2017-2018学年吉林省长春外国语学校高三(上)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年吉林省长春外国语学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|2x＜4}，B={x|﹣2＜﹣x＜1，x∈N}，则A∩B=（）A．{1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{0，1}D．{x|x＜2}2．（5分）已知复数z满足iz=2+3i，则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A．B．C．D．4．（5分）抛物线x2=的焦点到准线的距离是（）A．2 B．1 C．D．5．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺6．（5分）下列说法不正确的是（）A．命题“对∀x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得x02＜0”B．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件C．“若tanα≠，则α≠”是真命题D．甲、乙两位学生参与数学模拟考试，设命题p是“甲考试及格”，q是“乙考试及格”，则命题“至少有一位学生不及格”可表示为（￢p）∧（￢q）7．（5分）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．4 cm3B．5 cm3C．6 cm3D．7 cm38．（5分）运行如图框图输出的S是254，则①应为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤89．（5分）若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1 B．2 C．D．310．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（）A．2 B．C．6 D．911．（5分）已知F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|•|PF2|=8a2，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率是（）A．B．2 C．D．312．（5分）已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m ＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数f（x）=，则f（x）dx=．14．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．15．（5分）若二项式（ax﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，A=4B，则B=．16．（5分）以下命题正确的是．①函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②函数f（x）=x+（x＞0）的最小值为2；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．（1）求实数m的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC的面积为，求边长a．18．（12分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：MN⊥平面PAB；（Ⅱ）当PA=AB=2，二面角C﹣AN﹣D大小为时，求PN的长．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为2，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）若以AB为直径的圆恰过坐标原点O，证明：原点O到直线l的距离为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx+1）+ax；（1）函数f（x）的一个极值点为x=1，求a；（2）若函数f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（3）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）﹣x在x∈（1，+∞）恒成立，求k的最大值．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题好进行评分；多涂多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|，（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年吉林省长春外国语学校高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|2x＜4}，B={x|﹣2＜﹣x＜1，x∈N}，则A∩B=（）A．{1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{0，1}D．{x|x＜2}【解答】解：集合A={x|2x＜4}={x|x＜2}，B={x|﹣2＜﹣x＜1，x∈N}={x|﹣1＜x＜2}={0，1}，则A∩B={0，1}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足iz=2+3i，则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由iz=2+3i，得z=，∴z对应的点的坐标为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．3．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选A4．（5分）抛物线x2=的焦点到准线的距离是（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：抛物线x2=的方程可知：，解得p=．∴此抛物线的焦点到准线的距离d=．故选：D．5．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴S30==90（尺）．故选：B．6．（5分）下列说法不正确的是（）A．命题“对∀x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得x02＜0”B．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件C．“若tanα≠，则α≠”是真命题D．甲、乙两位学生参与数学模拟考试，设命题p是“甲考试及格”，q是“乙考试及格”，则命题“至少有一位学生不及格”可表示为（￢p）∧（￢q）【解答】解：A，命题“对∀x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得x02＜0”，A正确；B，“a＞b”不能⇒“ac2＞bc2”，例如c=0时ac2＞bc2就不成立，即充分性不成立；反之，“ac2＞bc2”⇒“a＞b”，即必要性成立，B正确；C，“若tanα≠，则α≠”其逆否命题为“若α=，则tanα=”是真命题，由“原命题与其逆否命题真假性一致”可知，C正确；D，甲、乙两位学生参与数学模拟考试，设命题p是“甲考试及格”，q是“乙考试及格”，则命题“至少有一位学生不及格”可表示为（￢p）∨（￢q），而不是（￢p）∧（￢q），D错误；故选：D．7．（5分）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．4 cm3B．5 cm3C．6 cm3D．7 cm3【解答】解：如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即PA⊥平面ABCD，PA=2所以几何体的体积为：=×（）×2×2=4故选A．8．（5分）运行如图框图输出的S是254，则①应为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26+27=254，故①中应填n≤7．故选C．9．（5分）若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z=2x+y的最小值为4，即2x+y=4，且y=﹣2x+z，则直线y=﹣2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y=﹣x+b上，即2=﹣1+b，解得b=3，故选：D10．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（）A．2 B．C．6 D．9【解答】解：∵⊥，∴（x﹣1，2）•（4，y）=0，化为4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥===6，当且仅当2x=y=1时取等号．故选C．11．（5分）已知F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|•|PF2|=8a2，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率是（）A．B．2 C．D．