八年级数学上册 角平分线教案 浙教版-浙教版初中八年级上册数学教案
八年级数学上册《线段的垂直平分线与角的平分》教案、教学设计
2.学生在运用垂直平分线和角的平分线性质解决问题时，可能会遇到推理困难，教师应引导学生通过逐步推导，培养他们的逻辑思维能力；
3.针对不同学生的学习能力，教师应分层设计教学活动，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（四）课堂练习
1.教学活动设计：设计具有代表性的习题，让学生当堂完成，巩固所学知识，并及时进行反馈和指导。
2.教学过程：首先，发放练习题，要求学生在规定时间内完成。接着，教师收集学生答案，针对普遍存在的问题进行讲解。最后，针对个别学生的疑问，进行个别辅导，确保学生掌握所学知识。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：对本节课的知识点进行总结，强调重难点，梳理知识体系，并进行情感教育。
1.教学方法：
（1）导入阶段：通过实际生活中的例子，如公路建设、园林设计等，引出线段的垂直平分线和角的平分线的概念，激发学生的学习兴趣；
（2）讲解阶段：运用多媒体演示和实物模型，让学生直观地理解垂直平分线和角的平分线的性质，同时结合课本，进行详细的讲解；
（3）实践阶段：设计具有挑战性的习题，让学生动手操作，培养他们运用垂直平分线和角的平分线解决问题的能力；
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过展示一张地图，标注两个城市之间的道路，提出如何确定两地之间的最短距离问题，引发学生对线段的垂直平分线的思考。
2.教学过程：首先，让学生观察地图，思考如何找到两地之间的最短距离。接着，引导学生回顾之前学过的线段中点的知识，为引入线段的垂直平分线做铺垫。最后，提出线段的垂直平分线的概念，激发学生的好奇心和求知欲。
浙教版八年级上册几何部分第2讲 角平分线、垂直平分线的性质与判定
第2讲 角平分线、垂直平分线的性质与判定板块一、角平分线知识要点：1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.例题精讲例1、如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN【解法指导】由于PM ⊥BD ，PN ⊥AD .欲证PM ＝PN 只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD 与△OAD 全等即可.证明：∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2 在△OBD 与△OAD 中，12OB OAOD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OBD ≌△OAD∴∠3＝∠4 ∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD 所以PM ＝PN类题演练1、如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2、如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN例2、如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数【解法指导一】由已知∠1＝∠2，CE ⊥AB ，联想到可作CF ⊥AD 于F ，得CE ＝CF ，AF ＝AE ，又由AE ＝12(AB ＋AD )得DF ＝EB ，于是可证△CFD ≌△CEB ，则∠B ＝∠CDF ＝60°.解：过点C 作CF ⊥AD 于点F .又∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，点C 是AC 上一点，∴CE ＝CF在△CFA 和△CEA 中，∵ ⎪⎩⎪⎨⎧ （自己补充上去）∴△ACF ≌△ACE ∴AF ＝AE 又∵AE ＝12(AE ＋BE ＋AF －DF )，2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ，∴BE ＝DF ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴∠F ＝∠CEB ＝90°在△CEB 和△CFD 中，CE CF F CEB DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△CFD∴∠B ＝∠CDF 又∵∠ADC ＝120°，∴∠CDF ＝60°，即∠B ＝60°.【解法指导二】在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形.（聪明的你，来试一试）类题演练3、在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论。
