高中新课程数学必修一第二章《函数》教案
高中数学 第二章 函数 2.1 函数的概念和图象(2)教案 苏教版必修1(2021年整理)
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2.1 函数的概念和图象（2）教学目标1．知识与技能（1)进一步加深对函数概念的理解；（2）掌握同一函数的标准；（3）了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．2．过程与方法经历求函数定义域及值域的过程，提高学生解决问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。
重点难点1．教学重点：能熟练求解常见函数的定义域和值域．2．教学难点：对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．教学过程一、创设情境下列函数f (x ）与g(x )是否表示同一个函数？为什么？(1）0()(1);()1f x x g x =-= ； （2)()f x x =；()g x =(3）2()f x x =；2()(1)g x x =+ ；、 （4）()||f x x =；()g x ．二、讲解新课总结同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同例1、求下列函数的定义域：（1）11+⋅-=x x y ； （2）x x x y -+=||)1(0； （3)232531x x y -+-=； （4）x x x y 12132+--+=．分析：一般来说，如果函数由解析式给出,则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．解:（1）由⎩⎨⎧≥+≥-,01,01x x 得⎩⎨⎧-≥≥,1,1x x 即1≥x ,故函数11+⋅-=x x y 的定义域是1[，)∞+．（2）由⎩⎨⎧>-≠+,0||,01x x x 得⎩⎨⎧<-≠,0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0是{x |x 〈0，且x ≠1-｝． （3）由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠-,05,0322x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠,55,3x x 即5-≤x ≤5且x ≠±3,故函数的定义域是{x|5-≤x ≤5且x ≠±3｝．（4）由⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≥+,0,02,032x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠<-≥0,2,23x x x ∴23-≤x ＜2，且x ≠0，故函数的定义域是{x |23-≤x ＜2，且x ≠0}．说明:求函数的定义域,其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组),然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个:① 分式中，分母不等于零．② 偶次根式中，被开方数为非负数．③ 对于0x y =中，要求 x ≠0．若A 是函数)(x f y =的定义域，则对于A 中的每一个x ,在集合B 都有一个值输出值y 与之对应．我们将所有的输出值y 组成的集合称为函数的值域．因此我们可以知道：对于函数f :A B 而言，如果值域是C ，那么B C ⊆，因此不能将集合B 当成是函数的值域．我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．例2．求下列两个函数的定义域与值域：（1）f （x )=(x -1)2+1，x ∈｛—1,0，1，2，3｝;(2）f （x ）=( x -1）2+1．解:（1）函数的定义域为{—1，0，1，2，3}，f (-1）= 5，f （0)=2，f (1）=1,f （2）=2,f (3)=5，所以这个函数的值域为{1，2，5}．(2）函数的定义域为R ，因为(x -1)2+1≥1，所以这个函数的值域为｛y ∣y ≥1}说明：通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．例3 求下列函数的值域：（1）642+-=x x y ，1[∈x ，)5；(2）113+-=x x y ； 解：(1）2)2(2+-=x y ．作出函数642+-=x x y ,1[∈x ，)5的图象，由图观察得函数的值域为2|{y ≤y ＜}11． （2)解法一：14)1(3+-+=x x y 143+-=x ，显然14+x 可取0以外的一切实数,即所求函数的值域为{y |y≠3｝．解法二:把113+-=x x y 看成关于x 的方程，变形得()()310y x y -++=，该方程在原函数定义域{}|1x x ≠-内有解的条件是错误!，解得y ≠3,即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝．说明:解法一的方法我们称为分离常数法，解法二的方法我们称为反函数法。
高中数学 第二章 函数 221 函数的单调性教学设计 苏教版必修1 教案
函数的单调性教学设计一、教材分析本课时主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。
本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。
函数单调性的概念是研究具体函数函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用。
函数单调性的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力二、教学目标1、知识与技能目标（1）使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。
（2）启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。
（3）通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
2、过程与方法目标（1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。
（2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。
3、情感态度与价值观目标：学生通过一系列丰富的数学活动，培养观察能力，归纳总结能力，加深对数形结合思想的理解。
三、教学重点函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法四、教学难点函数单调性的判断与证明。
五、教学策略在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。
通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。