3【解答】解：不妨设点P在双曲线右支，F1，F2分别为左，右焦点，有|PF1|﹣|PF2|=2a，由，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由|F1F2|=2c＞2a知，△PF1F2的最小内角为∠PF1F2=30°，从而△PF1F2为直角三角形，∠F1F2P=90°，则有2c=2a，此时双曲线离心率e==，故选C．12．（5分）已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m ＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln （x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数f（x）=，则f（x）dx=+．【解答】解：f（x）dx=∫（x+1）2dx+∫dx=∫（x2+2x+1）dx+∫dx∫（x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|=0﹣（+1﹣1）=，∫dx的几何意义是圆x2+y2=1，（0＜x≤1，y≥0）的面积S==，则f（x）dx=+，故答案为：+14．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．15．（5分）若二项式（ax﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，A=4B，则B=60．【解答】解：二项式（ax﹣）6（a＞0）展开式的通项公式为T r+1=•（ax）6﹣r•=（﹣1）r•a6﹣r••，令r=2，得展开式中x3的系数为A=•a4=15a4；令r=4，得展开式中常数项为B=•a2=15a2，由A=4B可得a2=4，又a＞0，所以a=2，所以B=15×22=60．故答案为：60．16．（5分）以下命题正确的是①③④．①函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②函数f（x）=x+（x＞0）的最小值为2；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．【解答】解：①函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sinx[2（x﹣）+]=3sin2x，故①正确，②当a＜0时，函数f（x）=x+（x＞0）为增函数，此时没有最小值，故②错误；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有=18+12=30种；故③正确，④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（1，2）的概率为0.5﹣0.1=0.4，则ξ在（2，3）内取值的概率和ξ在（1，2）的概率相同，都为0.4，故④正确，故答案为：①③④三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．（1）求实数m的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC的面积为，求边长a．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m=（cos2x+1）+sin2x﹣m=2sin （2x+）+﹣m，∴函数f（x）在2x+=时取得最大值，即2+﹣m=2，解得：m=；（2）∵f（A）=0，∴2sin（2A+）=0，即sin（2A+）=0，由A为锐角，解得：A=，∵sinB=3sinC，由正弦定理得b=3c①，∵△ABC的面积为，=bcsinA=bcsin=，即bc=3②，∴S△ABC联立①②，解得：b=3，c=1，∵a2=b2+c2﹣2bc•cosA=32+12﹣2×3×1×cos，∴a=．18．（12分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92；…（4分）（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人，所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）；…（8分）（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[130，150]的人有2人，依题意ξ的所有取值为0、1、2，当ξ=0时，；当ξ=1时，；当ξ=2时，；∴．…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：MN⊥平面PAB；（Ⅱ）当PA=AB=2，二面角C﹣AN﹣D大小为时，求PN的长．【解答】（Ⅰ）证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC．∵AB∩PA=A，且AB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥PB，∵MN⊥PB，∴MN∥BC，则MN⊥平面PAB；（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2）．设平面DAN的一个法向量为=（x，y，z），平面CAN的一个法向量为=（a，b，c），设=λ，λ∈[0，1]，∵=（2，2，﹣2），∴=（2λ，2λ，2﹣2λ），又=（0，2，0），∴，取z=1，得=（，0，1），∵=（0，0，2），=（2，2，0），∴，取a=1得，到=（1，﹣1，0），∵二面C﹣AN﹣D大小为，∴|cos＜，＞|=cos=，∴|cos＜，＞|=||=||=，解得λ=，∴，则PN=．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为2，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）若以AB为直径的圆恰过坐标原点O，证明：原点O到直线l的距离为定值．【解答】解：（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为2，可得a=，e==，可得c=，b===1，则椭圆的方程为+y2=1；证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消y可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即有（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2）•﹣km•+m2=0，∴4m2=3（k2+1），∴原点O到直线l的距离为d==．即点O到直线AB的距离为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx+1）+ax；（1）函数f（x）的一个极值点为x=1，求a；（2）若函数f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（3）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）﹣x在x∈（1，+∞）恒成立，求k的最大值．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+2+a，由题意得：f′（1）=2+a=0，解得：a=﹣2；（2）∵f（x）=x+ax+xlnx，∴f′（x）=a+2+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，a+2+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣2﹣lnx）max=﹣2﹣ln=﹣，即a的取值范围为[﹣，+∞）；（3）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）﹣x⇔k＜对任意x＞1恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=1﹣=＞0⇒h（x）在（1，+∞）上单增．∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，g（x）min=g（x0）===x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即k max=3．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题好进行评分；多涂多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．化为直角坐标方程：y2=4x．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程（t为参数），代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==4．23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|，（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|=当x≥2时，可得2x﹣1≥5，解得：x≥3．∴x≥3当x≤﹣1时，可得﹣2x+1≥5，解得：x≤﹣2．∴x≤﹣2故得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．（2）函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|=|2﹣x|+|1+x|≥3，∴3≥|a﹣1|，可得：﹣3≤a﹣1≤3，解得：﹣2≤a≤4．故得a的范围是[﹣2，4]．。