高一数学函数的对称性习题
高一数学函数试题答案及解析
高一数学函数试题答案及解析1.设,的整数部分用表示，则的值是 .【答案】1546【解析】，，，，所以.【考点】信息给予题，要善于捕捉信息，灵活运用2.在R上定义运算，若不等式成立，则实数a的取值范围是()．A．{a|}B．{a|}C．{a|}D．{a|}【答案】C【解析】由题知∴不等式对任意实数x都成立转化为对任意实数x都成立，即恒成立，解可得．故选A．【考点】本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．3.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】点是直线上的任意一点，则有，即，所以有，显然当时，有最小值．【考点】消元法,二次函数中配方法求最值．4.一次函数的图像过点和，则下列各点在函数的图像上的是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：设，由该函数的图像过点及，可得，求解得，所以，依次将A、B、C、D中的横坐标代入计算可知，只有点符合要求，故选C；法二：一次函数的图像是一条直线，由该函数的图像过点及可知，，所以直线的方程为：即，依次将各点的纵坐标减去横坐标，看是否为1，是1的点就在直线上，即该点在函数的图像上，最后确定只有C答案满足要求.【考点】1.一次函数的解析式；2.直线的方程.5.下列函数在上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】：对于A选项，函数在递减，故A不正确；对于B选项，函数在递减，在递增，故B不正确；对于C选项，函数在递减，故C不正确；对于D选项，函数在上单调递增，合题意综上知，D选项是正确选项【考点】本题考查指数函数、对数函数、幂函数、反比例函数等常见函数的单调性.6.函数的最小值是【答案】【解析】，则函数的最小值为。
【考点】函数的性质点评：本题通过构造形式用基本不等式求最值，训练答题都观察、化归的能力．7.已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，f(x)是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，所以，函数的图象关于y 轴对称，在区间是减函数。
高一数学复习考点题型专题讲解13 函数的周期性与对称性
高一数学复习考点题型专题讲解 第13讲 函数的周期性与对称性一、单选题1．已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =（ ）A ．3B ．3-C ．255D ．255-【答案】B【分析】根据题意可知()f x 是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.【解析】由()()2f x f x +=-可得，()()42=()f x f x f x +=-+，故()f x 是以4为周期的周期函数，故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-，故选：B2．已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)(),(1)3f x f x f -==，则(2022)(2023)f f +=（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A【分析】由题意求得函数()f x 是周期为4的周期函数，得到()()()()2022202321f f f f +=+-，结合()()11f x f x -+=+，得到()()20f f =，进而求得()()1,0f f -的值，即可求解.【解析】由题意，函数()f x 为R 上的奇函数，可得()(2)()f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()()()2022202321f f f f +=+-，因为()()11f x f x -+=+，令1x =，得()()20f f =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()00,113f f f =-=-=-，所以()()20222023033f f +=-=-.故选：A.3．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()110f x f x -++=，若()03f =，则()()20222023f f +=（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．6【答案】B【分析】根据题意, 分析可得函数()f x 是周期为4的周期函数, 由此可得()()()2022203f f f ==-=-，()()()202331f f f ==-，用赋值法求出()1f 的值, 由此计算即可得答案.【解析】根据题意, 函数()f x 满足()()110f x f x -++=, 则()()20f x f x -++=,又由()f x 为偶函数，则有()()2f x f x +=-,则有()()()42f x f x f x +=-+=,即函数()f x 是周期为4的周期函数,()()110f x f x -++=，令0x =可得()10f =.()()()2022203f f f ==-=-，()()()2023310f f f ==-=，所以()()202220233f f +=-故选：B4．已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-3【答案】B【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==-=-.【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x -=，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-． 故选:B ．5．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，在区间()0,1上，有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称B ．函数()f x 的图象关于直线2x =成轴对称C ．在区间()2,3上，()f x 为减函数D ．7223f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】对于A ：根据题意结合奇函数可得()()40f x f x -+=，结合对称中心结论()()2f m x f x n b -++=，则()f x 关于,2m n b +⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称理解判断；对于B ：根据对称轴的结论：()()f m x f x n -=+，则()f x 关于2m n x +=成轴对称，结合题意理解判断；对于C ：根据题意可得：()f x 在()0,1内单调递增，结合轴对称性质：对称区间单调性相反理解判断；对于D ：整理可得()()4f x f x +=，则()f x 的周期为4，结合单调性整理分析．【解析】()()()()()42222f x f x f x f x f x ⎡⎤-=--=-=--=-⎣⎦，即()()40f x f x -+=，故()f x 关于()2,0成中心对称，A 不正确；∵()()2f x f x -=，则()f x 关于1x =成轴对称，B 错误；根据题意可得：()f x 在()0,1内单调递增∵()f x 关于1x =成轴对称，（2，0）中心对称，则()f x 在()2,3内单调递减；C 正确； 又∵()()()22f x f x f x =-=--，则()()2f x f x +=-∴()()()42f x f x f x +=-+=，可知()f x 的周期为4 则712,D 223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭错误 故选：C ．6．已知图象开口向上的二次函数()f x ，对任意x ∈R ，都满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间(),21a a -上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(],2-∞ 【答案】B【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.【解析】由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得函数()f x 图象的对称轴是直线32x =， 又二次函数()f x 图象开口向上，若()f x 在区间(),21a a -上单调递减， 则321221a a a ⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩，解得514a <≤．故选：B.7．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则3m n +=（ ）A ．