重复元素的排列组合问题
重复元素的排列组合问题
简介
在排列组合问题中，有时会涉及到重复的元素。
这篇文档将介
绍如何解决重复元素的排列组合问题。
问题描述
重复元素的排列组合问题指的是在一个集合中存在多个相同的
元素，在进行排列组合时需要考虑这些重复元素的情况。
简单来说，就是要找出所有可能的排列组合，而不考虑元素的顺序。
解决方法
解决重复元素的排列组合问题有几种常用的方法：
1. 使用集合
可以使用集合来存储元素，从而去除重复的元素。
然后，对于
每个集合中的元素，分别计算其排列组合。
最后将所有的排列组合
合并起来，得到最终的结果。
2. 使用递归
可以使用递归的方式来解决重复元素的排列组合问题。
首先选
择一个元素，然后对剩余的元素进行递归计算其排列组合。
最后将
选择的元素插入到每个递归计算的结果中，得到最终的排列组合。
示例
下面通过一个示例来说明如何解决重复元素的排列组合问题：
假设有一组数字 {1, 2, 2}，要求找出所有可能的排列组合。
使用集合
首先去除重复的元素，得到集合 {1, 2}。
然后计算集合 {1, 2}
的排列组合，得到结果 {1, 2} 和 {2, 1}。
接下来考虑重复的元素2，将其插入到排列组合的每个位置中，得到结果 {1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2}、{2, 1}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
使用递归
首先选择元素 1，然后递归计算剩余元素 {2, 2} 的排列组合。
得到结果 {2, 2} 和 {2, 2}。
然后将选择的元素 1 插入到递归计算的结果中，得到结果 {1, 2, 2} 和 {1, 2, 2}。
最后将元素 2 插入到递归计算的结果中，分别得到结果 {2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2, 2}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
结论
重复元素的排列组合问题可以通过使用集合或者递归的方法来解决。
根据具体情况选择合适的方法，并根据实际需求进行调整。
希望本文对您解决重复元素的排列组合问题有所帮助！。
1.2.3排列组合问题的常用方法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.
2 A4 先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种，
1 A4 再排后4个位置上的特殊元素有_____种，
A55 其余的5人在5个位置上任意排列有_____种，
1 A42 A4 A55 则共有____________种.
一般地，元素分成多排的排列问题， 可归结为一排考虑，再分段研究。
实际操作穷举策略
例.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,. 有多少投法？
C5 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种 利用实际 还剩下3球3盒序号不能对应， 操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种 装法 3 4 5
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选7-1=６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对 应地分给７个班级，每一种
C96 插板方法对应一种分法共有_____种分法。
将 n 个相同的元素分成 m 份（n、m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为
小集团排列问题中，先整体后局部， 再结合其它策略进行处理。
回目录
元素相同问题：隔板法
应用背景： 1、相同元素的名额分配问题 2、不定方程的正整数解问题
隔板法的使用特征：
相同的元素，分成若干部分，每部分至少一个。
元素相同问题(隔板法)
例：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？
组合数学 第一章 排列组合4允许重复的排列与组合及不相邻的组合
设所求方案数为p(m+n；m，n)
则P(m+n；m，n)·m!·n!=(m+n)!
故P(m+n;m,n)=
—(mm—+!nn—!)!
=
(
m+n m
)
=(m+nn
)
=C(m+n,m)
设c≥a,d≥b,则由(a,b)到(c,d)的简单格路数
为|(a,b)(c,d)|=(
(c-a)+(d-b) c-a
y y=x
(m,n)
y x-y=1
(m,n. )
(0,1) . .
0 (1,0)
x (0,0) .. ..
x
(1,-1)
容易看出从(0,1)到(m,n)接触x=y的格路与
(1,0)到(m,n)的格路(必穿过x=y)一一对应
故所求格路数为( m+mn-1)－( mm+n-1-1)
=
(—m+—n-1—)!
例A {1, 2,3, 4,5, 6, 7}，取3个作不相邻的组合的组合数。
例 已知线性方程 x1 x2 ... xn b, n和b都是整数，n 1, 求此方程的非负整数解的个数
例
简单格路问题
|(0,0)→(m,n)|=(
m+n m
)
从 (0,0)点出发沿x轴或y轴的正方向每步
走一个单位，最终走到(m,n)点，有多少
m!(n-1)!
