全国卷高考大纲(数学文科)
2011年全国统一高考真题数学试卷(文科)(大纲版)(含答案解析版)
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．35．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b36．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．57．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．98．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．19．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）．【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由|+2|==，代入已知可求【解答】解：∵||=||=1，•=﹣，|+2|===故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积性质的基本应用，属于基础试题4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5故选：C．【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k 【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k﹣S k=24转化为：+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题．【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在Rt△BCD中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选：C．【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，∵恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，根据分步计数原理知共有6×4=24种结果故选：B．【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a 和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=•的值．【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），则有=|a|，|=|b|，故a和b分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2的两个实数根，即a和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C1C2|=•=8，故选：C．【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：0．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取1；9求出展开式的x的系数与x9的系数；求出两个系数的差．=（﹣1）r C10r x r【解答】解：展开式的通项为T r+1所以展开式的x的系数﹣10x9的系数﹣10x的系数与x9的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα的值．【解答】解：∵a∈（π，），∴cosα＜0∴cosα=﹣=﹣故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．【解答】解：设{a n}的公比为q，由题意得：，解得：或，当a1=3，q=2时：a n=3×2n﹣1，S n=3×（2n﹣1）；当a1=2，q=3时：a n=2×3n﹣1，S n=3n﹣1．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ac=b2，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，故cosB=，B=45°（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=故a=b×==1+∴c=b×=2×=【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（Ⅱ）f（x）在x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3﹣6a由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1﹣2a=0 (1)方程（1）的根的判别式①当时，函数f（x）没有极小值②当或时，由f′（x）=0得故x0=x2，由题设可知（i）当时，不等式没有实数解；（ii）当时，不等式化为a+1＜＜a+3，解得综合①②，得a的取值范围是【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．。
全国统一高考数学试卷(大纲版)(含解析版)
全国统一高考数学试卷（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．2246．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）7．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5B．4C．3D．210．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A．9B．6C．﹣9D．﹣611．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C 交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．全国统一高考数学试卷（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁U A，即可选出正确选项【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}所以∁U A={3，4，5}故选：B．【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．224【考点】DA：二项式定理．【专题】5I：概率与统计．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．=C x 8﹣r2 r【解答】解：（x+2）8展开式的通项为T r+1令8﹣r=6得r=2，∴展开式中x6的系数是2 2C82=112．故选：C．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．7．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求+a n=0【解答】解：∵3a n+1∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a2=4，b2=3，从而得到椭圆C的方程．【解答】解：设椭圆的方程为，可得c==1，所以a2﹣b2=1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3∴可得A（1，），B（1，﹣），代入椭圆方程得，…②联解①②，可得a2=4，b2=3∴椭圆C的方程为故选：C．【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5B．4C．3D．2【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T==，所以ω==4．故选：B．【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．10．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A．9B．6C．﹣9D．﹣6【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵y=x4+ax2+1，∴y′=4x3+2ax，∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C 交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=﹣1．