7B ．2C ．2-D ．12-【答案】C【分析】由已知结合函数对称性可求出()3f ，进而求得结果.【解析】解：因为定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++， 若()17f -=-，则()()317f f =--=.故()23337f m n =++=，即32m n +=-.故选：C.8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =-+.若对任意的[]1,2x ∈-，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()()0,2,6-∞C ．()2,0-D ．()()2,06,-+∞【答案】D【分析】利用奇函数求得()f x 的解析式，画出其函数图象的草图，由不等式在闭区间上恒成立，结合()f x 的对称性，有在12x -≤≤中，420x a --<<或42a x >-恒成立，进而求a 的范围.【解析】由题设知：,20()4,2x x f x x x --≤<⎧=⎨+<-⎩，又()f x 是定义在R 上的奇函数，即(0)0f =， ∴当02x <≤时，20x -≤-<，即()()f x x x -=--=，而()()f x f x x =--=-；当2x >时，2x -<-，即()()44f x x x -=-+=-，而()()4f x f x x =--=-；∴综上，有4,2(),224,2x x f x x x x x ->⎧⎪=--≤≤⎨⎪+<-⎩，可得如下函数图象，∴对任意的[]1,2x ∈-有()()f x a f x +>成立，即在12x -≤≤中，24x a x a x +<-⎧⎨+>--⎩或22x a x a x -≤+≤⎧⎨+<⎩或24x a x a x +>⎧⎨+>-⎩恒成立， ∴420x a --<<或42a x >-恒成立，即有20a -<<或6a >.故选：D.【点睛】关键点点睛：由已知求得()f x 的解析式并画出函数图象草图，由不等式恒成立，结合函数的对称性列不等式组，求参数范围.二、多选题9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为8【答案】ABD【分析】由(1)(1)f x f x --=--、(1)(1)-+=+f x f x 可推出()f x 的周期为8，利用对称性、周期性求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、判断()7f x +奇偶性及()7,8x ∈时()f x 的单调性，即可得答案. 【解析】由题设，(1)(1)f x f x --=--，则()f x 关于(1,0)-对称，所以[(1)1](11)f x f x ---=---，即()(2)f x f x -=--，则[(2)](22)f x f x --=---，即(2)(4)f x f x -=--，由(1)(1)-+=+f x f x ，则()f x 关于1x =对称，所以[(1)1](11)f x f x --+=-+，即(2)()f x f x -=，综上，()(4)f x f x =--，则(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--，故()(8)f x f x =-，即()(8)f x f x =+易知()f x 的周期为8，D 正确；773113(2)()(1)(1)()22222412f f f f f f ⎛⎫=-=-=--=--=--=- ⎪⎝⎭，A 正确； 由(1)(7)f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，B 正确；由()1,0x ∈-时()21f x x =-+递增，则()7,8x ∈时()f x 递增，显然C 错误.故选：ABD10．已知函数()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，并且当(]()0,1,12x f x x ∈=-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在()3,2--上为减函数B ．()f x 在13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x < C ．()f x 在[]1,2上为增函数D ．()f x 关于3x =对称【答案】BD【分析】由已知可得()f x 的图象关于()0,0中心对称，且关于1x =轴对称，周期为4，则可依次判断每个选项正误.【解析】因为()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，所以()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-+，所以(4)(31)(31)(2)(2)f x f x f x f x f x +=++=--+=--=-+，又(2)(11)(11)()()f x f x f x f x f x +=++=--+=-=-，所以(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4，其图象关于1x =轴对称，当(]0,1x ∈时，()12f x x =-，则函数()f x 在()0,1x ∈上递减，根据对称性可得()f x 在()1,2x ∈单调递增，再结合周期性可得()f x 在()3,2--上为增函数，故A 错误，因为当(]0,1x ∈时，()12f x x =-，()f x 在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦小于0，根据对称性可得()f x 在13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭小于0，故B 正确； ()f x 的图象关于1x =轴对称，所以13202f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()200f f ==， 所以()f x 不可能在[]1,2上为增函数，故C 错误；因为()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-+，所以(1)(1)(1)(1)f x f x f x f x --=-+=--+=-+所以()f x 的图象关于1x =-轴对称，因为()f x 的周期为4，所以()f x 关于3x =对称，故D 正确.故选：BD.11．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]0.20=，[]1.22-=-，则（ ）A ．()f x 是增函数B ．()f x 是周期函数C ．()2f x 的值域为[)0,1D ．()2f x 是偶函数【答案】BC【分析】利用特殊值法可判断AD 选项；利用函数周期性的定义可判断B 选项；利用题中的定义求出函数()2f x 的值域，可判断C 选项.【解析】对于A 选项，因为()[]1110f =-=，()[]2220f =-=，所以，函数()f x 不是增函数，A 错；对于B 选项，对任意的x ∈R ，存在Z k ∈，使得1k x k ≤<+，则[]=x k ，所以，112k x k +≤+<+，则[][]111x k x +=+=+，所以，()[][]()[]()11111f x x x x x x x f x +=+-+=+-+=-=，故函数()f x 为周期函数，且周期为1，B 对；对于C 选项，对任意的x ∈R ，存在Z k ∈，使得21k x k ≤<+，则[]2x k =，所以，()[][)22220,1f x x x x k =-=-∈，C 对；对于D 选项，令()()2g x f x =，该函数的定义域为R ，因为()()[]0.40.80.80.80.8g f ==-=，()()[]0.40.80.80.80.810.2g f -=-=---=-+=，所以，()()0.40.4g g ≠-，故函数()2f x 不是偶函数，D 错.故选：BC.12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()(6)0f x f x ++=，且对任意的12,[3]0x x ∈-，，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[96]--，上单调递增 C ．