六、教学准备利用多媒体教学七、教学过程：一、知识导向或者情景引入1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？（3）函数图象是否具有某种对称性？2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -2x+1○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ ．○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
苏教版高中数学必修一第二章函数的概念和图象教案(2)
2.1.1函数的概念和图象（3）教学目标：1．进一步理解函数的概念，理解函数的本质是数集之间的对应，能作出给定函数的图象；2．通过作图，了解图象可以是连续的曲线，也可以是散点，并能通过图象揭示函数的本质属性；3．通过教学，培养学生数形结合的能力，能由具体逐步过渡到符号化，并能对其进行理性化思考，对事物间的联系的进行数学化的思考．4．理解作图是由点到线，由局部到整体的过程，培养学生辩证地看待事物的观念和数形结合的思想．教学重点：作函数的图象．教学过程：一、问题情境1．情境．回忆初中所学的一次函数，反比例函数和二次函数的图象．2．问题．是不是每一个函数都可以用图象表示呢？怎样才能准确地作出一个函数的图象呢？二、学生活动1．回忆初中作函数图象的步骤；2．按初中的作图步骤作出函数f(x)＝x－1，f(x)＝x2－1，f(x)＝1x等函数的图象；3．思考课本27页的思考题并给出答案；4．阅读课本27页的阅读内容，尝试借助于电脑完成有关函数的图象．三、数学建构1．函数的图象：一般地，我们将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，这些点组成的曲线就是函数y=f(x)的图象．（1）函数的图象是由一系列点形成的点集，故函数的图象可以是一条完整的曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成，或是几个孤立的点；（2）函数图象上每一点的纵坐标y＝f(x0)，即横坐标为x0时的相应函数值；（3）每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示一个函数．2．利用图象初步了解函数图象的对称性与单调性；3．用E x cel帮助作图（1）赋值；（2）命令函数；（3）进行函数运算；（4）选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”插入图表．四、数学运用1．例题．例1画出下列函数的图象：（1）f(x)＝x＋1；（2）f(x)＝x＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；（3）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈R；（4）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3)．例2从人口统计年鉴中查到我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示：把人口数y(百万人)看作是年份x的函数，试根据表中数据画出函数的图象．例3试画出函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：（1）较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；（2）若0＜x1＜x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小．2．练习：（1）课本28页练习1，2，3；（2）作出下列函数的图象；①f(x)＝|x－1|＋|x＋1|；②f(x)＝|x－1|－|x＋1|；③f(x)＝x|2－x|．五、回顾小结1．函数图象的作法；2．函数的作图是利用局部来反映全部；3．函数的图象具有直观性，生活因有图而美丽，函数因有图而生动．六、作业课堂作业：课本29页第3小题；课外作业：利用E x cel帮助研究函数f(x)与f(x＋a)、f(x)＋a的关系．。
高一数学人教B版必修一 第二章 函数 2.1 函数 探索函数性质 研究课 教案
第 1 页
探究函数性质 函数()(0)b f x x b x =+<的性质
教学目的
1、认识函数()(0)b f x x b x =+<的性质．
2、经历探究函数1()f x x x =-
性质的过程，认识研究函数性质的一般方法，进步数学探究才能．
3、浸透数形结合的思想，开展从特殊到一般的抽象意识．
教学重点：探究函数1()f x x x
=-的性质． 教学难点：用所学知识和方法研究新函数．
教学过程：
一、回忆旧知，引出问题 简单回忆已研究过的函数，提出问题：如何研究一个新函数——1()f x x x =-
． 二、详细分析，探究性质
活动1：合作探究，探究函数1()f x x x
=-的性质． 思路一：由形到数——先画出函数的大致图象，通过图象认识函数的性质，再给予代数证明．
预案1：列表、描点、作图．
预案2：函数图象叠加．
思路二：由数到形——先根据函数关系式进展代数分析，再根据得到的结果画出函数图象．
预案1：利用定义〔单调性、奇偶型〕进展证明．
预案2：利用和函数的相关结论．
第 2 页 活动2：交流展示，归纳性质．
总结函数1()f x x x
=-的性质并给予证明． 三、类比推广，简单应用
活动3：在活动2的根底上，探究函数()(0)b f x x b x
的性质． 练习：假设关于x 的方程220x mx --=在区间(0,2]内有实根，那么m 的取值范围是_______________．
四、总结提升，归纳方法
1、知识
2、方法
作业：学案P39例3、P64例4
考虑题：通过对函数()b f x x x =+的研究，请你尝试探究函数()b f x ax x
=+的性质．。
2019-2020学年高中数学 第二章 函数 2.1 函数的概念和图象(1)教案 苏教版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 第二章 函数 2.1 函数的概念和图象（1）教案 苏教版必修1【学习目标】：1、理解函数的概念及函数的三要素；2、会求一些简单函数的定义域、值域。
【教学过程】： 一、回顾引入：１．根据初中所学知识，回答什么叫函数？２．初中学过的具体函数有哪些？图象特点是什么？初中学过常数函数、一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，请写出这些函数的一般形式以及图象特点．二、 新课讲授：下面观察实例：课本21P 中的三个问题，如何用集合语言来简述三个问题的共同特点？1．单值对应：具有 的特征的对应. 2．函数的定义：设,A B 是两个_________数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的__________元素x ，在集合B 中都有____________的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为 ______________________．3．定义域：在)(x f 的对应中____ ________x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域.4．值域：对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，将y 组成的集合C 叫做函数()y f x =的值域，则C B 。
