六年级奥数题：染色问题(A) (2)

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六年级奥数题：染色问题(A)

十染色问题(1)年级班姓名得分(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题)1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?1 2 34 5 67 8 93.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?(a) (b)4.一个88国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个21的“骨牌” (形如 )把象棋盘上的62个小格完全盖住?5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:n一定是偶数.9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:证明:一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?为什么?12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.13.88的国际象棋棋盘能不能被剪成7个22的正方形和9个41的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)中任选、、三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A格上的数字是多少?并说明理由.表 1表 2———————————————答案——————————————————————1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(2931),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.3. 图(a)行,走法如图所示.图(a)图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.4. 不能.原因是每一个21的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有33=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.6. 设这六个点为A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形:考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB、AC、AD三条同为红色.再考虑三角形BCD的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD为蓝色三角形.下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC的三边同为红色.(1) 若三角形DEF也是红色三角形,则存在两个同色三角形.(2) 若三角形DEF中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA、DB、DC三条线段，其中必有两条同色.①若其中有两条是红色的,如DA、DB是红色的,则三角形DAB为第二个同色三角形(图1).②若其中有两条是蓝色的,设DA、DB为蓝色(图2).此时在EA、EB两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB为红色三角形.综上所述,一定有两个同色三角形.7. 甲虫不能走遍所有的立方体.我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.9. 不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.10. 与B点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.11. 不能.因为A、B两点异色,从B到A所跳的步数是一个奇数.12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A、B两点异色,故从A到B“车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步，但44是一个偶数.13. 如图对88的棋盘染色,则每一个41的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个22的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个22的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.14. 如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.表(1)本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.。

小学奥数杂题染色问题【三篇】

小学奥数杂题染色问题【三篇】
解析：对房间染色，使最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的
房染成白色，
则图中有7个黑色房间和5个白色房间．
如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等．故题中的想法是不能实现的．
点评：完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线，看是
否能够找到．
【第二篇】
展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入
口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?
答案：
不能.对展室实行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入
口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个
展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.
【第三篇】
染色问题基本解法：
三面涂色和顶点相关 8个顶点。

两面染色和棱长相关。

即新棱长（棱长-2）×12
一面染色和表面积相关。

同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*6
0面染色和体积相关。

用新棱长计算体积公式（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。

小学奥数杂题染色问题【三篇】

小学奥数杂题染色问题【三篇】
导读：本文小学奥数杂题染色问题【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

【第一篇】 1.如图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门．有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
解析：对房间染色，使最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的房染成白色，
则图中有7个黑色房间和5个白色房间．
如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等．故题中的想法是不能实现的．
点评：完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线，看是否能够找到．【第二篇】展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 答案：不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同. 【第三篇】染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关8个顶点。

