抽象函数的周期性和对称性
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数的周期性与对称性(精)
抽象函数的周期性与对称性(精)抽象函数的周期性和对称性问题可以通过恒等式简单判断。
如果函数满足f(x+a)=f(-x+a)，那么它是偶函数，对称轴为x=a，周期为T=2a。
如果函数满足f(x+a)=-f(-x+a)，那么它是奇函数，对称中心为(a,0)。
如果函数满足f(a-x)=f(b+x)，那么它的对称轴为x=(a+b)/2，周期为T=|b-a|。
如果函数满足f(x+a)=-f(x-a)，那么它的对称中心为(a,0)，周期为T=2a。
需要注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别，对称轴或对称中心的位置可以通过对应法则求得。
例如，对于已知定义在实数集上的奇函数f(x)，满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为-1.又如，如果函数f(x)对于任意实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于x=1对称。
练1：如果函数y=f(x+1)是偶函数，则y=f(x)的图像关于x=1对称。
练2：如果函数y=f(x)满足11f(x+3)=-f(x)，且f(3)=1，则f(2010)=-1/2.23、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且当x>2时，f(x)=2x-3，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 2f(3)+f(1)+f(5)=2(2×3-3)+2×1-3+2×5-3= 8.4、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x。
要求求出f(7.5)的值。
由奇函数的定义可知，f(5.5)=f(-5.5)，即f(7.5)=f(-7.5)。
又因为f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)，所以f(x+4k)=f(x)，其中k为整数。
故f(-7.5)=f(-7.5+4×2)=f(0)=-f(0)，即f(0)=0.又f(1)+f(-1)=0，所以f(1)=-f(-1)。
微专题：抽象函数
抽象函数 一、内容回顾抽象函数,即没有给出具体解析式的函数.由于抽象函数问题可以把函数的三要素、函数性质的考查集于一体，因此在高考试题中常常出现抽象函数问题.1、抽象函数性质（1）单调性：对于函数()f x ，若在定义域内某个区间上任取12,x x ，当12x x <时，都有1212()()(()())f x f x f x f x <>，则称函数()f x 在这个区间上是增（减）函数.（2）奇偶性：对于函数()f x ，若在定义域内任取x ，都有()()(()())f x f x f x f x -=-=-，则称函数()f x 为偶（奇）函数.（3）周期性：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.T 叫这个函数的周期.（ⅰ）若0,()(),a f x a f x ≠+=-则()f x 的一个周期2T a =；（ⅱ）若10,(),()a f x a f x ≠+=±则()f x 的一个周期2T a =. （4）对称性：（ⅰ）若函数)(x f y =的定义域为R ，且()(2)f x f a x =-恒成立，则函数)(x f y =的图像关于直线x a =对称，反之亦然；（ⅱ）若函数)(x f y =的定义域为R ，且()(2)2f x f a x b +-=恒成立，则函数)(x f y =的图像关于点(,)a b 对称，反之亦然.例1（2019上饶模拟理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.解 由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+. 优解 由性质知()()()()()114(),51(5)(3).(1)5f x f x f f f f f f f +=∴==-===- 类型二 判断抽象函数的奇偶性例2 （2019宜春模拟理）已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,则()f x 为（ ）.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能确定解 令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数.选B.优解 联想公式cos()cos()2cos cos ,x y x y x y ++-=不妨视()cos f x x =，显然此函数为偶函数，选B.类型三 证明抽象函数单调性例3 （2019宝安单元理）设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数,x y 有()()()f x y f x f y +=，求证：()f x 在R 上为增函数.证明 在()()()f x y f x f y +=中取0x y ==，得2(0)[(0)]f f =.若(0)0f =，令0,0x y >=，则()0f x =，与()1f x >矛盾.所以()0f x ≠，即有(0)1f =.当0x >时，()10f x >>；当0x <时，0,()10x f x ->->>, 而()()(0)1f x f x f -==，所以1()0()f x f x =>-. 又当0x =时，(0)10f =>,所以对任意x R ∈，恒有()0f x >,设12x x -∞<<<+∞，则21210,()1x x f x x ->->,所以21211211()(()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=->.所以()y f x =在R 上为增函数. 类型四 抽象函数的周期性例4 （2018全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足(1)(1),f x f x -=+若，则（ ）.A ．50-B ．0C ．2D ．50解 因为是定义域为的奇函数，且，所以，，，因此，，，，从而，选C ．优解 由题设知，()f x 关于原点对称，且关于直线1x =对称，类比正弦函数的图像，可知()f x 的一个周期为4(10)4,(1)(2)(3)(4)(1)(2)(1)(2)0,T f f f f f f f f =-=∴+++=+--=，从而，选C ． 