函数的对称性

函数的对称性

知识梳理

一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念

①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）

①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;

⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。

⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c

=-

(由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c

-。

二、抽象函数的对称性

【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称

①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -=

?)2()(x a f x f +=-

②)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线2

2)()(b

a x

b x a x +=

-++=

对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-. （2）中心对称

①)(x f y =的图象关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ ?b x a f x f 2)2()(=-+

?b x a f x f 2)2()(=++-。

②c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2

(

c b

a +对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是()()0f x f x +-=.

（3）对称性与周期性之间的联系

①若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于直线x b =对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为

b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2T b a =-；

特别地：若)(x f y =是偶函数，其图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2a 的周期函数；

②若函数()f x 既关于点(,0)a 对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为

b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2T b a =-；

③若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为

b a -，相邻对称轴或中心的距离为2b a -；且函数()f x 为周期函数，周期4T b a =-。

特别地：若)(x f y =是奇函数，其图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为a 4的周期函数。

典例精讲

关于直线对称

例1. （★★）已知二次函数)0()(2

≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则

)(x f ＝ ．

例2.（★★）已知函数)(x f 对一切实数x 满足条件)3()1(x f x f +=-，已知2≥x 时，x x x f -=2)(， 求2

巩固练习（自对称）

1.（★★）已知函数()f x 定义域为R ，且对于任意实数x 满足(2)(6)f x f x -=-，当02x ≤≤时，

2()235f x x x x =++++，则(1)(3)f f = .

2. （★★）设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减， 且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 （ ） .A (1.5)(

3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f <<

.C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f <<

3. （★★）设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已知[]2,2-∈x 时，

1)(2+-=x x f ，求[]2,6--∈x 时，)(x f 的解析式.

例3. （★★）已知函数x

y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则

A ．()22()x

f x e x R =∈ B ． )0(ln 2ln )2(>?=x x x f

C ．()22()x

f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>

例4. （★★）已知函数2

()3f x x x =++，函数()g x 与()f x 的图像关于轴03x =对称，求函数()g x 在区间[]

34，上的最值.

巩固练习

1.（★★）若函数)(x g y =图像与函数)1()1(2

≤-=x x y 的图像关于直线x y =对称，则(4)g =＿；

2.在同一直角坐标系中，函数()y g x =的图像与x

y e =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与

()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是（ ）

A ．e -；

B ．1e -；

C ．1

e

； D ．e ．

3.若函数)(x f 的图像与对数函数x y 4log =的图像关于直线0=+y x 对称，则)(x f 的解析式为

4.（★★）函数()101x

y a

a =+<<的反函数的图象大致是

（A ） （B ） （C ） （D ）

关于点对称

例5.（★★）已知函数()y f x =满足：(2)()4f x f x -+=，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点(1,1)M 对称 B ．关于点(0,1)M 对称 C ．关于点(1,0)M 对称 D ．关于点(1,2)M 对称

例6.（★★）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|

2|24--?--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称．求函数)

(x f 的解析式．

练习

1.（★★★）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间（0，6）内解的个

数的最小值是（ ） A ．7 B ．3 C ．4 D ．5

2. （★★）已知函数f(x)＝a

x a x -+-1

的反函数的图象的对称中心是

(1，2

1)，则函数g(x)＝)2(log 2

x x a -的单调递增区间是 ；

函数对称性与周期性的联系

例7.（★★）若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01，-上是增函数，且)()2(x f x f -=+.

①求)(x f 的周期；

②证明)(x f 的图象关于点(2,0)k 中心对称;关于直线21x k =+轴对称, ()k Z ∈; ③讨论)(x f 在(1,2)上的单调性；

练习

1.（★★）设)(x f 是定义在R 上的奇函数,)(x f y =的图象关于直线2

1

=

x ，则=++++)5()4()3()2()1(f f f f f .

2.（★★）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ）

(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

3.（★★）设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，x x f 2

1

)(-

=，则=)6.8(f ___________

练习

1. 函数(1)y f x =-与函数()1y f x =-的图象关于关于__________对称。

2. 设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()(1)1f x f x -=-，则()y f x =的图象关于__________对称。

3. 设()y f x =的定义域为R ，且对任意x R ∈ ，有(12)(2)f x f x -=，则(2)y f x =图象关于__________对称，()y f x =关于__________对称。

4. 已知函数()y f x =对一切实数x 满足()(4)2f x f x +=-，且方程()0f x =有5个实根，则这5个实根之和为（ ） A 、5 B 、10 C 、15 D 、18

5. 函数()y f x =定义域为R ，且恒满足()(2)2f x f x +=-和()(6)6f x f x +=-，当

26x ≤≤时，1

()22

f x x =-，求()f x 解析式。

总结

现在，总结一下本节课的收获吧？ 函数图像的对称性

1、(1) 一个图关于点对称：

(Ⅰ)奇函数关于原点对称

(Ⅱ) c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点(,)2

a b

c +对称 (2) 一个图关于直线对称：

(Ⅰ)偶函数关于y 轴对称

(Ⅱ) 2

2

()()(0)f a x f b x a b +=-+≠?关于直线2

a b

x +=

对称 (3) 两个图关于点对称

(Ⅰ)()y f x =关于原点对称的函数：,x x y y →-→-，

即 ()y f x -=-

(Ⅱ)()y f x =关于(,)a b 对称的函数：2,2x a x y b y →-→- 即2(2)b y f a x -=-

（4）两个图关于直线对称：

函数()y f a x =+与()y f b x =-图象关于直线()()0a x b x +--=对称即直线2

b a

x -=

对称。