x =2是函数(1)f x +的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由()(6)0f x f x ++=结合函数的奇偶性可推得(6)()f x f x +=-以及(12)()f x f x +=，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D ；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;【解析】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， 故函数()f x 是奇函数，故A 错误；因为()(6)0f x f x ++=，故(6)()f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以(6)()f x f x +=-，即()f x 的图象关于3x =对称，则x =2是函数(1)f x +的对称轴，故C 正确；因为(6)()f x f x +=-，所以(12)(6)()f x f x f x +=-+=，故12是函数()f x 的周期；对任意的12,[3]0x x ∈-，，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+， 即1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<，故3[]0x ∈-，时，()f x 单调递减，又因为()f x 为奇函数，所以]3[0x ∈，时，()f x 单调递减， 又因为()f x 的图象关于3x =对称，故6[3,]x ∈时，()f x 单调递增，因为12是函数()f x 的周期，故函数()f x 在[9,6]-- 单调性与[3,6]x ∈时的单调性相同， 故函数()f x 在[9,6]--上单调递增，故B 正确，作出函数()f x 的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数()f x 的最小正周期，D 正确；故选：BCD【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.三、填空题13．对x ∀∈R ，函数()f x 都有()()20f x f x +-=，则()f x =___________.（答案不唯一，写出一个即可）【答案】sin x π（答案不唯一）【分析】由已知关系式可知()f x 关于点()1,0对称，由此可得函数解析式.【解析】()()20f x f x +-=，()f x ∴图象关于点()1,0对称，则()sin f x x π=.故答案为：sin x π（答案不唯一）.14．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有()()22f x f x +=-，且()()f x f x -=，下列结论正确的是____.(填序号)①()f x 的图像关于直线2x =对称；②()f x 的图像关于点()20,对称；③()f x 的最小正周期为4；④()4y f x =+为偶函数．【答案】①③④【分析】由()()22f x f x +=-可得()f x 的图像关于直线2x =对称，然后结合()f x 为偶函数可判断出答案.【解析】因为()()22f x f x +=-，所以()f x 的图像关于直线2x =对称，故①正确，②错误； 因为函数f (x )的图像关于直线2x =对称，所以()()4f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()()4f x f x +=，所以4T =，故③正确；因为4T =且()f x 为偶函数，所以()4y f x =+为偶函数，故④正确．故答案为：①③④15．已知函数()|1|||f x x x t =++-的图像关于2x =对称，则t 的值是_______【答案】5【分析】函数()f x 的图像关于2x =对称，则()()4f x f x =-，代入即可求解．【解析】又因为函数()|1|||f x x x t =++-的图像关于2x =对称，所以()()4f x f x =-，则|1||||5||4|x x t x x t ++-=-+--所以5t =故答案为：516．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -++=，当[]1,0x ∈-时，()22f x x x =+，若()0f x x b --≥对一切R x ∈恒成立，则实数b 的最大值为______．【答案】14-##0.25-【分析】根据题设条件可得()f x 的图象关于()1,1呈中心对称，再根据奇偶性求出()f x 在[]0,1上的解析式，即可画出函数的图象，结合图象可求实数b 的最大值.【解析】解：因为()()22f x f x -++=，故()f x 的图象关于()1,1呈中心对称，因为当[]1,0x ∈-时，()22f x x x =+，当[0,1]x ∈时，()()22()22f x f x x x x x =--=-=+--，故()f x 的图象如图所示：结合图象可得：只需当[1,0]x ∈-时，2()2f x x x x b =+≥+即可， 即21124b x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤，故14b ≤-， 故答案为：14-.四、解答题17．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()121f x f x f x -+=+.(1)若132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)求证：()f x 的周期为4；(3)当[)0,2x ∈时，()3f x x =，求()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式.【答案】(1)3(2)证明见解析(3)()3537x f x x +=-+ 【分析】（1）先求出32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后再求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可； （2）利用函数周期性的定义，即可证明；（3）根据[)2,0x ∈-以及题设条件，先求出()()232f x x +=+，再根据()()()121f x f x f x -+=+，即可解出()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式．(1) ∵1131122122212f f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭， ∴317322332212f f f f ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭. (2)∵对任意的x ∈R ，满足()()()121f x f x f x -+=+ ∴()()()()()()()()()1112142211211f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++=++===-++++，∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.(3)设[)2,0x ∈-，则[)20,2x +∈，∵当[)0,2x ∈时，()3f x x =，∴当[)20,2x +∈时，()()232f x x +=+，又∵()()()121f x f x f x -+=+， ∴()()()1321f x x f x -+=+ ∴()3537x f x x +=-+. 18．定义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x ，y ，均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，当1x >时，()0f x >.(1)求()0f ，()1f -的值；(2)证明：当1x <时，()0f x <.【答案】(1)()02f =-，()14f -=-(2)证明见解析【分析】（1）利用赋值法求解（2）当1x <时，21x ->，则()20f x ->，再结合已知求解.（1）（1）令0x y ==，则()()()0002f f f =++，解得()02f =-.令1x y ==，则()()()2112f f f =++，解得()10f =，令1x =，1y =-，则()()()0112f f f =+-+，解得()14f -=-.（2）（2）当1x <时，21x ->，则()20f x ->.因为()()()()22222f f x x f x f x =-+=-++=，所以()()20f x f x =--<.19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有(2)()f x f x +=-．当[0x ∈，2]时，2()2f x x x =-．（1）求证：()f x 是周期函数；（2）当[2x ∈，4]时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2008)f f f f ++++的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2()68f x x x =-+；（3）1.【分析】（1）根据函数周期的定义进行证明即可；（2）根据奇函数的性质，结合函数的周期性进行求解即可；（3）根据函数的周期性进行求解即可.【解析】（1）证明：(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=．()f x ∴是周期为4的周期函数．