江苏省海州高级中学2020学年度第一学期高二数学期中考试试卷(无附参考答案)
江苏省海州高级中学2020学年度第一学期高二数学期中
考试试卷
（命题人：鲍建山）
说明：本卷满分160分，时间120分钟
一、选择题(本大题共60分, 每小题5分)
1.抛物线2
8y x =的准线方程是
A ．x=－2 B.x=－4 C.y=－2 D.y=－4
2.甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 3.若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162x y +=的右焦点重合，则p 的值为
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
4．“3x >”是“24x >”的
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5
的值是
A ．20 B.200 C.25 D.150
6．前面右图中的伪代码输出的结果是
A ．7 B.3 C.10 D.15
7.直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为
A. 36
B. 48
C. 56
D. 64
8．从甲、已、丙、丁四人中任选出三名代表，其中甲被选中的概率为
A. 1/2
B. 1/3
C. 3/4
D. 2/3
9.由下列各组命题构成“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,“非p ”为真的是
A.p:0=∅ ,q:O ∈∅
B.p:等腰三角形一定是锐角三角形, q:正三角形都相似
C.p:｛a ｝⊆｛a,b ｝ q:a ∈｛a,b ｝
D.p: 5>3 q:12是质数
10．在∆ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在∠CAB 内作射线AM ，则∠CAM<450的概率为
34
11．P 为双曲线22
1916
x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则|PM | － |PN |的最大值为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12、在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为
A ．17
B ．27
C ．37
D ．47
二、填空题(本大题共30分, 每小题5分)
13. 关于x 的不等式(x-1)2
>m 解集为实数集R 的一个充分不必要条件是 .
14．在某书中分组统计30个句子的字数，得出下列结果：字数在1～5个的4句，字数在6～10个的7句，字数在11～15个的3句，字数在16～20个的6句，字数在21～25个的10句，则该书中平均每个句子包含的字数大约有 个。
15．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。
为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。
0.0005
300035000.0003
0.0004
200015000.0002
0.0001400025001000月收入（元）
频率/组距
16．根据下面的伪代码，若输出的结果为21，则横线上应填 。
17．给出下列四个命题
（1）“若ｍ＞０，则关于ｘ的方程ｘ2－ｘ－ｍ＝０有实数根”的否命题 （２）“所有可以被５整除的整数，末位数字都是０”的否定
（３）“ａ＞ｂ”是“ｍａ２＞ｍｂ２”的必要条件
（４）“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题
其中真命题的有 。
18．．用数字
0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则出现数字1、2相邻的偶数概率为 。
答题纸
一、选择题
二、填空题
13． 14. . 15. .
16. . 17. ..18. .
三、解答题
19、（本小题满分12分）
某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。
在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。
登山组的职工占参加活动总人数的4
1，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。
为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。
试确定
（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。
20（本小题满分14分）
（1）某小区的物管部门每月按以下方法收取卫生费：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元.用条件语
句表示收取卫生费的算法。
（2）已知数列｛a n｝，a1=1，a n+1=a n+2n，试用循环语句描述计算数列｛a n｝前20项的和的算法。
21（本小题满分14分）
每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）
（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。
22（本小题满分14分）
已知直线y=x+1与双曲线E：mx2-y2=1（m>0）相交与A、B两点，以AB为直径的圆经过坐标原点
（1）求双曲线方程；
（2）设双曲线F：1
m
x2-y2=1与点A（t，0）（t>0），若以A为圆心的圆恰
好与双曲线F相切与右顶点,求t的取值范围.
23、（本小题满分16分）
设,A B分别为椭圆
22
22
1(,0)
x y
a b
a b
+=>的左、右顶点，椭圆长半轴
．．．的长等
于焦距，且4
x=为它的右准线。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,
AP BP分别与椭圆相交于异于,A B的点M N
、，证明点B在以MN为直径的圆内。
江苏省2020学年高二数学上学期期中试题
高二数学上学期期中试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定为（ ）A ．2R,0x x ∀∉≥ B ．2R,0x x ∀∈< C ．2R,0x x ∃∈≥ D ．2R,0x x ∃∈< 2．已知函数()()40f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 有最小值4 B ．()f x 有最大值4 C ．()f x 有最小值-4 D ．()f x 有最大值-43．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足11133n n a a +=+，则此数列的第三项是（ ）A ．1B ．13 C ． 23 D ．594．已知,a b 为实数，M <，:N a b <，则M 是N 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．关于x 的不等式1026xx -≥+的解集是（ ）A ．{}|1x x ≤B ．{}|3x x >-C ．{}|31x x -<≤D ．{}|31x x x <-≥或6．已知,a b 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论一定成立的是（ ）A ．22a b ≥B ．22ab ba ≥C ．2211ab ba ≥ D ．b a a b≥7．已知数列{}n a ，其任意连续的四项之和为20，且1238,7,2a a a ===，则2020a ＝（ ）A ．2B ．3C ．7D ．88．“[]21,2,10x ax ∃∈+≤”为真命题的充分必要条件是（ ）A ．1a ≤-B ． 14a ≤-C ．2a ≤-D ．0a ≤9．已知实数12,,,x x m n 满足12,x x m n <<，且()()()()11220,0m x n x m x n x --<--<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m x x n <<<B ．12m x n x <<<C ．12x m x n <<< D ．12x m n x <<<10．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别记为n A 、n B ，满足4123n n A n B n +=+，则57a b 的值为（ ） A ．2117 B ．3729C ．5329 D ．413111．设正实数,x y 满足21x y +=，则2xx y+的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．7D ．812．已知数列{}n a 的通项2020220212nn na -=-，且存在正整数,T S 使得T n S a a a ≤≤对任意的*N n ∈恒成立，则T S +的值为（ ）A ．15B ．17 C．19 D ．21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若4681016a a a a =，则21115a a 的值为 ．14．函数()()22111f x x x x =+>-的最小值为 ． 15．已知数列{}n a 满足112a =，()()111n n n n n n a a a a +++-=，则该数列{}n a 的通项公式n a = ．16．已知关于x 的不等式()22434x ax -≤的解集中的整数解恰好有三个，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知数列{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，前n 项和为n S ，2a 、4a 、5a 成等比数列，且515S =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和．18．(本小题满分10分)已知2:2350p x x --≤，()()2:32110q x mx m m -+-+≤．(其中实数2m >)(1)分别求出,p q 中关于x 的不等式的解集M 和N ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数2()|3|9f x x a x =-+-+． (1)2a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；(2)若不等式()0f x ≤对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，14a =，()()()2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅．(1)设1nn a b n =+，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．21．(本小题满分12分)已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为,AD y CD x ==（单位：cm ），且要求y x >2cm ． (1)求y 关于x 的函数表达式，并求定义域；(2)为了节省材料，请问x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．22．