【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题．【分析】利用函数的周期，求出f（﹣1）=f（1），代入函数的解析式求解即可．【解答】解：因设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=f（1）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，函数的定义域是解题的关键，考查计算能力．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有60种．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有•=60种方法．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为0．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（0，），C（0，4）设z=F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z=﹣x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值=F（1，1）=﹣1+1=0∴z最小值故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A ﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE，证明PB⊥OE，OE∥CD，即可证明PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，即可求得点A到平面PCD的距离．【解答】（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD∴OA=OB=OD，即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD，∴PB⊥OE∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD∴PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，∵，=∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF=∴点A到平面PCD的距离为1．【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”，可得A=A1•A2．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．可得B=，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”．则A=A1•A2．P（A）=P（A1•A2）=．（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B=，则P（B）=P（）=+=+=．【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（I）把a=代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=﹣，或x=﹣，判断函数在区间（﹣∞，﹣），（﹣，﹣），（﹣，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f （2）≥0成立，进而可得a的范围．【解答】解：（I）当a=时，f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣，或x=﹣，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，f′（x）=3（x2+2ax+1）≥3（）=3（x﹣）（x﹣2）＞0，所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，综上可得，a的取值范围是[，+∞）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．第21页（共21页）。
高考数学全国统一考试大纲
高考数学全国统一考试大纲高考数学全国统一考试大纲Ⅰ。
考试性质全国统一考试是选拔性考试，由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加，高等学校依照考生的成绩，按照招生计划进行综合评估，以德、智、体、全面衡量，择优录取。
因此，考试应具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度。
Ⅱ。
考试能力要求1.平面向量考试内容包括向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标表示、线段的定比分点、平面向量的数量积、平面两点间的距离和平移。
考生需要：1) 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2) 掌握向量的加法和减法。
3) 掌握实数与向量的积，了解两个向量共线的充要条件。
4) 了解平面向量的差不多定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积能够处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6) 掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，同时能够熟练运用平移公式。
2.集合、简易逻辑考试内容包括集合、子集、补集、交集、并集、逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件。
考生需要：1) 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。
了解空集和全集的意义。
了解属于、包含、相等关系的意义。
掌握有关的术语和符号，并能正确表示一些简单的集合。
2) 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。
理解四种命题及其相互关系。
掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。
3.函数考试内容包括映射、函数、函数的单调性、奇偶性、反函数、互为反函数的函数图像间的关系、指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数、对数、对数的运算性质、对数函数和函数的应用。
考生需要：1) 了解映射的概念，理解函数的概念。
2) 了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判定一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。
3) 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，能够求一些简单函数的反函数。
2017全国卷文科数学高考大纲
文科数学I、考核目标与要求根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容。
一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能。
各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明。
对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。
1、了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它。
这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。
2、理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。
这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象，比较、判别，初步应用等。
3、掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。
这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。