（2）当[2x ∈-，0]时，[0x -∈，2]，由已知得22()2()()2f x x x x x -=---=--，又()f x 是奇函数，2()()2f x f x x x ∴-=-=--，2()2f x x x ∴=+．又当[2x ∈，4]时，4[2x -∈-，0]，2(4)(4)2(4)f x x x ∴-=-+-．又()f x 是周期为4的周期函数，22()(4)(4)2(4)68f x f x x x x x ∴=-=-+-=-+．从而求得[2x ∈，4]时，2()68f x x x =-+．（3）(0)0f =，f （2）0=，f （1）1=，f （3）1=-．又()f x 是周期为4的周期函数，(0)f f ∴+（1）f +（2）f +（3）f =（4）f +（5）f +（6）f +（7）(2f =⋯=008)(2f +009)(2f +010)(2f +011)(2f =012)(2f +013)(2f +014)(2f +015)0=．而(2016)(2017)(2008)(0)(1)(2)1f f f f f f ++=++=，所以(0)(1)(2)(2008)1f f f f ++++=.20．已知二次函数()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，且满足()()22f x f x -+=--()x R ∈.（1）求()f x 的解析式，并求()f x 在[]3,0-上的最大值；（2）若()f x 在()1,t -+∞上为增函数，求实数t 的取值范围.【答案】（1）()21212f x x x =++；()max 1f x =；（2）1t ≥-.【分析】根据二次函数()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，求得c ，根据()()22f x f x -+=--，得函数关于2x =-对称，即可求得a ，从而可得函数得解析式，再根据二次函数得性质即可的解；（2）根据二次函数得单调性即可的解.【解析】解：（1）因为二次函数为()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，故1c =，又因为函数()f x 满足()()()22f x f x x R -=-∈+-，所以函数关于2x =-对称，即222x a =-=-，所以12a =， 故二次函数的解析式为：()21212f x x x =++由()f x 在[]3,2--单调递减，在[]2,0-单调递增，又()()13,012f f -=-=，所以()()max 01f x f ==；（2）因为函数在()1,t -+∞上为增函数，且函数图象的对称轴为2x =-，即二次函数()f x 在()2,-+∞上递增，所以12t -≥-，故1t ≥-.21．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-对任意的x ∈R 恒成立，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =. （1）求证：()f x 是以2为周期的函数（不需要证明2是()f x 的最小正周期）； （2）对于整数k ，当[21,21]x k k ∈-+时，求函数()f x 的解析式.【答案】（1）证明见解析；（2）2()(2),[21,21]()f x x k x k k k Z =-∈-+∈.【分析】（1）通过证明(2)()f x f x +=成立得解；（2）先求解[1,1]x ∈-时，2()f x x =，再通过周期为2得(2)()f x k f x -=可求解当[21,21]x k k ∈-+时函数()f x 的解析式【解析】解：（1）因为()(2)[(1)1]11()()f x f x f x f x f x ⎡⎤+=++=-+=-=⎣⎦， 所以：()f x 是以2为周期的函数；（2）∵当[0,1]x ∈时，2()f x x =，函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，∴[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∵()f x 是以2为周期的函数，即(2)()f x k f x -=，()k ∈Z设[21,21]x k k ∈-+，则2[1,1]x k -∈-，2(2)(2)f x k x k ∴-=-，即2()(2),[21,21]()f x x k x k k k Z =-∈-+∈.22．已知函数2()21f x x ax =--，且(2)(2)f x f x +=-.(1)求函数()y f x =的解析式；(2)若()()g x f x mx =+在[1,1]-上时单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2()41y f x x x ==--.(2)[6,)(,2]+∞-∞【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.(1)解：因为(2)(2)f x f x +=-，所以函数()y f x =的对称轴为：2x =，函数2()21f x x ax =--的对称轴为：x a =，所以有2a =，即2()41y f x x x ==--.(2)解：2()()(4)1g x f x mx x m x =+=+--， 该函数的对称轴为：42m x -=-， 当412m -≤-时，函数在[1,1]-上单调递减，解得 2m ≤； 当412m --≤-时，函数在[1,1]-上单调递增，解得6m ≥， 综上所述：实数m 的取值范围为[6,)(,2]+∞-∞.23．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．(1)求证：点(1,2)-是函数32()3f x x x =+图象的对称中心；(2)已知函数32()3f x x x =+，求(2021)(2020)(2019)(2018)f f f f -+-++的值．【答案】(1)证明见解析；(2)8.【分析】（1）令()(1)2g x f x =--，利用单调性的定义证明()g x 是奇函数即可；（2）根据条件可得()()0g x g x +-=，即(1)(1)4f x f x -+--=，将数字直接代入计算即可.(1)证明：因为32()3f x x x =+，令()(1)2g x f x =--，所以32()(1)3(1)2g x x x =-+--3223(331)3(21)23x x x x x x x =-+-+-+-=-即3()3g x x x =-，33()()3()3()g x x x x x g x -=---=-+=-所以()g x 是奇函数．由题意，点(1,2)-是函数32()3f x x x =+图象的对称中心．(2)由（1）知函数32()3f x x x =+的图像的对称中心为(1,2)-，所以()()(1)2(1)20g x g x f x f x +-=--+---=，所以(1)(1)4f x f x -+--=，所以(2021)(2019)=(2020)(2018)=4f f f f -+-+，所以(2021)(2020)(2019)(2018)=8f f f f -+-++．24．设函数()()R y f x x =∈.(1)若对任意实数a ，b 有()()()f a b f a f b +=+成立，且当0x >时，()0f x >； ①判断函数的增减性，并证明；②解不等式：()()2560f t f t ++<；(2)证明：“()()R y f x x =∈图象关于直线x a =对称”的充要条件是“任意给定的R x ∈，()2()f a x f x -=”.【答案】(1)①函数()y f x =为R 上增函数，证明见解析；②{|51}t t -<<-(2)证明见解析【分析】（1）①利用赋值法和单调性的定义进行证明，②先利用赋值法得到()00=f ，再利用单调性和()()()f a b f a f b +=+进行变形求解；（2）结合函数的性质，从充分性、必要性两方面进行证明.(1)解：①函数()y f x =为R 上增函数，证明如下：由()()()f a b f a f b +=+，得()()()f a b f a f b +-=，对于12,R x x ∈，且12x x >，则120x x ->，则()()()12120f x f x f x x -=->，所以当12x x >时，有()()12f x f x >，所以函数()y f x =为R 上增函数.②由①得：()()2560f t f t ++<可化为2[(5)6]0f t t ++<，取0b =，得()()()0f a f a f =+，解得()00=f ，又因为函数()y f x =为R 上增函数，所以2(5)60t t ++<，解得51t -<<-即()()2560f t f t ++<的解集为{|51}t t -<<-.(2)证明：因为()y f x =图象关于直线x a =对称，所以()()f a x f a x =-+，令a x t -=，则x a t =-，2a x a t +=-，所以()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-成立；若()(2)f x f a x =+，令x a t =-，则2a x a t -=+，即()()f a t f a t -=+，即()()f a x f a x =-+成立，即()y f x =图象关于直线x a =对称；所以“()()R y f x x =∈图象关于直线x a =对称”的充要条件是“任意给定的R x ∈，()2()f a x f x -=”.25．