重庆大学高数(工学下)期末试题一(含答案)
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
重庆大学高数(工学下)期末试题一(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ⨯与,a b 的位置关系是().(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B).分析:,a b 的向量积a b ⨯是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面.2. 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为().(A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x =知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有y x =满足方程,故应选(D).3. 累次积分⎰⎰=-2022x y dy e dx ().(A))1(212--e (B))1(314--e (C))1(214--e (D))1(312--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C).分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(214--e ,只能选(C). 4．设曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f ().(A)2x x e e -- (B)2xx e e --(C) 12-+-x x e e (D)21xx e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B).分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=-命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密()().x f x f x e '⇒-=-由结构看,C,D 不满足方程,代入,B 满足,A 不满足,选B.5. 设直线方程为1111220,0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0,A B C D B D ≠则直线().(A) 过原点 (B) 平行于z 轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y 轴 知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).分析:方程2220,0B y D D +=≠表示垂直于y 轴且不过原点的平面,11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩表示的直线位于垂直于y 轴且不过原点的平面上,不平行于z 轴,不垂直于x 轴.6. 设∑为球面2224(0)x y z z ++=≥的外侧,则2yzdzdx dxdy∑+⎰⎰().=(A)354(B)354π (C)12 (D)12π知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).分析: 添有向平面221:0(4)z x y ∑=+≤取下侧,则124,yzdzdx dxdy zdV π∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰1228.Dyzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰故有结果为D.二、填空题(每小题3分,共18分)7.121lim(1)sin x y x y →→⎛⎫- ⎪⎝⎭__________.= 知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明:1(1)sin01x x y--≤- 0,ε∴∀>取,δε=只要0,δ<必有1(1)sin0.x yε--<121lim(1)sin 0.x y x y →→⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 8. 已知lim6,n n a →∞=则11()n n n a a ∞+=-=∑__________. 知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:1 6.a - 分析: 部分和数列12231111()()() 6.n n n n s a a a a a a a a a ++=-+-++-=-→-9.2221___________,ds x y z Γ=++⎰其中Γ为曲线cos ,sin ,tttx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧.知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案21).e- 解:弧长的微分为tds dt ==,22222.tx y z e ++=于是2222011).ds x y z e Γ=-++⎰⎰10. 平面3x y z a ++=被球面2222x y z R ++=(0)R <所截得一个圆,则该圆的半径为__________.=知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案分析:该圆的中心在平面3x y z a ++=上,且三个坐标相等,中心坐标为(,,),a a a,11．设曲线积分 ,4 L 22⎰++-=yx xdyydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正向,则__________.I =知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:.π分析: 可取椭圆的参数方程计算.12. 设∑是球面222x y z R ++=在第一卦限部分,则2__________.x dS ∑=⎰⎰知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:4.6R π分析:222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()22213x y z dS ∑=++⎰⎰ 224114.386R R R ππ=⋅⋅=三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程()0y xxe d y x xdy -=+的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换yu x=化为可分离变量的微分方程.解: 方程两端同除以,x 得()0.y xye dx dy x+-=令,y vx =则.dy vdx xdv =+ 代入上式,得0,ve dx xdv -= 即 0.vdx e dv x--= 积分之,得ln .v x e C -+=故原方程的通解为ln .y xx e C -+=14. 计算2(2)(3),y L x y dx x ye dy -++⎰其中L 由从)0,2(A 到)1,0(B 的直线段22=+y x 及从)1,0(B 到)0,1(-C 的圆弧21y x --=所构成.知识点：对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级：2. 分析：补充线段构成闭曲线用格林公式.解 :如图,添加一段定向直线,CA 这样L 与CA 构成闭路.设所围的区域为,D 于是根据格林公式得:2211(2)(3)55(211)24y L CA Dx y dx x ye dy dxdy π+-++==⋅⋅+⋅⎰⎰⎰15(1).4π=+ 则L⎰=.L CACA→+-⎰⎰又2221(2)(3) 3.y CAx y dx x ye dy x dx --++==⎰⎰故25(2)(3)5(1)32.44y L x y dx x ye dy ππ-++=+-=+⎰ 15. 计算22(),x y dS ∑+⎰⎰其中∑为抛物面222z x y =--在xoy 面上方的部分.知识点：对面积的曲面积分,难度等级：2.分析：直接将曲面积分化为二重积分,用极坐标计算二重积分. 