(本小题满分14分)已知数列{}n a ，11a =，前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有()21n n S n a =+恒成立．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知关于n的不等式3434222...n n a a a a a a ---⋅<对一切*3,N n n ≥∈恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知211n n c a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 与23的大小并证明．参考答案一、选择题：1.D2.D3.D4.A5.C6.C7.B 8.B 9.A 10.B 11.B 12.D二、填空题：13.2 14.3 15.1n n + 16.9169,464⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：17.(1)由2a 、4a 、5a 成等比数列得：()()()211134a d a d a d +=++，即215d a d =-，又0d ≠，∴15a =-；…………………………………………………2分而51545152S a d ⨯=+=-，∴1d =；…………………………………4分 ()116n a a n d n ∴=+-=-，{}n a ∴的通项公式为6n a n =-.…………………………………………5分(2)()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=,112n S n n -∴=,………………7分 令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数， {}n c ∴是首项为5-，公差为12的等差数列，…………………………8分∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-.…………………10分18.(1)()()2235750x x x x --=-+≤，[]5,7M ∴=-；…………2分()()()()232112110x mx m m x m x m -+-+=---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，又2m >，211m m ∴->+， []1,21N m m ∴=+-.……………………………………………………5分(2)p 是q 的必要不充分条件，N M ∴Ø，即[][]1,215,7m m +--Ø，51721m m -≤+⎧∴⎨≥-⎩，且等号不同时取，…………………………………8分 解得64m -≤≤，又2m >，24m ∴<≤.………………………10分19.(1)2a =时，22390x x -+-+≥，3x ≥时，()()310x x -+≤，13x ∴-≤≤，3x ∴=； 3x <时，()()350x x -+≤，53x ∴-≤≤，53x ∴-≤<；综上所述，不等式的解集为[]5,3-. …………………………………6分（如果解集中不包含3，扣1分）(2)()0f x ≤恒成立时，2930x a x ---≥恒成立，①3x =时，不等式恒成立，R a ∴∈；……………………………7分 ②3x >时，()()330x x a -+-≥恒成立，30x a ∴+-≥恒成立，6a ∴≤； …………………………………9分③3x <时，()()330x x a -++≥恒成立，30x a ∴++≤恒成立，6a ∴≤-；…………………………………11分综上所述，a 的取值范围是(],6-∞-. ………………………………12分20.(1)()()()2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅，等式两边同时除以()()12n n ++得：1221n n n a an n +-=++，即12n n n b b +-=；………………………………2分 2n ∴≥时，有1212b b -=，2322b b -=...112n n n b b ---=.累加得111222212n n n b b ---==--，又1122ab ==， 2n ∴≥时，2n n b =.…………………………………………………5分又1n =时，12b =也满足上式，*N n ∴∈时，2nn b =.…………6分(2)由(1)可得()12nn a n =+⋅，()123223242...12n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅， ()23412223242...12n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+++⋅，……………8分()12312222...212n n n S n +∴-=⋅++++-+⋅，…………………10分()11122212212nn n n n ++-=+-+⋅=-⋅-，12n n S n +∴=⋅.…………………………………………………………12分21.(1)23S xy =⋅+=，2y ∴=，…………3分由12y x >得0x <<∴函数的定义域为{|0x x <<.……………………………5分(2)设圆形铁片半径为R ，则面积2S R π=，过圆心O 作CD 的垂线，垂足为E ，交AB 于点F ，连结OD ，则,2x DE OF ==， 22222224x x R OD y ⎛⎫⎛⎛⎫∴==+=+ ⎪ ⎝⎭⎝，221313483x x =++…………………………………………………8分 20x >，由基本不等式得:22221313483R OD x x ∴==++≥=，当且仅当221313483x x=，即(2x =∈时，取“=”.∴圆形铁片的最小面积为136(2cm ).………………………11分答：当2x =时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为136+(2cm ). …………………………………………………………………………12分22.(1)2(1)n n S n a =+ ，2n ∴≥时，()1121n n S n a --=-， 12(1)n n n a n a na -∴=+-，即 1(1)(2)n n n a na n --=≥，………2分 又110a =≠，0n a ∴≠，1(2)(1)n n a n n a n -∴=≥-， 3212123,,...,121n n a a a n a a a n -∴===-， 累乘得2n ≥时，123 (121)n a n n a n =⋅=-，…………………………4分 1n =时，11a =也满足上式，n a n ∴=. …………………………5分 （或构造常数列1(2)(1)n n a a n n n -=≥-） (2)设()3434222...n na a a f n a a a ---=⋅ 则()()31434122221...n n n n a a a a f n f n a a a a ++⎡----+-=⋅⎢⎣ ()()343411222...1n n n n a a a a a a n ⎡-+---=⋅⎢+⎢⎥⎣⎦3434222...01n n a a a a a a n ---=⋅<+⎢⎥⎣⎦， ()f n ∴在*3,N n n ≥∈上单调递减， …………………………8分 ()3a f ∴>=a ∴>.…………………………………10分 (3)()22211111111121222n n c a n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===<=- ⎪ ⎪ ⎪++++⋅++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 123...n n T c c c c ∴=++++2311111111111......4422435572n c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111112111242231232123n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 23n T ∴<.…………………………………………………………14分。
江苏省海州高级中学2020学年度第一学期高二数学期中考试试卷(无附参考答案)
江苏省海州高级中学2020学年度第一学期高二数学期中考试试卷（命题人：鲍建山）说明：本卷满分160分，时间120分钟一、选择题(本大题共60分, 每小题5分)1.抛物线28y x =的准线方程是A ．x=－2 B.x=－4 C.y=－2 D.y=－42.甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．44．“3x >”是“24x >”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5的值是A ．20 B.200 C.25 D.1506．前面右图中的伪代码输出的结果是A ．7 B.3 C.10 D.157.直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为A. 36B. 48C. 56D. 648．从甲、已、丙、丁四人中任选出三名代表，其中甲被选中的概率为A. 1/2B. 1/3C. 3/4D. 2/39.由下列各组命题构成“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,“非p ”为真的是A.p:0=∅ ,q:O ∈∅B.p:等腰三角形一定是锐角三角形, q:正三角形都相似C.p:｛a ｝⊆｛a,b ｝ q:a ∈｛a,b ｝D.p: 5>3 q:12是质数10．在∆ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在∠CAB 内作射线AM ，则∠CAM<450的概率为A.1B.3C.2D.3411．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则|PM | － |PN |的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．912、在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为A ．17B ．27C ．37D ．47二、填空题(本大题共30分, 每小题5分)13. 关于x 的不等式(x-1)2>m 解集为实数集R 的一个充分不必要条件是 .14．在某书中分组统计30个句子的字数，得出下列结果：字数在1～5个的4句，字数在6～10个的7句，字数在11～15个的3句，字数在16～20个的6句，字数在21～25个的10句，则该书中平均每个句子包含的字数大约有 个。
江苏省海州高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题
