第2章测量数据处理详解
02第二章第4节 测量结果的数据处理实例
两种方法标准差之比
0.0031 1.069 1 u 0.0029
u 0.069 u 0.069 2 2 0.707 n 1 8
6
无系统误差· 存在
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
6、判断粗大误差 1）3σ 判别准则——测量次数较少，不适用 2）格罗布斯判别准则——排序
10
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
4、判断有无粗大误差 1）按罗曼诺夫斯基准则，首先怀疑第9个测得值含有粗大误差，将其 剔除，根据剩下的9个测得值计算算数平均值及标准差，得 x9 10.0005mm
9 0.12m
选取显著度 0.05 ，已知n=10查表得
k(10,0.05)=2.43
0(10,0.05) 0.477
11 0.5 0(10,0.05) 0.477
，
故表中第9个测得值含有粗大误差，应予剔除
14
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
4、判断有无粗大误差 3）按狄克松准则 再判别最小值x(1) 计算统计量 11
11
则
x (1) x (2) 10.0003 10.0004 0.25 x (1) x ( n 1) 10.0003 10.0007
2
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
例2-22 对某一轴径等精度测量9次得到下表数据，求测量结果
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
li / mm
24.774 24.778 24.771 24.780 24.272 24.777 24.773 24.775 24.774
i / mm
第二章 试验检测数据处理
第二章试验检测数据处理1.何谓总体、样本？2.质量数据的统计特征量有哪些？3.随机抽样检查的方法有哪些？4.质量数据的统计方法有哪些？5.最小二乘法的基本原理是什么？6.请修约以下数据：15.3528（保留两位小数）；125.555（保留整数）；15.3528（保留一位小数）；19.998（保留两位小数）；10.0500001（保留一位小数）；16.6875（保留三位小数）；10.35（保留一位小数。
）7.某路段沥青混凝土面层抗滑性能检测，摩擦系数的检测值（共10个测点）分别为：55、56、59、60、54、53、52、54、49、53，求摩擦系数的平均值、中位数、极差、标准偏差、变异系数。
参考答案1.何谓总体、样本？【答】总体又称母体，是统计分析中所要研究对象的全体。
样本是从总体中抽取的一部分个体2.质量数据的统计特征量有哪些？【答】工程质量数据的统计特征量分为两类：一类表示统计数据的差异性，即工程质量的波动性，主要有极差、标准偏差、变异系数等；另一类是表示统计数据的规律性，主要有算术平均值、中位数、加权平均值等。
3.随机抽样检查的方法有哪些？【答】随机抽样常采用的方法有单纯随机取样、分层取样、两级取样、两级取样和系统取样等。
4.质量数据的统计方法有哪些？【答】质量数据的常用统计方法有频数分布直方图法、排列图法、因果分析图法、控制图法、分层法、相关图法和统计调查分析法等5.最小二乘法的基本原理是什么？【答】最小二乘法的基本原理为：当所有测量数据偏差的平方和最小时，索赔的直线最优。
6.请修约以下数据：15.3528（保留两位小数）；125.555（保留整数）；15.3528（保留一位小数）；19.998（保留两位小数）；10.0500001（保留一位小数）；16.6875（保留三位小数）；10.35（保留一位小数。
【答】 15.3528 → 15.35（保留两位小数） 125.555 →126（保留整数） 15.3528 → 15.4(保留一位小数) 19.998 → 20.00（保留两位小数） 10.0500001 → 10.1（保留一位小数） 16.6875→ 16.688（保留三位小数） 10.35 → 10.4（保留一位小数）7.某路段沥青混凝土面层抗滑性能检测，摩擦系数的检测值（共10个测点）分别为：55、56、59、60、54、53、52、54、49、53，求摩擦系数的平均值、中位数、极差、标准偏差、变异系数。