两面染色和棱长有关。

即新棱长（棱长-2）×12一面染色和表面积有关。

同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*6 0面染色和体积有关。

用新棱长计算体积公式（棱
长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。

六级奥数专题染色问题.docx

二十染色问题(1)年级班姓名得分( 编者按 : 由于内容本身的限制 , 本讲不设填空题 )1.某影院有 31 排, 每排 29 个座位 . 某天放映了两场电影 , 每个座位上都坐了一个观众 . 如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他 ( 前、后、左、右 ) 相邻的某一观众交换座位 , 这样能办到吗为什么2.如图是一所房子的示意图 , 图中数字表示房间号码 , 每间房子都与隔壁的房间相通 . 问能否从 1 号房间开始 , 不重复的走遍所有房间又回到 1 号房间1234567893.在一个正方形的果园里 , 种有 63 棵果树、加上右下角的一间小屋 , 整齐地排列成八行八列 ( 见图 ( a)). 守园人从小屋出发经过每一棵树 , 不重复也不遗漏( 不许斜走 ), 最后又回到小屋 , 行吗如果有 80 棵果树 , 连小屋在内排成九行九列( 图( b)) 呢(a)(b)4.一个 8 8 国际象棋 ( 下图 ) 去掉对角上两格后 , 是否可以用 31 个 2 1 的“骨牌” ( 形如)把象棋盘上的62个小格完全盖住5.如果在中国象棋盘上放了多于45 只马 , 求证 : 至少有两只马可以“互吃”.6. 空间 6 个点 , 任三点不共线 , 对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色 , 是否必有两个同色三角形7.如图 , 把正方体分割成 27 个相等的小正方体 , 在中心的那个小正方体中有一只甲虫 , 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 6 个小正方体中的任一个中去 . 如果要求甲虫能走到每个小正方体一次 , 那么甲虫能走遍所有的正方体吗8.中国象棋的马走“日”字 , 车走横线或竖线 , 下图是半张中国象棋盘 , 试回答下面的问题 :A B一只马从起点出发 , 跳了 n 步又回到起点 . 证明 : n 一定是偶数 .9.中国象棋的马走“日”字 , 车走横线或竖线 , 下图是半张中国象棋盘 , 试回答下面的问题 :A B一只马能否跳遍这半张棋盘, 每一点都不重复 , 最后一步跳回起点10.中国象棋的马走“日”字 , 车走横线或竖线 , 下图是半张中国象棋盘 , 试回答下面的问题 :A B证明 : 一只马不可能从位置 B 出发 , 跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次 ( 不要求最后一步跳回起点 ).11.中国象棋的马走“日”字 , 车走横线或竖线 , 下图是半张中国象棋盘 , 试回答下面的问题 :A B一只马能否从位置 B 出发 , 用 6 步跳到位置 A 为什么12.中国象棋的马走“日”字 , 车走横线或竖线 , 下图是半张中国象棋盘 , 试回答下面的问题 :A B一只车从位置 A 出发 , 在这半张棋盘上走 , 每步走一格 , 走了若干步后到了位置 B. 证明 : 至少有一个格点没被走过或被走了不止一次 .8 的国际象棋棋盘能不能被剪成 7 个 2 2 的正方形和 9 个 4 1 的长方形如果可以 , 请给出一种剪法 ; 如果不行 , 请说明理由 .14.( 表 1) 是由数字 0,1 交替构成的 ,( 表 2) 是由 ( 表 1) 中任选、、三种形式组成的图形 , 并在每个小方格全部加 1 或减 1, 如此反复多次进行形成的 , 试问 ( 表 2) 中的 A格上的数字是多少并说明理由 .1010101001010101101010100101010010101010010101011010101001010101表1111111111111111111111111111111111 1 1 1 1 1 A 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11表2———————————————答案——————————————————————1.把影院的座位画成黑白相的矩形.(29 31), 共有 899 个小方格 . 不妨假定四角黑格 , 共有黑格 450 个, 白格 449 个.要求看第二影 , 每位众必跟他相的某一众交位置 , 即要求每一黑白格必互 , 因黑白格的数不相等 , 因此是不可能的 .2.将号奇数的房染成黑色 , 号偶数的房染成白色 . 从 1 号房出 , 只能按黑白黑白⋯⋯的次序,当走遍九个房在黑色房中 , 个房不与 1 号房相 , 故不能不重复地走遍所有房又回到 1 号房 .3.(a) 行, 走法如所示 .(a)(b) 不行 , 将小屋染成黑色 , 果染成黑白相的色 ,(b) 中有 41 个黑色的 ,40 个白色的 . 