高中数学必修二 专题03 平面向量的应用(重难点突破)(含答案)

专题03 平面向量的应用一、考情分析高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用.1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．二、经验分享1.向量的有关概念2.向量的线性运算三角形法则(1)|λa|＝|λ||a|；3.如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.4、平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.（2）平面向量共线的坐标表示两向量平行的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.（3）三点共线的判断方法：判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定. 失误与防范要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 5、平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a·b ＝±|a||b|. 6、平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 7、平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝a 2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a·b |≤|a||b|.8、平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .9、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10、主要问题归类与方法：1）几何图形中的向量关系与计算问题方法1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示；方法2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标． 2）方法选择与优化建议：解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法．第(1)题用基底法，方便，第(2)题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点．三、题型分析（一）平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． （2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.例1.（1）【四川省2020届高三适应性考试数学试题】在平面四边形中，满足，则四边形是（ ）A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形【答案】C 【解析】因为，所以，所以四边形是平行四边形，又，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形是菱形.（2）.【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知ABC △中，点M 是边BC 的中点，若点O 满足23OA OB OC ++=0，则ABCD 0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=ABCD 0AB CD +=AB CD DC =-=ABCD ()0AB AD AC DB AC -⋅=⋅=ABCDA ．0OM BC ⋅=B ．0OM AB ⋅=C ．OM BC ∥D ．OM AB ∥【答案】D【解析】由点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，由23OA OB OC ++=0，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OB OA +=-+4OM =0， 即2（OA OB -）+12OM =0，可得AB =6OM ，即OM ∥AB ， 故选D ．【名师点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．解答时，由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 【变式训练1】．【湖师范大学附属中学2020届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的 中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD +C ．12AB AD + D ．3142AB AD + 【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.【变式训练2】．．（2020·北京高二学业考试）如果正的边长为1，那么等于A ．B ．C ．1D ．2【答案】B 【解析】 正的边长为1，，故选：B ．（二）平面向量的坐标运算（平行与垂直）：例2．【福建省宁德市2020届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，若//a b ，则⋅a b 的值为A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】D【解析】∵向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，且//a b ， ∴20m -=，即()1,2=-b ，∴145⋅=--=-a b ，故选D.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及向量平行的充要条件，数量积坐标运算，考查计算能 【变式训练1】．（2020·上海外国语大学附属大境中学高二期末）已知为两个单位向量，那么下列四个命题中正确的是（ ） A ． B ．若，则C ．D ．【答案】D 【解析】若，则，且方向相同中，方向未规定；中，方向相同或相反，均不能得到，则错误； 中，，错误；中，， ，正确.故选：【变式训练2】．