误差理论及数据处理
204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
i 1 2
i
n
B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1）绘y_x曲线（a） 2)初步估计：y=ax2+b 3) 变换： y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合（续）
求极值（求偏导数） n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
2000
1000
0
0
5
10
15
20
第二章 误差和分析数据处理
课堂互动 下面是三位学生练习射击后的射击靶 图，请您用精密度或准确度的概念来评 价这三位学生的射击成绩。
二、系统误差和偶然误差
误差(error)：测量值与真实值的差值
根据误差产生的原因及性质，可以将误差分为系统误 差和偶然误差。
1 系统误差 (systematic error) 又称可测误差，由某
§3 有效数字及计算规则
小问题：1与1.0和1.00相等吗? 答:在分析化学中1≠1.0≠1.00 一、有效数字(significant figure) 概念：分析工作中实际上能测量到的数字，除最后一 位为可疑数字，其余的数字都是确定的
如：分析天平称量：1.21 23 (g) 滴定管读数：23.20 (ml)
=0.17
S 0.17 RSD 100 % 100 % 1.1% 15.82 X
用标准偏差比用平均偏差更科学更准确。
例: 两组数据
(1) 0.11, -0.73, 0.24, 0.51, -0.14, 0.00, 0.30, -0.21,
n=8 n=8 d1=0.28 d2=0.28 s1>s2 s1=0.38 s2=0.29 (2) 0.18, 0.26, -0.25, -0.37, 0.32, -0.28, 0.31，-0.27
(1)绝对误差 (δ) : δ= x－μ (2) 相对误差(RE): R E= δ / μ× 100%
注:
注1:两种误差都有正、负值之分。
小问题1：
买猪肉1000斤少0.5斤和买1斤少0.5斤哪个误差大?
小问题2： 用分析天平称量两个样品，一个是0.0021克，另一 个是0.5432克，两个测量值的绝对误差都是0.0001 克，试通过计算相对误差来说明哪种表示法更好。
第二章测量数据处理及测量误差分析
第二章测量数据处理及测量误差分析测量数据处理及测量误差分析是科学实验中非常重要的一个环节，它涉及到对实验数据进行整理、处理以及对测量误差进行分析、评估的过程。
本章主要包括数据的整理、数据处理的常用方法、误差分析和误差处理方法等内容。
一、数据的整理在进行数据整理之前，首先要明确实验的目的和要求，明确需要获得的数据类型和数据量，有针对性地进行数据测量和记录。
数据整理主要包括：1.数据记录：将实验过程中获得的原始数据按照一定的格式记录下来，包括数据名称、数据值、测量单位等。
2.数据清洗：对记录下来的数据进行初步的筛选和清理，去除明显的异常值和错误数据，保留有效和可靠的数据。
同时，要注意将数据转换为适当的统计量，如平均值、中位数、标准差等。
二、数据处理常用方法数据处理是对记录下来的数据进行统计、分析和加工的过程，常用的数据处理方法有：1.统计分析：包括计算数据的平均值、中位数、众数等统计量，分析数据的分布特征，进行图表的绘制和描述。
2.走势分析：通过时间序列数据的走势分析，观察数据的变化规律，判断数据是否存在趋势性、周期性等特征。
3.相关分析：用于研究两组或多组数据之间的相关性，包括相关系数的计算和相关关系的绘图等。
4.假设检验：通过已知的数据样本对一些假设的合理性进行检验，判断假设是否成立并进行统计推断。
