高二数学平面向量试题答案及解析

高二数学平面向量试题答案及解析1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组；①；②；③；④.【答案】①④【解析】由得，所以①唯一确定数列，由得，方程的解不定，所以②不能唯一确定数列，由得方程的解不定，所以③不能唯一确定数列，由得，所以④唯一确定数列.【考点】数列基本量运算2.下列各组向量中不平行的是（）A．a="(1,2,-2),b=(-2,-4,4)"B．c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C．e="(2,3,0)," f="(0,0,0)"D．g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)【答案】D【解析】略3.已知则 ,．【答案】；【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，，为另一对角线长度为1【考点】向量运算与三角形法则4.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．5.已知向量，，若，则__________________．【答案】或【解析】两向量平行，所以，解得：或．【考点】向量平行的坐标表示6.设，向量，且，则（）A．﹣2B．4C．﹣1D．0【答案】D【解析】向量，且，可得，解得或（舍去，因为）．则．故选：D．【考点】平面向量数量积的运算7.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．【答案】120【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，所以．【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．8.已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于平面向量满足,且,那么代入可知向量与的夹角的余弦值为，即可知向量与的夹角为，选C．【考点】向量的数量积公式．9.设，，且，则锐角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即，由二倍角公式得，故选C．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的基本定理．【思路点晴】本题主要考查的向量的基本概念与简单运算、向量的坐标运算，属于容易题．本题通过向量共线，得，代入坐标运算的公式；再由二倍角公式，得到关于角的三角函数值，从而求得锐角的值．10.在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是．【答案】【解析】设，表示以为圆心，r=1为半径的圆，而，所以，，，故得最大值为【考点】1．圆的标准方程；2．向量模的运算11.若||=1，||=2，=+，且⊥，则与的夹角为________。

【答案】【解析】⊥，所以【考点】向量夹角12.已知点是圆上的一个动点，过点作轴于点，设，则点的轨迹方程______________．【答案】【解析】设，由得，代入得【考点】动点的轨迹方程13.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，，当过点时取得最小值0，过点时取得最大值2，所以其范围是【考点】线性规划问题14.如图，四棱柱的底面为平行四边形，已知，则用向量可表示向量为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用空间向量的平行六面体法则即可得出．故选B．【考点】平面向量基本定理及其意义15.已知向量则A．2或3B．－1或6C．6D．2【答案】D【解析】由得【考点】向量的坐标运算16.的夹角为，，则．【答案】7【解析】【考点】向量的模17.在平面直角坐标系xoy中，点P到两点的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点，k为何值时？【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知可得动点满足椭圆的定义，并且焦点在轴上，即可求得；（2）设联立直线与椭圆方程可得，要满足，即，由韦达定理以及直线方程带入求得值．试题解析：轨迹C的方程为，（Ⅱ）设，将代入中，化简得，由韦达定理可知，因为直线上，满足直线方程，有，所以，要想，则，∴，解得．【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆定义求标准方程以及直线与椭圆的位置关系．根据已知可得满足椭圆定义，所以可得，应该注意焦点在轴上；（2）问中，转化为向量的坐标运算，是解决圆锥曲线题中常用的一种解题思路，另外的值，由直线方程得到，结合直线与圆锥曲线联立后的韦达定理列得等式，进行求解．18.（2015春•咸宁期末）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），求得k+与2﹣的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值．解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），又k+与2﹣互相垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．故选：D．【考点】平面向量数量积的运算．19.已知点在平面内，且对空间任意一点，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在平面内，则必存在实数使，，，。