20佃一2020学年高二年级阶段性测试数学试卷一、选择题1■直线x • '、3y-5=0的倾斜角为（）A. -30 °B. 60 °C. 120 °D. 150 °2■在等比数列中，如果打-？，花-f：，则公比q二（）A. -1B. 1C. ；gD. 23■若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（）A.平行B异面 C.相交 D.以上皆有可能4•若数列｛a n｝前n项和S n=n2—2n+3，则这个数列的前3项为（）A.—1，1，3B. 2，1，0C. 2，1，3D. 2，1，65.在"乂中，角A、B、C所对的边分别为，若：厂三，则=（）.A. ：.：；B. ；C. ::;D.226.在等差数列中，已知a2 -4 4，贝u町=（）A.0B.-12C.4D.127■如图，正方体ABCD - AB i C i D i中，异面直线AC和BC i所成角大小为（）I ZE7/协.1i HA.n兀B.-2C.——D.兰或-323 3 3 8.若数列｛爲1）｝的前n项和为S n，贝U .201S1 A. B.——201S 20199.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a^1，且满足a n3（n N *,n _2）,则数列佝｝的通项a .=(). A.JLB. 3n-210. 已知点P （x, y ）是直线2x-y V=O 上一动点，直线PA,PB 是圆C:x 2 y 2 2^0的两条切线，代B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的 最小值是（ ） A. 2B. .5C. 2-5D. 4二、填空题11. ______________________________________________________________ 已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S n =2n • a ，则实数a 的值为 ________________ . 12. ____________________已知 ABC 的三个内角A,B,C 成等差数列，且AB=1,BC=4，则边BC 上的 中线AD 的长为 .13. __________________________________________________________数列1 -，2 -，3 -，…，n •丄，…的前n 项和是 ______________________________2 4 8 2 14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A （2，- 1）的圆C 和直线x + y = 1相切，且圆心在直线y = — 2x 上，则圆C 的标准方程为 __________ . 15. 一个有限项的等差数列，前 4项之和为40,最后4项之和是80，所有项之 和是210，则此数列的项数为 _________ .16. 各项均为正偶数的数列，，，中，前三项依次成为公差为⑴ 的等差数列，后三项依次成为公比为 ’的等比数列，若 ■-，则的所有可能的值构成的集合为 __________ . 三、解答题20191C.D.2O2C202C.1JLn _217. 如图，三棱柱ABC -AB-G 中, BC = CC-，平A BC- —BCC- B-.证明：（1）AC//平面ABC-；(2) 平面ABQ _ 平面A-i BC1.18. 已知数列：：的前••项和为.（1）若腐为等差数列，且公差眶，佢B,沥越，求51和；（2）若：:为等比数列，且第E, M,求31和公比..2佃.如图，在平面四边形ABCD中，• D =-■ , CD —.6 , ACD的面积为3（1）求AC的长; 3,3 2(2)若AB _ AD , . B ，求BC 的长.420.数列｛a n｝是首项为23,公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负■（1）求数列的公差■（2）求前n项和S n的最大值.（3）当S n> 0时，求n的最大值.21.已知数列｛a n｝的前n项为和S n，点(n,尹)在直线y=g x+豊上•数列｛b n｝*满足b n+2 - 2b n+i+ b n= 0 (mN )，且b3= 11,前9 项和为153.(1) 求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(2) 求数列叫-汕2':的前项和丁(3) 设n^N*, f(n)=｛；：；寵茫问是否存在mN*，使得f (m+15)= 5f(m)成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.又 A i Ci - 平面 A i BCi , AC ：；二平面 A 1BC 1. AC / / 平面 ABC i(2) 7 BC =CC i 且四边形BCCiB 为平行四边形 ■四边形BCC i B i 为菱形二EC_BC i又平面 ABC i _平面BCC i Bi ，平面A i BC< 平面BCCiB 二BC iB 〔C _ 平面 A i BC i解得 ，qi + q + 1宀消得：'，即.'-I Iqi解得 或，z将代入上述方程解得：或者;答案-1 12.31.D2.C3.D4.C5.A6.B7.A8.C 9.D10.A11. 17. (1)几何体为三棱柱=四边形ACC i A i 为平行四边形AC //A i C i又B i C 平面AB i C 18【答案】由题意知,平面A B C —平面A i BC in(n- 1)(2)由题意知,佃.【解】解：⑴••• • D =^--. , CD , ACD 的面积为 31 1■ ■ S ACD AD CD sin D AD ，-.： 62 2 21■由余弦定理得 AC 2 =AD 2 CD 2-2AD CD cosD =6 6 -2 6 ()=182■- AC =3.2⑵由("—ACD 中 ADW , CD 「6 , D 吟JI■ DAC =—6Tt••• AB _ AD ■ . BAC 二- 3—B「AC 。
江苏省2020学年高二数学上学期期中试题(含解析) (2)
高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题只有一个正确选项.）1.顶点在原点，焦点是()0,2F 的抛物线方程（ ） A. 28y x = B. 28x y = C. 218y x =D. 218x y =【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求得答案． 【详解】由题意设抛物线的方程为22x py=()0p >，因焦点坐标为()0,2F ，则22p=， 4p ∴=，∴抛物线的方程为28x y =.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，由焦点位置确定方程类型以及p 的值是关键，属于基础题．2.圆锥的母线为2、底面半径为1，则此圆锥的体积．．是（ ） 3π 3πC. 2πD.23π 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的母线以及底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】由圆锥的母线为2，底面半径为1，得圆锥的高22213h =-=， 所以此圆锥的体积211313333V S h ππ=⋅=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查圆锥的体积公式，求出圆锥的高是关键，属于基础题.3.如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +12（BC -BD ）等于A. ADB. FAC. AFD. EF 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算的法则计算． 【详解】BC -BD ＝DC ，11()22BC BD DC DF -==， ∴AD +12（BC -BD ）AD DF AF =+=． 故选C ．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础． 4.已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A. –4 B. –2 C. 4 D. 2【答案】D 【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D. 【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.5.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是边1AA 和AB 的中点，则EF 和1BC 所成的角是（ ）A. 30B. 60︒C. 45︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线1BC 平移和直线EF 相交，找到异面直线EF 与1BC 所成的角，解三角形即可求得结果．【详解】如图，取11A D 的中点G ，连接EG ，FG ，在正方体1111ABCD A B C D -中，设正方体边长为2， 易证GEF ∠（或补角）为异面直线EF 与1BC 所成的角， 在GEF ∆中，2EF =2EG =，6FG =由余弦定理得2261cos 42GEF +-∠==-，即120GEF ︒∠=， 所以异面直线EF 与1BC 所成的角为60︒. 故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法，属于基础题．6.将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，则折后的直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值（ ）A.12B.3 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，即可得到答案.【详解】将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，如图所示：在等腰直角三角形ABC 中，AD BC ⊥，易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，又BD DC =，60BDC ︒∠=， 所以DBC ∆为正三角形，故60DBC ︒∠=， 所以直线BC 与平面ABD 3故选：D.【点睛】本题考查学生的翻折问题，立体几何的空间想象能力，属于基础题.7.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C. 【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明. 8.椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则a 的值为（ ）A. 1B. 1或2-C. 1或12D.12【答案】A 【解析】 【分析】先判断焦点位置，再依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系，列出方程，即可求出．【详解】由双曲线2212x y a -=知，0a >，焦点在x 轴上，所以依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系可得，242a a -=+，解得1a =，故选A ． 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质应用．9.如图，在四面体ABCD 中，已知,AB AC BD AC ⊥⊥那么D 在面ABC 内的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. ABC ∆内部【答案】A 【解析】由,,AB AC BD AC ⊥⊥可得AC ABD ⊥平面，即平面ABC 内的射影H 必在平面ABC 与平面ABD 的交线AB 上，故选A10.已知圆C 的方程为22220x x y ay ++-=，其中a 为常数，过圆C 内一点()1,2的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为20x y -=，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直，再由斜率的关系列式求解．【详解】将圆C ：22220x x y ay ++-=化为()()22211x y a a ++-=+，圆心坐标为()1,C a -，半径21r a =+由题意可得，过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直时，ACB ∠最小， 此时21112a -=---，即3a =. 