，因此函数f(x)=sin(x+π3).…………………………………………6分(2)由于x ∈π[π,]6--，-π23≤x+π3≤π6，所以-1≤sin(x+π3)≤12，所以f(x)的取值范围[-1,12]. ……………………………………………12分21.解：(1)总的基本事件有12个，即a,b 构成的实数对(a,b)有（0,0），（0，1），（0,2），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2），（3,0），（3,1），（3,2）.设事件A 为“方程有实根”,包含的基本事件有(0，0)，（1,0），（1,1），（2,0），（2,1），（2,2），（3,0），（3,1），（3,2）共9个，所以事件A 的概率为P(A)=912=34………………5分(2)a ，b 构成的实数对(a ，b)满足条件有0≤a ≤t+1，0≤b ≤t ，a ≥b ，设事件B 为“方程有实根”，则此事件满足几何概型.(t )t(B)()(t )(t )阴影矩形11S t 2112P 1S t 1212t 1++⨯+====++++ …………………10分 ∵2≤t ≤3，∴3≤t+1≤4，即1114t 13≤≤+，所以51414t 13≤+≤+ 即58≤P(B)≤23，所以其概率的最大值为23. ……………………………12分22.解：(1)角ϕ的终边经过点P(1，，tan ϕπ2-＜ϕ＜0，∴ϕ=-π3.由|f(x 1)-f(x 2)|=4时，|x 1-x 2|的最小值为π3，得T=π23，即πω2=π23，∴ω=3∴f(x)=2sin(3x-π3) ………………………………………………4分(2)令π2-+2k π≤3x-π3≤π2+2k π，得π18-+π2k 3≤x ≤π518+π2k 3，k ∈Z∴函数f(x)的单调递增区间为[π18-+π2k 3，π518+π2k 3]，k ∈Z. …………7分(3)当x ∈π[,]06时，≤f(x)≤1，所以2+f(x)＞0，mf(x)+2m ≥f(x)等价于(x)(x)(x)f 2m 12f 2f ≥=-++.由f(x)≤1，得(x)(x)f 2f +的最大值为13，所以实数m 的取值范围是[13，+∞).……………………………………………12分高一下学期期末数学试卷一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1． 求值=075sin ▲ ．2． 已知直线062:1=++y ax l 与01)1(:22=-+-+a y a x l 平行，则实数a 的取值是 ▲ ． 3． 在ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则A = ▲ ． 4． 直线210x y -+=在两坐标轴上的截距之和为 ▲ ．5． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于 ▲ ． 6． 若1x y +=，则22x y +的最小值为 ▲ ． 7． 若数列{}n a 满足111,1n n a na a n +==+，则8a = ▲ ． 8． 若实数,x y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是 ▲ ．9． 若sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= ▲ ． 10． 光线从A(1，0)出发经y 轴反射后到达圆2266170x y x y +--+=所走过的最短路程为 ▲ ． 11． 函数2sin sin()3y x x π=+-的最小值是 ▲ ．12． 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，给出下列结论：①若A B C >>，则C B A sin sin sin >>； ②若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为等边三角形； ③必存在,,A B C ，使C B A C B A tan tan tan tan tan tan ++<成立； ④若︒===25,20,40B b a ，则ABC ∆必有两解．其中，结论正确的编号为 ▲ （写出所有正确结论的编号）．13． 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 是直线:3l x =上的动点，过点(1,0)F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于点(,)P m n ．则,m n 满足的关系式为 ▲ ．14． 已知等比数列{}n a 中11a =，48a =，在n a 与1n a +两项之间依次插入12n -个正整数，得到数列}{n b ，即：12345,1,,2,3,,4,5,6,7,,8,9,10,11,12,13,14,15,,a a a a a ⋅⋅⋅．则数列}{n b 的前2013项之和2013S = ▲ (用数字作答)．二、解答题（本大题共6题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）已知二次函数)(x f y =图像的顶点是（—1，3），又4)0(=f ，一次函数)(x g y =的图像过（—2，0）和（0，2）。