二、能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。
1。
空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。
空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。
2011年高考文科数学(大纲全国卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题1.设集合{}1,2,3,4U =,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=)(N M C UA.{}12，B.{}23，C.{}2，4D.{}1，42.函数0)y x =≥的反函数为A.2()4x y x R =∈B.2(0)4x y x =≥C.24y x =()x R ∈D.24(0)y x x =≥3.设向量a ，b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=- ，则2a b +=4.若变量x 、y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩则23z x y =+的最小值为A.17B.14C.5D.3 5.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b >+B.1a b >-C.22a b >D.33a b >6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A.8B.7C.6D.57.设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A.13B.3C.6D.98.已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足，点B β∈，BD l ⊥，D 为垂足，若2AB =，1AC BD ==，则CD =A.2D.19.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有A.12种B.24种C.30种D.36种 10.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2f -=A.12-B.14-C.14D.1211.设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点41（，），则两圆心的距离12C C =A.4B.C.8D.12.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 A.7π B.9π C.11π D.13π第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目．2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3.第Ⅱ卷共l0小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上(注意：在试卷上作答无效)13.10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 . 14.已知3(,)2παπ∈，tan 2α=，则cos α= . 15.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 ．16.已知1F 、2F 分别为双曲线C:221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线．则2||AF = .三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知26a =，12630a a +=，求n a 和n S ．18.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .己知sin csin sin sin a A C C b B +-=，（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若75A = ，2b =，求a 和c .19.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，四棱锥S ABCD -中，AB CD ∥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2AB BC ==，1CD SD ==.（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面；（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．ASDCB21.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知函数{}32()3(36)124f x x ax a x a a R =++-+-∈．（Ⅰ）证明：曲线()y f x =在0x =处的切线过点(2,2)；（Ⅱ）若()f x 在0x x =处取得极小值，01,3x ∈（），求a 的取值范围．22.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=（Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．参考答案及解析1.【答案】D【解析1】直接法．因为{1,2,3}{2,3,4}{2,3}M N == ，所以(){1,4}U M N = ð． 【解析2】反演律．(){4}{1}{1,4}U UU M N M N === 痧 ．【解析3】韦恩图法．2.【答案】B【解析1】直接法．由0)y x =≥解得，2(0)4y x y =≥，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥．【解析2】特值法．在原函数0)y x =≥的图像上取一点(1,2)A ，则点(2,1)B 必在反函数上，排除选项C 、D ．在函数2()4x y x R =∈的图像上取一点(2,1)C -，但(1,2)D -不在函数0)y x =≥的图形上，排除选项A ．【解析3】图像法．先画出函数0)y x =≥的图像，再根据对称性画出0)y x =≥的反函数的图像，函数0)y x =≥的图像及其反函数图像如右图．观察图像可排除选项A 、C ，因为原函数与反函数的图像都经过点4,4（），故选B ．3.【答案】B【解析1】解析法．因为||||1a b == ，12a b ⋅=-，所以2a b +===【解析2】数形结合法．如右图所示，设a OA = ，b OB = ，2OC b =，由||||1a b ==，12a b ⋅=- ，知,120a b <>=，则2a b OD +===CAB OD4.【答案】C【解析1】顶点法直线6,32,1x y x y x +=-=-=的交点分别为(1,1),(1,5),(4,2)，代入目标函数得：(1,1)21315z =⨯+⨯=，(1,5)213517z =⨯+⨯=，(4,2)243214z =⨯+⨯=，所以z 的最小值为5.【解析2】注：线性规划问题的简易解法 5. 【答案】A【解析1】1a b >+a b ⇒>，且a b >⇒1a b >+． 6.【答案】D【解析1】由224k k S S +-=，得11(2)(1)(1)[(2)][]2422k k k k k a d ka d ++-++-+=，解得5k =．【解析2】22112(21)24k k k k S S a a a k d +++-=+=++=，又因为11a =，公差2d =，所以5k =．7.【答案】C【解析1】由题意得cos cos ()3x x πωω=-，显然ω为6的整数倍．【解析2】由题2()3k k Z ππω=⋅∈,解得6k ω=，令1k =，即得min 6ω=．8.【答案】C【解析1】向量法由22222()AB AC CD DB AC CD DB =++=++ ，得2222CD AB AC DB =--，所以CD =【解析2】公式法．CD ==9.【答案】B【解析1】分步计数原理．第一步，先从4位同学中选2位同学选修课程甲，方法数为246C =种； 第二步，剩下的两位同学选修课程乙或丙，方法数为224=种； 总的方法数为224224C =种．10. 【答案】A【解析1】5111111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=--=-=-=-⨯-=-． 11.