练习1：求下列函数的定义域：（1）21)(-=x x f ； （2）2)(+=x x f ．练习2：判断下列对应是否是函数：（１）R x x xx ∈≠→,0,2； （２）R y N x x y y x ∈∈=→,,,2这里5．注意点：① 函数是非空数集到非空数集上的一种对应，且是一个 对应。
.② 符号“f :：A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素： ，三者缺一不可.③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样.⑤f (x )是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.，符号y=f(x)的含义： 三、典例欣赏：例１．下列各组中的两个函数是否为同一个函数？为什么？ （１）2x y =与2)(x y =；（２）||)(x x f =与2)(t t g =； （３）1)(2-=x x f 与11)(-+=x x x g ；思考：函数y=f （x ），x ∈A 与函数z=f （t ），t ∈A 是否为同一函数？变题：下列函数中哪个与函数y=x 是同一个函数？（1）y=)x (2；（2）y=xx 2；（3）y=33x ；（4）y=x 2；（5）y=x ，x ∈Z ．例２．求下列函数的定义域： （１）8|3|152)(2-+--=x x x x f ； （２）xy 11111++=； （3）f （x ）=x|x |)1x (0-+．总结：求函数的定义域的步骤： 思考：求函数定义域的主要依据有哪些？变题1：函数8|3|22-++-=x ax x y 的定义域为),5(]3,11()11,(+∞----∞ ，那么a 的值为 ．变题2：已知函数32++=ax x y 的定义域为R ，则a 的取值范围是变题3：已知函数y =R ，则a 的取值范围是例３．已知f （x ）=|x-1|-2，x ∈{-2，-1，0，1，2，3}（１） 求f ；f ；（２）求f(x)值域、最大值、最小值；（３）画出函数的图象．变式练习：1．已知函数2()352f x x x =-+．则(f = ；()f a = ；(1)f a += ；(1)f x += ；[(1)]f f = ； [()]f f x = ．2．求下列函数的值域。
二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。
①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。
人教B版高中数学必修一《第二章 函数 2.1 函数 2.1.2 函数的表示方法》_16
《函数的表示法》教学设计教学背景的分析1．教材分析函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，所以它不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的内容，也是加深理解函数概念的过程．在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段．同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是渗透数形结合方法的重要过程．2．学情分析学生在初中阶段已经了解了函数的三种表示方法，在实际生活中积累了一定的关于函数关系的实例，会用解析式或图象表示一次函数、二次函数等简单的基本初等函数．但对函数的三种表示法的特点及应用缺少全面的认识．3．教学重点与难点教学重点：根据不同需要选择恰当的方法表示函数．教学难点：分段函数及其表示．4．教学方式及手段教师启发讲授与学生探究相结合．利用多媒体增强课堂教学效果.一、教学目标1．知识与技能。
了解三种表示法的特点，在实际情境中会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；通过具体的实例，了解简单的分段函数及其表示．2．过程与方法。
通过选择合理方式表示函数的过程，提高分析问题的能力；通过利用多种形式表示函数的过程，渗透数形结合的思想．3．情感态度与价值观。
通过对实际生活中函数问题的表示过程，体会函数与实际生活的联系，感受数学的应用价值．二、教学过程的设计及实施为实现本节课教学目标，我将教学过程分为以下五个阶段：（一）复习旧知、引出课题练习：某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x∈个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数()y f x=（二）讨论交流、形成认识：三种表示方法的优劣全班交流，师生共同参与交流和评价．经历这个过程（三）初步应用、巩固知识下图中哪几个图象与下下述三件事吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．（四）深入研究、加深理解请用适当的方式表示实数x与它的绝对值y之间的函数关系（五）归纳小结、布置作业（1）课堂小结：函数的三种表示法及各自特点、分段函数及其表示;面对实际情境时，根据不同需要选择恰当的方法表示函数．（2）布置作业：①必做作业：课本第23页练习及练习册相应习题．②选做作业：请你了解阜新市出租车的计价方式，结合本节课所学的知识，设计一个方案使乘客能根据行驶里程准确快速计算出需付的费用．以上是我对本节课教学设计的说明，不足之处恳请专家评委批评指正，谢谢。
高中数学 第2章 函数教案 苏教版必修1
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第2章函数教案苏教版必修12．1函数的概念2．1.1 函数的概念和图象第1课时函数的概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2．过程与方法(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；(2)了解构成函数的要素；(3)会求一些简单函数的定义域和值域；(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；3．情感、态度与价值观使学生感受到学习函数的必要性与重要性，激发学习的积极性．●重点、难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．(教师用书独具)●教学建议1．用集合和对应的观点来理解函数建议教师在学生学过的初中函数概念的基础上，利用对不同实例的探究，通过学生积极参与问题讨论并结合对应的观点，引导学生从集合的角度总结函数的概念．2．对函数符号y＝f(x)的理解建议教师通过丰富的实例，将问题中两个变量存在的依赖关系抽象为一种对应关系，然后用集合的语言进行刻画，从而得到函数更为确切的定义．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!课标解读1.在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题(重点、难点)．2．会求几种简单函数的定义域、值域(重点).函数的概念【问题导思】汽车匀速行驶在高速公路上，行驶速度为v，行驶路程为s，行驶时间为t. 1．上述三个量中，哪个是常量？哪个是变量？【提示】v是常量，s、t是变量．2．三者之间有何关系？【提示】s＝vt，s随时间t而变化．3．s，t有何限制？【提示】t≥0，s≥0.4．t给定，s是否确定？【提示】确定并且唯一．1．函数的定义一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2．