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一、实验题目
设一个时隙Aloha系统的时隙长度为1，所有节点的数据等长且等于时隙长度。

网络中的节点数为m，各节点数据包以泊松过程到达。

1、假设每个节点的数据包到达强度均为λ/m，在不同的λ下，使用
计算机仿真时隙Aloha系统数据包传送的成功功率，绘制呼入强度和成功概率的曲线，与理论值进行对照。

注意：节点个数m要足够多。

2、选取合理的等待重传的节点在每一个时刻重传的概率
q、每个节
r 点有新数据包到达的概率
q，以及节点数m，采用延时的下界，仿
a
真时隙Aloha系统数据传输过程，统计在不同积压节点数n的情
，绘制到达率和离开率随n的分布情况下，到达率及离开率）
（
P
n
s
况，和理论值进行对照。

3、仿真时隙Aloha系统下的伪贝叶斯算法，通过仿真结果验证在n
的估计误差大情况下的收敛特性及到达率小于1/e下的稳定性。

二、实验过程
1、计算机仿真时隙Aloha系统数据包传送的成功功率，绘制呼入强度和成功概率的曲线，与理论值进行对照。

由泊松过程可知，在一个时隙中有一个数据包到达的概率为λe−λ，对于每一个节点而言，数据包到达的概率为λ/me−λ/m。

在仿真是我们假设始终只有一个数据包到达，所以在仿真的时候可以以一个
时隙为步长，每个节点每个时隙到达一个数据包的概率就为λ/ me−λ/m。

然后对m个生成m个随机数，如果此随机数小于每个一个数据包到达的概率我们就认为有一个数据包到达了，把此随机数记为1，否则为0，这样可以得到一个m维的矩阵。

在仿真过程中我们取给定的λ，取多个时隙作多次重复试验，则可以得到这多次重复试验中成功传送的次数，这样得到的成功传送的概率与取不同λ值，得到的成功传送的概率相同。

对于给定的λ，时隙为1的理论成功传送的概率为λe−λ。

下面是m=500，1000个时隙，λ在0-5对应的成功传输概率
图1 不同λ下成功传送的概率
上图星是仿真值，曲线是理论值，可以看出来他们吻合。

当只有一个数据包到达是，理论上是在到达强度为1时，发送概率最大，
这一点也符合。

程序：
m=500;
t=1000;
s=[];
thva=[];
for k=0:0.1:5
p=k/m;
x=rand(m,t);
for i=1:m
for j=1:t
if x(i,j)<=p
x(i,j)=1;
else
x(i,j)=0;
end
end
end
y=(sum(x));
s=[s,sum(y==1)/t];
thva=[thva,k*exp(-k)];
end
k=0:0.1:5;
plot(k,s,'r*')
hold on
plot(k,thva)
2、绘制到达率和离开率随n的分布情况，和理论值进行对照。

为了方便叙述，作如下假设：
qr：等待重传的节点在每一时隙内重传数据包的概率
m：系统内总的节点数
n：每个时隙开始时等待重传的节点数
qa：每个发送节点有数据包到达的概率
仿真思路
1、使用二项分布来模拟数据的到达率和离开率。

其中有n个等
待以概率qr重传的节点，有m-n个空闲节点，其中节点新到数据包的概率为qa。

在实验中，前n个等待重传的数据包用1来表示，后面m-n项为0，用矩阵U表示。

同理用矩阵1来模拟m-n个空闲节点新数据包到达的情况，前n点表示0，后m-n表示为1。

2、将矩阵重传数据包和新到达的数据包个数相加，如果时隙内的数据包只有一项为1,则表示有数据发送成功，此时可以用Ns来计数发送成功的次数，否则则是空闲或者碰撞。

3、我们做M次试验，最后求一个时隙内新到达的数据包的平均值和一个时隙内平均传输数据包的个数。

4、理论值:新到达的数据包：(m-n)qa,成功传输的数据包：Ps=G(n)exp(-G(n)),其中G(n)=(m-n)qa+n*qr=D+n*qr。

5、为了使传送成功的概率最大，总的到达强度取1/e，我们应该合理取qa和qr,且要保证qr大于qa。

仿真结果：
图2 qr=0.04 等待重传节点数n下的到达率和离开率
图3 qr=0.08 等待重传节点数n下的到达率和离开率
图3 qr=0.06 等待重传节点数n下的到达率和离开率
图中直线为到达率，曲线为离开率，星形为实验值，连续线为理论值。