例5 （2019宝安单元理）已知函数()f x 的定义域为R ,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ； (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n ∈N ；(3)判断函数()f x 的单调性,并证明.解 (1)令12m n ==，则1111()2()2222f f +=+1(1)2f ⇒=. （2）∵1(1),2f =111(1)(1)()()()1222f n f f n f n f n +=++=++=+ ∴(1)()1f n f n +-=，∴数列{}()f n 是以12为首项,1为公差的等差数列， 故(1)(2)(3)...()f f f f n ++++=(1)22n n n -+=22n =. (3)任取1212,,x x x x ∈<R 且,则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-()f x (,)-∞+∞(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…()f x (),-∞+∞()()11f x f x -=+()()11f x f x +=--()()()311f x f x f x ∴+=-+=-4T ∴=()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦()()()()3142f f f f =-=-，()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()22220f f f f =-=-∴=()()()()()1235012f f f f f ++++==()()()()22220f f f f =-=-∴=()()()()()1235012f f f f f ++++==211121211111()()()()()()0,2222f x x f x f x f x x f x x f =-++-=-+=-+>> 12()().f x f x ∴<故函数()f x 是R 上的单调增函数.三、方法总结1.计算函数数值：抽象函数值的计算，一般采用赋值方法.如何赋值，不但取决于函数定义域，还需要根据题设的具体情况.如果自变量的数值较大，则可能要关注抽象函数的周期情况.2.判断奇偶性质：解题时，应紧扣定义，先判断定义域是否关于原点对称，再看是否满足()(),f x f x -=或()()f x f x -=-；若给出的条件涉及x 、y 两个变量，则可考虑对其中一个变量以恰当的特值，如0，使之变成一个变量.3.证明单调性质：首先是基于函数定义域，在依照函数单调性定义进行证明. 如遇思维受阻，可以透过所给抽象函数关系，寻觅隐藏在背后的具体函数进行类比推理证明.4.性质综合求解：综合求解问题，不仅可以涉及以上纵向的多层面的知识方法，还可涉及不等式、数列等横向的数学知识方法.解决此类问题的关键在于，搞清问题结构，针对问题题型，采取相应的求解策略，如对选填题，常常可以采取特值法，归纳推理求解；对于解答题，可以采取化整为零的解题策略.四、高考链接1.（2014全国1卷）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）.A..()f x ()g x 是偶函数B.()f x |()g x 是奇函数C..()f x |()g x |是奇函数D.|()f x ()g x |是奇函数解析 设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.2. (2014湖南理)已知分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()f x f x -=321x x ++，＝（ ）.A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 用x -换x ，得32()()()()1f x g x x x ---=-+-+，化简得 32()()1f x g x x x +=-++，令1x =，得(1)(1)1f g +=，选C ．3.（2017天津理）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<解析 由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<，所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ．4.（2017全国1卷）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）.A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]解析 因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤，等价于()()()121f f x f --≤≤，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，121x ∴--≤≤，3x ∴1≤≤，选D ．(),()f x g x (1)(1)f g +则5. (2014山东理)对于函数()fx ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）.A ．()f x x =B ．2()f x x =C ．()tan f x x =D ．()cos(1)f x x =+解析 由()(2)f x f a x =-可知，准偶函数的图象关于y 轴对称，排除A ，C ，而B 的对称轴为y 轴，所以不符合题意；选D ．6.(2011陕西理)设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+= ,则()y f x =的图像可能是（ ）.解析 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B ，D 符合；由得是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，选B ．7. (2016山东理)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时， ；当 时， ；当 时，，则f (6)= （ ）. A ．−2B ．−1C ．0D ．