初等数论最大公因数

推论：a，b的公因数与（a，b）的因数相同。
证：由辗转相除法 d|a，d|b，则有d|（a，b）， 反之也对
例1、 求24871与3468的最大公因数
解： 24871=3468*7+595，
3468=595*5+493，
595=493*1+102，
493=102*4+85，
102=85*1+17，
12、设(a,b)=d,则一定存在整数x,y使得 ax+by=d
证：由辗转相除法倒过来即可得。
因为 d =(
rn qn rn1 rn2
)b
)a+(
令第一个括号里的数为x,第二个括号里的数 为y,即得。
推论：(a,b)=1 ax+by=1 证：
存在整数x,y使得

显然。
c2 ac3 c bc abc 2 3
,
所以有 ab|c.
10、(a,c)=1, (b,c)=1, 则有 (a b,c)=1
证：因为(a,c)=1,由性质7有
(a b,c)=(b,c)=1.
11、若对i=1，2，..n; j=1,2,…m.
有 i j有(ai , b j ) 1 ,则
从而证明了结论.
(M a , Mb ) (Mb , M r ) (M rn , M rn1 ) 2(a,b) 1
例5:证明 (M a , Mb ) 2
( a,b)
1
证:设a=bq+r,则 bq r b q r r r M a 2 1 (2 ) 2 2 2 1 = 2r N (2b 1) 2r 1 N (2b 1) 2r 1 1 rn rn1 =……= (2 1) N 2 1 即a,b作转辗相除和 M a , M b 作转辗相除是同 步的,即有
注：这个性质是后继知识的基础，很重要,因为两 个较大的数的最大公因数可转化为较小的两个数 的最大公因数,从而为求大公因数找到了方法.
为求两个数的最大公因数，引进辗转相除法 辗转相除法 ：下面的一组带余数除法称为辗 转相除法。
设a，b为正整数，依次做带余除法
a bq1 r1 , b r1q2 r2 ,
则有
(a1, a2 ,an ) d n
注：性质13说明了n个数的最大公因数可 两个两个地求
证：由已知得 di 1 | di , di | ai , dn | ai , i 1,2， n 说明了 d n 是 a1 , a2 ,an 的公因数。 又设d是 a1 , a2 ,an 的任一公因数，则有
2n
n
例4： 证明对任意 m, n，m≠n, (Fn , Fm)=1。
证：不妨设n>m，则Fn-2= (2
=(Fn-1-2) Fn-1
2n1
1)(2
2n1
1)
= Fn-1Fn-2…Fm
F1F0
设（Fn ,Fm）=d, 则d | Fn, d| Fm

d|2
但Fn为奇数，∴d=1, 即证。
a1 , a2 ,an
互素。
若对 i j, 有(ai , a j ) 1 ,则称
a1 , a2 ,an 两两互素。
显然两两互素可推出互素，反之不行。
例（2，3，4）=1，但（2，4）=2。
下面主要讨论(a = (| a1 |, | a2 |,| an |) , a , a ) 1 2 n
n
所以假设错误，若 n a 不是整数，则一定是 无理数. 注：对任意的正整数n,m有(a,b)=1 (a n , bm ) 1
介绍两个有名的数----梅森数和费尔马数 梅森数：形如2n-1的数叫梅森数，记成 Mn=2n-1。 费尔马数：n为非负整数，形如 2 1 的数 叫费尔马数，记成Fn= 22 1
设ax+by=1，又设d=(a,b)，
则有 d|a,d|b,有d|1,即d=1
注:以上给出了证明(a,b)=1的一种常规 方法.即先设d=(a,b)，然后证明d|1,即 得d=1
下面我们给出n 个整数的最大公因数的求法 13、 a1 , a2 ,an 为n个整数，又设
(a1, a2 ) d2 , (d2 , a3 ) d3 (dn1, an ) dn
例2：设k 为正奇数，试证
1 2 9 | 1 2 9
k k k
证：设s 1 2 9
k k
k
,则
2s (1k 9k ) (2k 8k ) (9k 1k )
(1k 8k ) (9k 0k ) 则有 2s 10N1 ,又 2s (0k 9k）
85=17*5,
所以(24871,3468)=17.
例2：求(21n+4，14n+3) 解：原式=(21n+4,14n+3) =(7n+1,14n+3) =(7n+1,7n+2) =(7n+1,1)=1
6、m>0.则（am，bm）=m（a，b）
证：由辗转相除法两边同乘m即得。
推论1：c 0, c | a, c | b, 则
证：只要c乘
a c b c
( , ) 即得 ( a ,b ) 。
( , )
a c b c
c
( a ,b ) c
a 推论2： ( a ,b )
(
,
b ( a ,b )
) 1
证：取c=（a，b）即得推论2 推论2给出了两个整数的常用设法,即可设
a a1d , b b1d , d (a, b), (a1 , b1 ) 1
§2 最大公因数
最大公因数是数论中一个很重要的概念 定义1：n( n 2)个不全为零的整数
ai , (i 1,2,, n)的公共约数称为
ai (i 1,2,, n) 的公约数.
公约数中最大的一个称为 ai (i 1,2,, n) 的最大公约数。记成
(a1, a2 ,an )
定义：若 (a1, a2 ,an ) =1，则称
0 r1 b
0 r2 r1
rn2 rn1qn rn

