高考数学圆锥曲线公式
高考数学圆锥曲线公式
以下是一些常见的高考数学圆锥曲线公式:
1. 椭圆公式:a = π/2(x - b)^2,其中a、b为椭圆的长轴和短
轴长度,π约为3.14。
2. 圆公式:r = (a + b) / 2,其中a、b为椭圆的长轴和短轴长度,a和b分别表示椭圆的两个端点之间的距离。
3. 双曲线公式:c = π/4(x - y)^2,其中c为双曲线的公共参数方程,x为双曲线的参数离心率,y为双曲线的参数向心率。
4. 抛物线公式:p = (a + b) / 2,其中a、b为抛物线的长轴和
短轴长度,p为抛物线的参数方程。
5. 等腰三角形公式:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
6.直角三角形公式:勾股定理:a^2 + b^2 = c^2,其中a、b为直
角三角形的两条直角边长度,c为直角三角形的斜边长度。
7. 等边三角形公式:a = b,其中a和b为等边三角形的两条边长度。
这些公式是高考数学圆锥曲线部分的基础,掌握这些公式能够更
好地理解和解决圆锥曲线问题。同时也要注意在解题过程中对参数的取值作出适当的规定,这一点在考试中也非常关键。
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇 高中数学圆锥曲线知识点总结5篇 教育的现代化和大众化是推进知识普及和人才培养的重要策略。科学科研的公正性和透明度是科研活动的重要保障。下面就让小编给大家带来高中数学圆锥曲线知识点总结，希望大家喜欢! 高中数学圆锥曲线知识点总结1 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x ，y+y )。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且 ∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ 0时，λa与a同方向; 当λ 0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有
向线段伸长或压缩。 当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果 a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积 定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+- ∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x +y·y 。 向量的数量积的运算率 a·b=b·a(交换率); (a+b)·c=a·c+b·c(分配率); 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。 高中数学圆锥曲线知识点总结2 直线的倾斜角： 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值
高考数学圆锥曲线的基本公式推导
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22 =与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式， 再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+=+b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
高中数学中的圆锥曲线知识点总结
高中数学中的圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中重要的几何概念之一，包括椭圆、双曲线和 抛物线。在本文中，我们将对这些圆锥曲线的基本概念、性质和相关 公式进行总结。 一、椭圆 1. 概念：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a 的点的轨迹。 2. 基本性质： - 长轴和短轴：椭圆的两个焦点F1和F2之间的距离为2c，椭圆 的长轴为2a，短轴为2b，有关系式c^2 = a^2 - b^2。 - 离心率：离心率e定义为离焦距离2c与长轴2a之比，即e = c/a。椭圆的离心率小于1。 - 焦点与定点关系：椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的 距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。 - 弦与切线性质：椭圆上任意一条弦与该点处的切线垂直。 3. 相关公式： - 椭圆标准方程：(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 或 (y^2)/(a^2) + (x^2)/(b^2) = 1（其中a > b）。 - 焦点坐标公式：F1(-c,0)，F2(c,0)。
- 离心率公式：e = c/a。 - 曲率半径：任意一点P在椭圆上的曲率半径为a^2/b。 二、双曲线 1. 概念：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数 2a的点的轨迹。 2. 基本性质： - 长轴和短轴：双曲线的两个焦点F1和F2之间的距离为2c，双 曲线的长轴为2a，短轴为2b，有关系式c^2 = a^2 + b^2。 - 离心率：离心率e定义为离焦距离2c与长轴2a之比，即e = c/a。双曲线的离心率大于1。 - 焦点与定点关系：双曲线上的任意一点P到两个焦点F1和F2 的距离之差等于常数2a，即|PF1 - PF2| = 2a。 - 弦与切线性质：双曲线上任意一条弦与该点处的切线垂直。 3. 相关公式： - 双曲线标准方程：(x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1 或 (y^2)/(a^2) - (x^2)/(b^2) = 1（其中a > b）。 - 焦点坐标公式：F1(-c,0)，F2(c,0)。 - 离心率公式：e = c/a。 - 曲率半径：任意一点P在双曲线上的曲率半径为|a^2/b|。
高考数学圆锥曲线常用8大结论
高考数学圆锥曲线常用8大结论 1. 椭圆的性质 椭圆的标准方程为： $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 其中，a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。 椭圆具有以下性质： (1) 光滑性：椭圆是一个连续的、光滑的曲线。 (2) 对称轴：椭圆具有两条对称轴，分别与长半轴和短半轴垂直并交于中心点。 (3) 焦点：椭圆有两个焦点F1和F2，且满足F1F2=2a。 (4) 直线：椭圆上的直线方程一般为$Ax+By+C=0$，其中， $A=\dfrac{a^2y^2}{b^2}+\dfrac{b^2x^2}{a^2}$，$B=-2\dfrac{a^2y}{b^2}$， $C=\dfrac{a^2y^2}{b^2}-a^2$。 (5) 参数方程：椭圆的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，其中，$0\leq\theta<2\pi$。 2. 双曲线的性质 (4) 渐进线：双曲线的渐进线是直线方程为$y=\pm\dfrac{b}{a}x$的两条直线。 $y=ax^2+bx+c$ 其中，a不等于0。 (2) 对称轴：抛物线的对称轴是$y=-\dfrac{b}{2a}$。 (3) 焦点：抛物线具有一个焦点F，满足到该点的距离等于焦距。 (5) 参数方程：抛物线的参数方程为$x=t$，$y=at^2+bt+c$。 5. 双曲线方程的标准形式 其中，(h,k)为双曲线的中心点坐标，a为双曲线的半轴长，b为双曲线的半轴短。 7. 拋物線切线式