八年级上角平分线教案
八年级上角平分线教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）能够画出角的平分线；（2）理解角平分线的性质；（3）能够运用角平分线解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；（2）学会用角的平分线解决几何问题。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神和合作意识。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）角平分线的性质；（2）运用角平分线解决几何问题。
2. 教学难点：（1）角平分线的作图；（2）角平分线在实际问题中的应用。
三、教学准备1. 教师准备：（1）熟记角平分线的性质；（2）准备相关的教学案例和练习题。
2. 学生准备：（1）掌握角的概念；（2）了解线段的性质。
四、教学过程1. 导入：（1）复习角的概念；（2）引导学生思考：如何找到一个角的平分线？2. 新课讲解：（1）介绍角平分线的定义；（2）讲解角平分线的性质；（3）举例说明角平分线在几何中的应用。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成相关的练习题；五、教学反思1. 反思教学效果：（1）学生对角平分线的理解和掌握程度；（2）学生在实际问题中的应用能力。
2. 改进措施：（1）针对学生的掌握情况，调整教学方法和策略；（2）提供更多的实际问题，让学生练习运用角平分线解决。
六、教学评估1. 课堂表现评估：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及学习态度。
2. 练习题评估：检查学生完成的练习题，评估其对角平分线概念和性质的理解程度。
七、作业布置1. 请学生绘制一个任意角，并画出它的角平分线；2. 选择两道练习题，加深对角平分线性质的理解；3. 调查生活中的角平分线应用实例，下节课分享。
八、课后辅导1. 对课堂上未理解角平分线概念的学生进行个别辅导；2. 回答学生在练习中遇到的问题，指导解题方法。
九、课堂拓展1. 探讨角的平分线与角的对称性质之间的关系；2. 引入线段垂直平分线的概念，与角平分线进行类比。
(最新)浙教版八年级数学上册《三角形的角平分线、中线、高线》优质课课件
练习4 已知：AD、BE、CF分别是⊿ABC的三条角平分线(如图)，点O是它们的交 点，则： A (1)∠1+∠2 +∠3 = 90 度； ° 3 F (2)∠2 +∠4 = 90度 . ° E
O
解：∵BE是⊿ABC的角平分线， ∴∠1= 1∠ABC. 2
1
பைடு நூலகம்
4
B
2
2
D
C
2 1 ∴∠1+∠2+∠3 = (∠ABC+∠ACB+∠BAC). 2
1.1(2)三角形的角平分线、 中线、高线
说一说： 1：什么叫三角形的角平分线？
2：什么叫三角形的高线？ 3：什么叫三角形的中线？
折一折：给你一个三角形，你能折出
一条边上的角平分线，高线，中线吗？
画一画： P7页，画角平分 线，高线，中线
想一想：锐角三角形，直角三角形，
钝角三角形的角平分线、高线，中线 各有什么特点
练习6 已知：⊿ABC中， ∠C=90°,AD、BE分别是⊿ABC的角平分线(如图), AD、BE 相交于点F.则∠AFB的度数是否会随着直角⊿ABC形状的改变而发生变化吗？为什 么？.
解：∵BE是⊿ABC的角平分线， ∴∠2 =0.5∠ABC. 3 zxxk 同理，∠3 =0.5∠BAC. 学科网 又∠1 =∠2 +∠C， E 1 4 F ∠4 =∠1 +∠3 (为什么？)， ∴∠4 =(∠2 +∠C)+∠3 C = ∠C +(∠2 +∠3) D = ∠C +0.5(∠ABC+∠BAC) = 0.5(∠ABC+∠BAC+∠C)+0.5∠C. A ∵ ∠ABC+∠BAC+∠C =180°，∠C =90°， ∴∠4 =0.5×180°+0.5×90° E = 90°+45° C = 135°.