从小屋出 , 按黑白黑白⋯⋯的次序,当走遍 80 棵后 , 到达的的色是黑色 , 与小屋不相 , 故不可能最后回到小屋 .4.不能 . 原因是每一个 2 1 的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31 个的骨牌恰好盖住 31 个黑格和 31 个白格 .但是国象棋棋上角两格的色是相同的 , 把它去掉后剩下的是 30 个白格 ,32 个黑格 , 或 32 个白格 ,30 个黑格 , 因此不能盖住 .5.中国象棋棋盘上有 90 个交叉点 , 把棋盘分成 10 个小部分 , 每部分有33=9 个交叉点 , 由抽屉原则知 , 至少有一个小部分内含有 6 只马 .将这一小部分的 9 个交叉点分别涂上黑色及白色 . 总有两只马在不同颜色交叉点上 , 故一定有两只马“互吃”.6.设这六个点为 A、 B、 C、 D、 E、 F. 我们先证明存在一个同色的三角形 :考虑由 A 点引出的五条线段 AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色 , 不妨设 AB、AC、AD三条同为红色 . 再考虑三角形 BCD的三边 : 若其中有一条为红色 , 则存在一个红色三角形 ; 若这三条都不是红色 , 则三角形 BCD为蓝色三角形 .BCAD下面再来证明有两个同色三角形, 不妨设三角形 ABC的三边同为红色 .(1)若三角形 DEF也是红色三角形 , 则存在两个同色三角形 .(2)若三角形 DEF中有一条边为蓝色 ( 不妨设 DE), 下面考虑 DA、DB、 DC三条线段，其中必有两条同色 .①若其中有两条是红色的 , 如 DA、DB是红色的 , 则三角形 DAB为第二个同色三角形 ( 图 1).D AE B C( 图 1)②若其中有两条是蓝色的 , 设 DA、DB为蓝色 ( 图 2). 此时在 EA、EB两条线段中 , 若有一条为蓝色 , 则存在一个蓝色三角形 ; 若两条都是红色的 , 则三角形 EAB 为红色三角形 .综上所述 , 一定有两个同色三角形 .7.甲虫不能走遍所有的立方体 .我们将大正方体如图分割成 27 个小正方体 , 涂上黑白相间的两种颜色 , 使得中心的小正方体染成白色 , 再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色 . 显然在 27 个小正文体中 ,14 个是黑的 ,13 个是白的 . 甲虫从中间的白色正方体出发 , 每走一步 , 小正方体就改变一种颜色 . 故它走 27 步, 应该经过 14 个白色的小正方体 ,13 个黑色的小正方体 . 因此在 27 步中至少有一个白色的小正方体 , 甲虫进去过两次 . 故若要求甲虫到每个小正方体只去一次 , 甲虫就不能走遍所有的小正方体 .8.将棋上的各点按黑白相的方式染上黑白二色 .由“ 步”的行走 , 当“ ”从黑点出 , 下一步只能跳到白点 , 以后依次是黑、白、黑、白⋯⋯要回到原出点 ( 黑点 ), 它必跳偶数步 .9.不能 . 半象棋共有 45 个格点 , 从起点出跳遍半棋 , 起点与最后一步同色 . 故不可能从最后一步跳回起点 .10.与 B 点同色的点 ( 白点 ) 有 22 个, 异色的点 ( 黑色 ) 有 23 个. 从 B 点出 , 跳了 42 步 , 已跳遍了所有的白色 , 剩下两个黑点 , 但是不能跳两个黑点 .11.不能 . 因 A、B 两点异色 , 从 B 到 A 所跳的步数是一个奇数 .12.“ ”每走一步 , 所在的格点就会改一次色 . 因 A、B 两点异色 , 故从 A 到B“ ”走的步数是一个奇数 . 但半棋共有 45 个格点 , 不重复地走遍半棋要 44 步，但44 是一个偶数 .13.如 8 8 的棋染色 , 每一个 4 1 的方形能盖住 2 白 2 黑小方格 , 而每一个 2 2 的正方形能盖住 1 白 3 黑或 1 黑 3 白小方格 , 那么 7 个 22的正方形盖住的黑色小方格数是一个奇数, 但中黑格数32 是一个偶数 . 故种剪法是不存在的 .+1+1-1-1+1+1+1+1+1-1-1+1+1+1+1+1-1-1-1-1 -1+1 +1-1-1-1-1 -1+1 +1-1 -114.如下所示 , 将表 (1) 黑白相地染色 .表(1)本题条件允许如图所示的 6 个操作 , 这 6 个操作无论实行在那个位置上 , 白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数 , 所以表 1 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即 32, 等于表 2 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32, 于是 (31+A)-32=32, 故 A=33.二十染色问题(2)年级班姓名得分1.下图是一套房子的平面图 , 图中的方格代表房间 , 每个房间都有通向任何一个邻室的门 . 有人想从某个房间开始 , 依次不重复地走遍每一个房间 , 他的想法能实现吗2.