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）A. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦B. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦ C. ()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ D. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导得出()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而根据1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出2x x <，从而得出()()()21f xf x f <<，从而得出选项．【详解】∵()f x xlnx =，∴()1ln f x x '=+，由于1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，由于112x <<，故2x x <，所以()()()210f x f x f <<=， 而()20f x ⎡⎤>⎣⎦，所以()()()22f xf x f x <<，故选D.【点睛】本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.12.过双曲线M ：()22210y x b b-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且32OB OA OC =+，则双曲线的离心率是（ ） 10 55 10【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程，得渐近线方程为y bx =或y bx =-，设过左顶点的直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立解得B ，C 的横坐标关于b 的式子，由32OB OA OC =+得B 为AC 的三等分点，利用向量坐标运算建立关于b 的方程并解之可得2b =，由此算出5c =即可得到双曲线的离心率.【详解】由题可知()1,0A -，所以直线l 的方程为1y x =+，因双曲线M 的方程为()22210y x b b-=>，则两条渐近线方程为y bx =或y bx =-，由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1,11b B b b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得1,11b C b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因32OB OA OC =+，又()1,0OA =-，1,11b OB b b ⎛⎫=-⎪++⎝⎭，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴311b bb b =+-，解得2b =， 在双曲线中，225c a b =+= 所以双曲线的离心率5ce a==故选：B.【点睛】本题给出双曲线的渐近线与过左顶点A 的直线相交于B ，C 两点且B 为AC 的三等分点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．二、填空题13.曲线xy e =在点()0,1处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.【答案】12【解析】 【分析】求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在0x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【详解】依题意得e xy '=，因此曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率01k e ==，所以相应的切线方程为1y x =+，当0x =时，1y =；当0y =时，1x =-； 所以切线与坐标轴所围三角形的面积为111122S =⨯⨯-=. 故答案为：12. 【点睛】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知(),P x y 是椭圆C ：2214x y +=上一点，若不等式20x y a -+≥恒成立，则a 的取值范围是______. 【答案】)17,⎡+∞⎣ 【解析】 【分析】根据椭圆方程表示出椭圆的参数方程，即设()2cos ,sin P θθ，代入不等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出a 的取值范围. 【详解】根据题意设()2cos ,sin P θθ，即2cos x θ=，sin y θ=，代入不等式得：()124cos sin 170tan 4x y a a a θθθϕϕ⎛⎫-+=-+=++≥= ⎪⎝⎭恒成立， 即()17a θϕ-≤+恒成立，又()1cos 1θϕ-≤+≤，17a -≤-，即17a ≥，故a 的取值范围为)17,⎡+∞⎣. 故答案为：)17,⎡+∞⎣.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，解题的关键是利用参数正确设点，属于基础题. 15.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱．．．．称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的底2的等腰三角形，面积最大的侧面是正方形，则该“堑堵”的外接球．．．的表面积为______. 【答案】8π 【解析】 【分析】由题意可知该直三棱柱是底面为直角三角形，又面积最大的侧面是正方形，则直三棱柱的高为2，进而可得外接球的半径2R =，即可得表面积.2的等腰直角三角形，又最大侧面为正方形，则该直三棱柱的高为2，所以该“堑堵”的外接球的半径22112R =+=248S R ππ==. 故答案为：8π.【点睛】本题考查了空间几何体的外接球的表面积的计算问题，属于基础题.16.设()()2222,44m n n D m e n m n R ⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭，则D 的最小值为______.21 【解析】 【分析】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中mx e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，则()()()()221212211D x x f x g x g x +=-+-+⎡⎤⎣⎦，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即1D +的最小值是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值.【详解】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中mx e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，由ln y x =的导数为1y x'=，11k x ∴=，点2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线24x y =上，又2x y '=，22x k ∴=令()ln f x x =，()24x g x =，则()()()()221212211D x x f x g x g x +=-+-+⎡⎤⎣⎦，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，即抛物线24x y =上的点到焦点()0,1F 的距离，从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即AF AB +，如图所示：由两点之间线段最短，得1D+的最小值是点()0,1F到()lnf x x=上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，则1D+就最小，即D最小，设()00,lnB x x，则000ln111xx x-⋅=--，即200ln10x x+-=，解得1x=，即()10B,∴点()0,1F到()10B,的距离就是点()0,1F到()lnf x x=上的点的距离的最小值，故1D+的最小值为2，即D的最小值为21-.故答案为：21-.【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查导数、抛物线、两点间距离、点到直线距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，//AF DE，DE AD⊥.（1）求证：AD CE⊥；（2）求证：平面//ABF平面DCE.【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）由题意可得DE AD ⊥，AD DC ⊥，从而AD ⊥平面DCE ，由此即可得证AD CE ⊥； （2）由题意可得//AB DC ，进而可得//AB 平面CDE ，又//AF DE ，即可得//AF 平面CDE ，由此即可得证平面//ABF 平面DCE .【详解】证明：（1）∵矩形ABCD ，∴AD CD ⊥， 又∵DE AD ⊥，且CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDE ，∴AD ⊥平面CDE ，又∵CE ⊂平面CDE ，∴AD CE ⊥.（2）∵矩形ABCD ，∴//AB CD ，又CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，∴//AB 平面CDE .又∵//AF DE ，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE .∴//AF 平面CDE ，又ABAF A =，,AB AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面CDE .【点睛】本题考查线线垂直、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.已知圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，圆心C 在直线2y x =-上. （1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线210x y -+=上，过P 点作圆C 的两条切线，分别与圆切于M 、N 两点，求四边形PMCN 周长的最小值.【答案】(1) ()()22122x y -+=+ (2) 2322【解析】 【分析】（1）由题意设(),2C a a -，半径为()0r r >，则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=，由题意圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，得到关于a ，r 的方程解得即可； （2）由题意得：四边形PMCN 周长2c PM PN r =++，其中22PM PN PC =-，利用点到直线的距离即可求得答案.