两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

两角和与差的公式

两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。

两角和的正弦公式：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋sinαcosβ

两角差的正弦公式：sin（α－β）＝sinαcosβ－sinαcosβ

两角和的余弦公式：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

两角差的余弦公式：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

两角和的正切公式：tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）／（1-tanαtanβ）

两角差的正切公式：tan（α－β）＝（tanα－tanβ）／（1＋tanα·tanβ）

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

知识梳理

一、两角和与差的余弦公式

【问题导思】

1．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？

2．在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？

名称简记符号公式使用条件

两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝

二、两角和与差的正弦公式

【问题导思】

由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？

1．公式

名称简记符号公式使用条件

两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝

α、β∈R

两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝ α、β∈R

2.重要结论－辅助角公式

y＝asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝aa2＋b2，sin θ＝ba2＋b2.

三、两角和与差的正切公式

【问题导思】

1．利用两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan α，tan β表示吗？

2．能用tan α，tan β表示tan(α－β)吗？

3．公式中α，β为任意实数吗？

名称简记符号公式使用条件

两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝

两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝

知识点一给角求值

例1化简求值：

(1)sinπ12－3cosπ12； (2)sin 15°－cos 15°cos 15°＋sin 15°.

规律方法

1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．

2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．

两角和与差的正弦余弦和正切公式记忆口诀

两角和与差的正弦余弦和正切公式是高中数学中的重要内容，它们在解决三角函数问题时起到了重要的作用。下面我将为大家介绍这些公式，并给出一个易于记忆的口诀。

我们来看两角和的正弦公式：

正弦和公式：sin(A±B) = sinA⋅cosB ± cosA⋅sinB

这个公式告诉我们，两个角的正弦之和等于这两个角的正弦乘积的和，再加上它们的余弦乘积的差。这个公式在求解三角函数的和差问题时非常有用。

接下来，我们来看两角和的余弦公式：

余弦和公式：cos(A±B) = cosA⋅cosB ∓ sinA⋅sinB

这个公式告诉我们，两个角的余弦之和等于这两个角的余弦乘积的差，再减去它们的正弦乘积的和。这个公式在求解三角函数的和差问题时也非常有用。

我们来看两角和的正切公式：

正切和公式：tan(A±B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA⋅tanB)

这个公式告诉我们，两个角的正切之和等于这两个角的正切之和与它们的正切乘积之商。同样，这个公式在求解三角函数的和差问题时非常有用。

为了帮助大家记忆这些公式，我编写了一个简单的口诀：

正弦和余弦顺勾股，正切和相除求和差。

这个口诀简洁明了，通过押韵和押字的方式，使得记忆起来更加轻松。

通过学习和记忆这些公式和口诀，我们可以更加方便地解决两角和与差的问题，为高中数学的学习打下坚实的基础。希望大家能够认真学习并灵活运用这些公式，提高自己的数学能力。让我们一起努力，共同进步！

高中数学-必修二6.2.1两角和,差的三角比公式-知识点

1 高中数学-必修二6.2.1两角和/差的三角比公式-知识点

1、熟记两角和与差的余弦、正弦、正切公式.

①两角和与差的余弦公式

cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ

②两角和与差的正弦公式

sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)＝sinαcosβ-cosαsinβ

③两角和与差的正切公式

tan(α+β)＝tantan1tantan tan(α+β)＝tantan1tantan

2、题型：给角求值。要点：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，然后正用公式求值，比如sin75°=sin(45°+30°)=426；sin15°=cos(45°-30°)=

426；②利用诱导公式，构造两角和或差的三角比公式的结构形式，然后逆用公式求值,比如sin460°×sin(-160°)+cos560°×cos(-280°)。

3、题型：给值求值。例如：已知tanα=1/2，sin(α+β)=-2/10，其中，α，β∈（0，π），求cosβ的值。要点：①把所求角分解成两个已知角的和或差，常见角的变换有：2α+β=（α+β）+α；2α-β=（α-β）+α；2=（2）-（2）；2=（2）-（2）；(4)+(4)=2+（）；(4)+(4)=2+（）。②在求三角比的时候，经常要对角的范围进行压缩。比如这道题，由α，β的范围得α+β∈（0，2π），但sin(α+β)＜0，则α+β∈（π，2π），又tanα＞0，所以α∈（0，π/2），所以α+β∈（π，3π/2）。

4、题型：给值求角。例如：已知α，β均为锐角，且cosα=25/5，cosβ=

10/10，求α-β的值。要点与给值求值题型相同(分解所求角和压缩角的范围)。

两角和与差的公式 2

1 / 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C(α－β))

cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C(α＋β))

sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S(α－β))

sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S(α＋β))

tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T(α－β))

tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T(α＋β))

2．二倍角公式

sin 2α＝2sin_αcos_α；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝2tan α1－tan2α.

