高考数学一轮复习：“集合与常用逻辑用语”训练题及解析

1．(2016·信阳第二次联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0<x <9，x ∈R }和B ＝{x |－4<x <4，x ∈Z }关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示集合中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C.因为B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，∁R A ＝{x |x ≤0或x ≥9}，而阴影部分所示集合为B ∩(∁R A )，所以阴影部分所示集合中含有－3，－2，－1，0，共4个元素．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选C.因为32－x∈Z ，2－x 的取值有－3，－1，1，3，又x ∈Z ，所以x 值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．(2016·潍坊模拟)集合A ＝{x ||x ＋1|≤3}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则下列关系正确的是( ) A ．A ∪B ＝R B ．A ⊆(∁R B ) C ．B ⊆(∁R A ) D ．(∁R A )⊆(∁R B )解析：选D.因为A ＝{x ||x ＋1|≤3}＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，所以∁R A ＝{x |x <－4或x >2}，∁R B ＝{y |y >2或y <0}，所以(∁R A )⊆(∁R B )，故选D.4．设集合A ＝{－1，0，2}，集合B ＝{－x |x ∈A 且2－x ∉A }，则B ＝( ) A ．{1} B ．{－2} C ．{－1，－2} D ．{－1，0}解析：选A.当x ＝－1时，2－x ＝3∉A ，此时－x ＝1∈B ，当x ＝0时，2－0＝2∈A ，当x ＝2时，2－2＝0∈A ，所以B ＝{1}．5．(2016·南昌调研)已知集合A ＝{x |x 2＋2x <0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2≥0，则A ∩∁R B ＝( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0)C ．(－2，－1]D ．[－1，0)解析：选B.因为A ＝{x |－2<x <0}，B ＝{x |2－x≥2}＝{x |x ≤－1}，所以∁R B ＝{x |x >－1}，故A ∩∁R B ＝{x |－1<x <0}．6．(2016·南昌月考)设集合P ＝{a 2，log 2a }，Q ＝{2a，b }，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q ＝( ) A ．{0，1} B ．{0，1，2} C ．{0，2} D ．{0，1，2，3}解析：选B.因为P ∩Q ＝{0}，所以0∈P ，只能log 2a ＝0，所以a ＝1，a 2＝1，又0∈Q ，因为2a ＝21＝2≠0，所以b ＝0，所以，P ＝{0，1}，Q ＝{2，0}，所以P ∪Q ＝{0，1，2}．7．(2016·贵州省七校第一次联考)已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选C.由题意，得B ＝{0，1，2，3，2}，所以A ∩B ＝{0，1，2}，所以A ∩B 的真子集个数为23－1＝7，故选C.8．(2016·临沂质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－≦，1) B ．(－≦，2] C ．[1，＋≦) D ．[2，＋≦)解析：选D.因为x 2－3x ＋2>0，所以x >2或x <1. 所以A ＝{x |x >2或x <1}，因为B ＝{x |x ≤a }， 所以∁U B ＝{x |x >a }．因为∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.9．设全集U ＝R ，A ＝{y |y ＝tan x ，x ∈B }，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫|x |≤π4，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．[－1，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，1 解析：选C.图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1.10．已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2b ＋1，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝4c ＋1，c ∈Z }，则有( ) A ．m ＋n ∈A B ．m ＋n ∈B C ．m ＋n ∈CD ．m ＋n 不属于A ，B ，C 中任意一个集合解析：选B.因为m ∈A ，所以设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又n ∈B ，所以设n ＝2b 1＋1，b 1∈Z ，所以m ＋n ＝2(a 1＋b 1)＋1，而a 1＋b 1∈Z ，所以m ＋n ∈B .11．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}解析：选A.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．12．已知A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1，3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15 B ．16 C ．20 D ．21解析：选D.由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1) (x －3)≤0，得A ＝{0，1，2，3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1，0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4，2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5，3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1，2，3，4，5，6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.13．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________．解析：根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4. 答案：414．(2016·宿州质检)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，所以1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，所以a ≤1. 答案：(－≦，1]15．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋≦) 16．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________． 解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A . ①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.综上，可得a 的取值范围是(－≦，－1]． 答案：(－≦，－1]1．