拋物線的方程式為 因此，在拋物線上一點$(x_0, y_0)$的斜率為 則該點的切線方程為 $y-y_0 = k(x-x_0)$ 8. 判别式公式 判別式公式可以判別二次曲線的形状，公式如下： $D = \begin{vmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{vmatrix}$若$D>0$，則方程表示的圖形是双曲线；
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识 点总结 1.椭圆的概念 椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。 2.椭圆的性质 ①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。 ②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。 ③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。其中，c表示 焦距，a表示长半轴长。 椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。当离心率 接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的 长度，此时椭圆会趋向于圆形。当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为 x+y=a。 双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数 2a的动点轨迹。需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小 于焦距F1F2的。当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于 2a时，得不到任何图形。双曲线的焦点是F1和F2，焦距为 F1F2. 双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。双曲线关
高中数学——圆锥曲线
数学定义 几何学基本概念:从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形.求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时,二直线平行;有无穷多解时，二直线重合；只有一解时，二直线相交于一点。常用直线与 X 轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线（对于X轴）的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角.直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距.直线在平面上的位置,由它的斜率和一个截距完全确定。在空间，两个平面相交时，交线为一条直线.因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。 空间直线的方向 空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量.直线在空间中的位置, 由它经过的空间一点及 它的一个方向向量完全确定.在欧几里得几何学中，直线只是一个直观的几何对象。在建立欧几里得几何学的公理体系时,直线与点、平面等都是不加定义的，它们之间的关系则由所给公理刻画。 关系式 ◆直线的斜率:k=（y2—y1)/(x2—x1) (x1≠x2） （1）一般式:适用于所有直线 Ax+By+C=0 （其中A、B不同时为0） 两直线平行时:A1/A2=B1/B2≠C1/C2 两直线垂直时：A1A2+B1B2=0 两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2 两直线相交时:A1/A2≠B1/B2 （2）点斜式：知道直线上一点(x0,y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为 y-y0=k(x—x0） 当k不存在时，直线可表示为 x=x0 （3）截距式：不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线 知道直线与x轴交于（a,0),与y轴交于(0,b），则直线可表示为 x/a+y/b=1
高中数学曲线公式大全
高中数学曲线公式大全 圆锥曲线公式：椭圆 1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b² 2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b² 参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π) 圆锥曲线公式：双曲线 1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b². 2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b². 参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数) 圆锥曲线公式：抛物线 参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0 直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0) 离心率 椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当01时为双曲线。 圆锥曲线公式知识点总结 圆锥曲线椭圆双曲线抛物线 标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0) x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0) y²=2px(p>0) 范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞) y∈[-b,b] y∈R y∈R 对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关
