用十字相乘法因式分解导学案
成都市东湖中学因式分解-十字相乘法导学案
成都市东湖中学因式分解-十字相乘法导学案一、探索：1．问题:我们能用“提取公因式法”、“公式法”分解下列式子吗？（1） 652++x x （2） 62--x x2．回忆：___________________))(=++q x p x （反之：___________________)(2=+++pq x q p x3．因式分解：(1)256x x ++观察以下过程：∴256(2)(3)x x x x ++=++(2)62--x x观察以下过程：=--∴62x x （ ）( )思考：以上的二次三项式 256x x ++ ，62--x x 分解因式有什么规律？以上这种进行因式分解的方法称为十字相乘法。
4、试一试：因式分解（1）652--x x （2）256x x -+（3）234x x +- （4）234x x --５、比一比 抢答练习(1) x 2 －7x + 12(2) x 2－4x －12 (3) x 2 + 8x + 12 (4) x 2 －11x －12(5) x 2 + 13x + 12(6) x 2 －x －12 (7)232x x ++ (8)276x x -+(9)2421x x --(10)2215x x +- (11) x 2-10x+24 (12) x 2+3x-10(13) x 2-3x-28(14) a 2+4a-21 (15)m 2+4m-12 (16)p 2-8p+7(17) a 2+4a-21 (18)m 2+4m-12 (19)p 2-8p+7 (20)b 2+11b+28二、 十字相乘法归纳总结提升1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符 号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号 与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．【典型例题】例1 把2x2-7x+3因式分解。
人教初中数学八年级上册 14.3《因式分解》十字相乘法教案
因式分解十字相乘法◆教学目标◆◆知识与技能：理解十字相乘法的概念和意义；◆过程与方法：会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式；.◆情感态度：培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗.◆教学重点与难点◆◆重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆难点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆教学过程◆自主学习一. 创设情境1．口答计算结果：（1） (x＋2)(x＋1) （2） (x＋2)(x－1) （3）(x－2)(x＋1) （4） (x－2)(x－1)（5）(x＋2)(x＋3) （6） (x＋2)(x－3)（7） (x－2)(x＋3) （8） (x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?归纳： .二．探索尝试根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：x2＋(2＋3)x＋2×3＝；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝；x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ . 由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)三．例题举例基础题（1）x2＋7x＋6 （2）x2－5x－6 （3）x2－5x＋6四.练习：（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21（3）t2－2t－8 （4）m2＋4m－12拓展题（1）x2＋xy－12y2（2）x4＋5x2－6五.练习：（1）x2－13xy－36y2 （2）a2－ab－12b2（3）m4－6m2＋8 （4）x4＋10x2＋9六.课堂小结：对二次三项式x 2＋px ＋q 进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当q ＞0时，a 、b 同号，且a 、b 的符号与p 的符号相同； 当q ＜0时，a 、b 异号，且绝对值较大的因数与p 的符号相同.七.课外延伸：把下列多项式分解因式：（1） 342+-x x （2）1282+-x x （3）1582++x x （4）762-+x x（5）11102--a a （6）432-+m m （7）302-+x x （8）13122--x x（9）2282y xy x -+ （10）2234b ab a ++ （11）22208y xy x -- （12）2254n mn m --（13）434--x x （14）1522--x x （15）24102-+x x （16）24142+-x x 八.思考：1.请将下列多项式因式分解：①362132++x x ② 12724++x x ③()()242112222+---x x x x2. 先填空,再分解（尽可能多的）： x 2 ( )x + 60 = ；◆板书设计◆15.4.4 因式分解之十字相乘法二. 创设情境二．探索尝试三．例题举例课 堂 小 结课 外 延 伸◆课后思考◆。
十字相乘法进行因式分解(详案)
十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（１）理解二次三项式的意义； （２）理解十字相乘法的根据； (３）能用十字相乘法分解二次三项式;（４)重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】 1．二次三项式多项式c bx ax ++2,称为字母x 的二次三项式,其中2ax 称为二次项，bx 为一次项,ｃ为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数,就是关于x 的二次三项式；如果把ｘ看作常数,就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ,就是关于a ｂ的二次三项式.同样,多项式12)(7)(2++++y x y x ,把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋ｙ的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法. 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(a ｘ+b ）(c ｘ+d )竖式乘法法则．它的一般规律是:（1）对于二次项系数为１的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项ｑ分解成两个因数a ，ｂ的积,并且a ＋b 为一次项系数ｐ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的ｘ可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2)对于二次项系数不是１的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ,c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21,c c c =⋅21,且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”,这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂,因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为了减少尝试次数,使符号问题简单化，当二次项系数为负数时,先提出负号，使二次项系数为正数,然后再看常数项；常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如:)45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤:先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要合适，四种方法反复试,结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式:（1）1522--x x ;（2)2265y xy x +-.