已知函数()21f x x =-+. (1)利用函数单调性定义证明()21f x x =-+在区间()1,-+∞上的单调性； (2)请利用（1）的结论，说出()21f x x =-+在区间(),1-∞-上的单调性（不用证明）； (3)利用本题中（1）（2）得到的结论，求函数()21f x x =-+在区间()5,2--上的值域. 【答案】(1)证明见解析(2)()21f x x =-+在区间(),1-∞-上单调递增 (3)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）根据函数图象的变换，结合函数的对称性与单调性求解即可；（3）根据函数的单调性，结合函数的值域求解即可.(1)设1x ，2x 是区间()1,-+∞上的任意两个实数，且12x x <，则()()()()()()()()212112121212211222111111x x x x f x f x x x x x x x +---⎛⎫-=---=-=- ⎪++++++⎝⎭ 由121x x -<<，得210x x ->，()()12120x x ++> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.故()21f x x =-+在区间()1,-+∞上单调递增. (2)()21f x x =-+由反比例函数()2f x x=-向左平移得到 所以()21f x x =-+图像关于点()1,0-对称 由（1）知()21f x x =-+在区间()1,-+∞上单调递增 所以()21f x x =-+在区间(),1-∞-上单调递增. (3) 因为()()5,2,1--⊆-∞-，由（1）（2）知()21f x x =-+在区间()5,2--上单调递增 所以()()max 22f x f =-=，()()min 152f x f =-=.即()21f x x =-+在区间()5,2x ∈--上的值域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
高一数学学习单函数(7)对称性(无答案)
高一数学学习单 函数（7）对称性姓名_____________班级___________日期___________一、自我诊断：1．函数221y x x =-+的对称轴是_______________；2．函数12x y x -=+的对称中心是________________． 3．已知A （2，5），B （4-，3），则A 、B 的中点坐标是___________，则中点坐标公式是___________．4．已知A （1，3），B （1-，2），则A 关于点B 对称点的坐标是______________． 二、问题讨论：1．阅读教材第157页，函数()f x 关于点（a ，0）中心对称的充要条件是什么？有哪几种形式？如果关于点（a ，b ）中心对称呢？分析：2．阅读教材第161页，函数()f x 关于直线x a =轴对称的充要条件是什么？有哪几种形式？分析：3．()f x 与()f x -的图象是什么关系？()f x 与()f x a +的图象是什么关系？与()f x a +呢？4．阅读教材第162页，解决“思考与探究”三、例题分析：例1．对于定义在R 上的函数()f x ，有下述四个命题：①若()f x 是奇函数，则()1f x -的图象关于点A （1，0）对称；②若对于任意x R ∈，有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的图象关于直线1=x 对称；③若函数()1f x -的图象关于直线1=x 对称，则()f x 为偶函数；④函数()1y f x =+与函数()1y f x =-的图象关于直线1=x 对称．其中正确命序号为 ．（把你认为正确命题的序号都填上）四、课堂反馈：1．若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=， 且(]1 1x ∈-，时()||f x x =，则函数()y f x =的图象与函数lg ||y x =的图象的交点个数为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．无数个2．()f x 是定义在（-∞，+∞）上的函数，对x ∈R 均有()()20f x f x ++=，当11x -<≤时，()21f x x =-，当13x <≤时，函数()f x 的解析式为__________________________．3．设函数()f x 对一切实数x 均有：()()33f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有6个不同的实数根，则6个根的和为___________________________________．五、课后巩固：1．函数()1f x -是奇函数，则函数()y f x =的图像关于（ ）A ． 直线1x =对称B ． 直线1x =-对称C ． 点()1 0，对称D ． 点()1 0-，对称2．若函数()32f x x ax bx =++的图象关于（1，1）点对称，求a 、b 的值．3．设()f x 是定义在[－1，1]上的偶函数，()f x 、()g x 的图象关于直线1x =对称，且当[2 3]x ∈，时，()()()32142g x x x =---，求()f x 的表达式．。
高一数学函数综合试题答案及解析
高一数学函数综合试题答案及解析1.已知函数是R上的增函数，则的取值范围是A．≤＜0B．≤≤C．≤D．＜0【答案】B【解析】若递增，则，若递增，则，若函数是R上的增函数，还需，综上可得的取值范围是≤≤。
【考点】函数的单调性2.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图（1）；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（2）．（注：收益与投资额单位：万元）（1）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【答案】（1）,（2）投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，收益最大，为万元．【解析】（1）根据题意设，，然后把分别代入，可求出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（2）该家庭的收益等于债卷收益+股票收益，设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，由（1）知债卷收益，股票收益，则总收益为，利用换元法求其最大值。
试题解析：（1）设，，所以，，即，； 5分（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，依题意得：，令，则，所以当，即万元时，收益最大，万元． 13分【考点】（1）待定系数法求函数的解析式；（2）数形结合思想的应用；（3）换元法的应用。
3.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，有仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：①=；②=；③；④=||，则其中是“保等比数列函数”的的序号为【答案】①③【解析】设等比数列的公比为，对于函数得为常数，因此得为保等比数列函数；对于函数得不是常数，因此不是保等比数列函数；对于函数得为常数，因此是保等比数列函数；对于函数得不是常数，因此不是保等比数列函数.【考点】判断是否为等比数列.4.函数y＝－xcosx的部分图象是（）.【答案】D.【解析】选判断函数的奇偶性，此时,有，可知此函数为奇函数，排除A,C；又当x>0时，取时，可知此时，易知图像与x轴交于，而当时，，故选D.【考点】函数图像的辨析与识别，奇偶函数的定义与性质，排除法，特殊角的三角函数值.5.已知函数定义在上，对任意的，，且.（1）求，并证明：；（2）若单调，且.设向量，对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）借助于特殊值得，然后把变形= 即可，（2）首先判断出函数是增函数，然后找出，代入整理的，最后用分类讨论的思想方法求出即可.（1）令得，又∵，， 2分由得=，∵，∴. 5分（2）∵，且是单调函数，∴是增函数. 6分而，∴由，得，又∵因为是增函数，∴恒成立，.即. 8分令，得 (﹡).∵，∴，即.令， 10分①当，即时，只需，(﹡)成立，∴，解得； 11分②当，即时，只需，(﹡)成立，∴，解得，∴. 12分③当，即时，只需，(﹡)成立，∴，∴， 13分综上，. 14分【考点】抽象函数；函数的单调性；向量的数量积公式；不等式恒成立的问题；分类讨论的思想方法.6.已知函数,则______．【答案】【解析】若，则，，故【考点】分段函数，特殊角的三角函数值．7.设关于x函数其中0将f(x)的最小值m表示成a的函数m=g(a);是否存在实数a,使f(x)>0在上恒成立？是否存在实数a，使函数f(x) 在上单调递增？