(2016·唐山统考)已知a 、b 均为实数，设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≤x ≤a ＋45，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫b －13≤x ≤b ，且A 、B 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集．如果把n －m (n >m )叫做集合{x |m ≤x ≤n }的“长度”，那么集合A ∩B 的“长度”的最小值是( ) A.715 B.415 C.1715 D.215解析：选D.结合题意可知，A ∩B 的“长度”的最小值为45＋13－1＝215.2．已知集合M ＝{1，2，3，4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若∀x ∈A 、y ∈B ，x <y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有________个．解析：当A ＝{1}时，B 有23－1＝7种情况，当A ＝{2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{3}时，B 有1种情况，当A ＝{1，2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B 均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个． 答案：173．已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)因为9∈(A ∩B )，所以2a －1＝9或a 2＝9， 所以a ＝5或a ＝3或a ＝－3. 当a ＝5时，A ＝{－4，9，25}，B ＝{0，－4，9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7，9}，B ＝{－8，4，9}，所以a ＝5或a ＝－3.(2)由(1)可知，当a ＝5时， A ∩B ＝{－4，9}，不合题意， 当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}． 所以a ＝－3.4．(2016·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－≦，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋≦)．第1章 集合与常用逻辑用语 第2讲1．(2015·高考上海卷)下列不等式中，与不等式x ＋8x ＋2x ＋3<2解集相同的是( )A ．(x ＋8)(x 2＋2x ＋3)<2B ．x ＋8<2(x 2＋2x ＋3)C.1x 2＋2x ＋3<2x ＋8D.x 2＋2x ＋3x ＋8>12解析：选B.依题意，注意到x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2>0，因此不等式x ＋8x 2＋2x ＋3<2等价于x ＋8<2(x 2＋2x ＋3)，故选B.2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－≦，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋≦，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12 D.12解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1a ，所以a ＝－2，故选B. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1，1]B ．[－2，2]C ．[－2，1]D ．[－1，2]解析：选A.法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， 所以－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，所以0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图像，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1，1]．4．(2016·广东省联合体联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|，x ≤2，2x －1，x >2，则使f (x )≥1的x 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 C ．(－≦，1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋≦ D ．(－≦，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3解析：选D.不等式f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－≦，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3，故选D. 5．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4，5) B ．(－3，－2)∪(4，5) C ．(4，5] D ．[－3，－2)∪(4，5]解析：选D.原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．6．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，2] B ．(－2，2) C ．(－≦，－2)∪[2，＋≦) D ．(－≦，2]解析：选A.原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m ＝2时，对任意的x 不等式都成立；②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， 所以－2<m <2，综合①②，得m 的取值范围是(－2，2]．7．(2016·合肥一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x ＋1|，x ≤0，x 2－1，x >0，则不等式f (x )<0的解集为________．解析：若x >0，由f (x )<0得x 2－1<0，解得0<x <1.若x ≤0，由f (x )<0得－|x ＋1|<0，解得x ≤0且x ≠－1，综上不等式的解为x <1且x ≠－1，即不等式的解集为(－≦，－1)∪(－1，1)．答案：(－≦，－1)∪(－1，1)8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________． 解析：原不等式即(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a <x <1a9．(2016·九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)，所以g (x )<g (4)＝－2， 所以a <－2.答案：(－≦，－2)10．已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则实数x 的取值范围为________．解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立不等式解得x <1或x >3. 答案：{x |x <1或x >3}11．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.12．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？ 解：假设一次上网x (x <17)小时，则公司A 收取的费用为1.5x 元，公司B 收取的费用为 1.7＋(1.7－0.1)＋ (1.7－0.2)＋…＋[1.7－(x －1)×0.1]＝x （35－x ）20(元)． 