点悟：(1)常数项-15可分为３ ×(-5),且3＋(－5)=－2恰为一次项系数;(2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－２y )(－3y ），而(－2y )＋（－3y )=(－5y )恰为一次项系数.解:(1))5)(3(1522-+=--x x x x ; (2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-. 例２ 把下列各式分解因式: (1）3522--x x ;(2）3832-+x x ．点悟:我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解:（１）)3)(12(3522-+=--x x x x ; （2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨:二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时,二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大,往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验,才能提高速度和准确性．例３ 把下列各式分解因式： （1)91024+-x x ;（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+; （3)120)8(22)8(222++++a a a a .点悟：（1)把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式； （2)提取公因式(x ＋ｙ)后,原式可转化为关于（x +y )的二次三项式； (3）以)8(2a a +为整体,转化为关于)8(2a a +的二次三项式. 解:（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x ＝(x +1)(x -1)(x +3)（ｘ-３).(2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝（x +y )[(ｘ+y )-1］［７（x +y )＋2] ＝(ｘ+y )(ｘ＋y －１）（7x +７y ＋2)． (3） 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体,才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解,如能分解,要分解到不能再分解为止．例４ 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x . 点悟:把x x 22+看作一个变量,利用换元法解之. 解:设y x x =+22,则 原式=(y -3)（y －24）＋９0162272+-=y y=(y －18)(ｙ－９）)92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨:本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外,)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解. 例5 分解因式653856234++-+x x x x . 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解:原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ，令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x .点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙,令人眼花瞭乱.但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x .点悟:方法1：依次按三项,两项,一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2:把字母y 看作是常数,转化为关于x 的二次三项式． 解法1: 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x 6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x .解法２: 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x )1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-==(x -y －6)(ｘ－y +1).例7 分解因式：c ａ（c －a )＋bc (b -c )＋ａb (a －ｂ). 点悟:先将前面的两个括号展开,再将展开的部分重新分组． 解:ca (c －a )＋bc (ｂ-ｃ)+ａb (ａ－b ）)(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-= )()()(222b a ab b a c b a c -+---= )())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--= ])()[(2ab b a c c b a ++--==(a －ｂ）(c －a )(c -b )．点拨:因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组.此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含ａ-ｂ的因式,从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ,求a 值和这个多项式的其他因式.点悟:因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x (a 、ｂ是待定常数)，故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式,可求出a ，b 的值． 解：设另一个多项式为32++bx x ,则12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ,∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，ａ＝－1,b ＝1, 代入②,等式成立．∴ a =-1，另一个因式为32++x x ．点拨:这种方法称为待定系数法，是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法,在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式:22210235y aby b a -+． 