展览会有 36 个展室 ( 如图 ), 每两相邻展室之间均有门相通 . 能不能从入口进去 , 不重复地参观完全部展室后 , 从出口出来呢3.图中的 16 个点表示 16 个城市 , 两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通 . 问能否找到一条不重复地走遍这 16 座城市的路线4.下图是由 4 个小方格组成的“ L”形硬纸片 , 用若干个这种纸片无重叠地拼成一个 4 n 的长方形 , 试证明 : n 一定是偶数 .5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃” ( “马”走“日”字 , 另不考虑“别马腿”的情况 ).6.能否用一个田字和 15 个 4 1 矩形覆盖 8 8 棋盘7. 能否用 1 个田字和 15 个 T 字纸片 , 拼成一个 88 的正方形棋盘8.在 8 8 棋盘上 , 马能否从左下角的方格出发 , 不重地走遍棋盘 , 最后回到起点若能请找出一条路 , 若不能 , 请说明理由 .9. 下面三个图形都是从 4 4 的正方形分别剪去两个 1 1 的小方格得到的 , 问可否把它们分别剪成 1 2 的七个小矩形(1)(2)(3)10.把三行七列的 21 个小格组成的矩形染色 , 每个小格染上红、蓝两种色中的一种 . 求证 : 总可以找到 4 个同色小方格 , 处于某个矩形的 4 个角上 ( 如图 ) 1红红红红2个科学家互相通信 , 在他们的通信中共讨论 3 个问题 , 而任意两个科学家之间仅讨论 1 个问题 . 证明 : 至少有 3个科学家 , 他们彼此通信讨论的是同一个问题 .12. 用一批 1 2 4 的长方体木块 , 能不能把一个容积为 6 6 6 的正方体木箱充塞填满说明理由 .13.在平面上有一个 27 27 的方格棋盘 , 在棋盘的正中间摆好 81 枚棋子 , 它们被罢成一个 9 9 的正方形 . 按下面的规则进行游戏 : 每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子 , 放进紧挨着这枚棋子的空格中 , 并把越过的这格棋子取出来 . 问: 是否存在一种走法 , 使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子12 的超极棋盘上 , 一匹超级马每步跳至 3 4 矩形的另一角 ( 如图 ). 问能否从任一点出发遍历每一格恰一次 , 再回到出发点 ( 这种情况又称马有“回路”)OO———————————————答案——————————————————————1.不能 . 对房间染色 , 使最下面的两个房间染成黑色 , 与黑色相邻的房染成白色 , 则图中有 7 个黑色房间和 5 个白色房间 . 如果要想不重复地走过每一个房间 ,黑色与白色房间数应该相等. 故题中的想法是不能实现的.2.不能 . 对展室进行染色, 使相邻两房间分别是黑色和白色的 . 此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的 , 而不重复参观完 36 个展室 , 入口与出口展室的颜色应该不相同 .3.不能 . 对这 16 个城市进行黑白相间的染色 , 一种颜色有 9 个, 另一种颜色有7 个. 而要不重复地走遍这 16 个城市 , 黑色与白色的个数应该相等 .4.如图 , 对 4 n 长方形的各列分别染上黑色和白色 . 任一 L 形纸片所占的方格只有两类 : 第一类占 3 黑 1 白, 第二类占 3 白 1 黑.n个设第一类有 a 个, 第二类有 b 个, 因为涂有两种颜色的方格数相等, 故有3b+a=3a+b, 即a=b, 也就是说第一类与第二类相等, 因此各种颜色的方格数都是4 的倍数 , 总数是 8 的倍数 , 从而 n 是偶然 .5.将棋盘黑白相间染色 , 由“马”的走法可知 , 放在黑点上的“马” , 只能吃放在某些白点上的马 . 整个棋盘上黑、白点的个数均为45, 故可在45 个黑点放上马 , 它们是不能互吃的 .6.如图的方式对棋盘染色 . 那么一个田字形盖住 1 个或 3 个白格 , 而一个4 1 的矩形盖住 2 个白格 . 这样一来一个田字和 15 个 4 1 的矩形能盖住的白格数是一个奇数 , 但上图中的白格数是一个偶数 , 因此一个田字形和 15 个 4 1 的矩形不能复盖 8 8 的棋盘 .7.将棋盘里黑白相间涂色 . 一个田字形盖住 2 个白格 , 一个 T 字形盖住 3 个或 1 个白格 . 故 1 个田字和 15 个 T 字盖住的白格数是一个奇数 , 但棋盘上的白格数是一个偶数 . 因此一个田字形和 15 个 T 字形不能盖住 8 8 的棋盘 .8.将棋盘黑白相间地染色后 , 马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色. 棋盘上有 32 个白格与 32 个黑格 , 故马可能跳遍整个棋盘 . 