【答案】C【解析1】设1(,)C a a ，2(,)C b b ，则222(4)(1)a a a =-+-，222(4)(1)b b b =-+-，不妨设a b <，则5a =-5b =+128C C =． 12.【答案】D【解析1】因为圆M 的面积为4π，所以圆M 的半径2r =．设球心为O，则OM =sin 30ON OM == N的半径R ==N 的面积为13π．13.【答案】0【解析1】因为1111010()T C x C x =-=-，999991010()T C x C x =-=-，所以x 的系数与9x 的系数之差为0. 14.【答案】5-【解析1】公式法．由22tan2tan tan(2)221tan 2αααα=⨯==-，解得1tan 22α=-，所以221tan 2cos 51tan 2ααα-==-+． 【解析2】图示法如右图所示，设α的终边为OA ，过点A 做AB y ⊥轴于点B ．因为tan 2α=，所以可设2AB =，1OB =，显然cos OB OA α=-=． 15.【答案】23【解析1】欧几里得法因为BC AD ∥，所以DAE ∠为异面直线AE 与BC所成角，2cos 3ADDAE AE∠====．【解析2】坐标法以点D 为坐标原点，以射线DA 为x 轴的正半轴，以射线DC 为y 轴的正半轴，以射线1DD 为z 轴的正半轴，设1DA =建立空间直角坐标系D xyz -．则(1,0,0)A ，1(0,,1)2E ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，所以1(1,,1)2AE =- ，(1,0,0)BC =- ．12cos ,33||||12AE BC AE BC AE BC ⋅<>===⋅⨯．16.【答案】6【解析1】根据角平分线定理，有1122824F A F M F A F M ===，又因为12236F A F A -=⨯=，所以2||6AF =．三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 【解析1】基本量法．设{}n a 的公比为q ，由题设得12116,630.a q a a q =⎧⎨+=⎩ 解得13,2,a q =⎧⎨=⎩或12,3,a q =⎧⎨=⎩当13a =，2q =时，132n n a -=⨯，3(21)nn S =⨯-； 当12a =，3q =时，123n n a -=⨯，31nn S =-．18.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 【解析1】（Ⅰ）设R 为△ABC的外接圆的半径．sin csin sin sin a A C C b B +=，利用正弦定理得222222a c b R R R +=，整理得2222a c b ac +-=，即cos B =45B = ．（Ⅱ）sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30=+=+=sin sin751sin2ba AB=⋅===+sin sin(1807545)sin2bc CB==⋅=--=19.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)【解析1】（Ⅰ）设事件A={购买甲种保险}，B={购买乙种保险}，C={至少购买甲、乙两种保险中的1种}．因为()()()0.3P AB P A P B==，()0.5P A=，所以0.3()0.60.5P B==．()()()()()0.50.60.50.60.8P C P A B P A P B P AB==+-=+-⨯=．另解：()1()1(10.5)(10.6)0.8P C P AB=-=---=．（Ⅱ）12223()()3()()()30.50.40.80.384P C P AB P C P A P B P C===⨯⨯⨯=．20.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)【解析1】（Ⅰ）取AB中点E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，2DE CB==，连接SE，则SE AB⊥，SE=．又1SD=，故222ED SE SD=+，所以DSE∠为直角．由AB DE⊥，AB SE⊥，DE SE E=，得AB SDE⊥平面，所以AB SD⊥．SD与两条相交直线AB、SE都垂直，所以SD SAB⊥平面．（Ⅱ）由AB SDE⊥平面知，ABCD SDE⊥平面平面．作SF DE⊥，垂足为F，则SF ABCD⊥平面，2SD SESFDE⨯==．作FG BC⊥，垂足为G，则1FG DC==．连接SG，则SG BC⊥．又BC FG⊥，SG FG G=，故BC SFG⊥平面，SBC SFG⊥平面平面．EASD CBF GH作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH SBC ⊥平面．SF FG FH SG ⨯==，即F 到平面SBC的距离为7． 由于BC ED ∥，所以ED ∥平面SBC ，E 到平面SBC的距离7d =． 设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin 7d EB α==，sin 7arc α=． 【解析2】以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间坐标系C xyz -． 设(1,0,0)D ，则(2,2,0)A ，(0,2,0)B ，又设(,,)S x y z ，则0x >，0y >，0z >．（Ⅰ）(2,2,)AS x y z =-- ,(,2,)BS x y z =- ,(1,,)DS x y z =-,由||||AS BS = 得=解得1x =，由||1DS =得221y z +=，又由||2BS = 得222(2)4x y z +-+=，即22410y z y +-+=，故12y =，2z =．于是1(1,,22S，3(1,22AS =--，3(1,,22BS =- ，1(0,,)22DS = ，0DS AS ⋅= ，0DS BS ⋅=．故DS AS ⊥，DS BS ⊥，又AS BS S = ，所以SD SAB ⊥平面．（Ⅱ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p = ，则a BS ⊥ ，a CB ⊥ ，0a BS ⋅=，0a CB ⋅=，又3(1,2BS =- ，(0,2,0)CB = ，故30,220.m n p n ⎧-=⎪⎨⎪=⎩取2p =得(2)a = ，又(2,0,0)AB =-，cos ,7||||AB a AB a AB a ⋅<>==⋅ ． 故AB 与平面SBC所成得角为arcsin7． 【解析3】（Ⅰ）计算1SD =，AD =2SA =，于是222SA SD AD +=，利用勾股定理，可知SD SA ⊥，同理，可证SD SB ⊥，又SA SB S = ，因此SD SAB ⊥平面．（Ⅱ）过点D 做Dz ABCD ⊥平面，如图建立空间直角坐标系D xyz -．(2,1,0)A -，(2,1,0)B ，(0,1,0)C，1(2S ，可计算平面SBC的一个法向量是n = ，(0,2,0)AB =，|||cos ,|||||AB n AB n AB n ⋅<>===⋅ 21.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 【解析1】 （Ⅰ）2()3636f x x ax a '=++-．由(0)124f a =-，(0)36f a '=-得曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(36)124y a x a =-+-，由此知曲线()y f x =在0x =处的切线过点(2,2)．（Ⅱ）由()0f x '=得22120x ax a ++-=.（i ）当2(2)4(12)0a a ∆=--≤时，11a ≤≤，()f x 没有极小值；（ii ）当2(2)4(12)0a a ∆=-->时，1a >或1a <，由()0f x '=得1x a =--，2x a =-故02x x =．由题设知13a <-<．当1a >时，不等式13a <-+<无解；当1a <时，解不等式13a <-+得512a -<<．综合（i ）（ii ）得a 的取值范围是5(,1)2-． 22.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 【解析1】（Ⅰ）(0,1)F ,l 的方程为1y =+，代入2212y x +=并化简得2410x --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，则14x =，24x =，122x x +=，1212)21y y x x +=++=，由题意得312()2x x x =-+=-，312()1y y y =-+=-．所以点P 的坐标为(1)-．经验证，点P 的坐标(1)2--满足方程2212y x +=，故点P 在椭圆C 上．（Ⅱ）由(1)2P --和题设知，2Q ，PQ 的垂直平分线1l 的方程为2y x =-． ○1设AB 的中点为M ，则1)2M ，AB 的垂直平分线2l 的方程为124y x =+． ○2由○1○2得1l 、2l 的交点为1()88N -.||8NP ==,21||||2AB x x =-=,||AM =,||MN ==,||8NA ==, 故||||NP NA =． 又||||NP NQ =，||||NA NB =， 所以 ||||||||NA NP NB NQ ===，由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上．。
