8、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
7、 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知 识 梳 理
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝ ；
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ；
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ；
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝ .
知识点二 二倍角公式
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin2α＝ ；
(2)C2α：cos2α＝ ；
(3)T2α：tan2α＝ .
2．有关公式的逆用、变形等
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；
(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2；
(4)sinα±cosα＝2sinα±π4.
知识点三 辅助角公式
函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
对
点 自 测
知识点一 两差和与差的正弦、余弦、正切公式
1.cos33°cos87°＋sin33°cos177°的值为( )
A.12 B．－12 C.32
D．－32
2．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝( )
A．－7210 B.7210 C．－210 D.210
知识点二 二倍角公式
3.若sinα2＝33，则cosα＝( )
A．－23 B．－13 C.13 D.23
4．化简：11＋tanα－11－tanα＝________.
知识点三 辅助角公式的应用
5.如果α∈π2，π，且sinα＝45，那么sinα＋π4＋cosα＋π4＝(
)
A.425 B．－425 C.325 D．－325
6．已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为( )
A．{x|kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈Z} B．{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
C．{x|kπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k∈Z}
D．{x|2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z}
高 频
考 点
考点一
三角函数公式的基本应用
【例1】 (1)4cos50°－tan40°＝( )
A.2 B.2＋32
C.3 D．22－1
(2)(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则( )
A．3α－β＝π2 B．3α＋β＝π2 C．2α－β＝π2
D．2α＋β＝π2
变式思考 1 (1)已知sinα＝35，α∈π2，π，则cos2α2sinα＋π4＝________.
(2)已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.
①求f5π4的值；
②设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．
考点二 三角公式的逆用及变形应用
【例2】 (1)在△ABC中，若tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是( )
A．－22 B.22 C.12 D．－12 (2)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为( )
A．－12 B.12 C.32 D．－32
变式思考 2 (1)已知sinα＋π6＋cosα＝435，则sinα＋π3的值为( )
A.45 B.35 C.32 D.35
(2)若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．
考点三 三角函数的给值求值问题
【例3】 (1)已知0<β<π2<α<π，且
cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．
两角和与差的公式
两角和与差的公式
两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。
两角和的正弦公式：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋sinαcosβ
两角差的正弦公式：sin（α－β）＝sinαcosβ－sinαcosβ
两角和的余弦公式：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
两角差的余弦公式：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
两角和的正切公式：tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）／（1-tanαtanβ）
两角差的正切公式：tan（α－β）＝（tanα－tanβ）／（1＋tanα·tanβ）
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形
第4课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1. 计算：sin43°cos13°＋sin47°cos103°＝________．
2. 已知cosθ－π4＝35，θ∈π2，π，则cosθ＝________．
3. 计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________．
4. 当函数y＝sinx－3cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________．
5. 已知cosα－π6＋sinα＝453，则sinα＋7π6＝________．
6. 已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4＝________．
7. 若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx，0≤x
8. (2013·无锡期末)设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)．若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________．
9. 已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.
(1) 求f5π4的值；
(2) 设α、β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．
10. 已知向量a＝(m，sin2x)，b＝(cos2x，n)，x∈R，f(x)＝a·b，若函数f(x)的图象经过点(0，1)和π4，1.
(1) 求m、n的值；
(2) 求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈0，π4上的最小值；
(3) 若fα2＝15，α∈0，π4时，求tanα＋π4的值．
（选作）
11. 已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1) 求ω的值；
(2) 设α、β∈0，π2，f5α＋53π＝－65，f5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．
8、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
7、 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知 识 梳 理
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝ ；
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ；
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ；
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝ .
知识点二 二倍角公式
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin2α＝ ；
(2)C2α：cos2α＝ ；
(3)T2α：tan2α＝ .
2．有关公式的逆用、变形等
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；
(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2；
(4)sinα±cosα＝2sinα±π4.
