3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式+练习
第三章 三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、选择题
1．cos750cos150 - sin750sin150 的值是（ ）
A．21 B．-21
C．23 D．0
2．在△ABC中，已知5cos13A，3sin5B，
则cosC的值为（ ）
A． 1665 B． 5665
C． 1665或5665 D． 1665
3． 已知02，4cos()65，则
sin()（ ）
A.33410 B.33410
C.33410 D.33410
4．已知∈(2,)，sin=53,则tan(4)等于（ ）
A.71 B.7
C. -71 D. -7
5．若2≤x≤2，则()3sincosfxxx
的取值范围是（ ）
A．[1,2] B．[1,1]
C．[3,2] D．[3,3]
6．已知tan2，则 22sinsincos2cos（ ）
A.43 B.54
C.34 D.45
7．下列各式中值等于12的是（ ）
A．sin15cos15
B.2tan22.51tan22.5
C.22cossin1212
D.1cos32
8. 已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈（－π2，π2），则α＋β等于（ ）
A．－23π B．－23π或π3
C．－π3或23π D．π3
二、填空题
9．若3sin5，为第二象限角，则tan2 .
10． 已知sincos13，sincos12，则sin()=__________
11．sin7°cos37°－sin83°cos53°值为___________.
12．已知α、β均为锐角且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为______.
三、解答题 13．已知函数，．
（1）求的值；
（2）设
求的值．
14.已知
.
15. 设函数f（x）=cosx+sinx+1，
（1）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间;
（2）当f（）=，且时,求sin（2+）的值
附加题
16．是否存在角 、 使等式 同时成立？若存在，求出的值；若不存在请说明理由。
必修四 3.1 二倍角的正弦、余弦、正切公式复习题(含答案)
1 / 12 第2讲 二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、学习目标
能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们.的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.
二、教学重难点
重点：两角和与差的正切公式及其推导，二倍角公式的记忆.
难点：二倍角公式及变形公式的应用.
三、知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
公式 推导
cos2sin2sin 2sin)sin(令
22sincos2cos 2cos)cos(令
1cos22cos2
2sin212cos 利用1sincos22
消去2sin或2cos
2tan1tan22tan 2tan)(tan令
2．二倍角公式的常用变换
（1）降幂公式：22cos1cos2；22cos1sin2；2sin21cossin；
（2）升幂公式：2cos22cos1；2sin22cos1；
（3）配方变换：222)cos(sincossin2cossin2sin1；
（4）因式分解变换：)sin)(cossin(cossincos2cos22．
3．半角公式
2cos12sin；2cos12cos；cos1cos12tan
四、课前自测
1．(2018·山西长治二模)已知sinα＝1010，α∈0，π2，则cos2α＋π6的值为( )
A．43－310 B．43＋310 C．4－3310 D．33－410
[解析] ∵sinα＝1010，α∈0，π2，∴cosα＝31010，sin2α＝2sinαcosα＝2×1010×31010＝610＝35，cos2α＝1－
和差角公式
1 / 8
三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识点
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.两角和与差的余弦公式：
sinsincoscos)cos(，sinsincoscos)cos(
2.两角和与差的正弦公式：
sincoscossin)sin(，sincoscossin)sin(
3.两角和与差的正切公式：
tantan1tantan)tan(，tantan1tantan)tan(
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.二倍角的余弦公式：22sincos2cos
2.二倍角的正弦公式：cossin22sin
3.二倍角的正切公式：2tan1tan22tan
2 / 8
题型一：化简求值
例1.利用两角和与差的三角函数公式求值：
（1）75sin；（2）105cos；（3）15tan。
例2.求下列各式的值：
（1）105sin15sin105cos15cos；
（2）10sin160cos10cos20sin；
（3）17cos30cos17sin47sin。
【过关练习】
1.cos79cos34sin79sin34（ ）。
A 12 B 1 C 22 D 32
2.已知4cos5，(,)2，则cos()4（ ）。
A 210 B 210 C 7210 D 7210
3.在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A，(cos20,sin20)B，则||AB的值是（ ）
A 12 B 22 C 32 D 1
4.化简下列各式：
（1）)18sin()27sin()18cos()27cos(xxxx
两角和与差的正弦、余弦、正切公式习题
1 3。1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式习题
例1、已知3sin,5是第四象限角，求sin,cos,tan444的值。
变式训练1：
（1） 已知35sin,cos513，且为第一象限角,为第二象限角。求sin()和sin()的值。
(2）已知443cos(),cos(),2552，,2求cos2的值。
例2、利用和(差）角公式计算下列各式的值：
（1）sin72cos42cos72sin42；（2)cos20cos70sin20sin70；（3）1tan151tan15．
变式训练2：
(1）cos44sin14sin44cos14;（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36);xxxx
