二次函数对称性的专题复习
二次函数的零点及轴对称性
二次函数的零点及轴对称性二次函数是一个常见的代数函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
在本文中，我们将探讨二次函数的零点及轴对称性。
一、二次函数的零点二次函数的零点，也称为函数的根或解，指的是函数值等于零的x 值。
要找到二次函数的零点，我们可以使用求根公式或图像法。
1. 求根公式通过求根公式可以得到二次函数的零点。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其零点可以通过以下公式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示取两个值，即可以得到二次函数的两个零点。
这个公式称为二次方程的根的公式，它的推导可以利用配方法或因式分解方法得到。
2. 图像法除了求根公式，我们还可以通过观察二次函数的图像来找到其零点。
二次函数的图像为一条抛物线，可以是开口向上或开口向下的形状。
当抛物线与x轴相交时，对应的x值即为函数的零点。
二、二次函数的轴对称性二次函数的轴对称性是指二次函数图像关于某一直线对称。
要确定二次函数的轴对称线，我们可以使用公式或观察法。
1. 公式法二次函数的轴对称线可以通过以下公式确定：x = -b / (2a)这个公式给出了二次函数的抛物线的对称轴的x坐标值。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，其对称轴的x坐标值为-x轴系数的一半。
2. 观察法除了公式法，我们还可以通过观察二次函数的图像来确定其轴对称线。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，如果a>0，则抛物线开口向上，轴对称线为抛物线的最低点所在的垂直线；如果a<0，则抛物线开口向下，轴对称线为抛物线的最高点所在的垂直线。
三、总结二次函数的零点是函数值等于零的x值，可以通过求根公式或观察图像来确定。
而二次函数的轴对称性指的是抛物线关于某一直线对称，可以通过公式或观察图像来确定轴对称线的位置。
2024河南中考数学复习 二次函数的对称性、增减性及最值 强化精练 (含答案)
2024河南中考数学复习二次函数的对称性、增减性及最值强化精练1.已知抛物线y＝x2＋bx－5经过点A(－1，0).(1)求抛物线的对称轴；(2)当t≤x≤t＋1时，抛物线的最小值为7，求t的值．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋(2m－6)x＋1(a≠0)经过点(1，2m－4).(1)求a的值；(2)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；(3)点(－m，y1)，(m，y2)，(m＋2，y3)在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)点M 是抛物线上一点，且到y 轴的距离小于4，求出点M 的纵坐标y M 的取值范围；(3)若M (3n －4，y 1)，N (5n ＋6，y 2)分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且y 1＞y 2，请直接写出n 的取值范围．第3题图4.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴交于A (1，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，OC ＝OB .(1)求抛物线的解析式；(2)若D (m ，y 1)，E (n ，y 2)为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)上两点(m ＜n )，M 为抛物线上点D 和点E 之间的动点(含点D ，E )，点M 的纵坐标的取值范围为－94≤y M ≤3，求m ＋n 的值．第4题图参考答案与解析1.解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx－5经过点A(－1，0)，∴(－1)2－b－5＝0，解得b＝－4，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－5，∴抛物线的对称轴为直线x＝－－42×1＝2；(2)将x＝2代入抛物线y＝x2－4x－5中，得y＝22－4×2－5＝－9，∵当t≤x≤t＋1时，抛物线的最小值为7,∴t与t＋1在对称轴同侧，①当t＜t＋1＜2时，即t＜1，抛物线在t＋1处取得最小值，将x＝t＋1，代入y＝x2－4x－5中，得7＝(t＋1)2－4(t＋1)－5，解得t＝5(舍)或t＝－3，②当2＜t＜t＋1时，t＞2，∴在t处取得最小值，代入y＝x2－4x－5中，得7＝t2－4t－5，解得t＝6或t＝－2(舍)，综上所述，t的值为－3或6.2.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋(2m－6)x＋1经过点(1，2m－4)，∴a＋(2m－6)＋1＝2m－4，解得a＝1；(2)∵a＝1，∴y＝x2＋(2m－6)x＋1，∴抛物线的对称轴为直线x＝－2m－62×1＝3－m；(3)当m＞0时，可知－m<m<m＋2，∵y2＜y3≤y1，－m＜m＋m＋22－m≥－m＋m＋22，解得1＜m≤2；当m≤0时，∴m≤－m＜3－m，即(－m，y1)，(m，y2)皆在对称轴左侧，∴y2≥y1，不合题意，综上，m的取值范围是1＜m≤2.3.