构造法巧证不等式
构造数列证明不等式的几种思路
。n 是大于 1 的 证明对于一切正整数 n，有
。3. 已知 。0，则 1 的递增数列。4.
且
且 ，求证：
证明对于一切正整数 n，有
i、m、n 是正整数，且
。5. 当 ，求证：
时，求证：
。6. 已知
。7. 证明对于一切正整数 n，有
。n 项的和为
。n 项和，故原不等式成立。8. 证明
对于一切大于 1 的正整数 n，有
当 时，
。
又
。则数列 的每一项大于数列
的相应项，故 大于数列
的前 五、商分法 对于“
明
”型不等式，令 ，则欲证明的不等式得证。
例 证明：原不等式即
。
记数列 的前 当 时，
，若能证
，
欲证
，只需证
成立的。可见数列 的每一项均小于数列 的前
例证明：原不等式即 记数列 的前
，即证
，而这是明显
的相应项，所以 小于数列
证明：构造数列
。
因为 所以数列
为递增数列。因为
所以 二、作差法
欲证
，当且仅
例证明：令
。
则
所以数列 是递增数列。所以
，故原不等式成立。
例证明：令
，又
且
所以 在 上单调递减。所以 三、作商法
， ，故原不等式成立。
若
，则欲证
，可转证数列
是首项大于
例证明：设 即数列 是递增数列。所以
8）4 可仿本题完成。14.
设
为互不相等的正整数，求证：
。 一、直接法 视不等式的左边为一个整体，直接考查不等式左边对应的数列的单调性，达到证明的 目的。
，只要证
因为 构造数列
巧用“构造函数法”证明不等式
解 析 ： 题 的通 常想 法 是 用 数 学 归 纳 法 ， 必 须 本 但
先证 明加强 后 的不 等式 ， 很难 构 造或 不 可能 构 造。
若 从ｎ 联 ，是 数（＝ 在 问１］ 能 ｌ去 想它 函 ＿） 区 ［ ２ 厂 ÷ ， ２ 上 定 分即 ｝ ｄ ｌ表 函 ， ） １ 的 积 ，』 ｎ 示 数 （ ＝ ÷ ＝２ ， 与 轴 成 图 的 积左 ＋ ＋ ＋ 围 的 形 面 ， ｌ … 边－ ） ＝ 。看 ｎ 矩 的 ・ 毒 成个 形 面 １ ｎ
㈩ ： 丝
： 边
＞
０ ∈［， ） 恒成立 ， 在 ０＋ 上
・
． ．
（ ÷（ 了…１ ） １ ） １ （ ＋ １ ） ＋
．
函数
） ｘ ０＋ ） 在 Ｅ［ ， 上单调递增 。
１ ２ 。
．
．
－ ） 厂 ≥八０ ＝ 。 （ ） ０
＝
、
・Hale Waihona Puke ． ∈（， ０ ＋∞） ，
：
．
・
．
ｎ 时 ，（ ＞０ ∈Ｎ ， ） 恒成立 。
２， ）则
故存 在最小 的正整 数 Ｎ＝１使 得 当 ｎ≥Ｎ 成 ，
立。
＝ ’
， ｎ 一、 （） ／
・
２ １ ｎ ＝ 厂ｌ ’ ＋ 一 －
＞
例 ４ 已知 ０ ｂ ｃ ， ， ∈Ｒ 且 ｌ ＜１ ｛ ＜１ ｌ ， ｂ ０ ｌ ，
ｌ ， ｌ ＜１求证 ：６＋６ ＋∞ ＞一１ ｃ ｏ ｃ 。
解 析 ： 据 ｏ ｂ ｃ三 个 变 量 是 对 称 的 ， 以 看 根 ，， 可
．
．
函数 ｎ 单调递增 ， ） 即 ｎ ≥－ ２ ＝ ） 厂 ） （
灵活运用构造函数法，提升证明不等式的效率
设 0 < x1 < x 2 ，
æx
ö
2 ç 1 - 1÷
x1 2 ( x1 - x 2 )
è x2
ø
=
③ 可变形为 ln <
④，
x2
x1
x1 + x 2
+1
x2
令 t=
x1
( 0 < t < 1 )，
x2
可得 h( t ) = ln t -
2
2 ( t - 1)
，
t+1
( t - 1)
即需证
数学篇
42
首先将要证明的不等式进行移项、作差，使所有
则函数 h( x) 单调递减且 h(1) = 0 ，
1 ·h( x) > 0
所以当 x ∈ ( 0,1) 时，h( x) > 0 ，
；
1 - x2
1 ·h( x) > 0
当 x ∈ (1, +∞) 时，h( x) < 0 ，
；
1 - x2
综上所述，当 x > 0 且 x ≠ 1 时，
所以当 x > 0 时, h′(x) < 0 , h(x) 单调递减,
1
1
1
1 ö,
因为 >
,所以 hæ ö < hæ
n n+1
è n ø è n + 1ø
1 ö > n ln æ1 + 1 ö
故 (n + 1)ln æ1 +
.