若存在，写出所有的a组成的集合；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）不存在a；（3）.【解析】(1)先利用二倍角公式将化简，将其看成的二次函数，从而转化成求二次函数的最值问题.因为含参数，要注意定义域的范围，对参数进行讨论.（2）恒成立,即求的最大值大于0即可.而的最大值为，所以无解.故不存在a，使得恒成立.(3)本题可看成二次函数在上递增，只需在上单调递减，故.(1)设, 由知，恒成立由于的最大值为，所以无解.故不存在a，使得恒成立.(3)上的减函数，故在上递增，只需在上单调递减，故所以存在,使函数为增函数.【考点】二倍角公式，二次函数的性质，最值，恒成立问题，等价转化的方法，函数的单调性.8.已知函数．（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；（2）当时，若对任意的，总存在使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在上存在零点，只需即可；（2）本问是存在性问题，只需函数的值域为函数的值域的子集即可．试题解析：（1）的对称轴为，所以在上单调递减，且函数在存在零点，所以即解得．故实数的取值范围为．（2）由题可知函数的值域为函数的值域的子集，以下求函数的值域：①时，为常函数，不符合题意；②，，∴解得；③，，∴解得．综上所述，的取值范围为．【考点】1.函数的零点；2.恒成立问题．9.设函数，用二分法求方程的近似根过程中，计算得到，则方程的根落在区间A．B．C．D．【答案】A【解析】解：取，因为，所以方程近似根取，因为，所以方程近似根所以应选A.【考点】二分法.10.已知函数，为偶函数，且当时，．记．给出下列关于函数的说法：①当时，；②函数为奇函数；③函数在上为增函数；④函数的最小值为，无最大值．其中正确的是A．①②④B．①③④C．①③D．②④【答案】B【解析】解:根所题意,函数的图象如下图所示为分段函数,其解析式为由此可知①③④正确,故选B.【考点】函数图象和性质.11.若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为( )A．2012B．2013C．4024D．4026【答案】C【解析】令，所以.即.再令.代入可得.设.所以.又因为.所以可得.所以可得函数是递增.所以.又因为.故选C.【考点】1.函数的单调性.2.函数的特殊值法寻找等量关系.3.等式与不等式间的互化.4.归纳化归的能力.12.已知为偶函数，当时，，满足的实数的个数为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】因为为偶函数，当时，.所以函数的解析式为作出图像如图所示. .由于函数是关于y轴对称，考虑研究x>0部分的图像.当时.或.因为.所以有四个不同的值.因为，所以不存在.所以有四个值.有对称性可得在x<0部分也有一个x的值符合.所以对应有四个值.故选D.【考点】1.分段函数的性质.2.复合函数的运算.3.数形结合的思想.13.定义函数,若存在常数C，对于任意的，存在唯一的，使得，则称函数在D上的“均值”为，已知，则函数上的均值为（）A．B．C．D．10【答案】A【解析】因为过点的中点的纵坐标为，所以对于任意的，存在唯一的，使得.所以均值.故选A.本小题的关键是考查函数的对称性问题.【考点】1.新定义的函数问题.2.函数的对称性.14.函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必在所在区间是 ( )A．[－2,1]B．[，4]C．[1，]D．[，]【答案】D【解析】因为,,又,由二分法知函数在区间必有零点.故正确答案为D.【考点】二分法15.设函数.（Ⅰ）画出的图象；（Ⅱ）设A=求集合A；（Ⅲ）方程有两解，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（1）需将函数解析式改写成分段函数后在画图（2）利用整体思想把先看成整体，然后再去绝对值（3）方程有两个解即函数和函数的图像有两个交点，利用数形结合思想分析问题试题解析：（Ⅰ）图像如图（1）所示（Ⅱ）即（舍）或或（Ⅲ）由图像（2）分析可知当方程有两解时，或【考点】(1)函数图像的画法（2）一元二次不等式和绝对值不等式（3）数形结合思想16.已知函数，若存在当时，则的取值范围是【答案】【解析】如图所示当时有，当时有所以即【考点】分段函数，要使时，，即使与函数有两个不同的交点，数形结合思想.17.已知，符号表示不超过的最大整数，若关于的方程（为常数）有且仅有3个不等的实根，则的取值范围是( ).A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以；分和的情况讨论，显然有.若，此时；若，则；若,因为，故，即.且随着的增大而增大。
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题(含答案)
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题（含答案）一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x −=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x −=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=−，或得到()()31f x f x −=−+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=−+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=−+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=−+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x −=−+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x −=−+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
高一数学函数周期性和对称性复习练习题
函数周期性和对称性高一数学一•定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x,使f(x T) f(x)恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
二•重要结论1、f x f x a，则y f x是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
3、若函数f x a f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a) = (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
f x15、若函数y=f(x)满足f(x+a) = (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
f x6、f (x a) 1一3，则fx是以T 2a为周期的周期函数.1 f(x)7、f(x a)1一L(x)，则f x是以T 4a为周期的周期函数•1 f(x)8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且2 ( b-a)是它的一个周期。
9、函数y f(x) x R的图象关于两点 A a, y0、B b, y0 a b都对称，则函数 f (x)是以2 b a为周期的周期函数；10、函数y f(x) x R的图象关于A a, y。
和直线x b a b都对称，则函数f(x)是以4 b a为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，贝U f(x)为周期函数且2 a是它的一个周期。
12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4 a是它的一个周期。
13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。