解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，1－b＋c＝0 9＋3b＋c＝0＝2＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，∴y＝－(x－1)2＋4,∴抛物线的顶点坐标为(1，4)；(2)∵点M到y轴的距离小于4，∴－4＜x＜4，∵－1＜0，且抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线的开口向下，∴当x＝1时，抛物线y＝－x2＋2x＋3取得最大值，最大值为4；当x＝－4时，y＝－21；当x＝4时，y＝－5，∴点M的纵坐标y M的取值范围是－21＜y M≤4；(3)0＜n＜53.【解法提示】当点M在对称轴直线x＝1的左侧，点N在对称轴直线x＝1的右侧时，由题n－4＜1n＋6＞1，解得－1＜n＜53，∵y1＞y2，∴1－(3n－4)＜5n＋6－1，解得n＞0，∴0＜n＜53；当点N在对称轴直线x＝1的左侧，点M在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意得n－4＞1n＋6＜1，该不等式组无解．综上所述，n的取值范围为0＜n＜53.4.解：(1)∵抛物线与y轴交于点C，∴C(0，3)，∵OC＝OB，∴B(－3，0)，将点B(－3，0)，A(1，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋3a－3b＋3＝0＋b＋3＝0，＝－1＝－2，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)∵点M纵坐标的取值范围为－94≤y M≤3，∴将y＝－94代入抛物线解析式，得－x2－2x＋3＝－94，解得x1＝－72，x2＝32，得点(－72，－94)，(32，－94)，将y ＝3代入抛物线解析式，得－x 2－2x ＋3＝3，解得x 3＝－2，x 4＝0，得点(－2，3)，(0，3)，如解图①，∵m ＜n ，－94≤y M ≤3，∴m ＝0，n ＝32，∴m ＋n ＝0＋32＝32，如解图②，∵m ＜n ，－94≤y M ≤3，∴m ＝－72，n ＝－2，∴m ＋n ＝－72－2＝－112，综上所述，m ＋n ＝32或－112.图①图②第4题解图。
二次函数中像的对称轴性质和性质
二次函数中像的对称轴性质和性质二次函数是高中数学中的一个重要知识点，它是一种含有二次项的多项式函数。
在二次函数中，对称轴性质是一个关键的特性，它可以帮助我们更好地理解函数的图像和性质。
本文将通过详细探讨二次函数中对称轴性质和其他相关性质，来增加我们对二次函数的理解和运用。
一、对称轴的定义和性质对称轴是二次函数的一个重要特性，它可以帮助我们判断函数的图像在坐标平面上的对称性。
对称轴是指二次函数的图像关于某一直线对称。
具体而言，对称轴是通过二次函数的顶点的垂直线。
使用数学符号表示对称轴为x=a，其中a是实数。
二次函数的对称轴的性质如下：1. 对称性：如果一个点(x, y)在函数的图像上，则与该点关于对称轴对称的点(-x, y)也在图像上。
2. 相对位置：对称轴将二次函数图像分成两个完全对称的部分，分别位于对称轴两侧。
3. 对称轴上的点：对称轴上的所有点，其函数值 (y 坐标) 相等，因为它们关于对称轴对称。
4. 对称轴和顶点的关系：二次函数的对称轴必定通过其顶点，也就是对称轴的x坐标等于顶点的x坐标。
二、对称轴的寻找方法1. 根据函数的表达式：对于形如y=ax^2+bx+c的二次函数，对称轴的x坐标为-x/b。
2. 根据顶点坐标：对于形如y=a(x-h)^2+k的二次函数，对称轴的x坐标为h。
三、对称轴的应用1. 确定顶点坐标：对称轴上的点到顶点的距离相等，因此可以通过对称轴的x坐标求出顶点的x坐标，然后代入函数式中求得顶点的y坐标。
2. 确定图像的对称性：通过对称轴的位置和性质，可以判断函数的图像是否沿着对称轴对称，从而帮助我们快速绘制出二次函数的图像。
3. 解二次方程：对称轴的特性可以帮助我们求解二次方程。
通过找到对称轴和顶点的坐标，我们可以得到二次函数的标准式，从而进一步求解相关问题。
综上所述，二次函数中的对称轴性质是十分重要的，它可以帮助我们更好地理解和运用二次函数。
通过对称轴的定义、性质和应用等方面的学习，我们可以在解题过程中更加灵活地运用这一性质，从而提高解题效率和准确性。
二次函数对称性分析
二次函数对称性分析二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c这样的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线。
对于二次函数的对称性分析，有以下几个方面的内容可以展开：一、关于y轴对称:二次函数的图像关于y轴对称，当且仅当a = 0。
这是因为当a = 0时，二次函数变为一次函数，其图像为一条直线，直线与y轴显然是关于y轴对称的。
二、关于x轴对称:二次函数的图像关于x轴对称，当且仅当抛物线的顶点坐标的y值等于c，即f(x) = c。
这是因为顶点是抛物线的最高点或最低点，其对称轴为x轴。
若已知二次函数的标准式（顶点形式）为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标，可以直接得到抛物线关于x轴对称的条件为y = k。
三、关于原点对称:二次函数的图像关于原点对称，当且仅当抛物线的顶点坐标为原点，即(h,k) = (0,0)。
这是因为原点是坐标轴的交点，关于原点对称就是说抛物线与坐标轴的交点在同一直线上。
若已知二次函数的标准式（顶点形式）为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标，可以直接得到抛物线关于原点对称的条件为k = 0。
四、判定对称性的应用：通过对二次函数的对称性进行分析，可以得到二次函数的一些重要性质。
1. 对称轴的性质：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直。
对称轴的方程可以通过两个方法确定：（1）当已知二次函数为标准式f(x) = ax^2 + bx + c时，对称轴的方程为x = -b/(2a)；（2）当已知二次函数为顶点形式f(x) = a(x-h)^2 + k时，对称轴的方程为x = h。