（2019·河南高三月考）设向量，，且，则实数的值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，解得：本题正确选项：【变式训练3】．（2020·浙江高三月考）设向量，若向量与向量垂直，则实数的值为（ ）,a b a b =//a b a b =1a b ⋅=22a b =a b =a b =,a b A ,a b B ,a b a b =,A B C []cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=<>=<>∈-C D 221a a ==221b b==22a b ∴=D D ()4,2a =()2,1b k k =--a b ⊥k 1-123a b ⊥()()4221260a b k k k ∴⋅=-+-=-+=3k =D (1,2),(1,1)a b ==-a λb +a λA ．B ．1C ．D ．【答案】D【解析】由已知得，向量与向量垂直，.即，解得.故选D.（三）平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用：①求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.例3．（1）.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．例3．（1）（2020·河南高三月考）已知的重心恰好在以边为直径的圆上，若，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B431-5-(1,2)a b λλλ+=-+a λb +a ()0a b a λ∴+⋅=(1)1(2)20λλ-⨯++⨯=5λ=-ABC ∆G AB 8AC CB ⋅=-AB =【解析】设的中点为，则.因为的重心恰好在以边为直径的圆上，所以且，解得.（2）.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB ,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.AB M 2GA GB GM +=ABC ∆G AB 0GA GB ⋅=2.GC GM AC CB =-⋅()()AG GC CG GB =+⋅+2AG CG GC AG GB GC GB =⋅-+⋅+⋅2()GC GA GB GC =⋅+-2222GC GM GC GC =⋅-=-22||8AB =-=-||2AB=∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．【变式训练1】．（2020·黑龙江大庆一中高考模拟）已知向量，，且，则实数_____． 【答案】1 【解析】；故答案为：．【变式训练2】（2020·陕西省黄陵县中学高一期末）已知向量，，则与的夹角等于_______. 【答案】【解析】cos θ＝1||||2a b a b ⋅-==又由两向量夹角的范围是0[0,180]0150θ∴=.（四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略：（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||==a，或坐标公式||=a,8a m ＝（）3,2b -＝（）()a b b +⊥m ＝()3,6;a b m +=+()a b b +⊥()()•33120;a b b m ∴+=+-=1.m ∴=1(1,3a =-()3,1b =-a b 150（2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． （3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.例4．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2020届高三5月校际联合考试数学试题）已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影的数量为A ．1BC ．12D 【答案】D【解析】由()⊥-a a b 得()0⋅-=a a b ，所以1⋅=⋅=a b a a ，所以向量a 在b 方向上的投影的数量为cos ,2⋅===a b a a b b ， 故选D.【名师点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.求解时，先由()⊥-a a b 求出⋅a b ，再由cos ,a a b 即可求出结果.【变式训练1】已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，且a 在b ，则实数m =A ．2±B ．2C ．D【答案】A【解析】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，22(0,)m =+-=a a b b ，所以20,,22m m ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭a ab ，设向量,a b 的夹角为θ，则2||(||cos )2m==⋅=θb a a b ， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos ⋅=θa b a b ，二是1212x x y y ⋅=+a b ，主要应用以下几个方面:（1）求向量的夹角，cos ⋅=⋅θa ba b （此时⋅a b 往往用坐标形式求解）； （2）求投影，a 在b 上的投影是⋅a bb； （3）若向量,a b 垂直，则0⋅=a b ；（4）求向量m n +a b 的模（平方后需求⋅a b ）. 【变式训练2】已知向量,a b 满足1=a ，,2t t b，-a b 与a 垂直，则-a b 的最小值为A ．2B ．1CD ．2【答案】B【解析】由题意知-a b 与a 垂直，则()0-⋅=a b a ，可得21⋅==a b a ．又由-=a b 所以当1t =时，-a b 取得最小值1． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，以及向量的垂直条件和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的模、数量积和向量的坐标运算，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解时，根据向量的模与数量积的运算，求得-=a b（五）向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．