《有关重复的排列组合的解题归纳》
有重复元素的排列组合计算
有重复元素的排列组合计算
为了解决有重复元素的排列组合计算问题，我们需要明确一些基本概念和原则。
1. 重复元素：在排列组合中，如果存在相同的元素，则称这些元素为重复元素。
2. 排列：排列是指从给定的一组元素中取出若干个元素进行有序排列的方式。
对于有重复元素的排列，我们需要考虑重复元素的不同排列情况。
3. 组合：组合是指从给定的一组元素中取出若干个元素进行无序组合的方式。
对于有重复元素的组合，我们需要去除重复元素所导致的重复情况。
为了计算有重复元素的排列组合，可以按照以下步骤进行：
1. 确定元素集合：首先，我们需要确定参与排列组合计算的元素集合，并将其列出。
2. 计算元素频次：对于有重复元素的集合，我们需要计算每个元素的频次，即该元素在集合中出现的次数。
3. 计算排列数量：对于有重复元素的排列，我们可以使用重复排列公式进行计算。
假设元素集合中存在n个不同的元素，其中第i个元素的频次为m[i]，则有重复元素的排列数量为
4. 计算组合数量：对于有重复元素的组合，我们可以使用组合公式进行计算。
假设元素集合中存在n个不同的元素，其中第i个元素的频次为m[i]，则有重复元素的组合数量为
这些方法可以帮助我们计算有重复元素的排列组合。
需要注意的是，对于较大的元素集合或频次较大的情况，计算量可能较大，可以考虑使用计算工具或编程语言进行辅助计算。
排列组合经典题型及解法
排列组合是组合数学中的一个重要概念，涉及到对一组对象进行排列或组合的方式。
下面列举几个经典的排列组合题型及解法：
1. 排列问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种排列方式？
-解法：使用排列数的公式P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n 的阶乘。
2. 组合问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种组合方式？
-解法：使用组合数的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘。
3. 重复排列问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行排列，允许元素重复，有多少种排列方式？
-解法：使用重复排列数的公式P'(n, m) = n^m，其中^n表示n的m次方。
4. 重复组合问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行组合，允许元素重复，有多少种组合方式？
-解法：使用重复组合数的公式C'(n, m) = C(n+m-1, m)，其中C(n, m)表示组合数。
5. 圆排列问题：
-题型：将n个不同的物体围成一个圆圈，有多少种不同的排列方式？
-解法：使用圆排列数的公式P(n) = (n-1)!。
以上是一些常见的排列组合题型及其解法。
在实际问题中，可能会出现更加复杂和变化的情况，需要根据具体问题进行分析和推导解法。
重复元素的排列组合问题
重复元素的排列组合问题简介在排列组合问题中，有时会涉及到重复的元素。
这篇文档将介绍如何解决重复元素的排列组合问题。
问题描述重复元素的排列组合问题指的是在一个集合中存在多个相同的元素，在进行排列组合时需要考虑这些重复元素的情况。
简单来说，就是要找出所有可能的排列组合，而不考虑元素的顺序。
解决方法解决重复元素的排列组合问题有几种常用的方法：1. 使用集合可以使用集合来存储元素，从而去除重复的元素。
然后，对于每个集合中的元素，分别计算其排列组合。
最后将所有的排列组合合并起来，得到最终的结果。
2. 使用递归可以使用递归的方式来解决重复元素的排列组合问题。
首先选择一个元素，然后对剩余的元素进行递归计算其排列组合。
最后将选择的元素插入到每个递归计算的结果中，得到最终的排列组合。
示例下面通过一个示例来说明如何解决重复元素的排列组合问题：假设有一组数字 {1, 2, 2}，要求找出所有可能的排列组合。
使用集合首先去除重复的元素，得到集合 {1, 2}。
然后计算集合 {1, 2}的排列组合，得到结果 {1, 2} 和 {2, 1}。
接下来考虑重复的元素2，将其插入到排列组合的每个位置中，得到结果 {1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2}、{2, 1}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
使用递归首先选择元素 1，然后递归计算剩余元素 {2, 2} 的排列组合。
得到结果 {2, 2} 和 {2, 2}。
然后将选择的元素 1 插入到递归计算的结果中，得到结果 {1, 2, 2} 和 {1, 2, 2}。
最后将元素 2 插入到递归计算的结果中，分别得到结果 {2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2, 2}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
结论重复元素的排列组合问题可以通过使用集合或者递归的方法来解决。
含有重复元素的排列组合计算
含有重复元素的排列组合计算1. 排列排列是指从某一给定的元素集合中，按照一定的顺序选择若干元素进行排列的方法。
当集合中的元素存在重复时，计算排列的方法需要进行相应的调整。
1.1 无重复元素的排列当集合中的元素各不相同时，计算排列的方法非常简单。
假设集合中共有n个元素，则需要从中选择r个元素进行排列。
计算方法可以使用排列数公式进行计算：$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}$$其中，$n!$表示n的阶乘，即$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$。
1.2 含有重复元素的排列当集合中的元素存在重复时，计算排列的方法稍有不同。
假设集合中有n个元素，其中某个元素重复了m次，需要从中选择r个元素进行排列。
计算方法可以通过对原始的排列数进行调整得到：$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}$$但是这个结果并不是最终的排列数，因为重复元素造成了重复的情况。
为了消除这些重复，需要将重复元素的排列数除以重复元素的阶乘，得到最终的排列数：$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)! \times m!}}$$2. 组合组合是指从某一给定的元素集合中，按照一定的顺序选择若干元素形成子集的方法。