错解：∵ －１0＝5×(－2),5＝１×5，5×5＋1×(－2)＝２3，∴ 原式=（5ab ＋５y )（－2a ｂ＋５ｙ). 警示:错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解:∵ 5＝１×５,-10＝5×(－２)，5×5＋1×(-２)=2３.∴ 原式=(ab ＋5ｙ)（５ａb -2y ). 【同步练习】 一、选择题1.如果))((2b x a x q px x ++=+-,那么p 等于 （ ） A ．a ｂ B .a +b C ．－ab D ．－(a +b )2.如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 （ ）A .5B .-6C ．-５D .６3．多项式a x x +-32可分解为(x -5)(x －ｂ),则a ，b 的值分别为 （ ) A ．１０和－2 B .-10和２ C ．10和2 D ．-１0和-24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x x Ｄ．22865y xy x --５.分解结果等于(x ＋ｙ－4)(２ｘ+2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D .20)(9)(22++-+y x y x6.将下述多项式分解后，有相同因式x -1的多项式有 （ ) ①672+-x x ; ②1232-+x x ； ③652-+x x ; ④9542--x x ; ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A .2个 Ｂ．3个 C .4个 D ．５个二、填空题7.=-+1032x x ____＿＿_＿__. 8．=--652m m （m ＋a )（m ＋b )． ａ=_＿_＿______,b ＝_＿_＿______． 9．=--3522x x (x -3)(_＿________).10.+2x ＿__＿=-22y (ｘ－y ）(_＿_____＿__)．1１.22____)(____(_____)+=++a mna . １2．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(＿_＿__＿_＿__）. １３．若x -y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为_＿_____＿＿＿. 三、解答题1４．把下列各式分解因式:（1)6724+-x x ； (2）36524--x x ；(3)422416654y y x x +-； (４)633687b b a a --;(５）234456a a a --; (６）422469374b a b a a +-． 1５.把下列各式分解因式:（1）2224)3(x x --;(2)9)2(22--x x ； （3）2222)332()123(++-++x x x x ; (4)60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ； （6)48)2(14)2(2++-+b a b a ． 1６．把下列各式分解因式: （1)b a ax x b a +++-2)(2;(２)))(()(222q p q p pq x q p x -+++-; （３)81023222-++--y x y xy x ; (４)310434422-+---y x y xy x ;(5)120)127)(23(22-++++x x x x ； (6)4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17.已知60197223+--x x x 有因式2x -5，把它分解因式． １8．已知x +y =2,ｘy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值． 参考答案 【同步练习】1．Ｄ 2．B 3.Ｄ 4.Ｃ 5.A 6.C 7．(ｘ+５)(x －2) 8．1或－6,-6或1 9.2x +110.x ｙ,x ＋2y 11.224m n ，a ,mn212．－2,3ｘ＋1或x ＋2 1３.17 14.(1） 原式)6)(1(22--=x x)6)(1)(1(2--+=x x x(2) 原式)4)(9(22+-=x x)4)(3)(3(2+-+=x x x(3) 原式)16)(4(2222y x y x --=)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=(4) 原式))(8(3333b a b a +-=))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=(5） 原式)456(22--=a a a)43)(12(2-+=a a a(6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1) 原式)23)(23(22x x x x +---=)1)(3)(1)(3(-++-=x x x x(２) 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x )32)(1)(3(2+-+-=x x x x（３） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x)1)(2)(455(2+-++=x x x x（４) 原式)5)(12(22-+-+=x x x x)5)(3)(4(2-+-+=x x x x(5) 原式)12)(82(22++-+=x x x x2)1)(4)(2(++-=x x x(6）原式)82)(62(-+-+=b a b a 1６.(１） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a (2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x)2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x )2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x)3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x(5) 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x120)45)(65(22-++++=x x x x---- 1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（６) 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++= )2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示:)52()601972(23-+--÷x x x x )3)(4(122+-=--=x x x x1８.∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+]3))[((2xy y x y x -++=,又∵ 2=+y x ,xy ＝ａ＋４,2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ， 解之得,a =-7．。
初中数学 因式分解—十字相乘法(2)教案
因式分解—十字相乘法（2）教案一、教学目标：1、进一步理解因式分解的定义；2、会用十字相乘法进行二次三项式，2ax bx c ++的因式分解；3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。