2. 零点的性质：二次函数的图像与x轴的交点称为零点或根。
若二次函数关于x轴对称，则其零点个数为0、2或无穷多个。
当抛物线与x轴相切时，有一个实根；当抛物线与x轴交于两个不同的点时，有两个实根；当抛物线在x轴上方时，无实根。
二次函数的图象和性质——对称性 专题训练卷(含答案详解)
1.2.8二次函数的图象和性质——对称性1．函数f(x)＝x3＋1的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上()．A．递增B．递减C．先增后减D．先减后增3．函数f(x)＝x2＋2x＋2，x∈(1,4]的值域是()．A．(5,26] B．(4,26]C．(3,26] D．(2,26]4．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()．A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D．()1 ()f xf x=--5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是递增函数，则()．A．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)B．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)C．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)D．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)6．若函数y＝x(ax＋1)是奇函数，则实数a＝__________. 7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1，f(1)＝3，则f(－1)＝__________.8．已知f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是递增函数，则74f⎛⎫- ⎪⎝⎭与f(2)的大小关系为__________．9．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b为常数)满足f(0)＝f(1)，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的值域．10．求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．参考答案1.答案：D解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x3＋1，∴f(x)≠f(－x)，且f(x)≠－f(－x)．因此，此函数既不是奇函数也不是偶函数．2.答案：A解析：由f(x)是偶函数知2m＝0，即m＝0.此时f(x)＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，所以在(－∞，0)上单调递增．选A．3.答案：A解析：由于f(x)＝(x＋1)2＋1，对称轴为直线x＝－1，因此f(x)在(1,4]上是单调递增的，所以当x∈(1,4]时，f(1)＜f(x)≤f(4)，即5＜f(x)≤26，故选A．4.答案：D解析：()1()f xf x=--当f(－x)＝0时不成立，故选D．5.答案：C解析：f(x)是偶函数，且在(－∞，－1]上是递增函数．而f(2)＝f(－2)，且－2＜－1.5＜－1，所以f(－2)＜f(－1.5)＜f(－1)．即f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)，故选C．6.答案：0解析：由于f(x)＝x(ax＋1)＝ax2＋x，又f(x)是奇函数，必有a＝0.7.答案：－1解析：由f(x)＝x3＋ax＋1得f(x)－1＝x3＋ax.∵f (x)－1为奇函数，∴f(1)－1＝－[f(－1)－1]，即f(－1)＝－f(1)＋2＝－3＋2＝－1.8.答案：74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)解析：∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则7744f f⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而724<，∴74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)．9.解：(1)∵f(x)＝x有两个相等的实数根．∴x2＋(a－1)x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(a－1)2－4b＝0.①又f(0)＝f(1)，∴a＋b＋1＝b.②由①，②知a＝－1，b＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵213()24f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，x∈[0,4]，∴12x=时，f(x)有最小值34.又f(0)＝1，f(4)＝13，∴f(x)的最大值为13.∴f(x)的值域为3,13 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.10.解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为x＝a的抛物线，如下图所示．当a＜0时〔如图(1)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(0)＝－1；当0≤a≤1时〔如图(2)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f (x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当1＜a＜2时〔如图(3)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当a≥2时〔如图(4)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(2)＝3－4a.。