与排列不同，组合中的元素选择并不考虑顺序。
2.1 无重复元素的组合当集合中的元素各不相同时，计算组合的方法比较简单。
假设集合中共有n个元素，需要从中选择r个元素进行组合。
计算方法可以使用组合数公式进行计算：$$C_n^r = \frac{{n!}}{{r! \times (n-r)!}}$$2.2 含有重复元素的组合当集合中的元素存在重复时，计算组合的方法也需要进行相应的调整。
假设集合中有n个元素，其中某个元素重复了m次，需要从中选择r个元素进行组合。
计算方法可以通过对原始的组合数进行调整得到：$$C_n^r = \frac{{n!}}{{r! \times (n-r)!}}$$但是这个结果并不是最终的组合数，因为重复元素造成了重复的情况。
排列组合问题中的重复计算剖析
排列组合问题中的重复计算剖析在解答排列组合问题中，易犯的错误是遗漏与重复。
遗漏多半比较明显,而重复较为隐蔽.本文对一些隐蔽的重复计算错误举例剖析.研究失误的原因，寻求补正和预防的方法。
例1 某天有六节不同的课，若第一节排数学,或第六节排体育,问共有多少种不同的排法?错解数学排第一节的排法有5A种，体育排第六节的排法也有55A5种，根据加法原理，第一节排数学或排体育的排法共有5A＋55A＝525A＝240种5剖析在数学排第一节的排法中，存在着体育排第六节的排法，在排体育第六节的排法中，存在着数学排第一节的排法，它重复计算了数学排第一节，同时体育排第六节的排法，即多算4A种。
正确结4果是：5A＋55A－44A＝216种5例2 从4名男生3名女生中选3人成立科技小组,问当选者中至少有一名男生和一名女生的选法有几种?错解先选一名男生，有1C种选法，再选一名女生,有13C种选法,4最后从余下的5名学生中选一名有1C种选法，故共有选法14C13C15C5＝60种剖析上述解法中，每一种选法都符合要求，但是否有重复计算呢？为此我们不妨设4名男生为A1，A2，A3,A4，3名女生为B1，B2，B3，把上面选法中含有一名男生的选法分为4类。
在含有男生A1的一类的选法有：A1，B1，A2，即先选A1，再选B1，最后选A2；在含有男生A 2的一类中有A 2， B 1，A 1,即先选A 2，再选B 1,最后选A 1.显然这两种选法被重复计算了。
因此上述解法是错误的。
错误的原因在于没有将符合要求的选法进行正确分类，分类要不重不漏. 正解 以男生人数分类，则符合条件的有且仅有两类，一类是男生一名女生两名,有1243C C 种选法，另一类是男生两名女生一名，有2143C C .故共有1243C C ＋2143C C ＝30种 例3 n 个不同的球放入n －1个不同的盒子，假设每个盒子都有足够大的容量，问每个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？错解 先在每盒子中放入一球共有1n n A -种放法，再将剩下的一球放入，有n －1种放法。
含有重复元素的排列组合计算
含有重复元素的排列组合计算引言在排列组合中，当元素存在重复时，计算的方法与不重复元素的情况有所不同。
本文将介绍含有重复元素的排列组合计算方法。
排列计算排列是从一组元素中选出特定数量的元素进行排列的方式。
当元素存在重复时，计算排列的方法如下：1. 计算总的排列数量，即将所有元素都排列的情况。
2. 对于每个重复的元素，计算它们之间的排列数量，并将这些数量相乘。
3. 将所有元素的排列数量相乘，得到最终的排列数量。
组合计算组合是从一组元素中选取特定数量的元素的方式，与排列不同的是组合不考虑元素的顺序。
当元素存在重复时，计算组合的方法如下：1. 计算总的组合数量，即从所有元素中选取特定数量元素的情况。
2. 对于每个重复的元素，计算它们之间的组合数量，并将这些数量相乘。
3. 将所有元素的组合数量相乘，得到最终的组合数量。
示例假设有一组元素：A, A, B, C。
我们要从中选取2个元素进行排列和组合计算。
排列计算总的排列数量为4! = 4x3x2x1 = 24。
其中，重复的元素A有2个，所以它们之间的排列数量为2! = 2x1 = 2。
最终的排列数量为24 / 2 = 12。
组合计算总的组合数量为C(4,2) = 4! / (2!(4-2)!) = 6。
其中，重复的元素A有2个，所以它们之间的组合数量为C(2,2) = 1。
最终的组合数量为6 / 1 = 6。
结论含有重复元素的排列和组合计算可以通过计算总的排列或组合数量，并考虑重复元素之间的排列或组合数量来得到最终的结果。
以上是关于含有重复元素的排列组合计算的介绍。
希望对您有所帮助！。
浅析排列组合中的重复计算问题-无锡洛社高级中学
浅析排列组合中的重复计算问题-无锡洛社高级中学例析排列组合中的重复计算的产生及对策无锡市洛社高级中学戎钢学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。
另外有些类型的排列组合题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。
在解题时，应做到既不重复遗漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。
这样对于学生解题能力的提高大有好处。
一、分步引起的重复计算例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型机各1台，则不同的取法有多少种？【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任取一台。
即分三步：第一步从甲型机中取一台，有14C 种取法；第二步从乙型机中取一台，有15C 种取法；第三步从剩下的七台机子中取一台，有17C 种取法，根据乘法原理，共有111457140C C C ??=种取法。
【分析】设甲型机种有a 、b 两台机子，乙型机中有A 、B 两台机子，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a ，再选A ，再选b ”,另外一种取法是“先选b ，再选A ，再选a ”。
而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复。
究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。
而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关。
本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机而言，只是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。