函数值域若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.函数的概念判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.【思路探究】求解本题的关键是判断在对应法则f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．【自主解答】(1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应法则f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．(2)对于A中的元素x＝2，在f作用下，|2－2|＝0∉B，故不能构成函数．(3)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f之下，在B 中都有唯一元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.【解析】能否构成从集合A到集合B的函数，就是看自变量在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应．容易作出题中给出的前三个函数的图象，结合图象可知它们是函数关系，对于④中函数y＝4－x2，集合A中的2对应的数为0，但0不在集合B 中，所以不能构成从A到B的函数．由于⑤中的集合A不是数集，所以此对应法则一定不是函数．故填④⑤.【答案】④⑤函数的定义域求下列函数的定义域．(1)y ＝x －1＋1－x ；(2)y ＝x ＋32|x |－3＋2－x ；(3)y ＝x ＋10|x |－x.【思路探究】 由函数解析式，列出自变量满足的不等式组求解． 【自主解答】 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1，∴x ＝1，即函数的定义域为{1}． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，|x |－3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x ≠±3，∴x ≤2且x ≠－3，即函数定义域为{x |x ≤2，且x ≠－3}． (3)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x <0，且x ≠－1}．1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．3．定义域的求法(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．求下列函数的定义域： (1)y ＝x －2·x ＋5；(2)y ＝x －4|x |－5.【解】 (1)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0x ＋5≥0，∴x ≥2，即函数定义域为[2，＋∞)．(2)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0|x |－5≠0，解得x ≥4且x ≠5.即函数定义域为[4,5)∪(5，＋∞)．求函数值若f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－x )，f (f (x ))．【思路探究】 将相应的x 的值代入函数解析式． 【自主解答】 f (0)＝1－01＋0＝1；f (1)＝1－11＋1＝0；f (1－x )＝1－1－x 1＋1－x ＝x2－x(x ≠2)．f (f (x ))＝1－f x1＋f x ＝1－1－x 1＋x 1＋1－x1＋x＝x (x ≠－1)．1．求函数值时，只需将f (x )中的x 用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即可． 2．求f (f (x ))时，一般要遵循由里到外的原则．已知f (x )＝11＋x (x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )，求：(1)f (2)，g (2)的值；(2)f (g (2))的值．【解】 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13，又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)由(1)知g (2)＝6，∴f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.求函数值域求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y ＝x ＋1； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5]．【思路探究】 (1)采用代入法；(2)采用直接法；(3)采用配方法． 【自主解答】 (1)∵y ＝2x ＋1，且x ∈{1,2,3,4,5}， ∴y ∈{3,5,7,9,11}，∴函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)∵x ≥0，∴x ＋1≥1，∴函数的值域为[1，＋∞)．(3)配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5]，由例题)图知2≤y≤11，即函数的值域为[2,11]．常用的求值域的几种类型：(1)用表格形式给出的函数，其值域是表格中实数y的值构成的集合；(2)用图象形式给出的函数，其值域是图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；(3)用解析式给出的函数：用相应方法(如观察法、配方法，换元法等)，由解析式与定义域去确定；(4)实际问题给出的函数：由实际问题的意义确定．在(3)中，如果x的范围改为x∈[4,5]，结果又如何？【解】配方得：y＝(x－2)2＋2，∵x∈[4,5]，由例题图知：f(4)≤y≤f(5)，即6≤y≤11，即该函数的值域为[6,11]．函数的概念理解不清致误判断下列各组函数是否表示同一函数．(1)y ＝x 2－1x －1与y ＝x ＋1；(2)y ＝x 2－1与y ＝x －1.【错解】 (1)∵y ＝x 2－1x －1＝x ＋1x －1x －1＝x ＋1，∴y ＝x 2－1x －1与y ＝x ＋1表示同一函数．(2)∵y ＝x 2－1＝x －1，∴y ＝x 2－1与y ＝x －1表示同一函数．【错因分析】 (1)y ＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，而y ＝x ＋1的定义域为R ，定义域不同．(2)∵y ＝x 2－1＝|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1x ≥0，－x －1x <0，∴y ＝x 2－1与y ＝x －1的对应关系不相同．【防范措施】 函数的三要素：定义域、对应法则和值域，实质上有两个关键要素：定义域和对应法则，因为值域通常可以由定义域和对应法则推出来，但是在解题时常常由于忘记了定义域而导致错误．【正解】 (1)∵y ＝x 2－1x －1的定义域与y ＝x ＋1的定义域不相同，∴两个函数不是同一函数．(2)∵y ＝x 2－1与y ＝x －1的对应关系不相同， ∴两个函数不是同一函数．