图中给出了一种走法 .564158355039603347445540593451384257464936533261454843543162375220530632211161329642141714251061922782312151287183269249. 先对 4 4 的棋盘黑白相间的涂色 ( 如图 ), 这道题的实际问题是问7 个1 2 矩形能否分别复盖剪去 A、B；剪去 A、C；剪去 A、D的三个棋盘 . 若 7 个 12矩形可以复盖剪残的棋盘 , 因为每个 1 2 矩形均可盖住一个白格和一个黑格, 所以棋的白格与黑格数目相等 . 都是 7 个. 而剪去 A 格和 C 格的棋 (2) 有 5 个白格 8 个黑格 , 剪去 A、D 的棋 (3) 有 5 个白格 8 个黑格 , 因此两个剪的棋均不能被 7 个1 2 矩形复盖 , 也就不能剪成 7 个 1 2 的矩形 .ABCD棋 (1) 可以被 7 个 1 2 的矩形所复盖 . 下面出一种剪法 :A11277B26543654310.在第一行的 7 格中必有 4 格同色 , 不妨 4 格位于前 4 个位置 , 且均色 .然后考前 4 列构成的 3 4 矩形 . 若第二行和第 3 行中出 2 个或 2 个以上的色格子 . 行的两个色格子与第一行的色格子就成一个 4 角同色格子的矩形 .若不然 , 第 2、3 行中都至少有 3 个格在前 4 列中 , 不妨第 2 行前 3 格色 , 然第三行中的前 3 格中至少有 2 个格，故在二、三行的前 4 列中必存在四角都是色的矩形 .11.将 17 个科学家用 17 个点代表 , 两点之的段表示两个科学家之的 . 用三种色些段染色 , 表示三个 , 于是就成 :17 个点之的所有段用三种色染色, 必有同色三角形 .从任意一点 , 不妨从 A 向其他 16 点 A1, A2 , ⋯ A16共可成 16 条段 , 用三种色染色 , 由抽原可知 , 必有 6 条段同色 . 6 条段 AA1, AA2 , ⋯AA6且同色 .考 A1, A2, A3, A4, A5, A6六点之的 , 若有一条色 ,( 如 A1A2色 ) ,则三角形 AA1 A2为红色的同色三角形 .A1A2A3AA4A5A6若这六点之间的连线中 , 没有一条是红色的 , 则它们之间只能涂两种颜色 . 考虑从 A1引出的五条线段 A1A2 A1A3 A1A4 A1A5 A1A6, 由抽屉原理知 , 其中必有三条是同色的 . 不妨设这三条为 A1A2 A1 A3 A1A4, 且同为蓝色 . 若三角形 A2A3A4的三边中有一条为蓝色的 , 则有一个蓝色的三角形存在 ; 若三角形 A2A3 A4三边都不是蓝色的 , 则它的三边是同为第三色的同色三角形 . A2A3A1A412. 把正方体木箱分成27 个小正方体 , 每个小正方体的体积为 2 2 2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色. 显然黑色 2 2 2 的正方体有 14 个, 白色2 2 2 小正方体有 13 个 . 每一个这样的正方体相当于8 个 1 1 1 的小正方体 .将 1 2 4 的长方体放入木箱 , 无论怎么放 , 每个长方体木块盖住8个边长为1 的单位正方体 , 其中有 4 个黑色的 ,4 个白色的 . 木箱共含 6 6 6=216个单位正方体 ,26 个长方体木块共盖住 8 26=208个单位正方体 , 其中黑白各占 104 个 , 余下216-208=8 个单位正方体是黑色的 . 但是第 27 个 1 2 4 长方体木块不管怎样放 , 也无法盖住这 8 个黑色单位正方体 .13.如图 , 将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色 , 这种染色方式将棋盘分成了三个部分 . 按照游戏规则 , 每走一步 , 有两种颜色方格中的棋子数分别减少了 1 个, 而第三种颜色的棋子数增加了一个 . 这表明每走一步 , 每个部分的棋子的奇偶性要发生改变 .因为一开始时 ,81 枚棋子摆成一个 9 9 的正方形 , 显然三个部分的棋子数是相同的 , 从而每走一步 , 三部分中的棋子数的奇偶性是相同的 . 如果走了若干步以后, 棋盘上恰好剩下一枚棋子 , 则两部分上的棋子数为偶数 , 而另一部分上的棋子数为奇数 . 这种结果是不可能出现的 .14.用两种方法对超级棋盘染色 .首先 , 将棋盘黑白相间染色 , 则马每跳一步 , 它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次 , 将棋盘的第 3,4,5 及 8,9,10 这六行染成黑色 , 其余六行染成白色 . 在此种染色方式下 , 马从白格一定跳入黑格 . 又因黑白格总数相同 , 马要遍历每一格恰一次又回到出发点 , 因此 , 马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格 . 不妨设马第奇数步跳入白格 .但是对于一种满足要求跳法 , 在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的 , 这显然是不可能的 , 故题目要求的跳法是不存在的 .。