由x （35－x ）20>1.5x (0<x <17)，整理得x 2－5x <0，解得0<x <5，故当0<x <5时，公司A 收费低于公司B 收费，当x ＝5时，A ，B 两公司收费相等，当5<x <17时，公司B 收费低，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A 的费用少；为5小时时，选择公司A 与公司B 费用一样多；超过5小时小于17小时时，选择公司B 的费用少．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，则有( )A ．a ＝3，b ＝4B ．a ＝3，b ＝－4C ．a ＝－3，b ＝4D ．a ＝－3，b ＝－4解析：选D.法一：由题意得集合A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，所以集合B 为{x |－1≤x ≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a ＝－3，b ＝－4.法二：易知A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∩B ＝(3，4]，可得4为方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则有16＋4a ＋b ＝0，经验证可知选项D 正确．2．(2016·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－2x －1，x <0，其图像如图所示：由图可知：不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <0x 2－2x <3x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，1<x <4，即1<x <2，所以不等式的解集为(1，2)．答案：(1，2)3．(2016·西安交大附中模拟)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋≦)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－≦，－1)时，f (x )在[－1，＋≦)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋≦)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋≦)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g （－1）≥0.解得－3≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－3，1]．4．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .第3讲 命题、充分条件与必要条件1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．(2016·大连质检)命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( )A ．“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ”B ．“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ”C ．“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”D ．“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”解析：选D.根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．3．(2016·蚌埠质检)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期大于π的充分不必要条件是( )A ．ω＝1B ．ω＝2C ．ω<1D ．ω>2解析：选A.f (x )的最小正周期大于π⇔T ＝2π|ω|>π⇔0<|ω|<2，故选A.4．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得A ∪B ＝{x ∈R |x <0或x >2}，C ＝{x ∈R |x <0或x >2}，故A ∪B ＝C ，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．5．(2016·江西省八校联考)在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.AB →·AC →＝BA →·BC →⇔AB →·(AC →＋BC →)＝0⇔AB 与AB 边上的中线垂直⇔|AC →|＝|BC →|.6．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝－4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝－4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠－4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠－4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝－4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题解析：选C.根据逆否命题的定义可以排除A ，D ，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故选C.7．(2016·宿州质检)“a >－1”是“函数f (x )＝x ＋a |x －1|在R 上是增加的”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.函数f (x )＝x ＋a |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧（1＋a ）x －a ，x ≥1，（1－a ）x ＋a ，x <1，在R 上是增加的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1＋a >0，1－a >0，（1－a ）＋a ≤1＋a －a ，即－1<a <1，故选B. 8．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m 不成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B.9．(2015·高考浙江卷)设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．10．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xB ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2abD ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d解析：选D.A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a <b ，c >d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D.11．(2016·郑州联考)已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f (x )＝(a x ＋b )2＝a 2x 2＋2a ·b x ＋b 2，且f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数，所以2a ·b＝0，即a ·b ＝0，所以a ⊥b ；若a ⊥b ，则有a ·b ＝0，所以f (x )＝(a x ＋b )2＝a 2x 2＋2a ·b x ＋b 2＝a 2x 2＋b 2为偶函数，所以“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的充要条件，故选C.12．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1] 解析：选B.