高三数学一轮复习课件：选修4-4 坐标系与参数方程

(2)C 的极坐标方程为 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)． 联立ρρ2ccoossθ2＋θ－sisniθn2－θ＝24＝，0 得 cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)． 故 tanθ＝－13，从而 cos2θ＝190，sin2θ＝110. 代入 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4 得 ρ2＝5，所以交点 M 的极径为 5.
数
方
程
为
x＝2＋t， y＝kt，
(t
为参数)，直线
l2 的 参 数 方 程 为
x＝－2＋m，
y＝mk ，
(m 为参数)．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，
P 的轨迹为曲线 C.
(1)写出 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ(cosθ＋sinθ)－ 2＝0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径．
极坐标与参数方程综合应用要点 (1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几 何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦 时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两 坐标系的关系，注意 ρ，θ 的取值范围，取值范围不同对应的曲线 不同．
(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表 的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻 找最佳化简途径．
[跟踪演练] (2017·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数
x＝－8＋t， 方程为y＝2t
(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为xy＝＝22s22，s
(s 为参数)．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最
小值．
[解] 直线 l 的普通方程为 x－2y＋8＝0.
[答案] 2
考点二 参数方程与普通方程的互化——热考点 (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参
数
方
程
为
x＝3cosθ， y＝sinθ，
(θ 为 参 数 ) ， 直 线
l
的参数方程为
x＝a＋4t， y＝1－t，
(t 为参数)．
(1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标；
4．直线、圆、椭圆的参数方程
[小题速练]
1．在极坐标系中，圆 ρ＝－2sinθ 的圆心的极坐标是( )
A.1，π2 C．(1,0)
B.1，－π2 D．(1，π)
[解析] ρ＝－2sinθ 化成直角坐标方程为 x2＋y2＝－2y，即 x2 ＋(y＋1)2＝1，圆心(0，－1)的极坐标为1，－π2.故选 B.
[答案] y′＝3sin2x′
5．(2015·北京卷)在极坐标系中，点2，π3到直线 ρ(cosθ＋ 3 sinθ)＝6 的距离为__________．
[解析] 点2，π3的直角坐标为(1， 3)，直线 ρ(cosθ＋ 3sinθ) ＝6 的直角坐标方程为 x＋ 3y－6＝0，所以点(1， 3)到直线的距 离 d＝|1＋ 31×＋33－6|＝1.
[答案] B
2．若直线 l 的参数方程为xy＝＝12＋－34tt，， (t 为参数)，则直线 l
的倾斜角的余弦值为( )
4 A.5
B．－45
3 C.5
D．－35
[解析] 由yx＝＝21－＋43tt， (t 为参数)得直线方程为 4x＋3y－10 ＝0，且斜率为 k＝－43，令直线 l 的倾斜角为 α，则 tanα＝－43， 所以 cosα＝－35.
＝4cosαsinα－π3 ＝2|cosαsinα－ 3cos2α|
＝212sin2α－
3c2os2α－
3 2
＝2sin2α－π3－ 23≤2＋ 3.
当 α＝－1π2时，S 取得最大值 2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.
[解] (1)曲线 C 的普通方程为x92＋y2＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0，
x＋4y－3＝0， 由x92＋y2＝1
解得yx＝＝03， 或xy＝＝－224522. 15，
从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，－2215，2245.
[答案] D
3 ． 在 极 坐 标 系 中 ， 过 点 (1,0) 且 与 极 轴 垂 直 的 直 线 方 程 是
() A．ρ＝cosθ
B．ρ＝sinθ
C．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1
[解析] 由过点(1,0)与 x 轴垂直的直线方程为 x＝1 可知，过 点(1,0)且与极轴垂直的直线方程为 ρcosθ＝1，选 C.
(2)设点 A 的极坐标为2，π3，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值．
[解] (1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1， θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝co4sθ.
由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程 ρ＝4cosθ(ρ>0)． 因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)，由题设知|OA|＝2，ρB＝ 4cosα，于是△OAB 面积 S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB ＝4cosα·sinα－π3
选
修
坐标系与参数方程
4-4
高考概览 1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平 面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用 极坐标刻画点的位置；3.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；4.能在极坐标 系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表 示的极坐标方程；5.了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当 的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
(3)极坐标与直角坐标的点，射线 Ox 的正方向为极轴，取相同的长度单位，
建立极坐标系．设点 P 的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(ρ，θ)，
则相互转化公式为yx＝＝ρρscionsθθ，，
ρ2＝x2＋y2， tanθ＝yxx≠0.
(2)直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0，故 C 上的点(3cosθ，
sinθ)到 l 的距离为 d＝|3cosθ＋4s1in7θ－a－4|.
当
a≥－4
时，d
的最大值为a＋9 17
.由题设知a＋179＝
17，所
以 a＝8；
当 a<－4 时，d 的最大值为－a1＋7 1.由题设得－a1＋7 1＝ 17，
[答案] 1
2．(2017·天津卷)在极坐标系中，直线 4ρcosθ－π6＋1＝0 与 圆 ρ＝2sinθ 的公共点的个数为________．
[解析] 依题意，得 4ρ 23cosθ＋12sinθ＋1＝0，即 2 3ρcosθ ＋2ρsinθ＋1＝0，所以直线的直角坐标方程为 2 3x＋2y＋1＝0. 由 ρ＝2sinθ，得 ρ2＝2ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y， 即 x2＋(y－1)2＝1，其圆心(0,1)到直线 2 3x＋2y＋1＝0 的距离 d ＝34<1，则直线与圆的公共点的个数是 2.
[解] (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：y＝k(x－2)；消去参 数 m 得 l2 的普通方程 l2：y＝1k(x＋2)．
y＝kx－2， 设 P(x，y)，由题设得y＝1kx＋2. 消去 k 得 x2－y2＝ 4(y≠0)． 所以 C 的普通方程为 x2－y2＝4(y≠0)．
[答案] C
4．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x， 则在这 y′＝3y，
一坐标变换下正弦曲线 y＝sinx 的方程变为________．
[解析]
由x′＝12x， y′＝3y，
x＝2x′ 得y＝13y′，
代入 y＝sinx，得13y′＝sin2x′， 故变换后的方程为 y′＝3sin2x′.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．极坐标与直角坐标 (1)极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做 极点 ，自极 点 O 引一条射线 Ox，叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、一个 角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了 极坐标系．
(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点 M，若设 |OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角为 θ，则 点 M 可用有序数对 (ρ，θ) 表示．
所以 a＝－16.
综上，a＝8 或 a＝－16.
参数方程与普通方程互化技巧 (1)将参数方程中的参数消去便可得到曲线的普通方程，消去 参数时常用的方法是代入法，有时也可根据参数的特征，通过对 参数方程的加、减、乘、除、乘方等运算消去参数，消参时要注 意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响． (2)普通方程转化为参数方程时，选取不同含义的参数时可能 得到不同的参数方程．
2．常用简单曲线的极坐标方程
3.参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是 某个变数 t 的函数xy＝＝fgtt (*)，如果对于 t 的每一个允许值，由 方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就 叫做这条曲线的 参数方程 ，变数 t 叫做参数．
[答案] 1
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 极坐标方程与直角坐标方程的互化——热考点 (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程 为 ρcosθ＝4.
(1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|·|OP| ＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；