六年级奥数专题染色问题

二十染色问题(1)年级班姓名得分(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题)1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗为什么2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢(a) (b)88国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个21的“骨牌” (形如 )把象棋盘上的62个小格完全盖住5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:n一定是偶数.9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:证明:一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A为什么12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个22的正方形和9个41的长方形如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)中任选、、三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A格上的数字是多少并说明理由.1010101001010101101010100101010010101010010101011010101001010101表 111111111111111111111111111111111111111A1表 2———————————————答案——————————————————————1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(2931),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.3. 图(a)行,走法如图所示.图(a)图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.4. 不能.原因是每一个21的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有33=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.6. 设这六个点为A 、B 、C 、D 、E 、F.我们先证明存在一个同色的三角形: 考虑由A 点引出的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB 、AC 、AD 三条同为红色.再考虑三角形BCD 的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD 为蓝色三角形.下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC 的三边同为红色.(1)若三角形DEF 也是红色三角形,则存在两个同色三角形.(2)若三角形DEF 中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA 、DB 、DC 三条线段，其中必有两条同色.①若其中有两条是红色的,如DA 、DB 是红色的,则三角形DAB 为第二个同色三角形(图1). B DC AD (图1)②若其中有两条是蓝色的,设DA、DB为蓝色(图2).此时在EA、EB两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB 为红色三角形.综上所述,一定有两个同色三角形.7. 甲虫不能走遍所有的立方体.我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.9. 不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.10. 与B 点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B 点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.11. 不能.因为A 、B 两点异色,从B 到A 所跳的步数是一个奇数.12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A 、B 两点异色,故从A 到B “车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步，但44是一个偶数.13. 如图对88的棋盘染色,则每一个41的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个22的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个22的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.14. 如下图所示,将表(1)黑白相间地染色. +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1+1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1表(1)本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.二十染色问题(2)年级班姓名得分1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线4.下图是由4个小方格组成的“L”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4n的长方形,试证明:n一定是偶数.5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).6.能否用一个田字和15个41矩形覆盖88棋盘7.能否用1个田字和15个T字纸片,拼成一个88的正方形棋盘8.在88棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从44的正方形分别剪去两个11的小方格得到的,问可否把它们分别剪成12的七个小矩形(1)(2)(3)10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)红红红红个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题. 12.用一批124的长方体木块,能不能把一个容积为666的正方体木箱充塞填满说明理由.13.在平面上有一个2727的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个99的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至34矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)OO1 2———————————————答案——————————————————————1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.3. 不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等.4. 如图,对4n长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L形纸片所占的方格只有两类:第一类占3黑1白,第二类占3白1黑.n个设第一类有a个,第二类有b个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b+a=3a+b,即a=b,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n是偶然.5. 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.6. 如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个41的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个41的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个41的矩形不能复盖88的棋盘.7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住88的棋盘.8. 将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.564158355039603347445540593451384257464936533261454843543162375220530632211161329642141714251061922782312151287183269249. 先对44的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个12矩形能否分别复盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个12矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个12矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有5个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个12矩形复盖,也就不能剪成7个12的矩形.ABCD棋盘(1)可以被7个12的矩形所复盖.下面给出一种剪法:A11277B26543654310. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色.然后考虑前4列构成的34矩形.若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形.若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形.11. 将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.从任意一点,不妨设从A向其他16点A1,A2,…A16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色.设这6条线段为AA1,AA2,…AA6且同为红色.考虑A1,A2,A3,A4,A5,A6这六点之间的连线,若有一条为红色,(如A1A2为红色) ,则三角形AA 1A 2为红色的同色三角形.若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从A 1引出的五条线段A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4 A 1A 5 A 1A 6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4,且同为蓝色.若三角形A 2A 3A 4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A 2A 3A 4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.12. 把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为222=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色222的正方体有14个,白色222小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个111的小正方体.将124的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为AA 1A 2 A 3 A 4A 5 A 6A 1A 2A 3 A 41的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含666=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住826=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个124长方体木块不管怎样放,也无法盖住这8个黑色单位正方体.13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变.因为一开始时,81枚棋子摆成一个99的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.14. 用两种方法对超级棋盘染色.首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.。