(3）sin3cos;1212 （4) 2cos6sinxx; （5)cos10(tan103).sin50 （6）3tan15;13tan15
变式训练3:
求值：（1）tan20tan403tan20tan40 (2)3tan50tan20tan50tan203
2
例3、(1）已知21tan(),tan(),554求tan()5的值；
（2）已知11tan(),tan,,(0,)27,求角2的值。
（三)反思总结
(四）当堂检测
1 sin7cos37sin83sin37、的值为_______
21tan752 tan75、的值为______
3 sin2sin3cos2cos3, ______xxxxx、若则的值是
.________3sin,2,23,51cos 4则若、
高中数学必修四课时作业11：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
高中数学必修四课时作业
1 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
一、选择题
1.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )
A.17 B.16
C.57 D.56
2.3tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为( )
A.2 B.23
C.3 D.0
3.已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4的值为( )
A.322 B.2213
C.1318 D.16
4.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
5.若tan 28°tan 32°＝a，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A.3a B.3(1－a)
C.3(a－1) D.3(a＋1)
6.设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tanα－π4等于( )
A.－13 B.13
C.－3 D.3
7.在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝33，tan2B＝tan A·tan C，则B等于( )
A.30° B.45°
C.120° D.60°
二、填空题
8.已知tan α＝12，则tanπ4＋α－11＋tanπ4＋α的值是________. 高中数学必修四课时作业
2 9.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝________.
10.已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.
11.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan ∠BAC＝__________.
(完整版)两角和与差及二倍角的基础练习
(完整版)两角和与差及二倍角的基础练习
1 两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（1）cos（α＋β)＝____________________________________________,
cos（α－β)＝_______________________________________________；
（2）sin(α＋β）＝_____________________________________________，
sin(α－β)＝_______________________________________________；
(3）tan(α＋β)＝______________________________________________，
tan(α－β）＝_________________________________________________。
(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k∈Z)
其变形为:tanα＋tanβ＝______________________________________，
tanα－tanβ＝_________________________________________________.
2．二倍角的正弦、余弦和正切公式
（1）sin2α＝____________________________________________________；
（2）cos2α＝________________________＝________－1＝1－_________；
(3)tan2α＝_______________________ （α≠错误!＋错误!且α≠kπ＋错误!，k∈Z）．
3。公式的逆向变换及有关变形
(1) sinαcosα＝___________________
（2)降幂公式:sin2α＝________________,cos2α＝______________________；
人教a版必修4学案：3.1.1两角差的余弦公式(含答案)
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
自主学习
知识梳理
1.如图所示，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则A点坐标是________________，B点坐标是______________，向量OA→＝______________，向量OB→＝______________.OA→·OB→＝______________.另一方面OA→·OB→＝|OA→| ·|OB→|·cos∠AOB＝____________.
2．两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________.
自主探究
灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．
对点讲练
知识点一 给角求值
例1 求下列各式的值．
(1)sin 195°＋cos 105°；
(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．
回顾归纳 (1)公式C(α－β)是三角恒等式，既可以正用，也可以逆用；
(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，„)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．
变式训练1 求下列各式的值．
(1)cosπ12；
(2)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)．
知识点二 给值求值
例2 设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cos α＋β2.
