2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
一、二次函数
1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．
【解析】
试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：，解得：，或． 故可得点A的坐标为（，）；
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××
=4+﹣
=；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b，
∵P的坐标为（2，4），
∴4=×2+b，解得b=3，
∴直线PM的解析式为y=x+3．
由，解得，，
∴点M的坐标为（，）．
考点：二次函数的综合题
2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?
(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【解析】
【分析】
（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20元，
答：这一星期中每件童装降价20元；
（2）设利润为w，
根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
3．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值： （3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（1132，0）、N1（13，﹣1）；M2（1132，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；
（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C的坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：203aacc，
解得：13ac，
∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
所以点G的坐标为（1，4）；
（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，
∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D=3B′D=3m，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m）， 将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：
24043mkkm，
解得：1104mk（舍），2231mk，
∴k=1；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，
∴△AOQ≌△PQN，
如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，
则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ≌△PQN，
∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，
∴∠MOQ=∠HQN，
∴△OQM≌△QNH（AAS），
∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，
解得：x=1132（负值舍去），
当x=1132时，HN=QM=﹣x2+2x+2=1312，点M（1132，0），
∴点N坐标为（1132+1312，﹣1），即（13，﹣1）；
或（1132﹣1312，﹣1），即（1，﹣1）；
如图3，
同理可得△OQM≌△PNH，
∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，
∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点M1（1132，0）、N1（13，﹣1）；M2（1132，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.
4．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：
（1）①直接写出a的值；
②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；
（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：
①求PDDD的值；
②直接写出L与m之间的函数关系式；
（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h的值．
【答案】（1）①12；②y＝212x﹣2x；
（2）①1；
②L＝2(22)(02)21(221)4(24)2mmmm„；
（3）h＝±23．
【解析】
【分析】
（1）①将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中计算即可；②y＝212x﹣2x；
（2）将（0，0）代入y＝a（x﹣h）2中，可求得a＝12，y＝12x2，待定系数法求OB、AB的解析式，由点P的横坐标为m，即可表示出相应线段求解；
（3）以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形，DD′＝OA，可知点D的纵坐标为2，再由AD＝OA＝4即可求出h的值．
【详解】
解：（1）①将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，
得：0＝a（0﹣2）2﹣2，
解得：a＝12；
②y＝212x﹣2x；．
（2）∵抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点，a＝12；
∴y＝12x2，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
易得：直线OB解析式为：y＝﹣x，直线AB解析式为：y＝x﹣4
如图1，
2020-2021学年人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 期末专题复习(含答案)
1 / 11 2020-2021年九年级数学人教版（上）二次函数
期末专题复习（含答案）
一、选择题
1. 已知函数y=21x2-x-12，当函数y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A. x＜1 B. x＞1 C. x＞-4 D. -4＜x＜6
2. 下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2 +bx +c(a≠0)模型的是( )
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
3. 把二次函数2xy的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）
A. 32xy B. 32xy C. 2)3(xy D. 2)3(xy
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x＋2)2－2
5. 将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为( )
A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3
C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－3
6. 如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．yx2+26x（2≤x＜52） B．yx2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．yx2+27x﹣52（2≤x＜52）
2021年九年级数学中考专题冲刺训练：二次函数的图象及其性质(含答案)
2021 中考专题冲刺训练：二次函数的图象及其性质
一、选择题
1. (2019•哈尔滨)将抛物线22yx向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为
A．22(2)3yx B．22(2)3yx
C．22(2)3yx D．22(2)3yx
2. 海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为12米．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉喷出的水在空中划出的曲线满足的函数解析式是( )
A．y＝－x－122＋3 B．y＝3x－122＋1
C．y＝－8x－122＋3 D．y＝－8x＋122＋3
3. 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2
4. (2019•雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1yx，下列说法中错误的是
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线2x
C．当2x时，y的值随x值的增大而增大，当2x时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由2yx的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
5. （2020·温州）9．已知(﹣3，1y)，(﹣2，2y)，(1，3y)是抛物线2312yxxm上的点，则
A．3y＜2y＜1y B．3y＜1y＜2y C．2y＜3y＜1y D．1y＜3y＜2y
6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象可能是( )
7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确结论的个数为(
2021年上海市中考数学考点必杀500题专练13(二次函数压轴题)(30题)(原卷版)
2021中考考点必杀500题
专练13（二次函数压轴题）（30道）
1．（2021·上海九年级二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yxmxn经过点(5,0)A，顶点为点B，对称轴为直线3x，且对称轴与x轴交于点C．直线ykxb，经过点A，与线段BC交于点E．
（1）求抛物线2yxmxn的表达式；
（2）联结BO、EO．当BOE△的面积为3时，求直线ykxb的表达式；
（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BDEO时，求DAO的余切值．
2．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点1,0A、3,0B、0,3C，抛物线2yaxbxc经过A、B两点．
（1）当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；
（2）在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当PBCACB时，求点P的坐标；
（3）如果抛物线2yaxbxc的顶点D位于BOC内，求a的取值范围．
3．（2021·上海金山区·九年级一模）在平面直角坐标系xoy中，直线324yx与直线132yx相交于点A，抛物线21(0)yaxbxa经过点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若抛物线21yaxbx向上平移两个单位后，经过点1,2，求抛物线21yaxbx的表达式；
（3）若抛物线2yaxbxc0a与21yaxbx关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P与点P，当3OPPS时，求抛物线21yaxbx的表达式．
4．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知二次函数224(0)yaxaxaa的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点 D．
（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D的坐标；
（2）设该函数图像与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图像的对称轴与x轴交于点A，如果
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题
函数图象
解题思路
起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）
中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？
终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？
特殊点：运动过程中特殊的位置。
类型一、实际问题
【经典例题1】已知A，B两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则y关于t的函数图象是（ ）
A.B.C.D.