14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x) (x € R, 0),则f(-)=0.2函数的轴对称：a b定理1 ：如果函数y f x满足fax f b x，则函数y f x的图象关于直线x 对2 称•推论1：如果函数y f x满足fax fax，则函数y f x的图象关于直线x a对称•推论2：如果函数y f x满足f x f x ,则函数y f x的图象关于直线x 0 （y轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.一、函数的点对称：定理2：如果函数y f x满足fax fax 2b，则函数y f x的图象关于点a,b对称. 推论3：如果函数y f x满足fax fax 0，则函数y f x的图象关于点a,0对称.推论4 :如果函数y f x满足f x f x 0，则函数y f x的图象关于原点0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.二、函数周期性的性质：定理若函数f x在R上满足f （a x)fax，且f(b x) f b x (其中a b）,则函数3：y f x以2 a b为周期.定理4:若函数f x在R上满足f（a x) f a x，且f(b x) f b x (其中 a b），则函数y f x以2 a b为周期.定理5：若函数f x在R上满足f（a x)fax，且f(b x) f b x (其中a b）,则函数y fx以4a b为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性，但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数，同时分析条件特征必能拨开迷雾，马到成功.下面以例题来分析.例1.已知定义为R的函数f x满足f x f x 4，且函数f x在区间2, 上单调递增.如果x-i 2 x2，且x-i x2 4，则f % f x2的值（）.A.恒小于0 B .恒大于0 C .可能为0 D .可正可负.分析：f x f x 4形似周期函数f x f x 4，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x 2代替x，使f x f x 4变形为f 2 x f x 2 .它的特征就是推论 3.因此图象关于点2,0对称.f x在区间2, 上单调递增，在区间,2上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图）2 X2 4 x-，且函数在2, 上单调递增，所以f x2 f 4 X!，又由f x f x 4 ,有 f (4 x 1) f x 1 4 f x 1 4 4 f x 1 ,[3,4] 上是增函数f x 1 f x 2 f x 1 f 4 x 1 f x 1 f x 10.选 A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.练1:在R 上定义的函数f (x)是偶函数，且f(x) f (2 x).若f (x)在区间［1,2］上是减函数，则f(x)()A. 在区间［2, 1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数B. 在区间［2, 1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数上是减函数，在区间C.在区间[2, 1][3, 4]上是增函数分析：由f(x) f(2 x)可知f(x)图象关于x 1对称，即推论1的应用.又因为f(x)为偶函数图象关于 x 0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为 2，结合f (x)在区间[1,2]上是减函数，可得如右 f(x)草图.故选B例2 •已知函数y f x 的图象关于直线 x 2和x 4都对称，且当0x1时，f X x .在闭区间T,T 上的根的个数记为n ，贝U n 可能为(: )A.0B.1C.3D.5分析：f(T)f( T) 0 ,f( T )f (T ) f( ~T)f (T ),2 222•- f( 匸)f(T ) 0 ,则n 可能为5 ?练2.定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数, 2 2D.在区间[2, 1]上是减函数，在区间T 是它的一个正周期•若将方程f(x)求f 19.5的值.分析：由推论1可知, y f x 的图象关于直线 2对称，即f 2 x同样, 满足f 4 x ，现由上述的定理 X 是以4为周期的函数.f 19.5 f 4 4 3.5 f 3.5 0.5 0.5， 同时还知f X 是偶函数，所以0.5 f 0.5 0.5. 例3. f f 398 x f 2158 x f 3214 x ，则f f 999 中最多有()个不同的值. A.165 B.177 C.183 D.199分析：由已知f x f 398 f 2158 x f 3214 x f x 1056f x 1760 f x 704352 . 又有 f x f 398 x2158 x f 3214 x 1056f 2158 1056 xf 1102 x f 1102 x1056f 46 x ,于是f (x)有周期352，于是f o ,f 1 , L ,f 999能在 ,f 351中找到. 又f (x)的图像关于直线x 23对称，故这些值可以在23 , f 24 丄,f 351中找到.又f(x)的图像关于直线x 199对称，故这些值可以在 f 23 , f 24 ,L , f 199 中找到.共有177个.选B. 练3 :已知 1 x1 3x ，x ，…， 则 f 2004 2 分析：由f ,可令 x=f (x )知 f , x 1 3x ,f 2 x3x 13x 1 f(x)为迭代周期函数，故 f 3n x 2004 f x, f 2004练4：函数f (x)在R 上有定义，且满足 f(x)是偶函数，且f 0 2005, g x x 1是奇函数,则f 2005的值为函数的定义域为[—1 , 0 ) U ( 0 , 1 ]故f ( x ) 是奇函数4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4•已知函数f (x)对一切x, y R ，都有f (x y) f (x) f (y)，(1)求证： f (x)是奇函数；(2)若f( 3) a ，用a 表示f(12)解：(1)显然f(x)的定义域是R ，它关于原点对称•在 f(x y) f (x) f (y)中，令 yx ，得 f(0) f(x) f( x)，令 x y 0,得 f (0)f(0) f (0) ,「.f(0)0 ,••• f (x) f ( x) 0,即 f( x) f (x),••• f (x)是奇函数.f y fy 2，即有f :x f x 20，令 a nf x ，则 a n a n 2 0 ,其中 a 。
高一数学函数试题答案及解析
高一数学函数试题答案及解析1.已知,函数．若,则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】首先由可得，，即①；然后根据可得，，即②．最后将①代入②可得，，即，故应选A．【考点】二次函数的求值．2.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】点是直线上的任意一点，则有，即，所以有，显然当时，有最小值．【考点】消元法,二次函数中配方法求最值．3.函数的一个零点是，则另一个零点是_________．【答案】【解析】本题要注意零点的概念，零点是指函数的解，并非点的坐标.依题意可知，所以，令或，所以另一个零点是1.【考点】函数的零点.4.已知函数（）.（1）证明：当时，在上是减函数，在上是增函数，并写出当时的单调区间；（2）已知函数，函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明详见解析，在是减函数，在是增函数；（2）.【解析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即①设；②作差：；③因式分解到最简；④根据条件判定符号；⑤作出结论，经过这五步即可证明在单调递减，同理可证在是增函数，最后由奇函数的性质得出；在是减函数，在是增函数；（2）先将“对任意，总存在，使得成立”转化为“函数在区间的值域包含了在区间的值域”，分别根据函数的单调性求出这两个函数的值域，最后由集合的包含关系即可得到的取值范围.试题解析：（1）证明：当时①设是区间上的任意两个实数，且，则∵，∴，∴，即∴在是减函数 4分②同理可证在是增函数 5分综上所述得：当时，在是减函数，在是增函数 6分∵函数是奇函数，根据奇函数图像的性质可得当时，在是减函数，在是增函数 8分（2）∵（） 8分由（1）知：在单调递减，单调递增∴， 10分又∵在单调递减∴由题意知：于是有：，解得 12分.【考点】1.函数的单调性与最值；2.函数的奇偶性；3.函数的值域.5.如图，点从点出发，分别按逆时针方向沿周长均为的正三角形、正方形运动一周，两点连线的距离与点走过的路程的函数关系分别记为，定义函数对于函数，下列结论正确的个数是（）①；②函数的图像关于直线对称；③函数值域为；④函数在区间上单调递增.A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由题意可得由函数与的图像可得函数由图像可知，①②③④都正确.【考点】1.函数的图像；2.分段函数；3.函数的单调性；4.函数的值域.6.关于的方程恰有个不同的实根，则的取值范围是________.【答案】【解析】设，，若有解，则须，即，当时，只有两解，当时，只有3个解，当时，都有四个不同的实数解，先将方程转化为，则要使关于的方程恰有8个根，则关于的二次方程在内有两个不等的正实根，记，则须有即，解之得.【考点】1.函数与方程；2.二次方程根的分布问题.7.定义在区间上的奇函数为增函数，偶函数在上图象与的图象重合.设，给出下列不等式，其中成立的是( )①②③④A．①④B．②③C．①③D．②④【答案】C【解析】因为，定义在区间上的奇函数为增函数，偶函数在上图象与的图象重合.即偶函数在上是增函数，在是减函数。