nø
n + 1ø
è
è
运用函数最值法证明数列不等式时，同学们需依
例说构造法证明不等式
对 所有正 整数 成立 ．
分析 ， ・＋／・＋ √ ＋） ／ ２ ， ３ …＋ １是一个与 ， １ ２ ｚ 无
关 的量 ，将 它与 左 右 两端 作 差 构造 出相 应 的数 列 ， 再 利用 数列 的单 调性来 研 究 ．
助模型 ，促进转化 ，以期不等式得到证明 ．可以构 造 函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模 型 ，针 对欲 证 不等 式 的结构特 点 ，选择 恰 当 的模 型 ， 顺 利解 决 不等 式 的有 关问题 ． 、 １ ．根据不等式特征 ，构造恰当的初等函数，再
解 设 ａ＝ ／２ ， ・＋ √ －ｚ１ Ｎ ， ，・＋／ ３ …＋ （＋） ∈ ） １ ２ ， （
构造数列｛ ， ｝ 令 ＝ ｎ ａ一
２
＝
，则
２
！± ±
根据函数单调性 、奇偶性等特征来证 明不等式 ． 例 １证明：对于任意的Ｘ Ｙ ｚ （ ， ，不等式 ， ， ∈０１ ）
・
√， １ ＋ ） （＋） ０ Ｎ ， （＋） ２一， １ ，（∈ ） ｚ （ ２ ＞ 所以 ． Ｘ ， ｝ ＋ ｎ ｛ 为单调数列， ＝ ｌ ＞ 首相 √—
为 最小 值 ．所 以 ＞ ： 一１ ＞０，即 ＞ ．
（一 ＋ （一ｚ＋ｚ （一 ） 成 立 ． １ ） Ｙ・ １ ） ・ ＜１ １
证 明 设 ｆ（） １ Ｙ— ） ｘ ＝（一 ｚ・ ＋Ｙ （ ） ｚ， ・ 一ｚ＋ 显然 该 １ 函数 是 以 为主 元 的一 次函数 ．
又令 ： 一
． ．
，则
（ ＋１ （ ＋２ ， ） ） ｚ
一
当 ∈ ０ １时，ｆ ｘ是单调函数 ，且 ｆＯ ＝ — （， ） （） （ Ｙ ）
处的切线 ， Ｘ Ｙ轴所 围成的三角形面积为 ｓｔ， 与 轴 （ ）
高中数学解题方法-----构造函数法证明导数不等式的八种方法
高中数学解题方法构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：1.移项法构造函数 2、作差法构造函数证明3、换元法构造函数证明4、从条件特征入手构造函数证明5、主元法构造函数6、构造二阶导数函数证明导数的单调性7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）8.构造形似函数1.移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f −+=)1ln()(，求证：当1−>x 时，恒有x x x ≤+≤+−)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(−+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+−=−+=′x x x x f ∴当01<<−x 时，0)(>′x f ，即)(x f 在)0,1(−∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<′x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(−，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞−上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1−>x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤−+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(−+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+−+=′x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>′+∞∈<′−∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(−∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞−上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1−>x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥−+++x x ∴111)1ln(+−≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤−+−>)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F −=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方法
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方
法
泰勒展开定理是微积分中一个非常重要的定理，它可以将一个函数在某一点附近展开为无穷的多项式和。
在实际应用中，我们经常需要保留部分项，将函数近似表示，而泰勒展开就可以很好地满足我们的需求。
本文将介绍泰勒展开不等式的八种证明方法，其中均使用了构造函数的方法。
1. 利用 $(1+x)^n$ 的二项式展开式证明。
2. 利用 $e^x$ 的泰勒展开式证明。
3. 利用 $\ln (1+x)$ 的泰勒展开式证明。
4. 利用 $\int_0^x \cos t^2 dt$ 的收敛性证明。
5. 利用 $\int_0^x e^{-t^2} dt$ 的平方证明。
6. 利用 $\tan^{-1} x$ 和 $\tanh^{-1} x$ 的泰勒展开式证明。
7. 利用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式证明。