例5、已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c ·(a ＋2b )＝－5，则|c |的最小值为 ．【答案】．577【解析】解法1（基向量和定义法）：因为2|2|(2)a b a b +=+=2244a b ab ++==，设c 与a ＋2b 的夹角为θ，由c ·(a ＋2b )＝－5得：|||2|cos c a b θ⨯+=－5，即||c =1cos 0θ-≤<，所以，当cos 1θ=-时，|c |的最小值为577.解法2（坐标法）：建立平面直角坐标系，设 a (1,0)=，b 1,22⎛= ⎝⎭，c (,)x y =，因为c ·(a ＋2b )＝－5，所以(,)5x y ⋅=-，即250x ++=，所以点(,)C x y 为直线250x ++=上的动点，又|c |OP == （O 为坐标原点），所以|c |的最小值即为坐标原点到直线250x ++=的距离，即|c |min ==. 【变式训练1】在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为________． 【答案】13【解析】解法1(基底法) 因为AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝λAC →＋(1－λ)AB →，所以AM →·BC →＝[λAC →＋(1－λ)AB →]·(AC →－AB →)＝λ|AC →|2＋(λ－1)|AB →|2＋(1－2λ)AB →·AC →＝4λ＋9(λ－1)＋(1－2λ)×2×3×cos 120°＝19λ－12＝－173，解得λ＝13.解法2(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(－1，3)，设点M 的坐标为(x ，y)，则(x －3，y)＝λ(－1－3，3)，即⎩⎨⎧x ＝3－4λ，y ＝3λ，故AM →·BC →＝(3－4λ，3λ)·(－4，3)＝19λ－12＝－173，解得λ＝13.（六） 平面向量数量积中的隐圆问题通过建系运用相关点法即可求得点的轨迹方程，通过点的轨迹方程发现其轨迹是一个圆，接下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题，那就简单了．一般与动点有关的最值问题，往往运用轨迹思想，首先探求动点的轨迹，在了解其轨迹的基础上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系．例6、已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值是________. 【答案】 7－23【解析】解法1 以A 为原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则AB →＝(3，0)，AC →＝⎝⎛⎭⎫32，332，设Q (x ，y )，P (x ′，y ′)，由AQ →＝23AP →＋13AC →，得AQ →＝⎝⎛⎭⎫23x ′＋12，23y ′＋32，即⎩⎨⎧x ＝23x ′＋12，y ＝23y ′＋32，所以⎩⎨⎧23x ′＝x －12，23y ′＝y －32，两式平方相加得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝49(x ′2＋y ′2)，因为点P (x ′，y ′)在以A 为圆心的单位圆上，所以x ′2＋y ′2＝1，从而有⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝49，所以点Q 是以M ⎝⎛⎭⎫12，32为圆心，R ＝23的圆上的动点，因此BQ min ＝BM －R ＝⎝⎛⎭⎫3－122＋⎝⎛⎭⎫0－322－23＝7－23.【变式训练1】 已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1.若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →|的取值范围是________． 【答案】[6－1，6＋1]【解析】如图，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD →＝OA →＋OB →，因为|OA →|＝|OB →|＝2，OA →·OB →＝1，所以|OD →|＝|OA →＋OB →|＝()2OA OB+＝222OA OA OB OB ++＝6，由|OA →＋CB →|＝1得|OA →＋CB →|＝|OA →＋OB →－OC →|＝|OD →－OC →|＝|CD →|＝1，所以点C 在以点D 为圆心，1为半径的圆上，而|OC →|表示点C 到点O 的距离，从而|OD →|－1≤|OC →|≤|OD →|＋1，即6－1≤|OC →|≤6＋1，即|OC →|的取值范围是[6－1，6＋1]．【变式训练2】已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________． 【答案】[－9，0]【解析】思路分析1 注意到圆是中心对称图形，因此，利用圆心来将所研究的向量关系进行转化，进而将问题转化为研究MO →的模的问题来进行求解．思路分析2 注意到这是与圆有关的问题，而研究与圆有关的问题在坐标系中研究较为方便，因此，通过建立直角坐标系，将问题转化为向量的坐标来进行求解．解法1 因为MA →＝MO →＋OA →，MB →＝MO →＋OB →，又OB →＝－OA →，因此MA →·MB →＝MO →2＋MO →·(OA →＋OB →)＋OA →·OB →＝MO →2－OA →2＝MO →2－16.因为M 是弦CD 上的动点，所以MO max ＝4，此时点M 在圆上，MO min ＝16－9＝7，此时点M 为弦CD 的中点，故MA →·MB →∈[－9，0]．解法2 以AB 所在的直线为x 轴，它的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设M (x ，y )，则A (4，0)，B (－4，0)，从而MA →＝(4－x ，－y )，MB →＝(－4－x ，－y )，故MA →·MB →＝x 2＋y 2－16.又因为点M 为弦CD 上的动点，且CD ＝6，所以7＝16－9≤x 2＋y 2≤16，其中最小值在CD 的中点时取得，所以MA →·MB →的取值范围是[－9，0]．。