从上图我们可以看到实验值和理论值的吻合程度很好。

其次，如果qr减小，曲线向右扩张，从而导致第二个交叉点向右移，扩张到一定的程度后仅有一个稳定点。

最后，当重传概率qr增加，曲线会向
左压缩，导致到达率和离开率的第二个交叉点向左移，从而使很小的n值都可能使系统进入不稳定区域，不稳定性增加。

程序;
a=1/exp(1);
m=200;qa=a/m;qr=0.06;Ns=zeros(1,m+1);D=zeros(1,m+1);D1=zeros(1,m+1);P s1=zeros(1,m+1);M=20000;
for n=0:m
for i=1:M
u(1:n)=binornd(1,qr,1,n); u(n+1:m)=0;
L(1:n)=0; L(n+1:m)=binornd(1,qa,1,m-n);
D(n+1)=D(n+1)+sum(l);
y=u+l;
if sum(y)==1
Ns(n+1)=Ns(n+1)+1;
else
Ns(n+1)=Ns(n+1);
end
end
D1(n+1)=(m-n)*qa;
G(n+1)=D1(n+1)+n*qr;
Ps1(n+1)=G(n+1)*exp(-G(n+1));
end
Ps=Ns/M;
D=D/M;
t=0:m;
plot(t,Ps,'r*')
hold on
plot(t,Ps1,'r')
hold on
plot(t,D,'*')
hold on
plot(t,D1)
3、仿真时隙Aloha系统下的伪贝叶斯算法，通过仿真结果验证在n的估计误差大情况下的收敛特性及到达率小于1/e下的稳定性。

思路：
由于伪贝叶斯算法中，当节点有新数据包到达时，不是立刻发送，
而是先对该数据包进行缓存，在下一时隙也是以概率qr 进行传输。

1、前n 个等待重传的数据包用1表示的二项式来模拟，后面m-n 项为0，用矩阵U 表示。

同理用矩阵1来模拟m-n 个空闲节点新数据包到达的情况，前n 点表示0，后m-n 表示为1。

2、 将U 和1相加得到矩阵表示下一个时隙是否有数据包发送，其中1的个数表示等待重发的总节点数。

此时可以用binornd(1,qr,1,total)来模拟发送过程，如果相加得到的矩阵只有一个为1，其他都为0，则表示可以成功发送，从而将下一时隙等待重传的节点数减1。

3、根据2步得到的矩阵，预测发送情况。

验证在n 的估计误差大情况下的收敛特性
n:初始等待重传的节点数，n_t:初始估计的等待重传的节点数，m:节点数，N:时隙数，
1、n=100，n_t=250，m=2000，时隙数为N=2000，
e 1
3.0⨯
=λ
图5 初始估计值比实际值大的收敛情况
2、n=250，n_t=200，m=2000，N=2000，
e 13.0⨯
=λ
图6 初始估计值比实际值小的收敛情况
3、n=10， n_t=200，m=2000， N=2000，
e 13.0⨯
=λ
图7 初始估计值比实际值大的收敛情况
从上图中可以看无论估计的初始等待重传的节点数比实际值大还是小，估计值最终都收敛于实际值。

当估计值远大于实际值时，
重传的概率qr较小，故系统空闲的概率较大，成功传输的概率较大。

验证稳定性
，λ=1.5×1/e n=10，n_t=200，m=2000， N=2000，图8是λ=0.5×1
e
时的稳定性对比图。

图 8 验证稳定性
从上图可以看出，当λ>1/e时系统不稳定，当λ<1/e时系统不稳定。

程序:
a=1/exp(1)*0.5;
n=50; n_t=200; N=2000; n1=n; n1_t=n_t; m=2000; qa=a/m;
for j=1:N
qr=min(1,1/n1_t);
n=n1;
n_t=n1_t;
u(1:n)=1; u(n+1:m)=0;
l(1:n)=0; l(n+1:m)=binornd(1,qa,1,m-n);
y=u+l;
total=length(find(y==1));
leave=binornd(1,qr,1,total);
if sum(leave)==1
n1=total-1;
else
n1=total;
end
N1(j)=n1;
if sum(leave)==1||sum(leave)==0
n1_t=max(a,(a+n_t-1));
else
n1_t=n_t+a+(exp(1)-2)^(-1);
end
N1_t(j)=n1_t;
end
plot(1:N,N1,'b');
hold on;
plot(1:N,N1_t,'r');
hold on;。