2 解析 当11x -时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=， 所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，选D ．8.( 2016全国2卷理)已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑（ ）.A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析 由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +=， '=2i i y y +，∴()111022m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，选B ． ()()f x f x -=()y f x =()y f x =y (2)()f x f x +=()y f x =3()1f x x =-11x -≤≤()()f x f x -=-12x >11()()22f x f x +=-9. (2018北京理)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．解析这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如()sin f x x =，答案不唯一．10.(2014全国2卷)偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=___．解析 ∵函数()f x 的图像关于直线2x =对称，所以()(4)f x f x =-，()(4)f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()(4)f x f x =+，则(1)(41)(3)3f f f -=-==．11.(2016天津理)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32. 12. (2014湖北理)设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(b a c b a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数． (Ⅰ)当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；(Ⅱ)当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数b a ab +2； (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析 过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线的方程为()()()()f a f b y f a x a a b +-=--， 令0y =得()()()()af b bf a c f a f b +=+．()()()()af b bf a f a f b +=+()()()()a b bf a af b ⇒+=+，可取()0)f x x =>． （Ⅱ）令调和平均数2()()()()ab af b bf a a b f a f b +=++，得()()()()ab ba af b bf a a b f a f b ++=++，可取()(0)f x x x =>．五、巩固提高1.（2019邵阳联考理）若函数()f x 的定义域为[0,6]，则函数()3f x x -的定义域为（ ）. A.(0,3) B.[1,3](3,8] C.[1,3) D.[0,3)解析 ∵函数()f x 的定义域为[0,6] ,由02603,30,x x x ≤≤⇒≤≤-≠∴函数()3f x x -的定义域为[0,3)．选D ．2.（2019九江模拟理）已知函数()f x 满足：①对任意,()()0,x f x f x ∈+-=R(4)()0f x f x ++-=成立；②当(0,2)x ∈]时，()(2),f x x x =-则(2019)f =（ ）.A ．1B ．0C ．2D ．﹣1解析 ()()0,()f x f x f x +-=∴为奇函数. (4)()0,f x f x ++-=(4)(),f x f x ∴+=故()f x 是以4为周期的奇函数，(2019)1)(1)1,f f f ∴=-=-=选A ．3. (2019湖南师大附中月考理)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)都是偶函数，且f (1)＝1，则f (－1)＋f (7)＝（ ）.A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ∵y ＝f (－x )为偶函数，∴f (－(－x ))＝f (－x )，∴f (－x )＝f (x )，∴y ＝f (x )为偶函数，∴当x ＝1时，有f (－1)＝f (1)＝1.又y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，∴f (x －2)＝f (x ＋2)．则f (x )＝f (x ＋4)，∴函数y ＝f (x )为周期函数，且周期为4.∴f (7)＝f (8－1)＝f (－1)＝1.故f (－1)＋f (7)＝2.选C.4. (2019唐山期末理)已知偶函数f x 在0,单调递减，若20f ，则满足10xf x 的x 的取值范围是（ ）.A.,10,3B.1,03,C.,11,3D.1,01,3解析 ∵偶函数在单调递减，且，∴函数在单调递增，且．结合图象可得不等式等价于 或，即或，解得或． 故的取值范围为．选A ．5.（2019东北师大附中摸底理）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）.A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析 因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上是增函数．又因为函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )为周期函数，且周期为8，因此f (－25)＝f (－1)<f (0)＝f (80)<f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．