【详解】（1）因为圆心C 在直线2y x =-上，所以可设(),2C a a -，半径为()0r r >， 则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=；又圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，所以()()2222122111a a ra ar⎧-+-+=⎪⎨--=⎪+⎩，解得12ar=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以圆C的方程为()()22122x y-+=+. （2）由题意：四边形PMCN周长2c PM PN r=++，其中22PM PN PC==-，即PC取最小值时，此时周长最小，又因P在直线210x y-+=上，即圆心C到直线210x y-+=的距离时，PC∴的最小值为22221512PC++==+，所以周长252222322c≥-+=+，故四边形PMCN周长的最小值为2322+.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，属于中档题.19.2019年11月2日，中国药品监督管理局批准了治疗阿尔茨海默病（老年痴呆症）新药GV-971的上市申请，这款新药由我国科研人员研发，我国拥有完全知识产权.据悉，该款药品为胶囊，从外观上看是两个半球和一个圆柱组成，其中上半球是胶囊的盖子，粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD，其周长为50毫米，药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD的长为2x毫米.（注：343V R=π球，V Sh=柱，其中R为球半径，S为圆柱底面积，h为圆柱的高）（1）求胶囊中药物体积y关于x的函数关系式；（2）如何设计AD与AB的长度，使得y最大？【答案】(1) 2322253y x xπππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，250,xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (2) AD为10032π-毫米，AB为255032ππ--毫米【解析】【分析】（1）利用已知条件结合体积公式求出胶囊中药物的体积y 关于x 的函数关系式； （2）通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可得到答案. 【详解】解：（1）由2250AB x π+=得25AB x π=-，0AB >，所以250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以药物体积()322321422525233y x x x x x ππππππ⎛⎫=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭，250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）求导得2222350'x y x x πππ=-+，令'0y =，得5032x π=-或0x =（舍），当500,32x π⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，'0y >，y 在区间500,32π⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调增， 当5025,32x ππ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，'0y <，y 在区间5025,32ππ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调减， 所以当5032x π=-时，y 有最大值，此时100232AD x π==-，255032AB ππ-=-，答：当AD 为10032π-毫米，AB 为255032ππ--毫米时，药物的体积有最大值.【点睛】本题考查函数的单调性的应用，函数的数据应用，考查计算能力，属于基础题． 20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AB ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11AAC C ；（2）若11CC CB =，2CA CB ==，3AB =，平面11CC B B ⊥平面ABC ，求二面角1B NC M--的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 74【解析】 【分析】（1）利用已知条件证四边形AMNP 为平行四边形即可得//MN 平面11AAC C ；（2）利用几何关系作出二面角1B NC M--的平面角，利用解三角形即可得到答案. 【详解】证明：（1）取11A C的中点，连接AP，NP，∵11C N NB=，11C P PA=，∴11//NP A B，1112NP A B =.在三棱柱111ABC A B C-中，∵11//A B AB，11A B AB=. ∴//NP AB，且12NP AB=.∵M为AB的中点，∴12AM AB=.∴NP AM=，且//NP AM.∴四边形AMNP为平行四边形.∴//MN AP，∵AP⊂平面11AAC C，MN⊄平面11AAC C，∴//MN平面11AAC C. 其他方法：（2）∵11CC CB=，N是11B C中点，∴11CN B C⊥.又∵三棱柱，∴11//BC B C，∴CN BC⊥，又∵平面11CC B B⊥平面ABC，平面11CC B B平面ABC BC=，CN⊂平面11CC B B，∴CN⊥平面ABC，又,CB CA⊂平面ABC，∴CN CB⊥，CN CA⊥，BCM∠为二面角1B NC M--的平面角，如图：在三角形CAB 中，2CA CB ==，3AB =，∴中线7CM =22273227cos 4722BCM ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎝⎭∴∠==⨯⨯，故二面角1B NC M --的余弦值为74. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 21.已知函数()()21ln 2f x x a b x =+-，,a b ∈R . （1）当0a =，2b =时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值； （2）设1b =-，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21f x x 的取值范围. 【答案】(1) 1ln2-. (2) 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）当0a =，2b =时，求出函数的导数，通过函数()f x 在区间(2上单调递减；在)2,+∞上单调递增，求得最小值；（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，得到1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，从而12x x a +=-，121x x ⋅=，推出()21f x x 的表达式，记()()1ln 12x g x x x x=+>，利用函数的导数求得单调性，即可得到答案. 【详解】（1）当0a =，2b =时，()212ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞，则()()2'220x x x x f x x-=-=>，∴当()0,2x ∈时，()'0f x <；当()2,x ∈+∞时，()'0f x >，∴()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增，∴()()min 21ln 2f x f==-.（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，∴1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，∴12x x a +=-，121=x x ， ∵12x x <且1>0x ，20x >，∴21>x ，221a x x =--， ∴()()2222221221ln 12ln 12x a x f x x x x x x ++==+，令()()1ln 12x g x x x x =+>，则()2'1ln 102x xg x =-++>，∴()g x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()112g x g >=，即：()211,2f x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.22.如图，A 为椭圆22142x y +=的左顶点，过A 的直线l 交抛物线()220y px p =>于B 、C两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m 过C 点，且倾斜角和直线l 的倾斜角互补，交椭圆于M 、N 两点，求p 的值，使得BMN ∆的面积最大.【答案】(1)证明见解析，定值1. (2) 928p = 【解析】 【分析】（1）由题意可求()2,0A -，设()11,B x y 、()22,C x y ，l ：2x my =-，联立直线与抛物线，利用C 是AB 的中点得122y y =，计算可得点C 的横坐标是定值； （2）由题意设直线m 的方程为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，联立方程，利用C 是AB 的中点，可得BMN AMN S S ∆∆=，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求BMN ∆的面积最大值，由取等条件解得p 的值.【详解】（1）()2,0A -，过A 的直线l 和抛物线交于两点，所以l 的斜率存在且不为0，设l ：2x my =-，其中m 是斜率的倒数，设()11,B x y 、()22,C x y ，满足222x my y px =-⎧⎨=⎩，即2240y pmy p -+=，>0∆且121224y y pmy y p+=⎧⎨=⎩，因为C 是AB 中点，所以122y y =，所以223pm y =，292m p =，所以222222133pm p x m m =⋅-=-=，即C 点的横坐标为定值1. （2）直线m 的倾斜角和直线l 的倾斜角互补，所以m 的斜率和l 的斜率互为相反数.设直线m为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即4x my =-+， 联列方程224240x my x y =-+⎧⎨+-=⎩得()2228120m y my +-+=， ()()222848216960m m m ∆=-+=->，所以26m >；且12212282122m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=， 设()2,0A -到MN 的距离2241d m --=+2121MN m y y =+-，()21222163322AMNm S MN d y y m∆-=⋅⋅=-=+26t m =-，213364166416AMN t S t t t t∆==++++13281642≤=⨯+8t =，214m =时取到， 所以9142p =，928p =. 法二：因为B 点在抛物线()220y px p =>上，不妨设2,2t B t p ⎛⎫⎪⎝⎭，又C 是AB 中点，则24,42t p t C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：224224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：28t p =，∴8414C p p x p -==为定值.（2）∵直线l 的斜率()02126tt k -==--，直线m 斜率'6t k =-， ∴直线m 的方程：()126t t y x -=--，即64x y t =-+，令6m t=代入椭圆方程整理得： ()2228120my my +-+=，设()11,B x y 、()22,C x y ，下同法一.【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．1、在最软入的时候，你会想起谁。