于x轴对称 顶点 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点 (c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0) 【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】 准线x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2 渐近线——————y=±(b/a)x ————— 离心率e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1 焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2 ∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣ 焦准距p=b²/c p=b²/c p 通径2b²/a 2b²/a 2p 参数方程x=a·cosθ x=a·secθ x=2pt² y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线上一点x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=p(x+x0) (x0,y0)的切线方程 斜率为k的切线方程y=kx±√(a²·k²+b²) y=kx±√(a²·k²-b²) y=kx+p/2k
高中数学几何圆锥曲线方程推导
高中数学几何圆锥曲线方程推导 在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的内容，其中包括椭圆、双曲线和抛物线。本文将以推导圆锥曲线方程为主题，通过具体的题目举例，解析各种圆锥曲线的方程推导过程，并给出一些解题技巧和指导性建议。 一、椭圆的方程推导 椭圆是一个平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。 设椭圆的焦点为F1(-c, 0)和F2(c, 0)，离心率为e，则椭圆的方程可以表示为： (x + c)² + y² = (x - c)² + y² = 2a 其中，a为椭圆的长半轴长度。通过这个方程，我们可以推导出椭圆的一些性 质和特点。 例如，已知一个椭圆的焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，离心率为2/3，长半轴长度 为6。我们可以根据上述方程，得到椭圆的方程为： (x + 3)² + y² = (x - 3)² + y² = 12 通过这个方程，我们可以计算出椭圆上任意一点的坐标，进而研究椭圆的性质。 二、双曲线的方程推导 双曲线是一个平面上到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的 点的轨迹。设双曲线的焦点为F1(-c, 0)和F2(c, 0)，离心率为e，则双曲线的方程可以表示为： (x + c)² - y² = (x - c)² - y² = 2a 其中，a为双曲线的距离焦点的距离。通过这个方程，我们可以推导出双曲线 的一些性质和特点。
例如，已知一个双曲线的焦点为F1(-2, 0)和F2(2, 0)，离心率为3/2，距离焦点 的距离为4。我们可以根据上述方程，得到双曲线的方程为： (x + 2)² - y² = (x - 2)² - y² = 8 通过这个方程，我们可以计算出双曲线上任意一点的坐标，进而研究双曲线的 性质。 三、抛物线的方程推导 抛物线是一个平面上到一个定点F的距离等于到一条直线l的距离的点的轨迹。设抛物线的焦点为F(p, 0)，直线l的方程为y = mx + n，则抛物线的方程可以表示为： (x - p)² = 2m(y - n) 其中，p为抛物线的焦点横坐标，m为直线的斜率，n为直线的截距。通过这 个方程，我们可以推导出抛物线的一些性质和特点。 例如，已知一个抛物线的焦点为F(2, 0)，直线l的方程为y = 2x + 1。我们可以 根据上述方程，得到抛物线的方程为： (x - 2)² = 8(y - 1) 通过这个方程，我们可以计算出抛物线上任意一点的坐标，进而研究抛物线的 性质。 综上所述，通过对椭圆、双曲线和抛物线的方程推导，我们可以深入了解这些 圆锥曲线的性质和特点。在解题过程中，我们可以根据已知条件和问题要求，灵活运用这些方程，解决各种与圆锥曲线相关的问题。 对于高中学生和他们的父母来说，掌握圆锥曲线的方程推导是非常重要的。它 不仅能够帮助他们更好地理解数学知识，而且在解题过程中也能提高解题的准确性
高考数学中的圆锥曲线知识点总结
高考数学中的圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中比较重要和难度较大的一部分内容，也是高考数学必考的一个知识点。它是由圆锥（一种立体图形）与平面相交所得到的一类曲线，在空间中可以表现为椭圆、双曲线和抛物线三种不同形态。下面本文将对这一知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握和应用这一重要知识点。 一、椭圆 1. 定义 椭圆是平面上到两个确定点F1和F2的距离的和等于定值2a 的所有点的轨迹。 2. 公式 椭圆的标准方程为： (x² / a²) + (y² / b²) = 1
其中，a、b均为正数，a代表椭圆短轴一半长度，b代表椭圆 长轴一半长度。 3. 性质 （1）椭圆的长轴和短轴分别是椭圆的最长直径和最短直径； （2）椭圆的两个焦点F1和F2在椭圆的长轴上，且满足距离 为2a； （3）椭圆的离心率e的值在[0，1)之间； （4）椭圆的对称轴分别是椭圆的长轴和短轴； （5）椭圆的直径有两个对称轴，有四个半轴； （6）椭圆的周长为4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分，用数值表或计算器可得。 二、双曲线 1. 定义
双曲线是平面上到两个确定点F1和F2的距离的差为定值2a 的所有点的轨迹。 2. 公式 双曲线的标准方程为： (x² / a²) - (y² / b²) = 1 其中，a、b均为正数，a代表双曲线的距离两点的差的一半，b 代表双曲线离心率的倒数。 3. 性质 （1）双曲线有两个相交且交点为对称中心的对称轴； （2）双曲线的长轴是对称轴之间的距离，短轴是横截距； （3）双曲线的离心率e的值在（1，+∞）之间； （4）双曲线的渐近线是与双曲线无限靠近但不相交的直线。 三、抛物线
高中数学圆锥曲线知识点总结
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y )=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。 两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的 交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆： 1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2 ,2(E D --半径是2 422F E D -+。配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为 (x+ 2D )2+(y+2 E )2=4 4F -E D 22+ ②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(- 2D ,-2 E ); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。 （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与