八年级上角平分线教案
八年级上角平分线教案第一章：角平分线的定义与性质1.1 教学目标了解角平分线的定义掌握角平分线的性质1.2 教学内容角平分线的定义角平分线的性质1.3 教学步骤引入角平分线的概念，展示实例解释角平分线的定义引导学生通过观察和推理得出角平分线的性质1.4 练习题判断题：判断给定的线段是否是角平分线填空题：填空完成角平分线的性质句子第二章：角平分线的作图2.1 教学目标学会使用直尺和圆规作出角的平分线2.2 教学内容角平分线的作图方法2.3 教学步骤复习角平分线的定义和性质演示如何使用直尺和圆规作出角的平分线引导学生动手实践，尝试自己作出角的平分线2.4 练习题给出一个角，学生自行作出它的平分线讨论并解答作图过程中遇到的问题第三章：角平分线与垂直的关系3.1 教学目标了解角平分线与垂直的关系3.2 教学内容角平分线与垂直的关系3.3 教学步骤引入角平分线与垂直的概念展示角平分线与垂直的性质引导学生通过观察和推理得出结论3.4 练习题判断题：判断给定的角是否是垂直的填空题：填空完成角平分线与垂直的关系句子第四章：角平分线定理的应用4.1 教学目标学会运用角平分线定理解决实际问题4.2 教学内容角平分线定理的应用复习角平分线定理展示角平分线定理在实际问题中的应用引导学生运用角平分线定理解决实际问题4.4 练习题给出一个实际问题，学生自行运用角平分线定理解决讨论并解答解题过程中遇到的问题第五章：角平分线的综合练习5.1 教学目标巩固角平分线的知识，提高学生的综合应用能力5.2 教学内容角平分线的综合练习5.3 教学步骤复习角平分线的定义、性质、作图方法和应用给出一个综合练习题，要求学生独立完成引导学生互相交流解题思路和答案5.4 练习题综合练习题：给出一个多边形，学生自行找出所有角的平分线，并判断它们是否垂直第六章：角平分线的逆定理6.1 教学目标理解角平分线的逆定理及其应用角平分线的逆定理6.3 教学步骤引导学生回顾角平分线定理引入逆定理的概念证明逆定理的正确性展示逆定理在几何证明中的应用6.4 练习题判断题：判断给定的线段是否为某角的平分线应用题：运用逆定理解决几何证明问题第七章：角平分线的实际应用7.1 教学目标学会将角平分线定理应用于实际情境中7.2 教学内容角平分线的实际应用7.3 教学步骤回顾角平分线的性质和定理展示角平分线在实际问题中的应用实例引导学生通过角平分线定理解决实际问题讨论实际应用中可能遇到的问题及解决方法7.4 练习题应用题：设计与角平分线相关的实际问题，要求学生解答讨论题：探讨角平分线在实际生活中的意义和作用第八章：角平分线的作图技巧8.1 教学目标学会使用多种方法作图找出角的平分线8.2 教学内容角平分线的作图技巧8.3 教学步骤复习角平分线的定义和性质介绍不同的作图方法演示如何使用这些方法作图学生自行练习，尝试使用不同方法作图8.4 练习题作图题：根据给定的条件，学生自行作图找出角的平分线分析题：比较不同作图方法的优劣和适用情况第九章：角平分线的拓展研究9.1 教学目标培养学生对角平分线的深入探究能力9.2 教学内容角平分线的拓展研究9.3 教学步骤引导学生思考角平分线的其他性质和定理鼓励学生进行小组讨论和研究报告学生展示他们的研究成果讨论和分析拓展研究的结果和意义9.4 练习题研究题：学生自行选择角平分线的某一性质进行深入研究第十章：总结与评价10.1 教学目标总结角平分线的重要概念和应用评价学生的学习成果10.2 教学内容角平分线的总结与评价10.3 教学步骤与学生一起总结角平分线的所有关键概念和定理让学生展示他们的学习成果和作品进行课堂评价，鼓励学生反思他们的学习过程提出改进建议，为学生的进一步学习做好准备10.4 练习题评价题：学生相互评价对方的学习成果，提出建设性意见重点和难点解析重点环节一：角平分线的定义与性质需要重点关注学生对角平分线定义的理解，以及能够识别和证明一个线段是某个角的平分线。
浙教版数学八年级上册全册教案
浙教版数学八年级上册全册教案一、教学内容1. 第十一章平面几何图形第一节、多边形的内角与外角第二节、多边形的对角线第三节、平面几何图形的镶嵌2. 第十二章一元二次方程第一节、一元二次方程的解法第二节、一元二次方程的根的判别式第三节、一元二次方程的根与系数的关系二、教学目标1. 理解多边形的内角与外角的关系，掌握多边形对角线的性质。
2. 学会平面几何图形的镶嵌方法，培养空间想象力。
3. 掌握一元二次方程的解法，理解根的判别式和根与系数的关系。
三、教学难点与重点1. 教学难点：一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
2. 教学重点：多边形的内角与外角的关系，平面几何图形的镶嵌方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、几何模型、三角板、量角器。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入通过展示实际生活中的多边形图形，引导学生观察并发现多边形的内角与外角的关系。
2. 例题讲解讲解多边形的内角和公式，通过例题加深理解。
讲解多边形对角线的性质，结合图形进行分析。
3. 随堂练习让学生完成教材中的练习题，巩固多边形的内角与外角的知识。
引导学生运用镶嵌方法，完成平面几何图形的绘制。
4. 一元二次方程解法讲解介绍一元二次方程的解法，如配方法、公式法等。
通过例题，讲解根的判别式和根与系数的关系。
5. 课堂小结六、板书设计1. 多边形的内角与外角公式2. 多边形对角线的性质3. 平面几何图形的镶嵌方法4. 一元二次方程的解法5. 根的判别式和根与系数的关系七、作业设计1. 作业题目：计算给定多边形的内角和与外角和。
证明给定多边形对角线的性质。
解一元二次方程，并判断其根的情况。
2. 答案：内角和与外角和的解答过程。
对角线性质证明过程。
一元二次方程的解答过程。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：针对课堂教学效果，分析学生的掌握情况，调整教学方法。
2. 拓展延伸：引导学生探索多边形内角和与外角和之间的关系。
浙教版八年级上册 第1章 角平分线与中垂线性质定理及应用 辅导学案