2020江苏省高二数学上学期期中试题
江苏省盐城中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（无答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．请把答案涂写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1.命题2,0x R x ∀∈>“”的否定是（ ▲ ）A ．2,0x R x ∀∈< B ．2,0x R x ∀∈≤ C ．2,0x R x ∃∈≤D ．2,0x R x ∃∈>2.抛物线24y x =的准线方程为（ ▲ ）A ． 1y =-B ．1x =-C ．1y =D ．1x =3.两个数4和16的等比中项为（ ▲ ） A ．8B ．8±C ．4D ．4±4.双曲线22194x y -=的渐近线方程为（ ▲ ） A ．94y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．23y x =± 5.设,x y 均为正数，且44x y +=，则xy 的最大值为（ ▲ ）A ．1B ．2C ．4D ．166.22ac bc >是b a >的 （ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7.求值：=-+⋅⋅⋅+-+-+-201920171197531 （ ▲ ） A ．2020-B ．1010-C ． 505-D ．10108.若[]0,3x ∃∈，使得不等式220x x a -+≥成立，则实数a 的取值范围是 （ ▲ ） A ．30a -≤≤B ．0a ≥C ．1a ≥D ．3a ≥-9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若67680,0,a a a a +>+<，则n S 最大时 n 的值为（ ▲ ） A ．4B ．5C ．6D ．710.若点P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的一个动点，B (3,2) ，则PB ＋PF 的最小值为 （ ▲ ）A ．3B ．4C ．5D ．611.已知正数 x , y 满足 l og 2 (x y 3) log 2 x log 2 y +1，则 x y 的取值范围是 （ ▲ ） A ．[6, ) B ． (0, 6]C．)17⎡++∞⎣，D ．(017+，12.在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（n *∈N ），且237432a a a ===，，，则此数列{}n a 的前100项的和100S =（ ▲ ）A ．296B ．297C ．298D ．299二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 13.若方程12122=-+-my m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ▲ . 14.已知正实数,a b 满足1,a b +=则4a bab+的最小值为 ▲ . 15.已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +=-=, 则na n的最小值为 ▲ . 16.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，半焦距为c ，且在该椭圆上存在异于左、右顶点．．．．．．．的一点P ，满足12212sin 3sin a PF F c PF F ⋅∠=⋅∠，则椭圆离心率的取值范围为 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 17.（本小题满分11分）已知2:,2p x R x x a ∀∈+≥，2:430q x x -+≤，:()[(1)]0r x m x m --+≤. （1）若命题p 的否定是假命题，求实数a 的取值范围； （2）若q 是r 的必要条件，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分11分）已知双曲线1322=-y x 的右顶点为A ，抛物线的焦点与点A 重合. （1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l 过点A 且斜率为双曲线的离心率，求直线l 被抛物线截得的弦长.19.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足142518,36a a a a +=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 满足2log n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.（本小题满分12分）如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km （x >1）的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB 与AC ，已知AB = AC 1，且∠ABC = 60o．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？21.（本小题满分12分）如图，已知过点)22,2(-D 的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，左顶点和上顶点分别为B A ,.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段OD 延长线上一点，直线PA 交椭圆于另一点E ，直线PB 交椭圆于另一点Q .①求直线PA 与PB 的斜率之积；②判断直线AB 与EQ 是否平行？并说明理由.22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和42nn S n +=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11=b ，111112221n nk n k k k b T T +++=+-=-∑. ①求数列{}n b 的通项公式n b ；②若存在*,,p q k N ∈，p q k <<，使得m q a b ，m n p a a b ，n k a b 成等差数列，求n m +的最小值.。
江苏省2020版高二上学期期中数学试卷(I)卷
江苏省 2020 版高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） (2019 高一下·内蒙古期中) 若等比数列 满足，则 =________2. （1 分） (2018 高一下·汕头期末) 已知向量 m=________ ．，若向量与 平行，则3. （1 分） 无穷等比数列{an}（n∈N*）的首项 a1=1，公比 q= ， 则前 n 项和 Sn 的极限 =________4. （1 分） (2019 高一下·成都月考) 在中，，为线段 的中点，则的值为________．，若，点5. （1 分） (2019·黄冈模拟) 在等边三角形 ABC 中， 在方向上投影为，且，则的面积为________．6. （1 分） (2018 高一下·长春期末) 在梯形中,，,设,,则________(用向量 表示).7. （1 分） (2019 高二上·北京月考) 数列项公式是________．的前 4 项是 ，1，， ，则这个数列的一个通8. （1 分） 已知 =（﹣1，3）， =（1，t），若 ∥ ，则 t=________．9. （1 分） (2019 高二上·上海月考) 计算：________.10. （1 分） (2017·襄阳模拟) 已知| |=1，|若（λ≠0），则 m=________．|=m，∠AOB= π，点 C 在∠AOB 内且=0，11. （1 分） (2017·太原模拟) 已知数列{an}中， Sn=________．，则其前 n 项和12. （1 分） (2018 高二下·长春月考) 将 1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第 10 行左数第 10 个数为________.第 1 页 共 15 页二、 选择题 (共 4 题；共 8 分)13. （2 分） 若向量 =（1，2）， =（﹣2，3）分别表示向量 与 ， 则| + |=（ ）A. B . 25C.2 D . 2614. （2 分） (2019 高三上·岳阳月考) 已知向量，于（ ）A.，若 ∥ ，则等B.C.D. 15. （2 分） 远望灯塔高七层，红光点点成倍增，只见顶层灯一盏，请问共有几盏灯？（ ） A . 64 B . 128 C . 63 D . 127第 2 页 共 15 页16. （2 分） 用数学归纳法证明 2n＞n2（n∈N* ， n≥5）成立时，第二步归纳假设正确写法（ ） A . 假设 n=k 时命题成立 B . 假设 n=k（k∈N*）时命题成立 C . 假设 n=k（n≥5）时命题成立 D . 假设 n=k（n＞5）时命题成立三、 解答题 (共 5 题；共 60 分)17. （10 分） (2020 高一下·遂宁期末) 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别是（-2，1）、 （-1，3)、(3，4).（1） 求顶点 D 的坐标； （2） 求 与 所成夹角的余弦值．18. （10 分） (2019 高一下·佛山月考) 已知向量，．（1） 当时，求．（2） 当时，求．19. （15 分） (2016 高二上·浦东期中) 已知各项为正的数列{an}是等比数列，a1=2，a5=32，数列{bn}满足： 对于任意 n∈N* ， 有 a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）•2n+1+2．（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 令 f（n）=a2+a4+…+a2n ， 求的值；（3） 求数列{bn}通项公式，若在数列{an}的任意相邻两项 ak 与 ak+1 之间插入 bk（k∈N*）后，得到一个新 的数列{cn}，求数列{cn}的前 100 项之和 T100 ．20. （10 分） (2018 高一下·贺州期末) 已知（1） 若，求的值；，.第 3 页 共 15 页（2） 若，求在区间上的值域.21. （15 分） (2012·湖北) （I）已知函数 f（x）=rx﹣xr+（1﹣r）（x＞0），其中 r 为有理数，且 0＜r＜1．（1） 求 f（x）的最小值；（2） 试用（1）的结果证明如下命题：设 a1≥0，a2≥0，b1 ， b2 为正有理数，若 b1+b2=1，则 a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（3） 请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当 α 为正有理数时， 有求导公式（xα）r=αxα﹣1 ．第 4 页 共 15 页一、 填空题 (共 12 题；共 12 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：解析： 答案：4-1、第 5 页 共 15 页考点：解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点：第 6 页 共 15 页解析： 答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、 考点：解析： 答案：9-1、 考点：第 7 页 共 15 页解析： 答案：10-1、 考点：解析： 答案：11-1、 考点： 解析：第 8 页 共 15 页答案：12-1、 考点： 解析：二、 选择题 (共 4 题；共 8 分)答案：13-1、 考点：第 9 页 共 15 页解析： 答案：14-1、 考点：解析： 答案：15-1、 考点：解析： 答案：16-1、 考点： 解析：第 10 页 共 15 页三、解答题 (共5题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：。