【解析】
由题意和图象可得，乙到达B地时甲距A地120km，开始时两人的距离为0；
甲的速度是：120÷(3−1)=60km/h，乙的速度是：80÷3=380km/h，即乙出发1小时后两人距离为380km； 设乙出发后被甲追上的时间为xh，则60(x−1)=380x，得x=1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.
所以符合题意的函数图象只有选项B.
故选：B.
练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（ ）
A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B.跑步过程中，两人相遇一次
C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远 D.乙在跑前300米时，速度最慢
练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（ ） A． B． C． D．
专题05 二次函数的图象与性质(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优
2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）
专题05 二次函数的图象与性质
【典型例题】
1．（2020·福建省连江第三中学初三月考）在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx＋2（k≠0）的图象大致如图（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）抛物线232yx+3可以看作把抛物线23yx向_______平移_______个单位，向_______平移_______个单位得到．
【答案】右 2 上 3
3．（2020·湖南长沙·初三开学考试）已知一个二次函数的图象经过点1,0A、3,0B和0,3C三点.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标.
【答案】
（1）设二次函数解析式为13yaxx，
∵抛物线过点0,3C，
∴30103a，
解得1a， ∴21323yxxxx.
（2）由（1）可知：223yxx，
∵a=1,b=-2,c=-3,
∴对称轴是直线12bxa，244acba=-4,顶点坐标是1,4.
4．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）已知一条抛物线分别过点(3,2)和(0,1)，且它的对称轴为直线2x，试求这条抛物线的解析式.
【答案】
解:∵抛物线的对称轴为2x,
∴可设抛物线的解析式为2(2)yaxb
把(3,2),(0,1)代入解析式得2232=202=1abab，
解得1a,3b,
∴所求抛物线的解析式为2(2)3yx
【专题训练】
一、选择题
1．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）函数221yx＝-的顶点坐标是（ ）
A．(2,-1) B．(-2,1) C．(-2,-1) D．(2,1)
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：二次函数的几何变换综合题(附答案)
1 / 38 2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：二次函数的几何变换综合题（附答案）
1．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣5）2﹣1 C．y＝（x﹣5）2+5 D．y＝（x+5）2﹣5
2．把抛物线y＝12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝12（x+1）2﹣3 B．y＝12（x﹣1）2﹣3
C．y＝12（x+1）2+1 D．y＝12（x﹣1）2+1
3．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝x2+2 D．y＝x2
4．把抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝﹣（x+1）2﹣1
C．y＝﹣（x﹣1）2+1 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣1
5．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（1，﹣1） D．（1，5）
6．将抛物线（ ）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为y＝﹣2（x﹣3）2+1．
A．y＝﹣2（x﹣5）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1 D．y＝﹣2（x﹣4）2+3
7．抛物线y＝x2﹣2x﹣15，y＝4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P2 / 38 动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（ ）
A．10 B．7 C．5 D．8
8．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图2（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①BE＝BC； ②当t＝6秒时，△ABE≌△PQB； ③点P运动了18秒； ④当t＝秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的是（ ）
挑战2023年中考数学压轴题专题11 二次函数与单线段最值问题(含答案解析)
专题11二次函数与单线段最值问题
【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中,直线y＝mx﹣2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图,当m＝2时,点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A,B,C,D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时,求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0,m）,当点C在线段MB上时,
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
【例2】（2022•湖州）如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是边长为3的正方形,其中顶点A,C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A,B,C的坐标；
②求b,c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点,连结AP,过点P作PM⊥AP,交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时,点M也随之运动．设BP＝m,CM＝n,试用含m的代数式表示n,并求出n的最大值．
【例3】（2021•青海）如图,在平面直角坐标系中,直线y＝x+2与坐标轴交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,C点的坐标为（1,0）,抛物线y＝ax2+bx+c经过点A,B,C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；
（3）点P是抛物线上的一动点,过点P作直线AB的垂线段,垂足为Q点．当PQ＝时,求P点的坐标．
【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1,0）,B（3,0）,且与y轴交于点C（0,﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E,使△ACE为Rt△,若存在,试求点E的坐标,若不存在,请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中,存在点P,满足PA⊥PD,求线段PB的最小值．
2021年湖北省各地中考数学试题汇编—二次函数综合应用(解析版)可打印
2021年湖北省各地中考数学试题汇编—二次函数综合应用
一、选择题
1．（3分）（2020•荆门）若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），
画出函数的图象如图：
由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，
故选：C．
2．（3分）（2020•鄂州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴b＜0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0；
故错误；
②对称轴为x1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，
故错误；
③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，
故正确；
④∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．
故正确．
综上所述，有2个结论正确．
故选：B．
3．（3分）（2020•随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个； ④当△BCD是直角三角形时，a．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
2023年中考数学压轴题专题10 二次函数与圆存在性问题【含答案】
专题10二次函数与圆存在性问题
二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的
知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考
查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，
其本质就是把位置关系向数量化关系转化.
二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径
定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式
的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.
【例1】（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线
段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．
（1）求抛物线的表达式；
（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．
当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；
②求点F的坐标．
【例2】（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
【例3】（2022•武汉模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（c＞0）．
（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（﹣1，0），N（2，6）．①求抛物线的解析式；
②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；
（2）如图2，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）
专题7二次函数与菱形存在性问题(解析版)
2021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题7二次函数与菱形存在性问题
我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是
①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.
在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.
二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.
【例1】（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N． （1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可．
（2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
②分三种情形：如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，分别求解即可．
【解析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得{9−3𝑏+𝑐=01+𝑏+𝑐=0，