姓名年级：八年级学科：数学第次课课时课题《角平分线与中垂线的性质定理及应用》主要内容1. 理解并掌握角平分线与中垂线的性质定理2. 熟练运用角平分线与中垂线解决相关问题重点难点角平分线与中垂线的综合运用教学过程【知识梳理1：角平分线的性质定理与判定】角平分线：（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.（2）角平分线的判定：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.【定理的证明】1. 如图：已知，OE为∠AOB的角平分线，E为OE上任意一点，作CE⊥OA与C，DE⊥OB与D. 求证：CE=DE.2. 如图所示，∠B=∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD平分∠BAC.【例题讲解】【例1】如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．例1图 例2图【例2】如图，在直角三角形ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的 平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是（ ）A. 10B. 15C. 20D. 30【例3】如图，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，点Q 是射线OB 上一个动点，若PD=2，则PQ 的最小值为（ ）A ．PQ ＜2B ．PQ=2C ．PQ ＞2D ．以上情况都有可能例3图 例4图【例4】如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【例5】如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是 ∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF.证明：（1）CF=EB ．（2）AB=AF+2EB ．【同步练习】1. 如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AC=7cm，则DE+BD等于（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm第1题第2题2. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．63. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ACD=3，DE=2，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．6第3题第4题4. 如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的有（）A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确5. 如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A.线段CD的中点B.OA与O B的中垂线的交点C.OA与CD的中垂线的交点D.CD与∠AOB的平分线的交点第5题第6题6. 如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，它们的交点P给在线段CD 上，下面的结论：①AP⊥BP；②点P到直线AD、BC的距离相等；③PD=PC．其中正确的结论有（）A．①②③B．①②C．仅①D．仅②7. 如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．两处C．三处D．四处第7题第8题8. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F.求证：CE=CF．10. 如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．【知识梳理2：垂直平分线的性质定理与判定】垂直平分线（中垂线)（1）垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线叫做垂直平分线.（2）垂直平分线的性质定理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.（3）垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.【定理的证明】如图：已知，EF为线段AB的垂直平分线，C为EF上任意一点，连接AC，BC.求证：AC=BC【例题讲解】【例1】如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm例1图例2图【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。
八年级数学上册《角的平分线的性质》教案、教学设计
学生能够将角的平分线的性质应用于实际问题的解决中，培养学以致用的能力。
（二）过程与方法
1.通过实际操作，让学生经历角的平分线的探索过程，培养动手操作能力和观察能力。
教学过程中，教师引导学生通过实际操作，观察角的平分线，培养学生动手操作的能力和观察能力。
“同学们，你们在生活中见过这样的角吗？它们有什么特殊之处呢？今天我们要学习角的平分线，一起来探索这些角的奥秘吧！”
2.提问：引导学生思考角的平分线的定义及作用。
“谁能来说说什么是角的平分线？它有什么作用呢？”
3.导入新课：通过学生回答，自然导入本节课的学习内容——角的平分线的性质。
（二）讲授新知
1.概念讲解：详细解释角的平分线的定义，并通过图示进行展示。
3.提高题挑战：
完成课后提高题6、7，这两题难度较大，旨在培养学生几何证明的思路和方法，提高学生的逻辑思维能力和解题技巧。
4.探究性问题：
针对本节课所学内容，提出一个探究性问题：“除了点到角的两边的距离相等，角的平分线还有其他性质吗？”鼓励学生在课后进行自主探究，培养学生的创新意识和研究精神。
5.小组合作任务：
五、作业布置
为了巩固本节课所学内容，检验学生对角的平分线性质的理解和应用能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
完成课本第章节后的练习题1、2、3，这些题目旨在帮助学生巩固角的平分线的定义和性质，加强对基础知识的掌握。
2.应用题训练：
选择两道应用题（如课本例题4、5），要求学生运用角的平分线性质进行解决。通过解决实际问题，提高学生将理论知识应用于实际情境的能力。
2.强调几何证明的思路和方法。
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角平分线
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。
二、教学任务分析
本节课的教学目标是：
1．知识目标：