三、误差分析误差是指测量结果与真实值之间的差异，它是不可避免的，但可以通过分析和处理来减小误差的影响。
误差分为系统误差和随机误差两种。
1.系统误差：主要源于测量仪器、测量方法和实验设计的不确定性，它会导致测量结果的整体偏移，常常是可检测和可纠正的。
调整测量仪器的零点、校正仪器的偏差、改进实验设计等方法可以减小系统误差的影响。
2.随机误差：主要源于测量过程中的各种随机因素，如环境的变化、测量操作的不精确等。
随机误差是不可避免的，通过多次重复测量可以获得多组数据，然后进行数据的平均处理和统计分析，可以减小随机误差的影响。
20第2章测量误差及数据处理
• 按国家标准规定，用最大引用误差来定义和划分仪器仪表 的精度等级，将仪器仪表的精度等级分为： …… ， 0.05， 0.1，0.25，0.35，0.5，1.0，1.5，2.5，4.0，5.0……（以前 只有七种）
• 当计算所得的与仪表精度等级的分档不等时，应取比稍大 的精度等级值。仪表的精度等级通常以S来表示。例如， S=1.0，说明该表的最大引用误差不超过±1.0%。
•
最大满度相对误差是仪表基本误差最大值 程之比的百分数，即：
xm与基 仪器仪表量
om量 xm基 程10% 0
• 最大引用误差是仪表的绝对误差最大值 xm与绝仪器仪表量程 之比的百分数，即：
量xm程 绝100%
• 当仪表是在标准条件下使用的，则：
最大满度相对误差＝大 最引用误差
仪表精度等级的确定
即：
Axc
c) 可见，用修正值可以减小测量误差，得到更接近于被 测量真值的实际值。
d) 应该指出，使用修正值必须在仪表检定的有效期内。 修正值本身也有误差。
实际值相对误差
例 测量两个电压，实际值U1 100V，U2 5V，仪表的 示值分别为Ux1 101V，Ux2 6V。其绝对误差分别为：
c) 随机误差表征了测量结果的精密度，随机误差小，精 密度高，反之，精密度低。
服从正态分布规律的随机误差
d) 当测量次数足够多时，大多数随机误差是服从正态分布的。服从 正态分布规律的随机误差具有下列特点（如 图所示）： ① 单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，
在误差 0处，出现的概率最大。
• 掌握随机误差、粗大误差和系统误差的估算、判断和减小方法
检测技术 第二章：误差分析与数据处理
可以得到精确的测量结果，否则还可能损坏仪器、设备、元器件等。
2．理论误差 理论误差是由于测量理论本身不够完善而采用近似公式或近似值计算测量 结果时所引起的误差。例如，传感器输入输出特性为非线性但简化为线性 特性，传感器内阻大而转换电路输入阻抗不够高，或是处理时采用略去高 次项的近似经验公式，以及简化的电路模 型等都会产生理论误差。
误差，周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。如图2.1所示，其中1为定值系差，2 为
线性系统误差，3为周期系统误差，4为按复杂规律变化的系统误差。 系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不正确，
测量设备的基本误差、读数方法不正确以及环境误差等。
系统误差是一种有规律的误差，故可以通过理论分析采 用修正值或补偿校正等方法来减小或消除。
•理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定的数值。 例如三角形的内角和恒为180°一般情况下，理论真值是未知的。 •约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于 真值，因而可以代替真值来使用。如：基准米定义为“光在真空中1/299792458s的时间 间隔内行程的长度”。测量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。
表等级为0.2级。
r＝
0.12 100% 100% 0.12 A 100