2024河南中考数学备考专题：二次函数图象与性质综合题 对称性、增减性、最值问题
∴抛物线的顶点坐标为(t，－t)；
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t.
(2)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线上，其中t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t.
①若y1的最小值是－2，求y1的最大值；
画出草图，标出对称轴
t－1≤x1≤t＋2与对称轴的关系？ 从图像发现了什么? 最大值在哪取？
(2)求抛物线上动点Q纵坐
题
类讨论点M，N的坐标；根据
标的取值范围
二次函数增减性确定最值
典例精讲
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t.
(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)； 看到这个能想到什么？
解：(1)∵y＝x2－2tx＋t2－t＝(x－t)2－t，
完全平方式
一题多解
点C(0，c)
B( 0)
c 2
，
已知A(1，0)
将已知点坐标代入抛物线解析式
练习 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－4ax＋c
(a＜0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C.
(2)若点P(x0，m),Q(
5 2
，n)在抛物线上，且m＜n，求x0的取值范围．
第一步： 画出草图
2024中考备考重难专题课件
二次函数图象与性质综合题
对称性、增减性、最值问题
目 录
1 典例精讲 2 课堂练兵 3 课后小练
考情分析
年份 题号 题型 分值
解题关键点
设问形式
(1)将B(0，c)转化为A(c，0)
(1)求抛物线的解析式及
解
(2)根据抛物线上点与对称轴的
顶点坐标；
2023 21 答 10 距离，判断出点M的位置；分
二次函数的对称性
一、引入f x=x2的图像关于y 轴对称,为啥子呢?答案一: 折叠能重合.答案二:f x=x2关于y轴对称的点都在f x=x2上.（作y=x2图像）（线由点构成）讲:设（a,b）是f x=x2上任意一点,则b=f a=a2.而（a,b）关于y轴的对称点为（−a,b），则f−a=a2=b.∴（−a,b）在f x=x2图像上. ∴f x=x2关于 y轴对称.∴f−a=f(a). ﹡对函数f x来讲, 将﹡式用文字语言描述: 自变量互为相反数, 函数值相等, 称之为偶函数. 对所以图像关于轴对称的函数都有此性质吗? 用余弦函数图像说明混脸熟.二、新课1、如果对一切使F x有定义的x, F−x也有定义, 并且F−x=F x成立, 则称F x为偶函数。
类比:如果对一切使F x有定义的x,F−x也有定义, 并且F−x=−F x成立, 则称F x为奇函数.2、从函数三要素来分析奇函数、偶函数.①定义域：在数轴上关于原点对称.②解析式举例: 奇函数: x n（n为奇数），偶函数：x n（n为偶数）.③值域：无限制。
例1. 判断下列函数的奇偶性。
（1）f x=|x+1|+|x−1|.（2）f x=1−x2x+1.（3）f x=12x2+1 x>0;−12x2−1 x<0.（4）f x=1−x2|x+2|.例2. 已知f x为R上奇函数. 当x>0时, f x=−2x2+3x+1.(1) 求f x解析式.(2) 做出函数f x的图像.小结：基本知识: 1.奇、偶、定义域特点.2.判断函数奇偶性的方法.数学习惯: 符号语言, 文字语言, 图形语言的转换.数学思想: 类比, 函数思想——用研究函数的方法研究函数(三要素、性质). 作业：一、复习引入回顾上节小结的内容（具体化）.二、新课1、具有奇偶性的函数, 其单调性如何？举例：f x=x2,g x=1x.结论：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.2、二次函数f x=a(x−1)2+1a≠0的对称轴是x=1为什么？①图像上观察：1+t,a t2+1,(1−t,a t2+1)②解析式：f1+t=f1−t,t∈R成立.③将上式翻译成文字语言：对来说，自变量和为2，函数值相等.④一般化：f x=a(x−h)2+k关于x=h对称.f x= ax2+bx+c对称轴为x=−b2a.点: 对任意x∈R， f h+t=f h−t.自变量和为2h，则图像关于x=h对称.⑤更一般化：对其它（非二次函数）. 若f a+x=f a−x, x∈R成立，则函数f x图像关于x=a对称.3、二次函数图像的分类y= ax2+bx+c a≠0①②③④⑤⑥课外思考题：从偶函数图像关于y轴对称，解析式满足f−x=f x可得出：一般函数图像关于x=a对称，其解析式满足f a+x=f a−x.用类比方法, 得出函数图像关于a,0对称, 其解析式满足的条件, 并翻译成文字语言.例1. 已知二次函数f x同时满足①f1+x=f1−x②f(x)的最大值为15 ③f x=0的两根立方和等于17, 求f x的解析式.优化方案P35, 随堂自测.(1)、（2）、（3）、（4）小结：（1）f(x)= ax2+bx+c a≠0的对称性.（2）f(x)对称轴x=a f a+x=f a−x对一切x∈R成立.数学思想：①特殊到一般②类比方法上类比结论上类比作业：。
二次函数的对称性与单调性