选D.6. (2019宜春模拟理)已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1),f x f x +=-且在[1,+∞)上是增函数,不等式(2)(1)f ax f x +≤-对任意1[,1]2x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）. A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1] D.[-2,1]解析 由定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,可得函数图象关于直线x=1对称,且函数f(x)在(-∞,1)上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察四个选项,发现0,1不存在于A,C 两个选项的集合中,B 中集合是D 中集合的子集,故可通过验证a 的值(取0与1时两种情况)得出正确选项.当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|2-1|≤|x-1-1|,解得x≥3或x≤1,满足不等()f x [)0,+∞()20f -=()f x (),0-∞()20f =()10xf x ->()0{10x f x >->()0{ 10x f x <-<0{ 13x x >-<<0{ 1x x <<-03x <<1x <-x ()(),10,3-∞-⋃式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x ∈[12,1]恒成立,由此排除A,C 两个选项.当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(x+2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|x+2-1|≤|x-1-1|,解得x≤12 ,不满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x ∈[12,1]恒成立,由此排除D 选项.综上可知,选B.7. (2019宝安检测理)已知定义在R 上的函数()2y f x =-是奇函数，且满足(1)1,f -=则(0)(1)f f += .解析 函数()2y f x =-为奇函数，(0)20,()2(()2),()()4,f f x f x f x f x -=--=---+=(1)(1)4,(1)3,(0)(1) 5.f f f f f +-==+=8. (2019广东百校联考)已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则=-+-)1()1(g f．解析： 由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)] 4.f g f g f g -+-=-+=--=-9. (2019湛江模拟理)设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1＋m )＋f (m )<0，则实数德州模拟理已知定义在上的函数在区间上单调递增，且(1)y f x =-的图像关于1x =对称，若满足12(log )(2),f x f <-则a 的取值范围是____________．解析 由于(1)y f x =-的图像关于1x =对称，所以()f x 是偶函数，又()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，故由12(log )(2),f a f <-可得 11221(|log |)(2),|log |2(,4).4f a f a a <∴<⇒∈ 11. (2019宝安单元理)已知函数是定义在上的增函数，且满足对于任意的正实数、，都有()()()f xy f x f y =+，且（1）求的值；（2）解不等式解（1）(2)1,(4)(2)(2)2,(8)(4)(2)21 3.f f f f f f f ==+==+=+=（2）.由函数是定义在上的增函数，则即， 依题设，有，，从而不等式的解集为. )(x f ),0(+∞x y .1)2(=f )8(f .3)2()(+->x f x f )]2(8[)()8()2()(3)2()(->⇔+->⇔+->x f x f f x f x f x f x f )(x f ),0(+∞)2(8->x x 716<x ⎩⎨⎧>->020x x ∴2>x )716,2(12. (2019宝安单元理)已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明：(0)1,0()1f x f x =<>且时,；(2)证明: ()f x 在R 上单调递减；(3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f >,B={(,)(2)1,x y f ax y a -+=∈R }，若,A B =∅试确定a 的取值范围.解 (1)证明 令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=⋅.∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x >时,0()1f x <<.∴当0x <时,0x ->,则(0)1()()()()1()()f f x x f x f x f x f x f x -+=-⇒==>--. (2)证明: 任取1212,,x x x x ∈<R 且,则2121112111()()[()]()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=--211[()1]()f x x f x =--.∵210x x ->,∴0<210()1f x x <-<,故21()1f x x --<0,又∵1()0,f x >∴211[()1]()0f x x f x -->,故12()()f x f x >.∴函数()f x 是R 上的单调减函数.(3) ∵{}{}2222(,)()()(1)(,)()(1)A x y f x f y f x y f x y f =>⇒+>。
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）（A ）0.5;（B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。