0 rn rn1
rn 1 0
rn1 rn qn1 rn1
5、a，b为整数，则（a，b）= 即最后一个 n 不为零的余数
r
证：由性质4知(a,b)=
(b, r1 ) (r1, r2 ) (rn1 , rn ) (rn ,0) rn
7、若(a,b)=1, 则 (ac,b)=(c,b) 证：(ac,b)|ac, (ac,b)|bc, (ac,b)|(ac,bc)
从而有(ac,b)|(a,b)c
(a,b)|c
又(ac,b)|b, (ac,b)|(b,c)。 反之， (c,b)|ac, (c,b)|b (c,b)|(ac,b), 注：证明两个最大公因数相等，可用相互整 除的方法
2、(0,b)=|b|, b≠0.
3、(a,b)=(b,a)
前3条比较简单.
4、若a=bq+c，则（a，b）=（b，c） 分析: (1)可证(a,b) 和(b,c)相互整除. (2)利用集合知识说明a,b和b,c的公因子集相同.
证：设d是a，b的任一公因数，则有d|a，d|b， 则有d|c=a-bq，说明d也是b，c的公因数，反 之设d是b，c的任一公因数，则d|b，d|c，则 有d|a，说明d也是a，b的公因数。所以a，b 的全体公因数的集合就是b，c的全体公因数 的集合。则最大的一个也相等即（a，b）= （b，c）
d | dn 这说明了 d n 是 a1 , a2 ,an
d | a1 , d | a2 d | d 2 , 又有 d | a3 d | d3 ,
的最大公因数。
例1：若17|2a+3b,试证17|9a+5b
证：因为2*(9a+5b)=9(2a+3b)-17b,
由已知，有17|2*（9a+5b) 因为(17,2)=1,由性质有 17|9a+5b.
8、(a,b)=1, b|ac b|c 证：因为b|ac, 所以 (ac,b)=|b|, 由7知 (ac,b)=(c,b)=|b|,即b|c.
9、a|c, b|c, (a,b)=1, ab|c 证：由已知有 c ac1 , c bc2 , ac1 bc2
a | bc2 又(a,b)=1,所以有a | c2
( ai , b j ) 1
i 1 j 1
n
m
证：因为对任意的j有
(a1a2 an , bj ) (a2 an , bj ) （an , bj ) 1
(a1a2 an , b1b2 bm ) (a2 an , b2 bm )
（a1a2 an , bm ) 1.
所以又有 2s 9 N 2 即有9|2s,10|2s,由(9,10)=1, 有90|2s.故
1 2 9 | 1 2 9
k k
k
例3：设n,a 是正整数，试证若 n a不是整数， 则一定是无理数.
证：若n a 是非整数的有理数，则可设
p p n , q 1, ( p, q) 1 , 于是有 a n a q q n n n q 1 , ( p , q ) 1 因为(p,q)=1,所以有 ,但 n n 所以有q † p