8. 利用 $\int_0^1 x^p (1-x)^q dx$ 的收敛性证明。
这八种证明方法各有不同的特点和难度，涉及到的数学知识也
各有侧重。
但它们都使用了构造函数的方法，通过寻找适当的函数，将展开式转化为极限形式或积分形式，然后进一步证明不等式的成立。
总之，泰勒展开定理和泰勒展开不等式是数学中非常重要的工具，它们不仅有着重要的理论价值，在工程和自然科学中也有着广
泛的应用。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数是微积分中的一个重要概念。
它可以描述函数在各个点上的变化率，也可以用来求函数的最大值、最小值以及拐点等重要信息。
而构造函数则是数学中一种非常常见的证明不等式的方法。
本文将介绍一些常用的导数和构造函数证明不等式的技巧。
一、使用导数证明不等式1. 求导数确定函数的单调性对于一个函数$f(x)$，如果它在某个区间上的导数$f'(x)$大于0，说明它在该区间上单调递增；如果导数$f'(x)$小于0，则说明它在该区间上单调递减。
因此，如果要证明一个不等式在某个区间上成立，可以先求出函数在该区间上的导数，确定其单调性，然后再比较函数在两个端点处的取值即可。
例如，对于函数$f(x)=x^2-4x+3$，我们可以求出它的导数为$f'(x)=2x-4$。
由于$f'(x)>0$时$f(x)$单调递增，因此当$x<2$时，$f(x)<f(2)$，当$x>2$时，$f(x)>f(2)$，即$f(x)$在$x<2$和$x>2$的区间上都小于$f(2)$，因此我们可以得到不等式$f(x)<f(2)$，即$x^2-4x+3<1$。
2. 求导数判断函数的最值对于一个函数$f(x)$，如果它在某个点$x_0$处的导数$f'(x_0)=0$，且$f^{''}(x_0)>0$（即$f(x)$的二阶导数大于0）则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最小值；如果$f^{''}(x_0)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最大值。
因此，如果要证明一个不等式最值的存在性，可以先求出函数的导数，再找出导数为0的点即可。
3. 构造特殊的函数如果一个不等式的两边都是多项式，可以考虑构造一个较为特殊的函数，来证明不等式的成立性。
例如，对于不等式$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\leq\dfrac{3}{2\sqrt[3]{abc}}$，我们可以考虑构造一个函数$f(x)=\dfrac{1}{a+b+x}+\dfrac{1}{b+c+x}+\dfrac{1}{c+a+x}-\dfrac{3}{2\sqrt[3]{(a+x)(b+x)(c+x)}}$，并证明$f(x)\leq 0$。
构造函数证明不等式的八种方法
构造函数证明不等式的八种方法下面将介绍构造函数证明不等式的八种常见方法：1.特殊赋值法：这种方法通过为变量赋特殊的值来构造函数，使得不等式成立。
例如，对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2，当a=2，b=1时，即f(2)>f(1)，从而得到a^2>b^22.梯度法：这种方法通过构造一个变化率为正（或负）的函数来推导出不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x-a)^2-(x-b)^2，当x>(a+b)/2时，即f'(x)>0，从而得到a^2>b^23.极值法：这种方法通过构造一个函数的极大值（或极小值）来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2-b^2，当x=a时，f(x)>0，从而得到a^2>b^24.差的平方法：这种方法通过构造一个差的平方形式的函数来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x+a)^2-(x+b)^2，当x>(a+b)/2时，即f(x)>0，从而得到a^2>b^25.相似形式法：这种方法通过构造一个与要证明的不等式形式相似的函数来证明不等式。
例如对于不等式(a+b)^4 > 8(ab)^2，可以构造函数f(x) = (x+1)^4- 8(x-1)^2，令x = ab，当x > 1时，即f(x) > 0，从而得到(a+b)^4 > 8(ab)^26.中值定理法：这种方法通过应用中值定理来证明不等式。
例如对于不等式f(a)>f(b)，可以构造函数g(x)=f(x)-f(b)，当a>b时，存在c∈(b,a)，使得g'(c)>0，从而得到f(a)>f(b)。
7.逼近法：这种方法通过构造一个逼近函数序列来证明不等式。
例如对于不等式a > b，可以构造一个逼近函数序列f_n(x) = (a+x)^n - (b+x)^n，当n 趋近于正无穷时，即lim(n→∞)(a+x)^n - (b+x)^n = ∞，从而得到a > b。
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构造法巧证不等式
解题过程实质上包含着多次思维的转化过程，如果从分析问题所提供的信息知道其本质与相关知识的内在联系，那么该题就可以考虑转化为运用“构造”的方法来解（证），可以达到优化解题模式的奇妙效果.
“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式.要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力.构造思想解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系.应用构造思想解题的关键有：(1)要有明确的方向，即为何构造；(2)要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合.