二次函数的对称性与单调性二次函数是一种重要的数学函数，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。
掌握二次函数的基本性质，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将重点讨论二次函数的对称性与单调性。
一、二次函数的对称性二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
根据对称性的不同，可以分为以下几种情况。
1. 关于y轴对称当a为偶数时，二次函数关于y轴对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = f(x)。
例子：考虑二次函数f(x) = x² - 2x + 1，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 2(-x) + 1 = x² + 2x + 1 = f(x)，因此该二次函数关于y轴对称。
2. 关于x轴对称当c = 0时，二次函数关于x轴对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(x) = f(-x)。
例子：考虑二次函数f(x) = x² - 4，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 4 = x² - 4 = f(x)，因此该二次函数关于x轴对称。
3. 关于原点对称当b = 0时，并且a、c异号，二次函数关于原点对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = -f(x)。
例子：考虑二次函数f(x) = -x²，将x改为-x，则有f(-x) = -(-x)² = -x²= -f(x)，因此该二次函数关于原点对称。
二、二次函数的单调性二次函数的单调性表示函数在定义域上的增减性。
根据二次函数的a值的正负，可以判断其单调性。
1. 当a > 0时，二次函数在定义域上单调递增。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，如果a > 0，则对于任意x₁、x₂，若x₁ < x₂，有f(x₁) < f(x₂)，即函数在定义域上单调递增。
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二次函数图象对称性的应用一、几个重要结论：1、抛物线的对称轴是直线__________。
2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。
3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。
4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B 的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。
5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则∆ABC是＿＿＿＿三角形，且∆ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。
二、在解题中的应用：例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。
例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足.（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。
例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。
例4已知抛物线的顶点A在直线上。
（1）求抛物线顶点的坐标；（2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标；（3）求∆ABC的外接圆的面积。
yOx-1 -2 12 -3 3 -112 -2二次函数专题训练——对称性与增减性一、选择 1、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（21，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB的长度为（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．44、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x5、函数y =x 2-x +m (m 为常数)的图象如图，如果x =a 时，y ＜0；那么x =a -1时，函数值（ ） A ．y ＜0 B ．0＜y ＜m C ．y ＞m D ．y =m6、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是( )A ．(0.5，0)B ．(1，0)C ．(2，0)D ．(3，0) 7、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)； 小彬 说：过点(4，3)；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x 轴截 得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x取12x x +时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c9、二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。