专题06 染色问题(解析版)

专题6 染色问题例1．如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【解析】先涂三棱锥P ABC -的三个侧面，有1113216C C C =种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有1112112C C C =种情况，共有6212⨯=种不同的涂法．故选：C ．例2．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种【解析】由题意，点E ，F ，G 分别有4，3，2种涂法，（1）当A 与F 相同时，A 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有3种涂色方法；②若C 与F 不同，则D 有2种涂色方法.故此时共有()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.（2）当A 与G 相同时，A 有1种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有2种涂色方法；②若C 与F 不同，则C 有2种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有1种涂色方法.故此时共有()4321122221192⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种涂色方法.（3）当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种涂色方法.①若B 与F 相同，则C 与A 相同时，D 有2种涂色方法，C 与A 不同时，C 和D 均只有1种涂色方法； ②若B 与F 不同，则B 有1种涂色方法，（i ）若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法；（ii ）若C 与F 不同，则必与A 相同，C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法.故此时共有()()43211121111212168⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦种涂色方法.综上，共有240192168600++=种涂色方法.故选：C.例3．现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A ．720种B ．1440种C ．2880种D ．4320种【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；⨯⨯⨯⨯⨯=种.所以不同的涂色方法：6543434320故选：D.例4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．A．420 B．180 C．64 D．25【解析】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域A有5种涂法，B有4种涂法，⨯⨯⨯=种，A，D不同色，D有3种，C有2种涂法，有5432120⨯⨯=种，A，D同色，D有1种涂法，C有3种涂法，有54360共有180种不同的涂色方案．故选：B．例5．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A ．120种B ．720种C ．840种D ．960种【解析】法一：A 有5种颜色可选，B 有4种颜色可选，D 有3种颜色可选，若CA 同色，E 有4种颜色可选；若CB 同色，E 有4种颜色可选；若C 与A 、B 都不同色，则C 有2种颜色可选，此时E 有4种颜色可选，故共有()5434424960⨯⨯⨯++⨯=种．法二：当使用5种颜色时，有55120A =种涂色方法；当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是AC ，BC ，AE ，BE ，CE ，共有455600A =种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是AC 同色且BE 同色，AE 同色且BC 同色，ACE 同色，BCE 同色，共有354240A =种涂色方法，∴共有120600240960++=种涂色方法.故选：D.例6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有177C=种方法，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有66A种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有66725202A⨯=种不同的涂法.故选：D.例7．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A．240 B．360 C．420 D．960【解析】⨯⨯=种染色方法.由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360设5种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.⨯=（种）.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607420故选：C⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相例8．如图所示，将3333邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A．33 B．56 C．64 D．78【解析】记分隔边的条数为L，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L =，其次证明：56L ≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,B B B ，行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有j c 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ，所以()()()()()()()3333331111,,i i i ji j j i i i j n A n B A c B c n c δδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑，由于染j c 色的格有21333633⨯=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定再这个a 行和b 列的交叉方格中，从而363ab ≥，所以()()3839(1,2,3)j j n c a b n c j =+≥≥>⇒≥=①，由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，于是至少有()1i n A -条分隔边，类似的，在列i B 中有()i n B 种颜色的方格，于是至少有()1i n B -条分隔边，则()()()()()()()3333113311166i i i ii i i L n A n B n A n B ===≥-+-=+-∑∑∑② ()3166j j n c ==-∑③下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=④由①③④得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥，从而，由式②知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56.故选：B.例9．如图给三棱柱ABC DEF -的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.【解析】首先先给顶点,,A B C 染色，有3424A =种方法，再给顶点D 染色，①若它和点B 染同一种颜色，点E 和点C 染相同颜色，点F 就有2种方法，若点E 和点C 染不同颜色，则点E 有2种方法，点F 也有1种方法，则,,DEF 的染色方法一共有2214+⨯=种方法，②若点D 和点B 染不同颜色，且与点C 颜色不同，则点D 有1种方法，点E 与点C 颜色不同，则点E 有1种方法，则点F 有1种方法，此时有1种方法；若最后E 与C 相同，则F 有2种方法，则共有2种方法；点D 与点C 颜色相同，则点D 有1种方法，则点E 有2种方法，则点F 有2种方法，共有224⨯=种方法，所以点D 和点B 染不同，颜色共有1247++=种方法，所以点,,D E F 的染色方法一共有4711+=种，所以共有2411264⨯=种方法.故答案为：264例10．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法【解析】先排I ，有5种方法；然后排II,IV ，最后排III ：①当II,IV 相同时，方法有44⨯种，故方法数有54480⨯⨯=种.②当II,IV 不同时，方法有433⨯⨯种，故方法数有5433180⨯⨯⨯=种.综上所述，不同的着色方法数有80180260+=种.故答案为：260例11．如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．【解析】分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有4424A =种涂法；（2）用三种颜色涂色，有34248A =种涂法；（3）用两种颜色涂色，有2412A =种涂法；所以共有涂色方法24481284++=.故答案为：84例12．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.【解析】从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类：一类是，前三个圆用3种颜色，有336A =种方法，后3个圆也有3种颜色，有11224C C =种方法，此时不同方法有6×4=24方法；二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有11326C C =方法.综上可知，所有的涂法共有()4246120⨯+=种方法.故答案为： 120例13．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有_________种【解析】先对E 部分种植，有4种不同的种植方法；再对A 部分种植，又3种不同的种植方法；对C 部分种植进行分类：①若与A 相同，D 有2种不同的种植方法，B 有2种不同的种植方法，共有432248⨯⨯⨯=（种）， ②若与A 不同，C 有2种不同的种植方法，D 有1种不同的种植方法，B 有1种不同的种植方法，⨯⨯⨯⨯=（种），共有4321124综上所述，共有72种种植方法．故答案为：72.例14．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有_______种．【解析】依题意，I、II、III区域有共同边颜色互不相同，按I、II、III、IV顺序着色，则区域I有5种着色方法，区域II有4种着色方法，区域III有3种着色方法，IV只与II、III相邻，因此区域IV有3种着色方法，根据分步乘法计数原理，不同的着色方法种数为⨯⨯⨯=.5433180故答案为：180例15．现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有__________种(用数字作答).【解析】当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有12224A A =，当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有122A =，则不同的涂法种数共有426+=种．故答案为：6．例16．四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为__________【解析】设五个区域分别为,,,,A B C D E ，依题意由公共边的两个区域颜色不同，用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同，可以是A 与C ，A 与E ，B 与E 同色，有涂色方法44372A =；或用三种颜色涂色，则有2组颜色同色，为A 与C 同色，B 与E 同色，有涂色方法3424A =，根据分类加法原理，共有涂色方法722496+=.故答案为：96.例17．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.【解析】对于1，有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有322112⨯⨯⨯=；若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有()322118⨯⨯+=⎡⎤⎣⎦，综上可知，共有121830+=种染色方法.故答案为：30.例18．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有4424A =种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；所以共有482448120++=种栽种方法.故答案为：120例19．给图中A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.【解析】解：要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即AF同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有344C=种取法，三种颜色染三个区域有3 36A=种染法，共4624⨯=种染法；第二类是用四种颜色染色，即AF，BD，CE中有一组不同色，则有3种方案(AF不同色或BD不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有2412A=种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有312272⨯⨯=种染法．∴由分类加法原理得总的染色种数为247296+=种．故答案为：96．20．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）例21．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.【解析】（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1143C C 种，再对C 染色： ①当C 同B 时，有1122C C 种；②当C 同A 时，有111322C C C +种；③当C 不同A 、B 时，有111232()C C C +种；综合①②③共有11111111114322322232[()]252C C C C C C C C C C ++++=种；（2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1154C C 种，再对C 染色：①当C 同B 时，有1133C C 种；②当C 同A 时，有111433C C C +种；③当C 不同A 、B 时，有11113423()C C C C +种；综合①②③，共有1111111111154334333423[()]1040C C C C C C C C C C C ++++=种. 故答案为：252；1040.例22．如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有3344576A A =；（2）若B '，A '，A ，C 用四种颜色，则有4424A =；若B '，A '，A ，C 用三种颜色，则有33442222192A A ⨯⨯+⨯⨯=；若B '，A '，A ，C 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=.所以共有2419248++=264种．故答案为：①576；②264.。