二、教学的重点、难点教学重点、难点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式2ax bx c ++的因式分解。
三、导学过程：（一）创设情境，导入新课：分解因式（1）62--x x （2）652++x x （3）62-+x x （4）432-+x x （5）432--x x （二）自主学习()()223531110x x x x ++=++。
反过来就得到： ()()231110235x x x x ++=++。
想一想231110x x ++怎样因式分解的，有什么规律？总结规律：二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成 1 23 5后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。
（三）合作探索由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解？ 我们知道，()()()1122212122112212122112a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++反过来，就得到()()()2121221121122 a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++（四）点拨升华二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下： 1a 1c2a 2c这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a 2c +2a 1c ，如果它们正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于上图的上一行，2a ，2c 位于下一行。
十字相乘法进行因式分解(详案)
十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+ ]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2]＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a )108)(128(22++++=a a a a)108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之．解：设y x x =+22，则原式＝(y －3)(y －24)＋90 162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ， 令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式．方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式．解法1： 655222-+-+-y x y xy x 6)55()2(22-+-++-=y x y xy x6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x 65)52(22-+++-=y y x y x)1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-=)()()(222b a ab b a c b a c -+---=)())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--=])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，则 12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1，代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+．错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )．【同步练习】一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( ) A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a m na ．12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ； （3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把下列各式分解因式：（1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn 2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x )6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x )4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --= )4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-= ))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a )43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---= )1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x)32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x )1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x )5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x 2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x )2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x)2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x )3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x120)45)(65(22-++++=x x x x1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x )3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ，解之得，a ＝－7．。
十字相乘法导学案
学具使用 多媒体课件
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前 20 分钟）
1、阅读课本 P 121 页，思考下列问题：
（1） x2 (a b)x ab (x a)(x b) 你能理解吗？
（2）课本 P121 页最下面 4 道题你能独立解答吗？
10. a 2 n a (_____) (____ ____)2 ． m
B． (2x 2 y)2 13(x y) 20 D． 2(x y)2 9(x y) 20
二、填空题
6. x2 3x 10 __________． 7. m2 5m 6 (m＋a)(m＋b)．a＝__________，b＝__________． 8. 2x2 5x 3 (x－3)(__________)． 9. x2 ____ 2 y2 (x－y)(__________)．
（1）二次项系数是
；
（2）常数项是两个数的
；