函数的概念既是本节课的重点也是本节课的难点，准确理解函数的概念，应明确以下几点：(1)定义域、对应法则和值域是函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决定的，所以看两个函数是否相同，只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同．(2)y＝f(x)中f为对应法则，当情况比较简单时，对应关系f可用一个解析式来表示．但在不少问题中，对应关系f也可能不便用或不能用一个解析式来表示，这时就必须采用其他方式，如数表或图象等．(3)函数定义域是使函数有意义的自变量的范围，实际问题要结合自变量的实际意义求解．(4)函数值域是函数值的集合，目前求函数值域仅限于在定义域下求二次函数、一次函数、反比例函数的值域.1．有以下4个对应法则：①A＝R，B＝R，f：x→y＝－1 x ；②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝3x；③A＝R，B＝R，f：x→y＝x2＋3x－4；④A＝R，B＝R，f：x→y2＝x.其中不能构成从集合A到集合B的函数关系的是________．(填序号)【解析】①中，当集合A中的元素取0时，在集合B中无元素和它对应；②③容易作出题中给出的函数的图象，结合图象可以知道它们是函数关系；④中，当集合A中的x为正数时，集合B中有两个元素和它对应，而当x为负数时，集合B中无元素和它对应．【答案】①④2．函数y＝1x＋1的定义域是________．【解析】 由题意可知，要使函数有意义，只需x ＋1>0，解得x >－1.故函数y ＝1x ＋1的定义域是{x |x >－1}．【答案】 {x |x >－1}3．函数g (x )＝3x ＋1，x ∈{0,1,2,3,4}的值域为________．【解析】 ∵x ∈{0,1,2,3,4}，∴当x 依次取值时，对应g (x )的值为{1,4,7,10,13}． 【答案】 {1,4,7,10,13} 4．求下列函数的定义域． (1)f (x )＝x ＋2·x －2； (2)f (x )＝11＋1x.【解】 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≥2，∴x ≥2，故函数定义域为[2，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1＋1x≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＝≠－1，故函数定义域为{x |x ∈R ，且x ≠－1，x ≠0}.一、填空题1．下列式子：(1)x 2＋y 2＝2；(2)x －1＋y －1＝1；(3)y ＝x －3＋1－x .能确定y 是x 的函数的是________．【解析】 (1)由x 2＋y 2＝2，得y ＝±2－x 2，每给一个定义域内的x 值则可能有两个y 值与之对应，由此它不能确定y 是x 的函数．(2)由x －1＋y －1＝1，得y ＝(1－x －1)2＋1，所以当x 在{x |x ≥1}中任取一个数时，有唯一确定的y 值与之对应，故由它可确定y 是x 的函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥01－x ≥0，得x ∈∅，故由它不能确定y 是x 的函数．【答案】 (2)2．(2013·济宁高一检测)函数f (x )＝2－xx ＋3的定义域是________． 【解析】 要使f (x )＝2－xx ＋3有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x ＋3≠0，解得x ≤2且x ≠－3，故所求函数的定义域为{x |x ≤2且x ≠－3}．【答案】 {x |x ≤2且x ≠－3}3．若f (x )＝x 2＋a ，f (2)＝3，则f (3)＝________. 【解析】 ∵f (2)＝2＋a ＝3，∴a ＝1. ∴f (3)＝3＋a ＝3＋1＝4.【答案】 44．(2013·东营高一检测)函数f (x )＝x 2＋2x 2＋1的值域为________．【解析】 f (x )＝x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1＝1＋1x 2＋1，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1,1<1＋1x 2＋1≤2， ∴f (x )值域为(1,2]． 【答案】 (1,2]5．已知四组函数：①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2；②f (x )＝x ，g (x )＝(3x )3；③f (n )＝2n －1，g (n )＝2n ＋1；④f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.其中表示同一函数的是________．【解析】 在①中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≥0}，在③中两个函数的对应法则不同，故①③中两个函数是不同函数．在②中(3x )3＝x ，且两函数的定义域均为R ，而④中虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应法则都相同，故②④中的两个函数表示同一函数．【答案】 ②④6．若f (x )＝9x ＋1，g (x )＝x 2，则f (g (1))＝________. 【解析】 由已知得g (1)＝12＝1， ∴f (g (1))＝f (1)＝9×1＋1＝10. 【答案】 107．(2013·杭州高一检测)已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________. 【解析】 f (2x ＋1)＝3x ＋2，令2x ＋1＝a ，则x ＝a －12，∴f (a )＝3×a －12＋2＝4，解得a ＝73.【答案】 738．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为________．【解析】 由题意可知0<y <10，即0<10－2x <10， 解得0<x <5，又底边长y 与腰长x 应满足2x >y ， 即4x >10，x >52，综上可知52<x <5.【答案】 {x |52<x <5}二、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋x －1. (1)求f (2)；(2)若f (x )＝5，求x 的值． 【解】 (1)f (2)＝22＋2－1＝5. (2)由f (x )＝5，即x 2＋x －1＝5， ∴(x －2)(x ＋3)＝0，∴x ＝2或x ＝－3. 10．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2－3x ＋1；(2)f (x )＝1x ，x ∈{－3，－2，－1,1,2}；(3)f (x )＝1x，x ∈[1,2]．【解】 (1)y ＝(x －32)2－94＋1＝(x －32)2－54≥－54，故函数f (x )＝x 2－3x ＋1的值域为[－54，＋∞)．(2)函数的定义域为{－3，－2，－1,1,2}，因为f (－3)＝－13，f (－2)＝－12，f (－1)＝－1，f (1)＝1，f (2)＝12，所以这个函数的值域为{1，12，－13，－12，－1}．(3)当1≤x ≤2时，12≤1x≤1，∴函数f (x )＝1x ，x ∈[1,2]的值域为[12，1]．