－(m—+n—-1)—!
(m-1)!n!
=(m—(m-1+—)!n(-n—1-)1!)—!
( m1—
－
1n—)
=
—n-n—m
(
排列组合常见题型及解答
排列组合常见题型一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法"可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例1】 (1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科,有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果?（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法?【解析】：（1)43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ )A、38 B、83 C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”，每个“客"有8种可能,因此共有38种不同的结果。
所以选A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】A，B,C,D，E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A=种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )A。
360 B。
188 C。
216 D。
96【解析】：间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A=432，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A=144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
排列与组合的应用举例(常见排列组合问题的解题方法)
解析：（2）按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，
分别有个 ，
个，合并总计300个,
或
个。
5.不相邻问题插空法: 对于某两个元素或者几个元素要条件的元素按要求 插入排好元素的空档之中即可 .
解析：方法一（排除法）：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只 取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型 电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
解析：把4名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到3所学校
有种,则不同的保送方案共有
种
解决排列组合问题的一般过程如下： 1、认真审题弄清要做什么事。 2、怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同 时进行，确定分多少步及多少类。 3、确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数 是多少及取出多少个元素。 4、解决排列组合综合性问题，往往分类与分步交叉，因此必须掌握一 些常用的解题方法，根据题目的条件，我们就可以选取不同的方法来解 决问题.对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用 把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通。
人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的
选法共有
。
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型 电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
排列组合常见题型及解题策略(详解)
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。
所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
算法中的排列与组合排列组合公式不含重复元素的排列组合含有重复元素的排列组合如果产生的组合和排列可以包含有重复的元素，其实这类问题在苏荷数学上是多种集的排列和组合问题。
多重集的排列问题设S是有k种不同类型对象的多重集合，每个元素都有无限的重复数。
那么s的r排列数目是krk^rkr.需要注意的是，只要每种元素的数目大于r，对于r组合来说就是无限多的。
怎么理解上面的定义呢，举个例子，冰淇淋有3种口味可以选择，我可以选择3种相同口味，也可以选择不同口味，每次选择即可相同也可不相同。
再举个例子抛硬币3次，很显然，可能会出现3次都是正面，硬币出现正反面是可重复的。
这很好理解，一次有k种选择，第二次有k?k种选择，……，第r次有krk^rkr种选择。
剑指offer中的面试题17.打印从1到最大的n位数，就是这类问题。
可以假设一共有0-9十种对象，每种对象都有无数个(无数个和大于等于n个一样，因为排列的最长长度是n)，n位数就是十种对象的n排列，一共有10n10^n10n种。
其实很好理解，第一位数字有10种选择，第二位也有10种选择，… 第n位也有10种选择。
设s是多重集合，有k种类型的对象，且每种类型的有限重复数是n1,n2,……,nk。
s的大小是n=n1+n2+n3+……+nk。
那么s的全排列数目等于：result=n!(n1!?n2!?……?nk!)result=frac{n!}{(n1!*n2!*……*nk !)}result=(n1!?n2!?……?nk!)n!?例子：词MISSISSIPPI中字母的排列数是？分析：词含有的字母总个数是11，M:1，I：4，S:4，P:2。
所以result=11!-(1*4!*4!*2!).多重集合的组合设S是有k种类型对象的多重集合，每种元素均有无限的重复数。
那么S的r组合的个数等于：C(r+k-1,r)==C(r+k-1,k-1).需要注意的是，只要每种元素的数目大于r，对于r组合来说就是无限多的。
排列组合问题的解法
排列组合问题是数学中的一个重要概念，它涉及到从n个不同元素中取出m 个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列是指按照一定的顺序将元素进行排列，而组合则是指不考虑顺序地选取元素。
排列组合问题的解法通常包括以下几个步骤：
1.确定问题类型：首先需要确定问题是排列问题还是组合问题，因为两者
的解法不同。
2.确定元素范围：确定问题的元素范围，即从多少个不同的元素中取出多
少个元素。
3.计算排列或组合数：根据排列或组合的公式计算结果。
4.检验答案：最后需要检验答案是否符合题目的要求，比如是否需要考虑
重复元素、是否需要考虑顺序等。
下面是一个具体的例子，假设有5个人（A、B、C、D、E）参加一个比赛，其中A和B不能同时参加比赛，问有多少种不同的参赛组合？