（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．
（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．
2．能力目标：
（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．
（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．
（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
3．情感与价值观要求
①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
4．教学重点、难点
重点
①三角形三个内角的平分线的性质．
②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．
难点
角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境问题，搭建探究平台；第二环节：展
示思维过程，构建探究平台；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结;第五环节：课后作业。
第一环节：设置情境问题，搭建探究平台
问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ．
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。
第二环节：展示思维过程，构建探究平台
已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM 、相交于点P ， 证明：P 点在∠B AC 的角平分线上．
证明：过P 点作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，其中D 、E 、F 是垂足．
∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，
∴PD =PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理：PE =PF ． ∴PD =PF ．
∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC 的三条角平分线相交于点P ．
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?
（PD =PE =PF ，即这个交点到三角形三边的距离相等．）
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
D F
E
M
N
C B
A P
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
问题2
如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?
l3
l2
1
l C
B
A
要求学生思考、交流。
实况如下：
[生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．
[生]我找到四处．(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3；因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3
P 1
P l 3
l 2
1l C
B
A
教师讲评。
第三环节：例题讲解
[例1]如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E ．
(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC 的长，需求出BC 的长，而BC=CD+DB ，CD=4 cIn ，而BD 在等腰直角三角形DBE 中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm ，
再根据勾股定理便可求出DB 的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD ．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE ，所以需证AC=AE ，CD=BE ．
(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∠C=90°，DE⊥AB．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°，
∴∠B=1
2 ×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°＝45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中
A
D
B
E
C
BD=2DE 2
.=4 2 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm． (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL 定理) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD．
[例2]已知：如图，P 是么AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C 、D ． 求证：(1)OC=OD ；
(2)OP 是CD 的垂直平分线．
P D
A
E C
O
B
证明：(1)P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)． 在Rt△OPC 和Rt△OPD 中，
OP =OP ，PC =PD ，
∴Rt△OPC ≌Rt△OPD (HL 定理)． ∴OC =OD (全等三角形对应边相等)． (2)又OP 是∠AOB 的角平分线，
∴OP 是CD 的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)． 思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?
第四环节：课时小结
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．。