全国统一高考考试大纲数学(文)
全国统一高考考试大纲数学（文）(必修+选修Ⅰ)Ⅰ.考试性质一般高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试，高等学校依照考生的成绩，按已确定的招生打算，德、智、体、全面衡量，择优录用，因此，高考应有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度.Ⅱ.考试要求《2021年一般高等学校招生全国统一考试大纲(文科)》中的数学科部分，依照一般高等学校对新生文化素养的要求，依据国家教育部2021年颁布的《全日制一般高级中学课程打算》和《全日制一般高级中学数学教学大纲》的必修课与选修I的教学内容，作为文史类高考数学科试题的命题范畴.数学科的考试，按照考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素养考查融为一体，全面检测考生的数学素养.数学科考试要发挥数学作为基础学科的作用，既考查中学数学知识和方法，又考查考生进入高校连续学习的潜能.一、考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求1.知识要求知识是指《全日制一般高级中学数学教学大纲》所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的数学思想和方法.对知识的要求，依此为了解、明白得和把握、灵活和综合运用三个层次.(1)了解：要求对所列知识的含义及其相关背景有初步的、感性的认识，明白这一知识内容是什么，并能(或会)在有关的问题中识别它.(2)明白得和把握：要求对所列知识内容有较深刻的理论认识，能够说明、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题.(3)灵活和综合运用：要求系统地把握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题.2.能力要求能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识.(1)思维能力：会对问题或资料进行观看、比较、分析、综合、抽象与概括;会用类比、归纳和演绎进行推理;能合乎逻辑地、准确地进行表述.数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心.数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行摸索和判定，形成和进展理性思维，构成数学能力的主体.(2)运算能力：会依照法则、公式进行正确运算、变形和数据处理;能依照问题的条件和目标，查找与设计合理、简捷的运算途径;能依照要求对数据进行估量和近似运算.运算能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数值的运算、估值和近似运算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的运算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和运算的技能。
2014年全国大纲卷高考文科数学试题真题含答案
2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设集合M={1，2，4，6，8},N={2，3，5，6，7},则M N 中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】B(2)已知角α的终边经过点（-4,3），则cos α=( )A. 45B. 35C. －35D. －45【答案】D(3)不等式组(2)01x x x +>⎧⎨<⎩的解集为( ) A. {21}x x -<<- B. {10}x x -<< C. {01}x x << D. {1}x x >【答案】C（4）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A. 16B.C. 13D. 【答案】B(5)函数y =ln 1)(x >-1)的反函数是( )A. 3(1)(1)x y e x =->-B. 3(1)(1)x y e x =->-C. 3(1)()x y e x R =-∈D. 3(1)()x y e x R =-∈.【答案】D（6）已知a 、b 为单位向量，其夹角为60︒，则（2a －b ）·b =( )A. －1B. 0C. 1D.2【答案】B(7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C（8）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=( )A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】C(9)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y += 【答案】A（10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是( ) A. 814π B. 16π C. 9π D. 274π 【答案】A(11)双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则C 的焦距等于( )A. 2B.C.4D.【答案】C(12)奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( )A. －2B.－1C. 0D. 1【答案】D二、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分。
2022年普通高等学校招生全国统一考试大纲
由教育部考试中心编写的《2022 年普通高等学校招生全国统一考试大纲》近日出炉，详细介绍了今年高考各学科的考试范围、命题思想、试卷结构等。
我省作为参加全国统一命题考试的省份仍采用这一考纲， 2 月 9 日，兰州晨报邀请兰州一中、师大附中的高三教师第一时间对《大纲》进行评析，其中，数学理、数学文、语文、生物、地理、政治科目的《考试大纲》与 2022 年相比较基本没有变化。
英语变化略大，历史、物理、化学有微调。
考纲分析：今年的考纲相比去年有三方面变化： 1.词汇量增加到3500 摆布。
考生要分清以下三个概念：课标词汇、《考试大纲》中所列词汇、《考试说明》中所列词汇。
2.增加阅读中对词义判断的要求。
在语言运用部份对阅读的能力要求中，将原来的“根据上下文推断生词的词义”改为“根据上下文判断单词和短语的含义”。
由此看出考试中“词句猜测题”的难度会加大，特别会加大考生对单词和短语在具体语境中特殊含义的考查力度。
3.改变语法填空题中所填词数的要求，并把样题变更为 2022 年高考卷真题。
备考建议： 1.教师可匡助学生整理和对照去年、今年考纲词汇和考试说明词汇中个别的“词汇标注”。
要特殊注意新进入考纲词汇和考试说明词汇的动词，这些动词应该是完型填空选项的高频词。
不仅要知道这些词的意思，还要了解这些动词的搭配和用法。
2.重视词汇的记忆和应用。
考纲及其说明要求考生掌握约 3500 个单词，这是高考命题的词汇范围。
第一轮复习需要将词汇通过 word map 和词根、词缀以及构词法的知识拓宽词汇。
第二轮复习要在 3500 个词汇中挑出历年完型填空选项中的重点单词进行“深挖”。
为减轻考生压力，对“扩出去”的单词只要求认识即可，而对于“深挖”的单词，不仅要认识、会拼，更要掌握最基本的搭配和用法。
语文兰州一中语文教研组组长程丽华考纲分析： 2022 年的高考语文试题，在试卷结构及命题的内容范围上呈稳定态势。
备考建议： 1.密切关注新题型。