在选仪表时,为什么应根据被测值的大小,在满足被测量数值范围的前提下,尽可能 选择量程小的仪表，并使测量值大于所选仪表满刻度的三分之二。在满足使用 要求时，满量程要有余量，一般余量三分之一，为了装拆被测工件方便。 （同一精度，量程越大，误差越大，故量程要小，但留余量）
第二章 误差分析与数据处理
三．测量误差的来源
1．方法误差 方法误差是指由于测量方法不合理所引起的误差。如用电压表测量电压时，
第二章 误差及分析数据处理
4.产生原因： 偶然因素 随机变化因素（环
境温度、湿度和气压 的微小波动）
三、误差的减免
1. 系统误差的减免 与标准试样的标准结果对照
(1) 对照实验： 与标准方法比较 回收实验 “内检”与“外检”
(2) 空白实验 (3) 校准仪器 (4)定期培训
•分析化学常用试验的方法检查系统误差的存在， 并对测定值加以校正，使之更接近真实值。常有 以下试验方法：
二、数字的修约规则 四舍六入五成双
注意： 1、要修约的数值小于等于4则舍；
2、要修约的数值大于等于6则进到前一位
3、要修约的数值为5时：如5后无数或为 零时,5前为奇数则进到前一位； 5前为偶数则 舍弃；但当5后有非零数字时，无论5前为奇数 还是偶数，都要进到前一位；
4、在对数字进行修约时，只能一次修约到 所需的位数，不能分步修约。
2．平均偏差 ( d )
为各次测定值的偏差的绝对值的平均值
特点：简单；
n
Xi X
d i1 n
缺点：大偏差得不到应有反映。
3.相对平均偏差：为平均偏差与平均值之 比，常用百分率表示：
Rd d 100 % X
4.标准偏差(standard deviation; S)
使用标准偏差是为了突出较大偏差的影
解：X =(15.67+15.69+16.03+15.89)/4=15.82
d = Xi-X =15.67-15.82=-0.15
RE% =-0.15/15.82×100%=-0.95%
n
Xi X
d i1
=(0.15+0.13+0.21+0.07)/4=0.14
第二章 实验数据误差分析和数据处理
第二章误差和分析数据处理•2.1 测量值的准确度和精密度•2.2 提高分析结果准确度的方法（自学）•2.3 有效数字及其运算规则•2.4 有限量测量数据的统计处理•2.5 相关分析和回归分析（自学）§2.1 测量值的准确度和精密度误差（Error) : 测量值与真值之差。
➢真值T (True value)某一物理量本身具有的客观存在的真实值。
真值是未知的、客观存在的量。
在特定情况下认为是已知的：1、理论真值（如化合物的理论组成）(如，NaCl中Cl的含量）2、计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质量、物质的量单位等等）3、相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精度的测量值）（例如，标准样品的标准值）误差分类•系统误差（Systematic error)—某种固定的因素造成的误差方法误差、仪器误差、试剂误差、操作误差•随机误差（Random error)—不定的因素造成的误差仪器误差、操作误差系统误差与随机误差的比较项目系统误差随机误差产生原因固定因素，有时不存在不定因素，总是存在分类方法误差、仪器与试剂误差、主观误差环境的变化因素、主观的变化因素等性质重现性、单向性（或周期性）、可测性服从概率统计规律、不可测性影响准确度精密度消除或减小的方法校正增加测定的次数系统误差的校正•方法系统误差——方法校正•主观系统误差——对照实验校正（外检）•仪器系统误差——对照实验校正•试剂系统误差——空白实验校正如何判断是否存在系统误差？E a = x –x T 相对误差x ＜x T 为负误差，说明测定结果偏低x ＞x T 为正误差，说明测定结果偏高误差越小，分析结果越接近真实值，准确度也越高x -x T x T x T E r = ——= ————常用%表示Ea 绝对误差 误差的表示：对一B 物质客观存在量为T 的分析对象进行分析，得到n 个个别测定值x 1、x 2、x 3、••• x n ，对n 个测定值进行平均，得到测定结果的平均值，那么：个别测定的误差为：T x i -测定结果的绝对误差为：T x E a -=测定结果的相对误差为：%100⨯=TE E a r 平均值偏差（deviation): 单次测量值与测量平均值之差。