江苏省2020年高二上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
江苏省2020年高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）棱长为2个单位的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以DA，DC，DD1分为x，y，z 坐标轴，则A1D1的中点E的坐标为（）A . （1，1，2）B . （1，0，2）C . （2，1，0）D . （2，1，1）2. （2分） (2018高二上·长寿月考) 两圆和的连心线方程为（）A . x+y+3=0B . 2x－y－5=0C . 3x－y－9=0D . 4x－3y+7=03. （2分） (2016高一下·厦门期中) 圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心到直线x﹣y=1的距离为：（）A . 2B .C . 1D .4. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知圆，圆，，分别是圆，上的动点.若动点在直线上，则的最小值为（）A . 3B .C .D .5. （2分）对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形（如图），则原图形的面积是（）A .B . 2C . 2D . 46. （2分） (2020高二下·大庆月考) 已知三条互不相同的直线和三个互不相同的平面，现给出下列三个命题：①若与为异面直线，，则；②若，，则；③若，则 .其中真命题的个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 07. （2分） (2016高二上·佛山期中) 已知α，β是两个相交平面，若点A既不在α内，也不在β内，则过点A且与α，β都平行的直线的条数为（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2016高一下·漳州期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为CD和A1D1的中点，那么异面直线AM与BN 所成的角是（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°9. （2分）如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PBC的大小（）A . 不变B . 变小C . 变大D . 有时变大有时变小10. （2分） (2017高二上·晋中期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A .B .C .D .11. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A . 12B . 45C . 57D . 8112. （2分） (2019高二下·汕头期中) 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A . 12B . 36C . 27D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）过点A（2，1），且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为________ ．14. （1分） (2016高一上·潍坊期末) 如图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为3 ，则它的侧棱长为________15. （1分） (2020高三上·静安期末) 设是等腰直角三角形，斜边 ,现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为________.16. （1分） (2018高二上·淮安期中) 圆上的点到直线的距离的最小值是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2019高二上·鄂州期中) 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.18. （5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是下底面ABCD的中心，E、F、G分别是DC、BC、CC1的中点．求证：C1O∥平面EFG．19. （10分）(2020·龙岩模拟) 在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线 (t为参数)上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：（1）求曲线C1 ， C2的直角坐标下普通方程；（2）已知点Q在曲线C2上，求的最小值以及取得最小值时P点坐标..20. （5分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ACC1为菱形，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D为AC的中点，A1D⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）设直线AC1与A1D分别交于点M，求三棱锥C1﹣MBC的体积．21. （5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD1；（Ⅱ）求证：平面ACD1⊥平面BDD1B1（Ⅲ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值．22. （10分）(2019·南昌模拟) 如图，矩形中，，，、是边的三等分点.现将、分别沿、折起，使得平面、平面均与平面垂直.（1）若为线段上一点，且，求证：平面；（2）求多面体的体积.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。
2020年江苏省徐州市海州中学高二数学理测试题含解析
2020年江苏省徐州市海州中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ．已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B2. 圆心在直线2x﹣y﹣6=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣5），B（0，﹣3），则圆C的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+4）2=2 B．（x+1）2+（y﹣4）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣4）2=2 D．（x+1）2+（y+4）2=2参考答案：A【考点】圆的标准方程．【分析】由垂径定理确定圆心所在的直线，再由条件求出圆心的坐标，根据圆的定义求出半径即可．【解答】解：∵圆C与y轴交于A（0，﹣5），B（0，﹣3），∴由垂径定理得圆心在y=﹣4这条直线上．又∵已知圆心在直线2x﹣y﹣6=0上，∴联立，解得x=1，∴圆心C为（1，﹣4），∴半径r=|AC|==．∴所求圆C的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=2．故选：A．【点评】本题考查了如何求圆的方程，主要用了几何法来求，关键确定圆心的位置；还可用待定系数法．3. 圆(cos ?＋sin ?)的圆心坐标是( )．A．B．C．D．参考答案：A4. 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为（）A．48 B．36 C．24 D．12参考答案：C【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A22=2种排法，②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22=2种排法，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A33=6种排法，则共有2×2×6=24种排法，故选C．5. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】对立事件的概率之和为1，相互独立事件的概率用乘法法则．【解答】解：∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为（1﹣）×（1﹣）=，∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为1﹣=．故选A．6. 等差数列中，，则＝（）A.15B.30C.31D.64参考答案：A7. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至少有一个大于60度D．假设三内角至多有二个大于60度参考答案：B略8. 已知点(3，1)和(4，6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是A、 B、C、 D、或参考答案：C9. 下列函数中，在区间(0，+∞)上是增函数的是．A. B. C. y = D.参考答案：B 10. 设等差数列的前n项和为，若,则（）A 63B 45 C36 D 27参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知.参考答案：略12. 二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，，则长为。
江苏省东海县2019_2020学年高二数学上学期期中试题(扫描版)