3.2.2(第二课时)函数的周期性与对称性课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第三章函数的概念与性质
3.3.2（第二课时） 函数的周期性与对称性
李思
目C O N
录T E N T S
01 函数的周期性 02 函数的对称性 03 典型例题
1.函数的周期性
(1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何
值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函 数的周期． (2)最小正周期：
例8：定义在R上的函数f（x）是奇函数又是以2为周期的周期函数，
则f（1）+f（4）+f（7）等于（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．4
解析：据题意f（7）＝f（﹣1+8）＝﹣f（1）， ∴f（1）+f（7）＝0， 又f（4）＝f（0）＝0， ∴f（1）+f（4）+f（7）＝0． 故选：B．
例3：已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）+f（x﹣2）＝0，若y＝f（x+1）的图
象关于点（﹣1，0）对称，且f（1）＝2，则f（2021）＝（ ）
A．﹣2 B．0
C．1
D．2
解析：由f（x+2）+f（x﹣2）＝0，得f（x+2）＝﹣f（x﹣2），即f（x+4）＝﹣f （x），则f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数， 若y＝f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，则若y＝f（x）的图象关于点（0，0） 对称，即f（x）是奇函数，则f（2021）＝f（252×8+5）＝f（5）＝f（1+4）＝ ﹣f（1）＝-2， 故选：A．
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高一数学函数的对称性习题
函数的对称性是数学中一个重要的概念，它能帮助我们理解函
数的性质和图像的特点。
本文将介绍一些高一数学中关于函数对称
性的题，并给出对应的解答。
1.函数的奇偶性
题 1.已知函数 f(x) 的定义域为实数集，且满足 f(-x) = -f(x)，则
函数 f(x) 的奇偶性是什么？题 1.已知函数 f(x) 的定义域为实数集，
且满足 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 的奇偶性是什么？题 1.已知函数
f(x) 的定义域为实数集，且满足 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 的奇偶性
是什么？题 1.已知函数 f(x) 的定义域为实数集，且满足 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 的奇偶性是什么？
解答。
函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，这意味着函数在自身的对称
轴上，y 值与相应的负 x 值处的 y 值相等但符号相反。
由此可知，
函数 f(x) 是奇函数。
解答。
函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，这意味着函
数在自身的对称轴上，y 值与相应的负 x 值处的 y 值相等但符号相反。
由此可知，函数 f(x) 是奇函数。
解答。
函数 f(x) 满足 f(-x) = -
f(x)，这意味着函数在自身的对称轴上，y 值与相应的负 x 值处的 y 值相等但符号相反。
由此可知，函数 f(x) 是奇函数。
解答。
函数
f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，这意味着函数在自身的对称轴上，y 值与相
应的负 x 值处的 y 值相等但符号相反。
由此可知，函数 f(x) 是奇函数。
2.函数图像的对称性
题 2.函数 f(x) 的图像关于 y 轴对称，并且经过点 (-1.2)，求函
数 f(x) 的解析式。
题 2.函数 f(x) 的图像关于 y 轴对称，并且经过点(-1.2)，求函数f(x) 的解析式。
题2.函数f(x) 的图像关于y 轴对称，并且经过点 (-1.2)，求函数 f(x) 的解析式。
题 2.函数 f(x) 的图像关
于 y 轴对称，并且经过点 (-1.2)，求函数 f(x) 的解析式。
解答。
由于函数 f(x) 的图像关于 y 轴对称，可以得知函数 f(x)
中不含有 x 的一次及其以上次幂。
又因为函数经过点 (-1.2)，代入
该点可得到等式 f(-1) = 2.结合图像对称性的特点，我们可以得出
f(x) = 2 的解析式。
解答。
由于函数 f(x) 的图像关于 y 轴对称，可
以得知函数 f(x) 中不含有 x 的一次及其以上次幂。
又因为函数经过
点 (-1.2)，代入该点可得到等式 f(-1) = 2.结合图像对称性的特点，
我们可以得出 f(x) = 2 的解析式。
解答。
由于函数 f(x) 的图像关于
y 轴对称，可以得知函数 f(x) 中不含有 x 的一次及其以上次幂。
又因为函数经过点 (-1.2)，代入该点可得到等式 f(-1) = 2.结合图像对
称性的特点，我们可以得出 f(x) = 2 的解析式。
解答。
由于函数 f(x) 的图像关于 y 轴对称，可以得知函数 f(x) 中不含有 x 的一次及其以上次幂。
又因为函数经过点 (-1.2)，代入该点可得到等式 f(-1) = 2.
结合图像对称性的特点，我们可以得出 f(x) = 2 的解析式。
3.函数的轴对称性
题 3.函数 f(x) 的图像关于直线 x = a 对称，请求函数 f(x) 的解
析式。
题 3.函数 f(x) 的图像关于直线 x = a 对称，请求函数 f(x) 的
解析式。
题 3.函数 f(x) 的图像关于直线 x = a 对称，请求函数 f(x)
的解析式。
题 3.函数 f(x) 的图像关于直线 x = a 对称，请求函数 f(x) 的解析式。
解答。
函数 f(x) 的图像关于直线 x = a 对称，表示对于任意的
x 值，在直线 x = a 上对称点的 y 值与原点的 y 值相等。
根据轴对
称性的特点，我们可以得出 f(x) = f(2a - x) 的解析式。
解答。
函数
f(x) 的图像关于直线 x = a 对称，表示对于任意的 x 值，在直线 x =
a 上对称点的 y 值与原点的 y 值相等。
根据轴对称性的特点，我们
可以得出 f(x) = f(2a - x) 的解析式。
解答。
函数 f(x) 的图像关于直
线 x = a 对称，表示对于任意的 x 值，在直线 x = a 上对称点的 y 值
与原点的 y 值相等。
根据轴对称性的特点，我们可以得出 f(x) =
f(2a - x) 的解析式。
解答。
函数 f(x) 的图像关于直线 x = a 对称，表
示对于任意的 x 值，在直线 x = a 上对称点的 y 值与原点的 y 值相等。
根据轴对称性的特点，我们可以得出f(x) = f(2a - x) 的解析式。
4.对称函数的性质
题 4.已知函数 f(x) 的图像关于点 (1.3) 对称，并且函数 f(x) 是
增函数，求函数 f(x) 的解析式。
题 4.已知函数 f(x) 的图像关于点(1.3) 对称，并且函数 f(x) 是增函数，求函数 f(x) 的解析式。
题 4.已知函数 f(x) 的图像关于点 (1.3) 对称，并且函数 f(x) 是增函数，求
函数 f(x) 的解析式。
题 4.已知函数 f(x) 的图像关于点 (1.3) 对称，
并且函数 f(x) 是增函数，求函数 f(x) 的解析式。
解答。
函数 f(x) 的图像关于点 (1.3) 对称，表示对于任意的 x 值，在点 (1.3) 对称点的 y 值与原点的 y 值相等。
由于函数 f(x) 是
增函数，即 x 增大时，f(x) 的值也增大。
结合对称性的特点，我们
可以得出 f(x) = f(2 - x) + 3 的解析式。
解答。
函数 f(x) 的图像关于点 (1.3) 对称，表示对于任意的 x 值，在点 (1.3) 对称点的 y 值与原点的 y 值相等。
由于函数 f(x) 是增函数，即 x 增大时，f(x) 的值也增大。
结合对称性的特点，我们可以得出 f(x) = f(2 - x) + 3 的解析式。
解答。
函数 f(x) 的图像关于点 (1.3) 对称，表示对于任意的 x 值，在点 (1.3) 对称点的 y 值与原点的 y 值相等。
由于函数 f(x) 是增函数，即 x 增大时，f(x) 的值也增大。
结合对称性的特点，我们可以得出 f(x) = f(2 - x) + 3 的解析式。
解答。
函数 f(x) 的图像关于点 (1.3) 对称，表示对于任意的 x 值，在点 (1.3) 对称点的 y 值与原点的 y 值相等。
由于函数 f(x) 是增函数，即 x 增大时，f(x) 的值也增大。
结合对称性的特点，我们可以得出 f(x) = f(2 - x) + 3 的解析式。
以上是关于高一数学函数的对称性习题的解答。
对于函数的对称性，我们在分析和理解函数性质时，可以运用这些概念和解题方法。
希望本文对你有所帮助！。