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2019年全国卷高考大纲（数学文科）Ⅰ．考试性质普通高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试，高等学校根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体、全面衡量，择优录取，因此，高考应有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．Ⅱ．考试要求《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲（文科）》中的数学科部分，根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据国家教育部2019年颁布的《全日制普通高级中学课程计划》和《全日制普通高级中学数学教学大纲》的必修课与选修I的教学内容，作为文史类高考数学科试题的命题范围．数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素质考查融为一体，全面检测考生的数学素养．数学科考试要发挥数学作为基础学科的作用，既考查中学数学知识和方法，又考查考生进入高校继续学习的潜能．一、考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求1．知识要求知识是指《全日制普通高级中学数学教学大纲》所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的数学思想和方法．对知识的要求，依此为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次．（1）了解：要求对所列知识的含义及其相关背景有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能（或会）在有关的问题中识别它．（2）理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理论认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题．（3）灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．2．能力要求能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识．（1）思维能力：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述．数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心．数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体．（2）运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算．运算能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数值的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能。
（3）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质．空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．主要表现为识图、画图和对图形的想象能力．识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志．（4）实践能力：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模式；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明．实践能力是将客观事物数学化的能力．主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构想数学模式，将现实问题转化为数学问题，并加以解决．（5）创新意识：对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层表现．对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强．3．个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观．要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义．要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神．二、考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系．要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的结构框架．（1）对数学基础知识的考查，要既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体．注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面．从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度．（2）对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解；要从学科整体意义和思想价值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．（3）对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料．侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，并切合考生实际．对思维能力的考查贯穿于全卷，重点体现对理性思维的考查，强调思维的科学性、严谨性、抽象性．对运算能力的考查主要是对算理和逻辑推理的考查，考查时以代数运算为主，同时也考查估算、简算．对空间想象能力的考查，主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言三种语言的互相转化，表现为对图形的识别、理解和加工，考查时要与运算能力、逻辑思维能力相结合．（4）对实践能力的考查主要采用解决应用问题的形式．命题时要坚持“贴进生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合我国中学数学教学的实际，考虑考生的年龄特点和实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平．（5）对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查．在考试中创设比较新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化，体现思维的发散性．精心设计考查数学主体内容，体现数学素质的试题；反映数、形运动变化的试题；研究型、探索型、开放型的试题．数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求．Ⅲ．考试内容1．平面向量考试内容：向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离．平移．考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．2．集合、简易逻辑考试内容：集合．子集．补集．交集．并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．理解四种命题及其相互关系．掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．3．函数考试内容：映射．函数．函数的单调性．奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．4．不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．5．三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα，tanαcotα=1．正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：（1）了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．6．数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。