2019~2020学年第一学期期中考试 高二数学参考答案及评分标准一、选择题：1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．A 10．D 11．D 12．C 二、填空题：13．[5,)+∞ 14．1215．22n n- 16．221106y x +=三、解答题：17．解：（1）若命题p 为真，即方程22131x y m m +=-+表示双曲线，所以(3)(1)0m m -+<，解得13m -<<，即(1,3)m ∈-． …………..4分 （2）若命题q 为真，即不等式22(22)20m a m a a -+++≤成立，解得[,2]m a a ∈+， …………..6分 因为p 是q 的必要条件，所以[,2](1,3)a a +⊆-， …………..8分故1,23,a a -<⎧⎨+<⎩解得11a -<<．所以实数a 的取值范围为(1,1)-． …………..10分 18．解：（1）由1(1)20n n n a na ++-=得112n n n a a n++=， 因为1102a =≠，所以0n a ≠，所以1112n n a n a n++=， …………..4分所以{}na n 是12为首项，12为公比的等比数列， 所以1111()222n n n a n -==，即2n n n a =， 所以，数列}{n a 的通项公式为2n nna =； …………..6分（2）由（1）知2n n n a =，所以n b ==， …………..8分于是1)1n T =++⋅⋅⋅+=， …………..10分所以1)1)1)2n nnT T -=--=+-=，综上，n nnT T -为定值2． …………..12分 19．解：（1）在平面PBC 内作PO BC ⊥，O 为垂足， 在PBC ∆中，2PB PC BC ===，所以PO =．在底面ABCD 内作OE BC ⊥，OE AD E =I ，连结PE ，由已知ABCD 为矩形，易知AEOB 也是矩形，故1OE =． …………..2分 又平面PBC ⊥底面ABCD ，平面PBC I 底面ABCD BC =，PO ⊂平面PBC ，所以PO ⊥底面ABCD ，而AD ⊂底面ABCD ，所以PO ⊥AD ， 又OE BC ⊥，AD ∥BC ，所以OE AD ⊥， 而PO ⊆平面POE ，OE ⊆平面POE ，PO OE O =I ，所以AD ⊥平面POE ，因为PE ⊆平面POE ，所以AD PE ⊥，又因为AD OE ⊥，所以OEP ∠是二面角P AD B --的平面角． …………..4分 因为PO ⊥底面ABCD ，OE ⊂底面ABCD ，所以PO ⊥OE ， 在Rt POE ∆中，tan POOEP OE∠=所以60OEP ∠=︒，故二面角P AD B --的大小为60︒． …………..6分 （2）因为AD ∥BC ，而AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD ，又O BC ∈，B BC ∈，所以，点B 到平面PAD 的距离等于点O 到平面PAD 的距离． …………..8分 在Rt POE ∆中作OH PE ⊥，H 为垂足，由（1）知AD ⊥平面POE ，而OH ⊂平面POE ，所以AD OH ⊥，又AD PE E =I ，AD ⊂平面PAD ，PE ⊂平面PAD ，所以OH ⊥平面PAD ， 所以，点O 到平面PAD 的距离即为OH 的长． …………..10分OHPA BCD（第19题图）在Rt POE ∆中，OH PE OP OE ⋅=⋅，即OP OE OH PE ⋅===综上，点B 到平面PAD． …………..12分 20．解：（1）设椭圆E 焦距为2c，则122c F F =所以2222c a b =-=． ① …………..2分又点在椭圆E ：22221y x a b +=上，所以22321a b+=． ② …………..4分联立①②解得226,4,a b ⎧=⎨=⎩或221,1,a b ⎧=⎨=-⎩（舍去）．所以椭圆E 的方程为22164y x +=．（2）设椭圆E 焦距为2c ，则1(,0)F c -，2(,0)F c 2a x =代入22221y x ab +=得2234b y =， 不妨设点P 在x 轴上方，故点P 坐标为(,)22a 又点M 为1PF 中点，故点M 坐标为2(4a c -， …………..8分所以26(4a c F M -=u u u u u r ，(2a OP =u u u r ，由2OP F M ⊥得20OP F M ⋅=u u u r u u u u r，即6042a c a -⋅+=，化简得22630a ac b -+=， …………..10分 将222b a c =-代入得223640c ac a +-=，即23()640c ca a+⋅-=，所以23640e e +⋅-=，解得1e =-， 因为(0,1)e ∈，所以椭圆E 的离心率为1e =-． …………..12分21．解：（1）当直线AB 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+， 点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ．（第20题图）联立221,421,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=，..2分 其判别式22(4)8(21)0k k ∆=++>，所以122421k x x k +=-+，122221x x k =-+．..4分从而，PA PB OA OB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r12121212(1)(1)()x x y y x x y y +--++212122(1)()1k x x k x x =++++22224(1)412121k k k k -+=-+++，2263321k k --==-+． …………..6分 当直线AB 斜率不存在时，1)23PA PB OA OB ⋅+⋅=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r． …………..7分所以当1m =时，PA PB OA OB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r为定值3-． …………..8分（2）显然直线AB 的斜率存在，设其方程为1y kx =+，由（1）知122421k x x k +=-+，122212x x k -=+． 所以AOB ∆的面积121||2S OP x x =-= …………..10分 设2121t k =+，则01t <≤，因此S ==≤，当且仅当1t =，即0k =时，AOB ∆ …………..12分22．解：（1）令1=n 得21121S a =+，故21(1)0a -=，于是11a =． 令2n =得22222S a =+，故2222(1)2a a +=+，22(2)0a a -=，又12a a <，11=a ，故22=a ． ...........2分（2）由n a S n n +=22， ①可知，当2n ≥时，)1(2211-+=--n a S n n ， ② ①-②，得12212+-=-n n n a a a ，故221(1)n n a a --=，于是11n n a a --=或11n n a a --=-， ...........4分若11n n a a --=-，则11120n n n a a a ---=->，1112n a a -<<，不合题意；...........6分 于是11n n a a --=，即11n n a a --=，即数列{n a }是公差为1的等差数列．又11=a ，∴1(1)1n a n n =+-⨯=．故n a n =． ...........8分（3）依题意知n ∀∈N *，λ≥ ..........10分由基本不等式得22n +22sin 1cos 12n n n θθ+++=+=222(sin 1)(cos 1)2n n n n θθ+++++≤+2(2)2n n +=+2=，当且仅当|tan |1θ=时取“=”，2，所以2λ≥，实数λ的最小值为2． ...........12分。
2022-2023学年江苏省连云港市海州高级中学高二上学期期中数学试题
2022-2023学年江苏省连云港市海州高级中学高二上学期期中数学试题1.已知点，则直线AB 的斜率为（）A ．B ．C ．D．2.已知点，则线段AB 的中点坐标为（）A．B ．C ．D ．3.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2022这2022个数中，能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（）A．145项B．146项C．144项D．147项5.若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（）A．2 B．C．4 D．6.以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（）A．B．C．D．7.记为等比数列的前n项和．若，则的值为（）A．24 B．48 C．39 D．368.已知椭圆，为的左、右焦点，为上一点，且的内心为，若的面积为，则的值为（）A．B．3 C．D．69.(多选题) 已知等比数列，=1，，则（）.A．数列是等比数列B．数列是递增数列C．数列是等差数列D．数列是递增数列10.下列说法错误的是（）A．直线在y轴上的截距为3B．经过定点的直线都可以用方程表示C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1D．点关于直线的对称点是11.以下四个关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（）A．双曲线与椭圆有相同的焦点B．在平面内，设、为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．过双曲线的右焦点F作直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有且仅有3条12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A 、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P 满足，设点P 的轨迹为圆，下列结论正确的是（）A．圆C 的方程是B ．过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为C．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线距离为1，该直线斜率为D．在直线上存在两点D，E，使得13.经过点，斜率为3的直线方程为___________．14.圆与圆的位置关系是___________．15.在数列{a n}中，，若的前n项和为，则项数n＝________.16.已知数列的通项公式，记数列落在区间内项的个数为，则___________．17.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上．(1)求该抛物线的方程；(2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离．18.已知在等差数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前n项和，则当n为何值时取得最大，并求出此最大值．19.已知的顶点，边上的高所在的直线方程为.(1)求直线的方程；(2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．20.已知圆，点在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l与圆C相切，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．21.已知数列中，，且对任意，都有．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．22.已知焦点在x轴上，短轴长为的椭圆C，经过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点M、N在椭圆C上，且以MN为直径的圆经过点A，求点A到直线MN距离的最大值．。