由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B.13．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________． 解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3. 答案：314．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是________．解析：已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图像关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立．所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2. 答案：m ＝－215．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]16．(2016·榆林一模)已知命题p ：实数x 满足－2≤1－x －13≤2；命题q ：实数x 满足x2－2x ＋(1－m 2)≤0(m >0)．若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：令A ＝{x |－2≤1－x －13≤2}＝{x |－2≤x ≤10}，B ＝{x |x 2－2x ＋(1－m 2)≤0，m >0}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 因为“若綈p ，则綈q ”的逆否命题为“若q ，则p ”， 而綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的必要不充分条件，所以p ⇒q ，即A B ，故⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，10≤1＋m(等号不同时取到)，解得m ≥9.答案：[9，＋∞)1．(2015·高考福建卷)“对任意x ∈(0，π2)，k sin x cos x ＜x ”是“k ＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.令f (t )＝sin t －t ，则f ′(t )＝cos t －1≤0恒成立，所以f (t )＝sin t －t 在[0，π]上是减函数，f (t )≤f (0)＝0，所以sin t <t (0<t <π)．令t ＝2x ，则sin 2x ＜2x (0<x <π2)，所以2sin x cos x <2x ，所以sin x cos x <x .当k <1时，k sin x cos x <x ，故必要性成立；当x ＝π3时，k sin 2x <2x 可化为k <2×π3sin2π3＝43π9，而43π9>43，取k ＝43，不等式成立，但此时k >1，故充分性不成立．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12＜2x＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A B ，所以m ＋1＞3，即m ＞2. 答案：(2，＋∞)3．已知集合A ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝x 2－32x ＋1，34≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1.配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2， 所以y min ＝716，y max ＝2.所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2. 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2.化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{}x |x ≥1－m 2.因为命题p 是命题q 的充分条件，所以A ⊆B .所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 4．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程， 所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0， 解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1， 所以m ＝－1或1. 当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.第4讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”1．(2015·高考全国卷Ⅰ改编)设命题p ：存在n ∈N ，n 2>2n，则綈p 为( )A ．对任意的n ∈N ，n 2>2nB ．存在n ∈N ，n 2≤2nC ．对任意的n ∈N ，n 2≤2nD ．存在n ∈N ，n 2＝2n解析：选C.因为“存在x ∈M ，p (x )”的否定是“对任意的x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“存在n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“对任意的n ∈N ，n 2≤2n”．2．(2015·高考湖北卷改编)命题“存在x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是( ) A ．对任意的x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．对任意的x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．存在x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 D ．存在x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1解析：选A.特称命题的否定为全称命题，所以存在x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1的否定是对任意的x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.3．将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是( )A ．存在a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2B ．存在a <0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2C ．对任意的a >0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2D ．对任意的a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2解析：选D.全称命题含有量词“任意”，故排除A 、B ，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立，故选D.4．下列命题中的假命题是( ) A ．存在x ∈R ，lg x ＝0 B ．存在x ∈R ，tan x ＝ 3C ．对任意的x ∈R ，x 3>0D ．对任意的x ∈R ，2x>0解析：选C.当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x ∈R ，lg x ＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x ∈R ，tan x ＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3<0，故命题“对任意的x ∈R ，x 3>0”是假命题；根据指数函数的性质，对对任意的x ∈R ，2x>0，故命题“对任意的x ∈R ，2x>0”是真命题．