11．(2013·贵阳高一检测)已知 f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2.(1)求f (2)和g (a )； (2)求g [f (2)]和f [g (x )]．【解】 (1)f (2)＝11＋2＝13，g (a )＝a 2＋2；(2)f (2)＝13，g [f (2)]＝(13)2＋2＝199，f[g(x)]＝f(x2＋2)＝11＋x2＋2＝13＋x2.(教师用书独具)知识扩展复合函数的概念和定义域1．复合函数的概念如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内函数，y＝f(t)叫做外函数．2．复合函数的定义域复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的．对于复合函数f(g(x))：(1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围；(2)如果f(g(x))的定义域为A，那么函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域．第2课时函数的图象(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象．(2)能根据函数图象比较函数值的大小．2．过程与方法通过作出函数的图象，渗透数形结合的思想．3．情感、态度与价值观培养学生勇于探索、善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质．●重点、难点重点：根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象．难点：函数图象的应用．(教师用书独具)●教学建议1．关于函数图象的教学建议教师从初中已学习过的一次函数、二次函数、反比例函数的图象以及现实生活中的常见的函数图象如心电图等入手，让学生先有感性认识，然后再从这些例子中抽象出函数图象的教学定义．这样做符合认识事物的规律，从而使数学的学习变得轻松自如．在作函数图象时，建议教师先让学生回忆初中学过的知识，然后再讲解说明描点作图法作函数图象的步骤以及应注意的地方．要特别提醒学生在画函数图象时注意：一是x的取值分布要恰当，二是连线时要用光滑曲线连结，不要把光滑的曲线画成踞齿状．2．关于应用函数的图象比较函数值大小的教学建议教师在教学中，着重引导学生学习如何作函数的图象，并应用函数图象比较函数值的大小，同时注意数形结合思想的应用．●教学流程通过具体实例，引入学生抽象出函数图象的定义⇒引导学生回忆初中学过的作函数图象的知识，总结用描点法函数图象的基本步骤及注意要点⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握画定义域为某一区间的函数图象的方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握函数图象的识别方法⇒错误!⇒错误!⇒错误!课标解读1.理解函数图象的概念，并能画出一些比较简单的函数的图象(重点)．2．能够利用图象解决一些简单的函数问题(难点).函数的图象【问题导思】你能画出函数y＝x和函数y＝x2的图象吗？【提示】将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．画函数的图象作下列函数的图象，并指出其值域．(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x(－2≤x <1，且x ≠0)．【思路探究】 采用描点法很快可以作出这两个函数的图象，但要注意定义域对它的限制．由图可知y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)的值域为[－14，2]；y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)的值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞)．【自主解答】 (1)如图(1)所示．其值域为[－14，2]．(2)如图(2)所示．其值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞)．(1) (2)1．利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线2．在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．作出下列函数的图象：(1)y＝1＋x(x∈Z)；(2)y＝x2－2x，x∈[0,3)．【解】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图(1)所示．(2)∵x∈[0,3)，∴这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x在0≤x<3之间的一段弧，如图(2)所示．函数图象的识别(2013·常州高一检测)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________．(填序号)【思路探究】分析每个函数图象→提取相应a，b，c的信息→判断abc>0是否成立→得出正确结论【自主解答】①不正确，由图①可知a<0，f(0)＝c<0，－b2a<0，∴abc<0与abc>0相矛盾；②不正确，由图②可知a<0，f(0)＝c>0，－b2a>0，∴abc<0与abc>0相矛盾；③不正确，由③可知a>0，f(0)＝c<0，－b2a<0，∴abc<0与abc>0相矛盾；④正确，由图④可知a>0，f(0)＝c<0，－b2a>0，∴abc>0.符合题意．【答案】④求解与二次函数图象有关的问题时，常根据二次函数图像开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑，另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，对称轴的位置或定点坐标等对系数a，b，c的影响．如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax＋b(a≠0)的图象可能是________(填序号)．【解析】(1)由抛物线的对称轴是y轴可知b＝0，而此时直线应该过原点，故不可能；(2)由抛物线图象可知，a>0，－b2a>0，所以b<0，而此时直线应该与y轴负半轴相交，故不可能；(3)由抛物线图象可知，a<0，－b2a>0，所以b>0，而此时直线应该与y轴正半轴相交，故不可能，由此可知(4)可能是两个函数的图象．【答案】(4)函数图象的应用画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域．【思路探究】画图→识图→分析→下结论【自主解答】因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：x …－2－101234…y …－503430－5…描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．1．函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．2．常借助函数图象求解以下几类问题：(1)比较函数值的大小；(2)求函数的值域；(3)分析两函数图象交点个数；(4)求解不等式或参数范围．