高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结
高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结 一.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 练习： 1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10 21=+PF PF D ．122 2 2 1=+PF PF 2.方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 3.已知点)0,22(Q 及抛物线4 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔ { cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
高中数学圆锥曲线弦长公式
高中数学圆锥曲线弦长公式 （原创版） 目录 1.圆锥曲线概述 2.圆锥曲线弦长公式的推导 3.圆锥曲线弦长公式的应用 4.圆锥曲线弦长公式的简化方法 正文 一、圆锥曲线概述 圆锥曲线是一个广泛的数学概念，它包括椭圆、双曲线、抛物线和它们的简化形式：圆和直线。这些曲线可以通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到。圆锥曲线在数学和几何学中有着广泛的应用，其中一种应用就是求解弦长问题。 二、圆锥曲线弦长公式的推导 求解圆锥曲线弦长公式的通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的。 具体来说，对于椭圆，其弦长公式为：$d = sqrt{1 + k^2} sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$，其中$k$为椭圆的离心率，$x_1$和$x_2$为弦的两个端点的横坐标。 对于双曲线，其弦长公式为：$d = sqrt{1 + k^2} sqrt{(x_1 + x_2)^2 + 4x_1x_2}$，其中$k$为双曲线的离心率，$x_1$和$x_2$为弦的两个端点的横坐标。 对于抛物线，其弦长公式为：$d = sqrt{1 + k^2} sqrt{(x_1 + x_2)^2
- 4x_1x_2}$，其中$k$为抛物线的离心率，$x_1$和$x_2$为弦的两个端点的横坐标。 三、圆锥曲线弦长公式的应用 圆锥曲线弦长公式在求解直线与圆锥曲线相交弦长问题中具有重要 作用。例如，在解决天文学中的恒星距离问题时，可以利用椭圆弦长公式计算恒星之间的距离。在工程领域，如计算机图形学和机器人学中，圆锥曲线弦长公式也有广泛应用，如计算两个圆锥曲线的交点等。 四、圆锥曲线弦长公式的简化方法 虽然通用的圆锥曲线弦长公式较为复杂，但针对特定类型的圆锥曲线，可以推导出更简洁的弦长公式。例如，在处理焦点在 x 轴上的椭圆时， 可以得到如下弦长公式：$d = sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$。同样地，对于焦点在 y 轴上的双曲线，可以得到如下弦长公式：$d = sqrt{(y_1 + y_2)^2 - 4y_1y_2}$。 总之，圆锥曲线弦长公式在解决直线与圆锥曲线相交弦长问题中发挥着重要作用。
高考数学知识点综合总结第八章圆锥曲线方程
圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的 点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹. （0
抛物线，设0φp，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 直线与圆
高考数学圆锥曲线的常用公式及结论(非常推荐)
高考数学常用公式及结论 圆锥曲线 1.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=. 3．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部22 00221x y a b ⇔+>. 4. 椭圆的切线方程 (1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程 是 00221x x y y a b +=. （3）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222A a B b c +=.
5.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c =-. 6.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22 00221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22 00221x y a b ⇔-<. 7.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-22 22 b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦 点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是 00221x x y y a b -=. （2）过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦 方程是 00221x x y y a b -=.
高考数学-圆锥曲线公式.doc
12 PF F S =12 PF F S =
注：双曲线焦半径公式P 在右支则2=cos b PF a c θ-短,2 =cos b PF a c θ --长,P 在左支则下面改为+,竖式 cos 换sin 抛物线中：若AB 为焦点弦，1122(,),(,)A x y B x y ①以AB 为直径的圆与准线相切；以AF 和BF 为直径的圆与y 轴相切。 ②2124p x x =,212y y p =-③1202AB x x p x p =++=+22sin p θ==2 1 (1)2p k +⋅（0x 为AB 中点横坐 标） ④1cos P AF θ=-,1cos P BF θ=+；112AF BF P +=⑤2 2sin AOB P S θ =⑥∠CFD ＝90°.（θ为焦点弦倾斜 角） 通用弦长公式： 2221212121221 1+()41(y )4 AB k x x x x y y y k =+-=+ +-（2121212 ()4x x x x x x A ∆+-=-=） 如图：若椭圆与双曲线共焦点12,F F ,P 是两曲线的一交点,令122F PF θ∠=,则2222 sin cos +1e e θθ=双椭. AOB S （AB 为焦点弦） 横式 2222 sin =cos AOB ab c S a c θ θ- 横式 222 2 sin =cos AOB ab c S a c θ θ - 横式 2 =2sin AOB p S θ 竖式 2222cos =sin AOB ab c S a c θ θ - 竖式 2222cos =sin AOB ab c S a c θ θ- 竖式 2 = 2cos AOB p S θ θ 2θ P F 2 F 1