2、比较函数值大小例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.3、求函数解析式例4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.5、确定函数图象与x 轴交点的个数例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列{}n a 中，)2(11,3111≥-+==--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？8、复数中的应用例10.（XX 市1994年高考题）设)(2321是虚数单位i i z +-=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7.9、解“立几”题例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。
这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。
2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。
如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。
奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。
如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。
偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。
3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。
傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。
4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。
周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。
具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。
所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。
综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
谈抽象函数的对称性与周期性
谈抽象函数的对称性与周期性作者：李跃庭来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第03期抽象函数的对称性与周期性在试卷命题中常常结合出现,笔者发现,他们之间有以下几种考查模式,在此总结一下并提供换元法证明,以求抛砖引玉。
1.“点点”对称设函数f(x)定义域为R,图像关于点A(a,0)和B(b,0)(a≠b)对称,则函数f(x)的周期为2(b-a).证明:∵函数f(x)图像关于点A(a,0)和B(b,0)(a≠b)对称,∴对∈R有f(x)=-f(2a-x),f(x)=-f(2b-x),∴f(2a-x)=f(2b-x),令t=2a-x,则x=2a-t,2b-x=t+2b-2a,∴f(t)=f[t+(2b-2a)],即f(x)=f[x+2(b-a)]恒成立,∴函数f(x)的周期为2(b-a).2.“点线”对称设函数f(x)定义域为R,图像关于点A(a,0)和直线x=b(a≠b)对称,则函数f(x)的周期为4(b-a).证明:∵函数f(x)图像关于点A(a,0)和直线x=b(a≠b)对称,∴对∈R有f(x)=-f(2a-x),f(x)=f(2b-x)恒成立,∴-f(2a-x)=f(2b-x),即f(2a-x)=-f(2b-x),令t=2a-x,则x=2a-t,2b-x=t+2b-2a,∴f(t)=-f[t+2(b-a)]……①将上式中的t用t+2(b-a)替换得:f[t+2(b-a)]=-f[t+4(b-a)] ……②∴由①②对∈R有f(x)=-f[x+2(b-a)]……③f[x+2(b-a)]=-f[x+4(b-a)]……④∴由③④得f(x)=f[x+4(b-a)]恒成立,∴函数f(x)的周期为4(b-a).3.“线线”对称设函数f(x)定义域为R,图像关于点x=a和直线x=b(a≠b)对称,则函数f(x)的周期为2(b-a).证明:∵函数f(x)图像关于点x=a和直线x=b(a≠b)对称,∴对∈R有f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x)恒成立,∴f(2a-x)=f(2b-x),令t=2a-x,则x=2a-t,2b-x=t+2b-2a,∴f(t)=f[t+2(b-a)],∴函数f(x)的周期为2(b-a).4.“偶线”对称设偶函数f(x)定义域为R,图像关于点x=a对称,则函数f(x)的周期为2a.证明:∵函数f(x)图像关于点x=a对称,∴对∈R有f(x)=f(2a-x)恒成立,又函数f(x)为偶函数,∴对∈R有f(x)=f(-x)恒成立,∴f(2a-x)=f(-x),令t=-x,∴f(t)=f(t+2a),∴函数f(x)的周期为2a.5.“奇线”对称设奇函数f(x)定义域为R,图像关于点x=a对称,则函数f(x)的周期为4a.证明:∵函数f(x)图像关于点x=a对称,∴对∈R有f(x)=f(2a-x)恒成立,又函数f(x)为奇函数,∴对∈R有f(x)=-f(-x)恒成立,∴f(2a-x)=-f(-x),令t=-x,∴f(t)=-f(t+2a)……①将上式中的t用t+2a替换得:f(t+2a)=-f(t+4a)……②∴由①②对∈R有:f(x)=-f(x+2a)……③f(x+2a)==-f(x+4a)……④∴由③④得f(x)=f(x+4a)恒成立,∴函数f(x)的周期为4a.因此,在学习和复习函数的对称性和周期性时,了解对称性对周期性的作用,可借助于数形结合,实现复杂问题简单化.。
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
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抽象函数是一种数学概念，它是一种无限维的函数，用于描述某种连续变化的关系。
抽象函数可以具有周期性和对称性。
周期性是指函数在一段时间内重复出现的性质。
抽象函数可以具有周期性，这意味着在一个固定的时间段内，函数的值会重复出现。
对称性是指函数的形状是对称的。
抽象函数可以具有对称性，这意味着函数的形状具有对称性，即函数的左半部分与右半部分形状相似。
抽象函数的周期性和对称性可以帮助我们了解函数的性质，并为我们的数学建模和解决问题提供帮助。