在题设不变的情况下，求“若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k 的取值范围”．【解】原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3和函数y ＝k的交点个数问题，根据f(x)＝－x2＋2x＋3在[－1,2]的图象，移动y＝k，易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点．∴0≤k<3或k＝4.数形结合思想在方程问题中的应用(12分)若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．【思路点拨】将方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图象进行解决．【规范解答】原方程变形为x2－4x＋4＝1－m，2分即(x－2)2＝1－m，设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图象如图所示，由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0，∴m＝1或－3<m≤0，(此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1，x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图象求解．)一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图象直观解决，简单明了．此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求(也注意结合图象分析只有一个x值)．画函数的图象一般还是采用列表、描点、绘图的描点法，主要解决两个问题：位置和形状．函数图象位置的确定是以它的定义域为主要依据；函数图象形状的刻画是依据对应法则而定的．函数的图象也可以是一些点，一些线段，一段曲线等，从函数的图象可以直观地指出函数的定义域和值域．1．已知函数f(x)的图象如图2－1－1所示，则此函数的定义域是________，值域是________．图2－1－1【解析】由图可知，f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．【答案】[－3,3] [－2,2]2．函数y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的图象是________．(填序号)【解析】由题意知，函数的定义域是{－1,0,1}，值域是{0,1,2}，函数的图象是三个点，故③正确．【答案】③图2－1－23．(2013·绵阳高一检测)如图2－1－2，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(1f3)的值等于________．【解析】由图象可知：f(3)＝1，∴f(1f3)＝f(1)＝2. 【答案】 24．画出函数y＝x2＋2x，x∈[－2,2]的图象，并求其值域．【解】列表如图所示：x －2－101 2y 0－1038描点并连线得如上图象，由图象可得函数的值域为[－1,8]．一、填空题1．下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是________．【解析】由函数定义知，一个x只能对应一个y值，而在④中当x>0时，一个x值有两个y值与之对应；所以④不可能是函数y＝f(x)的图象．【答案】④2．一个函数f (x )的图象如图2－1－3：图2－1－3则该函数的值域是________．【解析】 由图可知f (x )≥－1，故函数的值域为[－1，＋∞)． 【答案】 [－1，＋∞)图2－1－43．已知函数y ＝ax 2＋b 的图象如图2－1－4所示，则a ＝________，b ＝________. 【解析】 由图象可知，当x ＝1时，y ＝0； 当x ＝0时，y ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1.【答案】 1 －14．函数y ＝f (x )的图象如图2－1－5所示，则：图2－1－5(1)使f (x )＝0成立的x 的集合________；(2)若1<x 1<x 2<2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是________； (3)若1<x 0<3，则f (x 0)的符号为________．(填正或负) 【解析】 (1)由图可知，使f (x )＝0成立的x 值有－1,1,3； (2)由图可知当1<x 1<x 2<2时，f (x 1)>f (x 2)；(3)由于当1<x 0<3时，f (x )的图象在x 轴的下方，故f (x 0)的符号为负． 【答案】 {－1,1,3} f (x 1)>f (x 2) 负5．(2013·连云港高一检测)函数y ＝|x |x＋x 的图象是________．【解析】 函数y ＝|x |x＋x 的定义域为{x |x ≠0}，故图象与y 轴交点处应为空心小圆圈，故排除①、②. 当x <0时，y ＝－1＋x <0，故排除④. 【答案】 ③6．作出函数y ＝1x，x ∈[1,3]的图象后，可知函数的值域为________．【解析】 作出y ＝1x，x ∈[1,3]的图象如图．由图可知y ＝1x ，x ∈[1,3]的值域为[13，1]．【答案】 [13，1]7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2(填“>”“<”或“＝”)．【解析】 因为对称轴为x ＝1，所以当x ＝2时与x ＝0时的函数值相等． 作出如图所示的大致图象，由图象可知y 1>y 2. 【答案】 >8．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一：则a 的值为________．【解析】 由x ＝－b2a知，当a >0时，对称轴在y 轴左侧，开口向上；当a <0时，对称轴在y 轴右侧，开口向下，故第三个图正确，由图得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 0＝0，∴a ＝－1.【答案】 －1 二、解答题9．画出下列函数的图象，并求其值域． (1)f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[0,5]； (2)f (x )＝－1x＋2，x ∈(2,4]．【解】 f (x )＝－x 2＋4x(1)＝－(x －2)2＋4在[0,5]上简图如图(1)．故f (x )max ＝f (2)＝4，f (x )min ＝f (5)＝－5.所以f (x )的值为[－5,4]． (2)由f (x )＝－1x＋2在(2,4]上简图如图(2)．(2)可知函数有最大值，无最小值， 且f (x )max ＝f (4)＝－14＋2＝74.f (x )min >f (2)＝－12＋2＝32.∴f (x )的值域为(32，74]．10．已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ]，其中b >1，求实数b 的值．【解】 f (x )＝12(x －1)2＋1，图象如图所示．∵x ∈[1，b ]时，f (x )的图象是上升的， 又值域为[1，b ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f b ＝b ⇒12b －12＋1＝b ，解得b ＝1或b ＝3. ∵b >1，∴b ＝3.11．