5．命题p ：对任意的x ∈(－∞，0]，2x≤1，则( )A ．p 是假命题；綈p ：存在x ∈(－∞，0]，2x>1B ．p 是假命题；綈p ：对任意的x ∈(－∞，0]，2x≥1C ．p 是真命题；綈p ：存在x ∈(－∞，0]，2x>1D ．p 是真命题；綈p ：对任意的x ∈(－∞，0]，2x≥1解析：选C.因为对任意的x ∈(－∞，0]，2x ≤20＝1，所以p 是真命题．又因为綈p ：存在x ∈(－∞，0]，2x>1.故选C.6．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p 且q ；②p 或q ；③p 且(綈q )；④(綈p )或q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④解析：选C.当x ＞y 时，－x ＜－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题．当x ＞y 时，x 2＞y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．由真值表知，①p 且q 为假命题；②p 或q 为真命题；③p 且(綈q )为真命题；④(綈p )或q 为假命题．故选C.7．“命题‘存在x ∈R ，x 2＋ax －4a <0’为假命题”是“－16≤a ≤0”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为“存在x ∈R ，x 2＋ax －4a <0”为假命题，所以“对任意的x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0”为真命题．所以Δ＝a 2＋16a ≤0，即－16≤a ≤0.所以“命题‘存在x ∈R ，x 2＋ax －4a <0’为假命题”是“－16≤a ≤0”的充要条件．8．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．(綈p )或(綈q ) B ．p 或(綈q ) C ．(綈p )且(綈q ) D ．p 或q解析：选A.命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．或者是命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否定，即“p 且q ”的否定．选A. 9．(2016·江西省三校联考)下列四个结论： ①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”的充分不必要条件；④命题“对任意的x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“存在x ∈R ，x －ln x ≤0”． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.记f (x )＝x －sin x ，x >0，则f ′(x )＝1－cos x ≥0，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，因此当x >0时，f (x )>f (0)，即x －sin x >0，x >sin x ，①正确；命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆命题为“若x ＝0，则x －sin x ＝0”，②不正确；由命题“p 或q ”为真不能得知命题“p 且q ”为真，反过来，由命题“p 且q ”为真命题可得知命题“p 或q ”为真，因此“命题p 或q ”为真是“命题p 且q ”为真的必要不充分条件，③不正确；命题“对任意的x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“存在x ∈R ，x －ln x ≤0”，④正确．综上所述，正确结论的个数是2，故选B.10．(2016·昆明联考)若“p ：存在x ∈[1，4]，log 12x ≤a ”是真命题，则实数a 的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－1解析：选C.问题转化为y ＝log 12x 在x ∈[1，4]的取值范围，则y ∈[－2，0]，故选C.11．(2016·辽宁省五校联考)下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“存在x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 2－x >0” B ．命题“p 或q 为真”是命题“p 且q 为真”的充分不必要条件C ．命题“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”是假命题D ．命题“在△ABC 中，若sin A <12，则A <π6”的逆否命题为真命题解析：选C.A 中命题的否定是：对任意的x ∈R ，x 2－x >0，故A 不对；B 中当p 为假命题、q 为真命题时，p 或q 为真，p 且q 为假，故B 不对；C 中当m ＝0时，a ，b ∈R ，故C 的说法正确；D 中命题“在△ABC 中，若sin A <12，则A <π6”为假命题，所以其逆否命题为假命题．故选C.12．(2016·山东省实验中学第一次诊断)下列有关命题的叙述错误的是( )A ．若綈p 是q 的充分条件，则p 是綈q 的必要条件B ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题C ．命题“对任意的x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“存在x ∈R ，x 2－x ≤0”D ．“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件解析：选B.易知，A 正确；p 且q 为假，p ，q 至少有一个为假，B 错误； “任意”的否定是“存在”，“>”的否定是“≤”，C 正确；“x >2”一定能推出“1x <12”，但当x ＝－1时，满足1x <12，但不满足x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，D 正确．综上可知，选B.13．(2016·郑州调研)命题“存在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x >sin x ”的否定是________．答案：对任意的x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x14．已知命题p ：存在x ∈R ，e x －mx ＝0，q ：对任意的x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p 或(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：若p 或(綈q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m <e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以要使p 或(綈q )为假命题，则m 的取值范围是0≤m ≤2. 答案：[0，2]15．(2015·高考山东卷改编)若“对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1. 答案：116．曾经在校园内发生过这样一件事：甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地上踢足球，忽然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后，李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问道：“玻璃是谁打破的？”甲：是乙打破的；乙：不是我，是丁打破的；丙：肯定不是我打破的；丁：乙在撒谎．现在只知道有一个人说了真话，则打破玻璃的是________．解析：求解此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p ”与“非p ”形式，因此乙和丁之间必有一人说真话一人说假话，由此分析可知，甲和丙说的都是假话，可得是丙打破的玻璃． 答案：丙。