第二章+误差和分析数据的+处理
总体标准偏差（）：当测量为无限次测量时，各 测量值对总体平均值的偏离。
公式：
n
(xi ) 2
i 1
n
—总体平均值
只能在总体平均值已知的情况下才使用
• (样本)标准偏差(standard deviation， S)：有限次测
量(n20)的各测量值对平均值的偏离。
（2）若分析结果R是测量值X、Y、Z三个测量值相 乘除的结果，例如：R=XY/Z 则：
R X Y Z
RXY Z
• P12 例3
2.1.3.2 偶然误差的传递
1.极值误差法
考虑在最不利的情况下，各步测量带来的误差的 相互累加，这种误差称为极值误差。 用这种简便的方法可以粗略估计可能出现的最大 偶然误差。 一般情况下，当确定了使用的测量仪器和测定步 骤后，各测量值的最大误差就是已知的。 例如：称量；滴定
滴定管读数的极值误差为： ΔV=|±0.01 mL| + |±0.01 mL |=0.02 mL
故滴定剂体积为： （22.10-0.05）mL± 0.02 mL =（22.05±0.02）mL
2. 标准偏差法 （1）和、差的结果的标准偏差的平方是各测量值
标准偏差的平方之和。
（2）积、商的结果的相对标准偏差的平方是各测 量值相对标准偏差的平方之和。
被测组分含量不同时，对分析结果准确度的要求 就不一样。常量组分的分析一般要求相对误差在 0.2%，微量组分在1%到5%。
2.1.4.2 减小测量误差
根据误差的传递规律，分析过程中每一步的测
量误差都会影响最后的分析结果，所以尽量减 小各步的测量误差。 如何减小？
各测量步骤的准确度应与分析方法的准确度相
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则认为是异常值，需要剔除。
三. 粗大误差的剔除准则
1. 拉依达准则：使用方便； 2. 格拉布斯准则：适用于观测次数
30<n<50； 3. t检验：适用于观测次数较少的情况。
a 0.01
0.05
a
0.01
0.05
鉴格 n
n
别罗
3
1.15
1.15
17
2.78
2.48
值布
4 5
1.49
1.46
18
2.82
三. 粗大误差的剔除准则
2）2格. 拉格布罗斯布准斯则(Grubbs)准则
将数据排序，x1 x2 , , xn
统计量
gi
xi
s
x
当 gi g0 ，则认为是异常值，予以剔除
g0 为格拉布斯准则判别系数，可以查表来得到。
三. 粗大误差的剔除准则
2）格拉布斯准则另一种形式 2. 格罗布斯(Grubbs)准则的另一种方式 当测量数据中，某数据xi 的残差满足
误差？
解(1)采用拉依达准则判定 残差v
vi 3s
n
xi
x i1 20.404 n
n
vi2
s i1 0.033 n 1
so : 3s 0.099
(n 15)
根据拉依达准则，可
以发现，第8个数据 的残差0.104大于 0.099，该组数据中 含有粗大误差。
解(2)采用格罗布斯准则判定
x0
§2.1 误差的分类
为了便于误差的分析和处理，可以按误差的规 律性将其分为三类：即 •粗大误差； •随机误差； •系统误差。
§2.2 粗大误差的判定与剔除
一. 粗大误差的概念
明显超出规定条件下的预期值的误差称为粗大误差。 粗大误差一般是测量环境的重大变化、由于操作人员粗心 大意、操作不当或实验条件没有达到预定要求就进行实验 等造成的。如读错、测错、记错数值、使用有缺陷的测量 仪表等。含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值，所有 的坏值在数据处理时应剔除。
2.28
2.61
2.33
25 30 35
3.01
2.66
3.10
2.74
3.18
2.81
14
2.66
2.37
40
3.24
2.87
15
2.70
2.41
50
3.34
2.96
16
2.75
2.44
100
3.59
3.17
判定测量数据是否存在粗大误差的步骤：