知识点三 辅助角公式
函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
对
点 自 测
知识点一 两差和与差的正弦、余弦、正切公式
1.cos33°cos87°＋sin33°cos177°的值为( )
A.12 B．－12 C.32
D．－32
2．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝( )
高中数学-两角和与差的正弦余弦和正切公式
§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正
切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；tan α－tan β1＋tan αtan β
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.tan α＋tan β1－tan αtan β
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.a2＋b2ba2＋b2aa2＋b2
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.tan α＋tan βtanα＋βtan α－tan βtanα－β
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任tan α＋tan β1－tan αtan β
两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习试题
两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习试题
1 / 3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
基础训练
一、选择题
1．已知为锐角,55cos,则)24tan(( )
A．－3 B．－17 C．－43 D．－7
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为)54,53(和)53,54(，则cos(α＋β)的值为( )
A．－2425 B．－725 C．0 D.2425
3．函数f(x)＝sinxcosx＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
4．(2015·嘉兴模拟)2cos10°－sin20°sin70°的值是( )
A.12 B.32 C.3 D.2
5．若,33)24cos(,31)4cos(,02,20则)2cos(( )
A.33 B．－33 C.539 D．－69
6．已知,534sin)3sin(则)32cos((
)
A．－45 B．－35 C.35 D.45
7．(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则)4(cos2( )
A.16 B.13 C.12 D.23
二、填空题
8．已知,2)4tan(x则tanxtan2x的值为________．
9．已知,31)6sin(则)232cos(_______.
10．在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值为________．
11．设当x时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习试题
高中数学-必修二6.2.1两角和,差的三角比公式-知识点
1 高中数学-必修二6.2.1两角和/差的三角比公式-知识点
1、熟记两角和与差的余弦、正弦、正切公式.
①两角和与差的余弦公式
cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ
②两角和与差的正弦公式
sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)＝sinαcosβ-cosαsinβ
③两角和与差的正切公式
tan(α+β)＝tantan1tantan tan(α+β)＝tantan1tantan
2、题型：给角求值。要点：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，然后正用公式求值，比如sin75°=sin(45°+30°)=426；sin15°=cos(45°-30°)=
426；②利用诱导公式，构造两角和或差的三角比公式的结构形式，然后逆用公式求值,比如sin460°×sin(-160°)+cos560°×cos(-280°)。
3、题型：给值求值。例如：已知tanα=1/2，sin(α+β)=-2/10，其中，α，β∈（0，π），求cosβ的值。要点：①把所求角分解成两个已知角的和或差，常见角的变换有：2α+β=（α+β）+α；2α-β=（α-β）+α；2=（2）-（2）；2=（2）-（2）；(4)+(4)=2+（）；(4)+(4)=2+（）。②在求三角比的时候，经常要对角的范围进行压缩。比如这道题，由α，β的范围得α+β∈（0，2π），但sin(α+β)＜0，则α+β∈（π，2π），又tanα＞0，所以α∈（0，π/2），所以α+β∈（π，3π/2）。
4、题型：给值求角。例如：已知α，β均为锐角，且cosα=25/5，cosβ=
10/10，求α-β的值。要点与给值求值题型相同(分解所求角和压缩角的范围)。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2
§4.3 简单的三角恒等变换
考试要求 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.
微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
2．两角和与差的公式的常用变形有哪些？
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( )
(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) (4)3sin α＋cos α＝2sinα＋π3.( )
题组二 教材改编
2．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sinα＋π4等于( )
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
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珍贵文档 3．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
[知识梳理]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α∓β)：cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.
(2)S(α±β)：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
(3)T(α±β)：tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβα，β，α±β≠π2＋kπ，k∈Z.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα.
(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α
α≠±π4＋kπ，且α≠kπ＋π2，k∈Z.
3．公式的常用变形
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．
(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.
(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2，
sinα±cosα＝2sinα±π4.
(4)asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，tanφ专业文档
珍贵文档 ＝ba(a≠0)．
特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－π4－α等．
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3
第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.
tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝2tan α1－tan2α.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tan φ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tan φ＝ab.
[常用结论]
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝2sinα±π4.
考点一 三角函数式的化简
【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
(2)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )
A.sin(α＋2β) B.sin α
C.cos(α＋2β) D.cos α
考点二 三角函数式的求值 【例2】 (1) 1. sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.
(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.
(3)(2018·洛阳一模)若sinπ3－α＝14，则cosπ3＋2α＝________.
正弦两角和差公式
两角和（差）公式的正弦公式是：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
记忆方式：异名同号。
两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。
两角和、差的余弦公式：
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。
记忆方式：同名异号。
余弦的展开肯定就是以余弦开头，然后满足同名，余弦配余弦，正弦配正弦，符号就和我们要求的符号相异。