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
第 1 页 共 5 页 六个公式之间的逻辑关系coscos()sinsin()tantan课题 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．注意到)(，由公式C(α+β).，可以推出：
以上公式即为两角和的余弦公式，简记为C(α+β). sinsincoscos)cos(
2．由C(α+β).和C(α+β).及诱导公式（五）和诱导公式（六），可以推出两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).
sincoscossin)sin(
sincoscossin)sin(
3．推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,利用同角三角函数关系式，化弦为切得到两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β).
tan(α+β)=,tantan1tantan
tan(α-β)= .tantan1tantan
总结：
☆ C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式
☆ 等。灵活运用，如注意角的变换及公式的)2()2(2),()(2;)(
☆ 理解这6个公式的逻辑联系：
例1：化简求值：
(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sinx＋π3＋2sinx－π3－3cos2π3－x；
(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.
第 2 页 共 5 页 解析：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin()14°＋16°＝sin 30°＝12.
(2)原式＝sin xcosπ3＋cos xsinπ3＋2sin xcosπ3－2cos xsinπ3－3cos2π3cos x－3sin2π3sin x ＝3sin xcosπ3－cos
高一-三角函数的和差公式与二倍角 含答案
1 哈佛北大精英创立 课程主题： 三角函数的和差公式与二倍角
教学内容
知识精讲
知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)tantan1；
(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝2sin4a.
4．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
第 1 页 共 4 页 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
知识点梳理
两角和与差的正切公式
T(α+β)：tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β ；T(α－β)：tan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β ．
【预习自我评估】
(1) 若tan)4(=31,则tan α=________．
.答案-21
(2)求值：75tan175tan1=________．
答案 －3
常考题分类整理
题型一 两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用
【例1】 (1)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( )
A．17 B．16 C．57 D．56
解析 tan β=tan[(α+β)－α]=tanα＋β－tan α1＋tanα＋βtan α=17．答案 A
(2)1－3tan 75°3＋tan 75°=________；
解析 原式=1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°=1tan60°＋75°=1tan 135°=－1．答案 －1
(3)求值：tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°=________．
解析∵tan 23°+tan 37°=tan 60°(1－tan 23°tan 37°),∴原式=3－3tan 23°tan 37°+3tan 23°tan 37°=3．答案 3
方法总结 公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在T(α±β)中,如果分子中出现“1”常利用1=tanπ4来代换,以达到化简求值的目的,如3tan α＋31－tan α=3tan)4(；1－tan α1＋tan α=tan)4(．
(2)整体变换：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式．
两角和与差的正弦余弦正切公式练习
_两角和与差的正弦余弦正切公式练习
1 / 6 两角和与差的正弦余弦正切公式
一、选择题：
1.sin12π25cos6π11－cos12π11sin6π5的值是
2.若sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α－2β）等于
二、解答题
3.已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos（4π+α）=－53，sin（4π3+β）=135，求sin（α+β）的值.
4.已知非零常数a、b满足5πsin5πcos5πcos5πsinbaba=tan15π8，求ab.
5.已知０＜α＜4π，sin（4π－α）=135，求)4πcos(2cos的值.
6.已知sin（α+β）=32，sin（α－β）=43，求tantan的值.
7.已知A、B、C是△ABC的三个内角且lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2.试判断此三角形的形状特征.
8.化简8sin15sin7cos8sin15cos7sin.
9． 求值：（1）sin75°；
（2）sin13°cos17°+cos13°sin17°.
10． 求sin18π7cos9π2－sin9πsin9π2的值.
11． 已知2π＜α＜β＜4π3，cos（α－β）=1312，sin（α+β）=－53，求sin2α的值.
12． 证明sin（α+β）sin（α－β）=sin2α－sin2β，并利用该式计算
sin220°+ sin80°·sin40°的值.
13． 化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］·80sin22.
_两角和与差的正弦余弦正切公式练习
2 / 6
答案：
1.B 2. C
3.解：∵4π＜α＜4π3，
∴2π＜4π+α＜π.
又cos（4π+α）=－53，
∴sin（4π+α）=54.
∵0＜β＜4π，
∴4π3＜4π3+β＜π.