3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)，

tan αtan β＝1－tan α＋tan βtanα＋β＝tan α－tan βtanα－β－1.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )

(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( × )

(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )

(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )

(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α＝3.( √ )

两角和差的正弦余弦正切公式

两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决三角函数的运算中的常用工具。它们可以通过已知两个角的三角函数值来求解它们的和或差的三角函数值。这些公式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。下面将详细介绍这些公式，以及它们的推导和应用。

1.两角和差的正弦公式

sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)

其中A和B为任意两个角。

为了推导这个公式，我们可以使用三角函数的和差角公式：

sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)

cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)

通过观察可以发现，两角和差的正弦公式可以通过将cos(A ± B)公式正负号变化得到。

2.两角和差的余弦公式

cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)

其中A和B为任意两个角。

可以看到，这个公式可以通过将sin(A ± B)的公式正负号变化得到。

3.两角和差的正切公式

tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))

其中A和B为任意两个角。这个公式可以通过两角和差的正弦公式和余弦公式相除得到。使用公式sin(A)/cos(A) = tan(A)和cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)=cos(A+B)得到。

这些公式在解决三角函数运算中有着广泛的应用。例如，我们可以将它们用于证明或求解三角恒等式。以下是一些常见的应用示例：

1.求两个特定角的正弦、余弦或正切值的和或差的问题。

例如，已知sin(A) = 0.6，cos(B) = 0.8，求sin(A+B)的值。

根据两角和差的正弦公式，我们可以有：

sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

= 0.6*0.8 + cos(A)*sin(B)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

中学数学中学到了两角和差的正弦、余弦和正切公式，它们可以用于计算更复杂的几何问题，帮助我们把诸多难题转化为计算可解的问题。

两角和公式是当两个角的角度之和等于180度时的三角公式：

sin（α + β）= sinαcosβ + cosαsinβ

cos（α + β）= cosαcosβ - sinαsinβ

tan（α + β）= (tanα + tanβ)/(1 - tanα tanβ)

差公式是当两个角的角度之差等于180度时的三角公式：

sin（α - β）= sinαcosβ - cosαsinβ

cos（α - β）= cosαcosβ + sinαsinβ

tan（α - β）= (tanα - tanβ)/(1 + tanα tanβ)

借助上述公式，我们就可以计算任意两个任意角的正弦、余弦和正切之和和差，而不必将其转化为已知的几何图形进行操作。这样可以很大程度提高几何问题的解答速度，给我们的学习带来更多的便利。

由于上述的三角公式具有一定的解析性，所以我们可以利用它们来计算几何图形的取值，简化解决几何问题的步骤。掌握它们，就可以很好地提高我们数学概念的深化和解决真实世界应用问题的能力。

总之，两角和差的正弦、余弦和正切公式是在多数几何问题中必不可少的，只要我们掌握它们，就可以利用它们快速解决困难的几何问题。

专题03 两角和与差的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)

专题3两角和与差的三角函数

（一）两角和与差的余弦

C

(α

－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

C

(α

＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；

【点拨】

①简记为：“同名相乘，符号反”．

②公式本身的变用，如

cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．

③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)

－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．

（二）两角和与差的正弦

S

(α

＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

S

(α

－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；

【点拨】

①简记为：“异名相乘，符号同”．

②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.

（三）两角和与差的正切

T

(α

＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ

1－tanαtanβ；

T

(α

－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ

1＋tanαtanβ.

【点拨】

1公式T

α±β只有在α≠

2

＋kπ，β≠

2

＋kπ，α±β≠

2

＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立.

②当tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T

α±β处理有关问题，但可改用诱导公式

或其他方法．

③变形公式：

tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，

tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，

如tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)，

tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)，

1－tanαtanβ＝tantan

tan()



．

1＋tanαtanβ＝tantan

tan()



．

（四）辅助角公式

函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)

＝22ab

sin(α＋φ)或f(α)＝

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2

第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

知识梳理

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.

tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin αcos α.

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan 2α＝2tan α1－tan2α.

3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tan φ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tan φ＝ab.

[常用结论]

1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).

2.cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.

3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

sin α±cos α＝2sinα±π4.

考点一三角函数式的化简

【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.

(2)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )

A.sin(α＋2β) B.sin α

C.cos(α＋2β) D.cos α

考点二三角函数式的求值【例2】 (1) 1. sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.

(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.

(3)(2018·洛阳一模)若sinπ3－α＝14，则cosπ3＋2α＝________.

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳

一、基础知识

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.

T(α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan βα，β，α±β≠π2＋kπ，k∈Z.

两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.

2．二倍角公式

S2α：sin 2α＝2sin αcos α.

C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2αα≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4，k∈Z.

二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．

二、常用结论

(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.

(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．

(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2.

考点一三角函数公式的直接应用

[典例] (1)已知sin α＝35，α∈π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( )

A．－211 B.211

C.112 D．－112

(2)(2019·呼和浩特调研)若sin()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为(

)

A．－229 B．－429