首先，确定问题类型：这是一个组合问题，因为我们要从5个人中选取若干人参加比赛，不考虑顺序。
其次，确定元素范围：有5个人（A、B、C、D、E）参加比赛。
然后，计算组合数：根据组合的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n是总元素个数，m是选取的元素个数。
在这个例子中，n=5, m=3（因为要选3个人），所以C(5, 3) = 5! / (3!2!) = 10。
最后，检验答案：由于A和B不能同时参加比赛，所以我们需要排除A、B、C和B、A、C这两种组合，因此最终的答案是10-2=8种不同的参赛组合。
排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38B、83C、3A D、83C8【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 (A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素部进行自排。
浅析排列组合中的重复计算问题
例析排列组合中的重复计算的产生及对策无锡市洛社高级中学 戎钢学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。
另外有些类型的排列组合题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。
在解题时，应做到既不重复遗漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。
这样对于学生解题能力的提高大有好处。
一、分步引起的重复计算例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型机各1台，则不同的取法有多少种？【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任取一台。
即分三步：第一步从甲型机中取一台，有14C 种取法；第二步从乙型机中取一台，有15C 种取法；第三步从剩下的七台机子中取一台，有17C 种取法，根据乘法原理，共有111457140C C C ⋅⋅=种取法。
【分析】设甲型机种有a 、b 两台机子 ，乙型机中有A 、B 两台机子，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a ，再选A ，再选b ”,另外一种取法是“先选b ，再选A ，再选a ”。
而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复。
究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。
而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关。
本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机而言，只是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。
【正解】根据结果分类，第一类：两台甲型机，有2145C C ⋅种取法；第二类：两台乙型机，有1245C C ⋅种取法，根据分类计数原理，共有2112454570C C C C ⋅+⋅=种取法。
二、涉及到平均分组中的重复计算例2:袋中有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被取到时结束，则取球结束时，一共取了五次的不同取法有多少种？【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。
前四次取到其他两种颜色的球。
先分步，第五次有13C 种颜色的可能，再分类讨论前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。
排列组合常见题型及解答
一．可重复的摆列求幂法：重复摆列问题要划分两类元素：一类能够重复，另一类不可以重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则经过“住店法”可顺利解题，在这种问题使用住店办理的策略中，重点是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学比赛，每人限报一科，有多少种不一样的报名方法（2）有 4 名学生参加抢夺数学、物理、化学比赛冠军，有多少种不一样的结果（3）将 3 封不一样的信投入 4 个不一样的邮筒，则有多少种不一样投法【分析】：（1）（ 2）（ 3）【例 2】把6名实习生疏派到7 个车间实习共有多少种不一样方法【分析】：达成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生疏派到车间有7 种不一样方案，第二步：将第二名实习生疏派到车间也有7 种不一样方案，挨次类推，由分步计数原理知共有种不一样方案 .【例 3】 8 名同学抢夺 3 项冠军，获取冠军的可能性有（）A、B、C、D、【分析】：冠军不可以重复，但同一个学生可获取多项冠军，把8 名学生看作8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进随意一家“店” ，每个“客”有 8 种可能，所以共有种不一样的结果。
所以选 A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看作一个大元素参加摆列.【例 1】 A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如A,B 一定相邻且 B 在 A 的右侧，那么不一样的排法种数有【分析】：把 A,B 视为一人，且 B 固定在 A 的右侧，则此题相当于 4 人的全摆列，种【例 2】（ 2009 四川卷理） 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是（）A. 360B. 188C. 216D. 96【分析】：间接法 6位同学站成一排， 3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，，此中男生甲站两头的有，切合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头.【例 1】七人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样的排法种数是【分析】：除甲乙外，其余 5 个摆列数为种，再用甲乙去插 6 个空位有种，不一样的排法数是【例 2】书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的次序，有种不一样的插法（数字作答）【分析】：【例 3】高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不一样排法的种数是【分析】：不一样排法的种数为＝3600【例 4】某工程队有 6 项工程需要独自达成，此中工程乙一定在工程甲达成后才能进行，工程丙必须在工程乙达成后才能进行，有工程丁一定在工程丙达成后立刻进行。