六年级奥数专题01：染色问题

二十染色问题(1)年级班得分(编者按:由于容本身的限制,本讲不设填空题)1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图(a)).(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80(图(b))呢?(a) (b)4.一个88国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个21的“骨牌” (形如)把象棋盘上的62个小格完全盖住?5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,6个小正方体中的任一个中去.,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:n一定是偶数.9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否跳遍这半棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半中国象棋盘,试回答下面的问题:证明:一只马不可能从位置B出发,跳遍半棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半中国象棋盘,试回答下面的问题:A B一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?为什么?12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半中国象棋盘,试回答下面的问题:A B一只车从位置A出发,在这半棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.13.88的国际象棋棋盘能不能被剪成7个22的正方形和9个41的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)中任选、、三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A格上的数字是多少?并说明理由.表1表2———————————————答案——————————————————————1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(2931),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.3. 图(a)行,走法如图所示.图(a)图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.4. 不能.原因是每一个21的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有33=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分含有6只马.将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.6. 设这六个点为A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形:考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB、AC、AD三条同为红色.再考虑三角形BCD的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD为蓝色三角形.BCAD下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC 的三边同为红色.(1) 若三角形DEF 也是红色三角形,则存在两个同色三角形.(2) 若三角形DEF 中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA 、DB 、DC 三条线段，其中必有两条同色.①若其中有两条是红色的,如DA 、DB 是红色的,则三角形DAB 为第二个同色三角形(图1).②若其中有两条是蓝色的,设DA 、DB 为蓝色(图2).此时在EA 、EB 两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB 为红色三角形.综上所述,一定有两个同色三角形.(图1)(图2)7. 甲虫不能走遍所有的立方体.我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.9. 不能.半象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.10. 与B点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.11. 不能.因为A 、B 两点异色,从B 到A 所跳的步数是一个奇数.12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A 、B 两点异色,故从A 到B “车”走的步数是一个奇数.但半棋盘共有45个格点,不重复地走遍半棋盘要44步，但44是一个偶数.13. 如图对88的棋盘染色,则每一个41的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个22的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个22的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.14. 如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.表(1)+1 +1 +1 +1-1 -1 -1-1+1 +1 +1 +1 +1 +1-1 -1 -1 -1 -1-1 -1 -1 +1 +1 +1 +1+1 +1 -1 -1 -1-1-1 -1本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.二十染色问题(2)年级班得分1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?4. 下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4n 的长方形,试证明:n 一定是偶数.5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).6.能否用一个田字和15个41矩形覆盖88棋盘?7.能否用1个田字和15个T字纸片,拼成一个88的正方形棋盘?8.在88棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从44的正方形分别剪去两个11的小方格得到的,问可否把它们分别剪成12的七个小矩形?(3)(1)(2)10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)红红红红11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.12.用一批124的长方体木块,能不能把一个容积为666的正方体木箱充塞填满?说明理由.13.在平面上有一个2727的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个99的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14.1212的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至34矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)?OO1 2 3———————————————答案——————————————————————1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.3. 不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等.4. 如图,对4n长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L形纸片所占的方格只有两类:第一类占3黑1白,第二类占3白1黑.n个设第一类有a个,第二类有b个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b+a=3a+b,即a=b,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n是偶然.5. 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.6. 如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个41的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个41的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个41的矩形不能复盖88的棋盘.7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住88的棋盘.8. 将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.56 41 58 35 50 39 60 3347 44 55 40 59 34 51 3842 57 46 49 36 53 32 6145 48 43 54 31 62 37 5220 5 30 63 22 11 16 1329 64 21 4 17 14 25 106 19 2 278 23 12 151 28 7 18 3 26 9 249. 先对44的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个12矩形能否分别复盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个12矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个12矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有5个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个12矩形复盖,也就不能剪成7个12的矩形.ABCD棋盘(1)可以被7个12的矩形所复盖.下面给出一种剪法:A 1 1 27 7 B 26 5 4 36 5 4 310. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色.然后考虑前4列构成的34矩形.若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形.若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形.11. 将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.从任意一点,不妨设从A向其他16点A1,A2,…A16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色.设这6条线段为AA1,AA2,…AA6且同为红色.考虑A1,A2,A3,A4,A5,A6这六点之间的连线,若有一条为红色,(如A1A2为红色) ,则三角形AA1A2为红色的同色三角形.A A1 A2A3A4A5A6若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从A 1引出的五条线段A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4 A 1A 5 A 1A 6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4,且同为蓝色.若三角形A 2A 3A 4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A 2A 3A 4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.12. 把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为222=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色222的正方体有14个,白色222小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个111的小正方体.将124的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为1的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含666=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住826=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个124长方体木块不管怎样放,A 1A 2A 3 A 4也无法盖住这8个黑色单位正方体.13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变.因为一开始时,81枚棋子摆成一个99的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.14. 用两种方法对超级棋盘染色.首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.。

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十染色问题(1)
年级班姓名得分
(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题)
1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?
2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?
3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?
(a) (b)
4.(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2⨯1的“骨
牌” (把象棋盘上的62个小格完全盖住?
5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.
6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?
7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?
8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数.
9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?
10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
证明:一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).
11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?为什么?
12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.
13.8⨯8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2⨯2的正方形和9个4⨯1的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.
14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)
三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A格上的数字是多少?并说明理由.
表 1
表 2
———————————————答案——————————————————————
1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(29⨯31),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.
要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.
2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.
3. 图(a)行,走法如图所示.
图(a)
图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.
4. 不能.原因是每一个2⨯1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.
但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.
5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有
3 3=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.
将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.
6. 设这六个点为A 、B 、C 、D 、E 、F.我们先证明存在一个同色的三角形: 考虑由A 点引出的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB 、AC 、AD 三条同为红色.再考虑三角形BCD 的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD 为蓝色三角形.
下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC 的三边同为红色.
(1)若三角形DEF 也是红色三角形,则存在两个同色三角形.
(2)若三角形DEF 中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA 、DB 、DC 三条线段，其中必有两条同色.
①若其中有两条是红色的,如DA 、DB 是红色的,则三角形DAB 为第二个同色三角形(图1).
②若其中有两条是蓝色的,设DA 、DB 为蓝色(图2).此时在EA 、EB 两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB 为红色三角形.
综上所述,一定有两个同色三角形.
7. 甲虫不能走遍所有的立方体.
我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在
27
(图1)
(图2)
个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.
8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.
由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.
9. 不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.
10. 与B 点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B 点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.
11. 不能.因为A 、B 两点异色,从B 到A 所跳的步数是一个奇数.
12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A 、B 两点异色,故从A 到B “车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步，但44是一个偶数.
13. 如图对8⨯8的棋盘染色,则每一个4⨯1的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个2⨯2的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个2⨯2的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.
14. 如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.
+1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1
-1 -1
本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.。

六年级奥数题：染色问题(A) (2)