【正解】根据结果分类，第一类：两台甲型机，有2145C C ?种取法；第二类：两台乙型机，有1245C C ?种取法，根据分类计数原理，共有2112454570C C C C ?+?=种取法。
二、涉及到平均分组中的重复计算例2:袋中有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被取到时结束，则取球结束时，一共取了五次的不同取法有多少种？【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。
前四次取到其他两种颜色的球。
先分步，第五次有13C 种颜色的可能，再分类讨论前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。
☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合 问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题； 其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学内容1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m i 种不同的方法，在第2类办法中有 m 2种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m 1 + m 2 +出 + m n种不同的方法.2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m i 种不同的方法，做第2步有m 2种 不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m∏ × m 2 H × m n种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个 事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确 定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及 取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位先排末位共有C 3然后排首位共有c 4最后排其它位置共有A由分步计数原理得C ：C 3A ：=288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求 ，再处理其它位 置。
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有关重复的排列组合的解题归纳
我们常见的排列、组合问题，其中的元素通常是不可重复的，下面我们看几类可重复的排列、组合问题。
一. 有重复排列–––分步计数原理
例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？
解：完成这件事情可分三步：（1）第一项冠军有4种可能；（2）第二项冠军有4种可能；（3）第三项冠军有4种可能。
所以可能情况有：4×4×4＝64（种）。
一般地，从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素，按一定顺序排成一列，那么，第1、第2、…、第m 个位置上选取元素的方法都有n 种。
由分步计数原理得每次从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素的排列数为：
N n n n n m n m n N m n m =⋅⋅⋅⋅=∈≤ (,,)*
相关练习：
用0，1，2，…，9这10个数字可组成多少个8位数字的电话号码？（108）
二. 不尽相异元素的排列–––组合法
例2. 小麦、大麦品种各1种，种在5种不同土质的试验田里，3块种小麦，2块种大麦，有多少种种法？
解：这5个不尽相异的元素有3个相同，另2个相同，所以共有：C C 535210==（种）种法。
一般地，在n 个不尽相异的元素里，如果有m 1个元素相同，又有m 2个元素
相同，并且m 1＋m 2＝n ，那么这n 个元素的不同排列种数N C C n m n
m ==12。
三. 相同元素分组––––隔板法
例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里，每盒至少有1个，共有多少种放法？
解法1：每盒先放入1球，剩下1球任选1盒，共有：C 414=（种）放法。
解法2：（第一隔板法）
5个小球可形成6个空隙，由于每盒至少放1个小球，所以除去两边空隙还
剩4个空，只要在这4个位置上隔进3个板，即可满足要求。
所以有：C 434
=（种）放法。
例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里（盒子可空），共有多少种放法？ 解法1：（分类法）
第一类：全部放入1个盒子里，有：C 414=（种）放法；
第二类：放入2个盒子里，有：C 42424⨯=（种）放法；
第三类：放入3个盒子里，有：C 43624⨯=（种）放法；
第四类：放入4个盒子里，有4种放法。
所以，共有：4＋24＋24＋4＝56（种）放法。
解法2：（第二隔板法）
将4个盒子与5个小球看成9个相同元素，除去两边形成8个空隙，将这8个空隙隔进3个板，即有：C 8356=（种）放法。
一般地，相同元素分组，可用隔板法。
如果每组至少一个元素可用第一隔板法，如果没有要求可用第二隔板法。
相关练习：
1. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，每班
至少1人，不同的分配方案有几种？（C 9736=）
2. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，不同
的分配方案有几种？（C 17719448=）
四. 平均分组问题––––平均分给几组，除以几的阶乘
例5. 将6个同学平均分成3组有多少种分法？
错解：分法有：C C C 62422290⨯⨯=（种）
分析：若将6个同学编号，假如分组情况如下：1、2；3、4；5、6。
先挑出1、2与后挑出1、2是同一情况，没有先后顺序差别，上面的解法产生了重复。
正解：分法有：C C C 624222315⋅⋅=!
（种） 一般地，把不同的元素平均分成几组，就除以几的阶乘。
相关练习：
将5个不同礼品分成3组，则有几种分法？
(!!
)C C C C 532152322225⋅+⋅=。