10、已知关于x 的方程32=++c bx ax 的一个根为1x =2，且二次函数c bx ax y ++=2的对称轴直线是x =2，则抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(2，－3 )B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(3，2) 11、已知函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且-3< x 1< x 2<x 3，则 对应的函数值的大小关系是（ ）y–1 13Oxy3PA ．y 3>y 2>y 1B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 3<y 2<y 1 12、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确 的个数为（ ） Ａ．2Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．513、若123135(,),(1,),(,)43A yB yC y --的为二次函数245y x x =--+的图像上的三点，则y 1,y 2,y 3的大小关系是（ ）A. y 1<y 2<y 3B. y 3<y 2<y 1C. y 3<y 1<y 2D. y 2<y 1<y 314、从y=x 2的图象可看出，当－3≤ｘ≤－1时，ｙ的取值范围是 A 、ｙ≤0或9≥y B 、0≤ｙ≤9 C 、0≤ｙ≤1 D 、1≤ｙ≤915、小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ） A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 1 16、下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是( )A ．y=2x B.y=-2x+5 C ． D ．y=-x 2+2x-117、下列四个函数：①y=2x ；②；③y=3-2x ；④y=2x 2+x(x≥0)，其中，在自变量x 的允许取值范围内，y 随x 增大而增大的函数的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 418、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个19、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.320、已知函数y=3x 2-6x+k(k 为常数)的图象过点A(0.85,y 1)，B(1.1,y 2),C(2,y 3),则有( )(A) y 1<y 2<y 3 (B) y 1>y 2>y 3 (C) y 3>y 1>y 2 (D) y 1>y 3>y 221、已知二次函数682-+-=x x y ,设自变量x 分别为321,,x x x ，且3214x x x <<<，则对应的函数值321,,y y y 的大小关系是（ ）A. 321y y y <<B. 132y y y <<C. 123y y y <<D. 231y y y <<22、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为23-xyA. 0B. －1C. 1D. 2二、填空1、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________· 2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．3、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a 、b 、c 是常数）中，自变量x 与函数y 的对应请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 ．（写出3条即可）4、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线2y ax bx c =++上，则点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 ． 5、抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c= 6、y=a 2x +5与X 轴两交点分别为（x 1 ,0），（x 2 ,0） 则当x=x 1 +x 2时，y 值为____7、请写出一个b 的值，使函数22y x bx =+在第一象限内y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以 ． 8、当22x -<<时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是（只填写序号）①2y x =；②2y x =-；③2y x=-；④268y x x =++ 9、一个关于x 的函数同时满足如下三个条件 ①x 为任何实数，函数值y ≤2都能成立； ②当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大； ③当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；符合条件的函数的解析式可以是 。
10、已知(-2,y 1),(-1,y 2),(3,y 3)是二次函数y=x 2-4x+m 上的点,则y 1,y 2,y 3从小到大用 “<”排列是 .11、一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量 x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。