又，，当且仅当即时取得等号．【考点】1向量的加减法，平面向量基本定理；2基本不等式．20.在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若直线：与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.【解析】（Ⅰ）已知圆心，求圆的方程，只需求出圆的半径，由圆切线的性质：圆心到切线的距离等于半径即可求得圆的方程；（Ⅱ）先由直线与圆相交可得直线斜率的取值范围，由及，可知四边为菱形，所以，从而得到直线的方程，解方程组求得点的坐标，代入圆的方程即得的值，验证是否满足相交的条件.试题解析：（Ⅰ）设圆的半径为，因为直线与圆相切，所以所以圆的方程为.（Ⅱ）方法一：因为直线：与圆相交于，两点，所以，所以或，假设存在点，使得，因为，在圆上，且，而，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，所以与互相垂直且平分所以原点到直线：的距离为即，解得，，经验证满足条件所以存在点，使得.方法二：假设存在点，使得．记与交于点因为，在圆上，且，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，因为直线斜率为，显然，所以直线方程为由，解得，所以点坐标为因为点在圆上，所以，解得即，经验证满足条件所以存在点，使得.【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系的应用.【方法点晴】求圆的方程常用待定系数法，设法求出圆心和半径即得圆的方程；直线与圆位置关系在应用中要特别注意垂直关系，一方面可以找到斜率之间的关系，另一方面又可以构造直角三角形，本题中及，且结合向量加法的几何意义，可知为菱形的对角线，既可利用点到直线的距离公式求解，又可以求出点的坐标代入圆方程即得解.21.在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．双曲线的左支D．双曲线的右支【答案】D【解析】根据抛物线的定义得点的轨迹是以点，为焦点，实轴长为的双曲线的右支，故选C．【考点】双曲线的定义．【易错点晴】本题考查双曲线定义，属中档题．由双曲线的定义，到两个定点的距离之差的绝对值等于一个常数（小于）的点的轨迹是双曲线，本题中动点满足，但是缺少“绝对值”，故点的轨迹不是完整的双曲线，而是其中一支，由，故点的轨迹为双曲线的右支．在双曲线定义的考查中注意两点：①到两个定点的距离之差的绝对值，绝对值不能少；②常数小于，否则容易出错．22.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．故B正确．【考点】向量的加减法．23.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）A．2B．4C．5D．10【答案】D【解析】将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，，那么，那么，故选D．【考点】1．坐标系；2．两点间距离．【方法点睛】本题考查了向量法解决平面几何的问题，属于中档题型，而向量法又分是用向量代数表示，还是用坐标表示，经分析用坐标表示，那如何建坐标系？题设只说是直角三角形，所以就以直角顶点为原点建立坐标系，两条直角边落在坐标轴上，这样就可以设各点的坐标，转化为两点间距离求值．坐标法解决平面几何的问题，很多时候会事半功倍．24.（2015秋•陕西校级月考）若平面α的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（）A．cos θ=B．cos θ=C．sin θ=D．sin θ=【答案】D【解析】直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ=β﹣90°或θ=90°﹣β，由此能求出结果．解：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ=β﹣90°或θ=90°﹣β，cosβ=，∴sin θ="|cos" β|=，故选：D．【考点】空间向量的数量积运算．25.（2015秋•肇庆期末）已知圆，定点F2（1，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P．（Ⅰ）当A在圆F1上运动时，求P点的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+1与轨迹C交于M、N两点，若（O是坐标原点），求直线l方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据题意P在线段F2A的中垂线上，所以|PF2|=|PA|，则|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4＞|F1F2|，故轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，从而可求P点的轨迹C的方程；（Ⅱ）由，得x1x2+y1y2=﹣2，由，得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，利用韦达定理，求直线l方程．解：（Ⅰ）因为P在线段F2A的中垂线上，所以|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4＞|F1F2|，所以轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，且，所以轨迹C的方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得x1x2+y1y2=﹣2，即x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=﹣2，即（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+3=0•由，得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，因为△=64k2+32（3+4k2）＞0，所以，有代入化简得1﹣4k2=0，解得，所以直线l方程为．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．26.已知下列命题（是非零向量）（1）若，则；（2）若，则；（3）则假命题的个数为___________．【答案】3【解析】（1）不正确；（2）不正确，表示两向量共线；（3）不正确；向量不满足结合律【考点】向量运算法则27.（2015秋•河南期末）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则|PF1|•|PF2|=（）A．b2B．2b2C．2b D．b 【答案】B【解析】由F1、F2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在点P，使，PF1⊥PF2，知=|PF1|•|PF2|=b2，由此能求出结果．解：∵F1、F2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在点P，使，∴PF1⊥PF2，∴=|PF1|•|PF2|=b2tan=b2，∴|PF1|•|PF2|=2b2．故选B．【考点】椭圆的简单性质．28.在中，的对边分别为，且，，则的面积为．【答案】【解析】由得，由，得【考点】1．正弦定理；2．向量数量积运算29.（2015秋•潍坊期末）已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=2，N为BC中点，则=（）A．﹣﹣﹣B．﹣++C．++D．﹣﹣【答案】B【解析】根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用、与表示出．解：连接DN，如图所示，四面体ABCD中，=，=，=，点M在棱DA上，=2，∴=，又N为BC中点，∴=（+）；∴=+=﹣++=﹣++．故选：B．【考点】空间向量的加减法．30.设向量与的夹角为，且，则__________ ．【答案】【解析】，【考点】向量夹角31.已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），O为坐标原点，动点P满足||=1，则|++|的最小值是（）A．﹣1B．﹣1C．+1D．+1【答案】A【解析】设点P（x，y），则动点P满足||=1可得 x2+（y+2）2=1．根据|++|=，表示点P（x y）与点A（﹣，﹣1）之间的距离．显然点A在圆C x2+（y+2）2=1的外部，求得AC=，问题得以解决．解：设点P（x，y），则动点P满足||=1可得 x2+（y+2）2=1．根据++的坐标为（+x，y+1），可得|++|=，表示点P（x y）与点A（﹣，﹣1）之间的距离．显然点A在圆C x2+（y+2）2=1的外部，求得AC=，|++|的最小值为AC﹣1=﹣1，故选：A．【考点】平面向量的坐标运算．32.已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点.（Ⅰ）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（Ⅱ）直线与轨迹交于两点，若（是坐标原点），求直线方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）线段的垂直平分线交半径于点，得；所以，根据椭圆的定义，得到轨迹是以为焦点的椭圆；根据题中条件求出椭圆中的，所以轨迹的方程. （Ⅱ）求直线方程，就是求斜率的值。