若关于x 的方程2x 2－3x －k ＝0在(－1,1)内仅有一个实根，求k 的取值范围．【解】 本题可转化为函数y ＝2x 2－3x 与函数y ＝k 在区间(－1,1)内交点个数问题，作出函数y ＝2x 2－3x ＝2(x －34)2－98在(－1,1)上的图象，如图所示．由图象知当－1≤k <5或k ＝－98时，y ＝k 与y ＝2x 2－3x 仅有一个交点．知识拓展 函数图象的变换有些函数的解析式之间有一定的联系，因此它们的图象之间也有一定的联系． (1)左右平移：函数y ＝f (x )的图象向右(a >0)或向左(a <0)平移|a |个单位长度得到函数y ＝f (x －a )的图象．(2)上下平移：函数y ＝f (x )的图象向上(k >0)或向下(k <0)平移|k |个单位长度得到函数y ＝f (x )＋k 的图象．平移遵循“左加、右减”，“上加、下减”原则．平移问题除了要分清平移的先后顺序，即平移的方向，还要注意平移的长度．例如：用“x －1”换“x ”是把y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，得到y ＝f (x －1)的图象；点(0，f (0))――→平移到点(1，f (0))，点(1，f (1))――→平移到点(2，f (1))……这样把y ＝f (x )的图象上的每个点向右平移一个单位长度即可．因此函数解析式中的变量的替换就带来了函数图象的平移了．2．1.2 函数的表示方法(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)明确函数的三种表示方法；(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数； (2)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情感、态度与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法．●重点、难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象．(教师用书独具)●教学建议1．关于选用适当的方法来表示函数的教学建议教师在教学中，多结合一些实例，使学生了解各种不同的表示函数的方法的特点，并能学会选择适当的方法表示函数．2．对于函数与其图象的关系的理解与把握建议教师从函数概念出发，结合对应的概念，使学生能够从数形结合的角度准确把握函数与其图象的关系．●教学流程创设问题情境，通过实例，列出函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法⇒引导学生探究3种函数表示方法的特点，并结合一些实例，说明如何选择合适的方法表示函数⇒通过实例，引出分段函数的定义，并探究求分段函数的定义域、值域的方法⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数解析式的几种常用方法⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握解决有关分段函数的综合问题的方法⇒通过例3及其变式训练，使学生初步掌握函数在实际问题中的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课标解读1.理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数(重点)．2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值(重点、难点).函数的表示方法。
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必修1 函数复习教案
一、教学目标
1、知识目标：复习巩固本章所学知识和方法，形成比较系统的整体认识。
2、能力目标：培养学生总结归纳能力和综合应用知识方法的能力。
3、情感目标：通过复习提问，激发学生兴趣，形成整体化认识。
二、教学重点、难点
重点是系统复习本章知识和方法，难点是形成整体认识。
三、教学方法
教师引导，学生回答；总结归纳，典例训练。
本章知识结构
知识要点归纳：
1、 在学习函数映射的概念时，要注意它们之间的联系。
2、 函数定义域的求法：
（一） 自然定义域：注意常涉及以下依据
⑴ 分母不为零⑵偶次根式中被开方数不小于零⑶指数幂的底数不等于零⑷实际问题
要考虑实际意义 （二） 复合函数的定义域：若()g x D ∈得定义域为D ，则函数[]()y f g x =的定义域要由
()g x D ∈的求解
3、 函数值域的求法：要注意定义域对值域的决定作用。
⑴直接观察法⑵配方法⑶换元法⑷判别式法⑸单调性法（6）图象法等
4、 函数的解析式求法：⑴待定系数法⑵复合函数的解析式⑶换元法或配凑法⑷实际问题中
利用的等量关系
典型例题
题型1：函数定义
例 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A.||2x y x y ==与 B.2lg lg 2x y x y ==与 C.23
)
3)(2(+=--+=
x y x x x y 与 D.10==y x y 与
答案：B
题型2：函数的定义域值域
例 函数322
-+=x x y 在区间[-3，0]上的值域为（ ） A.[-4，-3] B.[-4，0] C.[-3，0] D.[0，4]
答案：A
题型3：函数的图像与性质
例 画出函数x x y -=2
的图象，并
指出它们的单调区间.
解：22110124
110124
()()()()()
x x x f x x x ⎧--≤≥⎪⎪=⎨⎪--+<<⎪⎩或
增区间：1012
[,][,)+∞和
减区间;1012
(,][,]-∞和 题型4：单调性与奇偶性
例 试判断函数x
x x f 2
)(+
=在[2，+∞)上的单调性． 解：设+∞<<≤212x x ，则有
=-)()(21x f x f )2(22211x x x x +-+
=)22()(2
121x x x x -+- =)22(
)(211221x x x x x x ⋅-+-=)2
1)((2
121x x x x ⋅--
=)2
)(
(2
12121x x x x x x ⋅--．
Θ
+∞<<≤212x x ，021<-x x 且0221>-x x ，021>x x ，
所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <． 所以函数)(x f y =在区间[2，+∞)上单调递增．
题型5：函数的零点
已知函数2
2
()(1)(2)f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，则有（ ）
题型6：二分法
借助计算器或计算机，用二分法求方程3
2
24310x x x --+=的最大的根。
（精确到
2
1
()1f x x
=
+）
题型7：函数的应用
例 如图，长为20m 的铁丝网，一边靠墙，围成三个大小相等、紧紧相连的长方形，那么长方形长、宽、各为多少时，三个长方形的总面积最大 解：设长方形长为x m ，则宽为
3420x
- m ， 所以，总面积34203x x s -⋅==x x 2042
+-
=25)2
5(42
+--x ．
所以，当2
5=x 时，总面积最大，为25m 2
，
此时，长方形长为2.5 m ，宽为3
10
m ．
练习题：教材P77 巩固与提高。