（3）一次项系数是常数项的两个因数的
。
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
十字相乘法的依据和具体内容:
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(x＋a)(x＋b)竖
式乘法法则．
（二）例题讲解
例 1.因式分解 x2 + 6x ― 7
步骤：1.竖分二次项与常数项； 2.交叉相乘，积相加； 3.检验确定，横写因式
A．ab
B．a＋b C．－ab
D．－(a＋b)
2.如果 x2 (a b) x 5b x2 x 30 ，则 b 为 ( )
A．5 B．－6 C．－5 D．6
八年级数学上册 14.3.3 十字相乘法导学案(新版)新人教版
八年级数学上册 14.3.3 十字相乘法导学案（新版）新人教版1、会用字相乘法把形x2+px+q的二次三项式分解因式；2、培养自己的观察、分析、抽象、概括的能力、学习重点：能熟练地用字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式。
学习难点：把x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b,使ab=q、a+b=p、学习过程：一、自主学习：(一)课前检测，回顾旧知：1、分解因式：（1）x2-4x+4；（2）x2+6x+9、2、填空：（ x+a）（x+b）= 反之，x2+（a+b）x+ab=(二)基础知识导学，感受新知：由上面的回顾旧知可知形如x2+px+q的二次三项式，如果常数项 q 能分解成两个因数a、b的积，并且a+b 恰好等于一次项系数p,那么它就能分解因式，即x2+px+q= x2+（a+b）x+ab=（ x+a）（x+b）例如：（1）x2+7x+6=（x+1）（x+6）（2） x2+6x-7=(x+7)(x-1) X2分解为6分解为 x2分解为1像这样借助字交叉线分解因式的方法，通常叫字相乘法。
顺口溜:竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
步骤：（1）竖分二次项与常数项；（2）交叉相乘和相加；（3）检验正确，横写因式、二、合作交流探究与展示1、在例（1）中6为什么不分解成23呢？或者分解成（-1）（-6）呢？每一根对角线上的两项的积的和是多少？正好等于谁？2、（1）如果常数项是正数，那么它分解成的两个因数有什么特点？（2）如果常数项是负数，那么它分解成的两个因数又是什么特点？（3）你有什么发现？三、当堂检测：必做1、用字相乘法分解下例因式（1）y2+9y+8; (2)x2-5x+6; (3)x2+2x-3; (4)a2-3a-10; (5)x2+x-30、 B组2、用字相乘法分解下例因式（1）x2-5xy+6y2; (2)x4+2x2-3;(3)y4+3y2-28; (4)3 x2-2x-8、。
因式分解之十字相乘法教案
例 3 把 x2 4x 21分解因式。
分析:这里，常数项是负数,所以分解成的两个因数必是异号,－21 可以分解成-21=(-1) ×21＝１×（-２1)=(-3)×7＝3×（－７)，其中只需取 3 与-７,其和 3+(-7）等于一次项 的系数－4。
2
--
解：x2 3xy 2 y2 =x2 3yx 2y2
=x yx2y
我们知道， x 23x 5 3x2 11x 10 。反过来就得到 3x2 11x 10 的因式分解
的形式,即 3x2 11x 10 x 23x 5 。
我们发现,二次项的系数 3 分解成 1,３两个因数的积；常数项１0 分解成２,5 两个因数的积；
(2) a b2 4a b 3 = a b 1 a b 3 a b 1a b 3
例６ 把 x2 3xy 2 y2 分解因式。
分析：把 x2 3xy 2 y2 看成ｘ的二次三项式,这时，常数项是 2 y2 ，一次项系数是-3y,
把 2 y2 分解成－y 与－2ｙ的积，(-y)+（-2y)=-3ｙ,正好等于一次项的系数。
解：因为 2=１×2，并且 1＋2=3,所以 x2 3x 2 x 1 x 2
例 2 把 x2 7x 6 分解因式。
分析：这里,常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号,而 6=1×6=(-1)×(-6)＝
1
--
2×3=（－2)×(－3),要使它们的代数和等于-7，只需取-１,-6 即可。 解：因为 6=(-1)×（-6），并且(-1)+(-6)=-7,所以
如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次 项系数 p 的符号相同。
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因式分解——十字相乘法导学案
【学习目标】
（1）了解“二次三项式”的特征；
（2）理解“十字相乘”法的理论根据；
（3）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。
【学习过程】
一 、温故知新
（1）请直接填写下列结果
（x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。
把上述式子左右对调，你有什么发现？
二、探求解决：（2）把x 2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项 (+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数 ---------- 十字交叉线
2x + x = 3x 解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2) （3）按（2）中的方法把652
++x x 分解因式 。
三、例题分析：
例1 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤：
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 -x + 7x = 6x 顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
练习1： x 2-8x+15= ；
练习2： x 2+4x+3= ； x 2-2x-3= 。
小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 例２ 试将 -x 2-6x+16 分解因式
提示：当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。
x x
12⨯
x ⇓⇓7⨯
x 1-
例3 用十字相乘法分解因式：
（1）2x 2-2x-12 （2） 12x 2-29x+15
提炼：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。
四、巩固训练
1．把下列各式分解因式：
（1）1522--x x = ； (2) =-+1032x x 。
2．若=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。
3．=--3522x x (x －3) (__________)。
4 ．分解因式：
（1）22157x x ++； (2) 2384a a -+；
(3) 2576x x +- (4) 261110y y -- ５．把下列各式因式分解：
(1) 3ax 2+6ax+3a (2) x 2-4y 2
(3)x 4-8x 2+16 （4）2ax 2+6ax+4a
6.先阅读学习，再求解问题：
材料：解方程：=-+1032x x 0。
解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0
∴x+5=0或 x-2=0
由x+5=0得x=-5
由x-2=0得x=2
∴x=-5或 x=2为原方程的解。
问题：解方程：x 2-2x=3。