1、根据读数确定平均值，作为真值； 2、确定残差或绝对误差 3、确定标准差； 4、根据拉依达准则、格罗布斯准则、t检 验准则判定粗大误差
第二章 测量数据处理
测量数据处理: 对测量所获得的数据进行深入分析， 找出变量之间相互制约、相互联系的依存关系;有 时还需要用数学解析的方法，推导出各变量之间 的函数关系。 只有经过科学的处理，才能去粗取精、去伪存真， 从而获得反映被测对象的物理状态和特性的有用 信息。
本章内容 •2.1 误差分类 •2.2 粗大误差的判别和剔除 •2.3 系统误差的发现和修正 •2.4 近似数的修约与运算 •2.5 数据的图形表示 •2.6 最小二乘法与实验曲线拟合
i g(a, n)s
则该测量数据含有粗大误差，应予以剔除。
三. 粗大误差的剔除准则
3）3t.检t验检准验则准则
假设测量值x1，x2，……,xn. 假设xd为怀疑对象。
统计不包含统计量xd的平均值x
n
1
1
xi
标准差
s
vi2
n2
根据要求的显著性水平a 以及测量次数n，求t检验系数K
如果：
| xd x | s K
5、剔除粗大误差 6、重复以上，直到没有粗大误差。
例题：对某个物理量进行15次重复测量，数据如下：
20.42 20.43 20.40 20.43 20.42 20.43 20.39 20.30 20.40 20.43
20.42 20.41 20.39 20.39 20.40 .判断测量数据是否含有粗大
§2.2 粗大误差的判定与剔除
二. 粗大误差的判定
1. 直观判断，直接剔除。 2. 增加测量次数，观察结果。 3. 根据概率统计特性进行判断。
三. 粗大误差的剔除准则
1）拉依达准则（3s准则）
在正态分布中，误差（残差）的绝对值大于3的概率为 0.0027，为小概率事件。故：
vi 3s
vi xi x
§2.1 误差分类
•测量的目的是为了获得被测量的真实值。但是，由于种种 原因如测量方法、测量仪表、测量环境等的影响，任何被 测量的真实值都无法得到。 •数据处理: 希望通过正确认识误差的性质和来源，正确地 处理测量数据，以得到最接近真值的结果。同时合理地制 定测量方案，科学地组织试验，正确地选择测量方法和仪 器，以便在条件允许的情况下得到最理想的测量结果。
则判定存在粗大误差，应予以剔除。
注意点：测量次数n尽可能多。原因：当n过小时，把正 常值当成异常值。
三. 粗大误差的剔除准则
2）格拉布斯准则 2. 格罗布斯(Grubbs)准则
假设测量值x1，x2，……,xn. 其均值 x、，残差vi、标准差s
已知。
x
1 n
xi
vi xi x
s
vi 2
n 1
§2.1 误差分类
测量误差及其表示方法
测量结果与被测量真值之差称为测量误差。测量误差可 以用以下几种方法表示。 1．绝对误差 绝对误差是指测量结果的测量值与被测量的真值之间的 差值，即：
x x0
x0: 真值; x: 测量值
2．相对误差 相对误差: 绝对误差与真值之比的百分数，即
100%
测量次数：n=15 假设显著性水平：a=0.01
i g(a, n)s
查表：g(0.01,15)=2.70
根据格罗布斯(Grubbs)准则计算：
g(a, n) 2.700.033 0.0891
可以发现，第8个数据的残差0.104大于0.0891，可见，第8 个数据20.30为可疑数据，其产生的误差为粗大误差。故剔 除第8个数据20.30，重新判断。
对剩余的14个数据重新计算，通过格罗布斯准则判定， 都没有粗大误差存在。
2020年9月30日星期三5时22 分15秒
§2.3 系统误差的发现与修正
在相同的条件下，对同一物理量进行多次测量，如果误 差按照一定规律出现，则把这种误差称为系统误差，简 称系差。
2.50
1.75
1.67
19
2.85
2.53
数斯
6
1.94
1.82
20
2.88
2.56
值
7
2.10
1.94
21
2.91
2.58
表
8
2.22
2.03
22
2.94
2.60
9
2.23
2.11
23
2.96
2.62
(Grubbs)
10
2.41
2.18
24
2.99
2.64
准 则
11 12 13
2.48
2.23
2.55