1．构造函数证明不等式
例1求证：
b
a b a +++1≤
b
b a
a ++
+11
分析：由不等号两边可归纳为)0(1)(>+=
x x
x
x f 的形式，因此可考虑函数x
x
x f +=
1)(在0>x 时的单调性. 证明：设210x x <<，∵0)
1)(1(11212
12211<++-=+-+x x x x x x x x ∴x
x
x f +=
1)(在0>x 时是增函数， 且b a +≤b a +.令b a x +=1，b a x +=2，则有
b
a b a +++1≤
b
a b b
a a b
a b a +++
++=
+++111≤
b
b a
a ++
+11
评注：此例在于引导学生关于发现不等式的特点，根据其特点确定证题的方向. 2．构造向量证明不等式
通过构造向量，利用向量的数量积的概念和余弦函数的取值范围，变等为不等，从而解决有关不等式的证明问题.
例2证明 2
2211)(b a b a +≤))((2
22
22
12
1b a b a ++，其中i a 、∈i b R ，2,1=i .
证明：设a ),(11b a =，b ),(22b a =，a 与b 的夹角为],0[,πθθ∈，因为，
2
2
222
1
2
12211cos b a b a b a b a +++=
θ，θcos ≤1，所以
2
2
222
1
2
12211b a b a b a b a +++≤1.即
22211)(b a b a +≤))((2
2222
12
1b a b a ++.
例3求证：2222d c b a +++≥2
2
)()(d b c a -+-（a 与c 、b 与d 不同时相
等）
解设p ),(b a =、q ),(d c =，则
q p +≥q p -（当且仅当p 与q 反向时取等号）
即2222d c b a +++≥22)()(d b c a -+- 3．构造几何模型，数形结合证明不等式
例4已知实数x 、y 满足1=+y x ，求证：2
2
)2()2(+++y x ≥
2
25 分析：这道题目代数证明方法很多，就不一一列举了.这里介绍如何利用图象去解决问
题.我们注意到2
2)2()2(+++y x 可以用来表示点
),(y x 到点（-2，-2）的距离d 的平方.所以这道题目
我们可以有如下的解法.
解：如图在直角坐标系中，1=+y x 为一条直线，
22)2()2(+++y x 表示直线1=+y x 的任一点
),(y x 到点（-2，-2）的距离d 的平方，而距离d 的最小值为点（-2，-2）到直线1
=+y x 的距离.所以2
5111222
2min =
+---=
d 所以2
d ≥
225，即2
2)2()2(+++y x ≥2
25. 评注：我们可以看出运用数形结合思想解(证)不等式，确实能简化我们的解题过程，但
在运用数形结合思想的过程中还需要注意以下两点：一、不等式问题并不是都能用数形结合思想来解决的，我们不能只抓住数形结合思想不放，还应考虑其他方法；二、作函数图象的时候一定要把图象画正确，要注意函数的定义域、图象的交点等等.
4．构造三角形证明不等式
例5 正数a 、b 、c ，A 、B 、C 满足条件： k C c B b A a =+=+=+，
求证：2
k cA bC aB <++.
证明 如图1所示，作边长为k 的正三角形PQR ，分别在各边上取L 、M 、N ，使
,,,,,,c NQ C PN b MP B RM a LR A QL ======，有
PQR NQL MPN LRM S S S S ∆∆∆∆<++，
即
︒<︒+︒+︒60sin 2
1
60sin 2160sin 2160sin 212k cA bC aB ， 所以 2
k cA bC aB <++. 5．构造数列证明不等式
P
L M
N
A B C a b
c
x
y
O
p
q q p -
例
6
设)21()1(3221 ，，=+++⋅+⋅=n n n a n ，证明不等式
2
)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立. 证明： 构造数列{}n A ：令2
)
1(+-
=n n a A n n ，则 ∈>+-++=++-++-=-++n n n n n n n n a a A A n n n n ,0)1()2)(1(2
)
2)(1(2)1(11N ，
∴n n A A >+1，{}n A 为单调递增数列，第1项121-=A 为最小项.
∴0121>-=
>A A n ，即2
)
1(+>
n n a n . 又令2
)1(2
+-=n a B n n ，则
23
2)2)(1(2)2(2)1(2211+-++=+-++-=-++n n n n n a a B B n n n n
∈<+-+-
=n n n ,02
)12(2
N ＊ ∴n n B B <+1，{}n B 为单调递减数列，第1项221-=
B 为最大项，
0221<-=<B B n ，即2
)1(2
+<
n a n . 综上所述，故2
)1(2)1(2
+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立.。