解:∑在xoy 的投影为22:2,xy D x y +≤且= 于是22()x y dS ∑+⎰⎰22(xyD x y =+⎰⎰20220112(14(14)84149.30d r r πθππ==⋅+-+=⎰ 16. 计算333,x dydz y dzdxz dxdy ∑++⎰⎰其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,球面坐标,难度等级：2 分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222053sin 12.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(,)z f x u =具有连续的二阶偏导数，而,u xy =求22.zx∂∂难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.分析: 按复合函数的偏导数的求法两次对x 求偏导数，即可求出22.z x∂∂ 解:x x u z f y f '''=+ 22.xx xx xu uu z f yf y f ''''''''⇒=++18．利用斯托克斯公式计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体[]⨯1,0[]⨯1,0[]1,0的表面所得的截痕,若从z 轴正向看去,Γ取逆时针方向.知识点：对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,难度等级：3 分析: 通过斯托克斯公式将曲线积分转化为对面积的曲面积分,注意积分技巧:可将方程代入被积函数.解: 如图,我们将平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分取为,∑于是∑的单位法向量.n e =由斯托克斯公式得:dS y x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222cos coscos γβα ().x y z dS ∑=++ 观察上述积分,由于在∑上有3,2x y z ++=根据第二型曲面积分的计算公式,故396(6)().42xyxyD D I dS S ∑=-=-=-=-=-其中xy D 是∑在xOy 坐标平面的投影区域,而xyD S 为xy D 的面积.五、 证明题(每小题6分,共12分)19．试证:,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处偏导数存在,但是不可微.知识点：二元函数偏导数、可微,难度等级：1分析:先求出(0,0),(0,0)x y f f 然后说明(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆-∆-∆不是比ρ更高阶的无穷小量就可以了.证明 : 0(,0)(0,0)lim 0(0,0);x x f x f f x∆→∆-==∆同理, (0,0)0.y f =则2200limlim.()()x x y y zx yx y ρρ→∆→∆→∆→∆→∆∆∆==∆+∆ 但是此极限不存在,故(,)f x y 在(0,0)处不可微.20. 证明:级数2(!)nn x y n ∞==∑满足方程0.xy y y '''+-= 知识点：幂级数,微分方程,难度等级：2. 分析：直接用幂数代入微分方程验证.证明: 因为20,(!)n n x y n ∞==∑所以122212(1),.(!)(!)n n n n nx n n x y y n n --∞∞==-'''==∑∑ 212222101122222111221(1)(!)(!)(!)(1)11(!)(!)(!)!(2)!!(1)!!!n n n n n n n nn n n n n nn n n n n x nx x xy y y x n n n n n x nx x n n n x x x n n n n n n --∞∞∞===--∞∞∞===--∞∞∞===''-'''+-=+--=++--=+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 21111(1)!(1)!(1)!!(!)(1)(1)(1)!!0n n nn n n nn x x x n n n n n n n xn n ∞∞∞===∞==+-+-++-+=+=∑∑∑∑∴方程0xy y y '''+-=成立.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设球在动点(),,P x y z 处的密度与该点到球心距离成正比,求质量为m 的非均匀球体2222x y z R ++≤对于其直径的转动惯量． 知识点：立体的转动惯量,难度等级：2. 分析：利用转动惯量公式,球坐标计算三重积分.解:设球体方程为2222:,x y z R Ω++≤密度函数ρ=则球体的质量为:234(,,)sin Rm x y z dxdydz k k d d r dr k R ππρθϕϕπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以,密度函数为ρ=计算该球体绕z 轴转动的转动惯量:22224235232240()(,,)(24sin sin 39Rm I x y x y z dxdydz xy R m d d r dr mR d mR R πππρπθϕϕϕϕπΩΩ=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22．将质量为m 的物体垂直上抛,假设初始速度为0,v 空气阻力与速度成正比(比例系数为k ),试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系.知识点：微分方程的初值问题,难度等级：1 分析: 只需将二阶导数表示出来就可证之.解: 根据条件,空气阻力为.kv 于是物体上升过程中受力为()kv mg -+(其中负号表示力与运动方向相反),而运动加速度为.dva dt=因而得微分方程 .dv m kv mg dt=-- 又知初始速度为0v ,故得初值问题0,(0).dv kv g dt mv v ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ 因此000000(1.)()()ttkkkk k k dtdtt t t t tm m mm m mgm mg v egedt v ee v e v e k m k kg -----⎰⎰=-+=+-+=+⎰。
重庆大学高等数学(工学类)中期试卷及参考答案
由于抛物线关于x轴对称，只讨论 的情形。在 上任取一点 ，由光的反射原理及几何知识知，设T为过P的切线与x轴的交点，只需证
过P的切线方程斜率为
切线方程为
令 得T的横坐标为
，
，
，即证。
（C）不可能取极值（D）不能确定是否取极值
二．填空题（每小题3分，共15分）
1.已知 且 ，则 的定义域为
2.若 ，则
。
3.已知当 时， 与 是等价无穷小，则常数
4.若 在 上连续，则
5.设 在点 处可导，且 ，则函数在 处的切线斜率为
三．判断并说明理由（每小题4分，共12分）。
1.设 在 的某个邻域内有定义，若 存在，则 在 处可导。
由题设 ，知 ，从而
6．应用题（7分）
汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面。这种反光镜有一个很好的光学特性，把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束，请用导数的几何意义来证明这个性质。
重庆大学高等数学（工学）课程中期试卷n
20—20 学年 第 学期
开课学院：数学与统计课程号：
！
考试日期：
考试时间：120分钟
题 号
[
一
二
三
四
五
、
六
七
八
九
十
~
总 分
得 分
,
@
>
一．单项选择题（每小题3分，共15分）
1.设 ，则 【D】
（A） （B）
~
（C） （D）
2.若函数 有 ，则当 时，该函数在 处的微分 是【D】
重庆大学高数工学下期末试题五含答案
-- -XX 大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分钟一、选择题(每小题3分,共18分)1. 如果,a b 为共线的单位向量,则它们的数量积().a b ⋅=(A)1 (B) 0 (C) 2- (D) cos(,)a b知识点:向量的数量积,难度等级:1. 答案:D分析:||||a b a b ⋅=cos(,)a b =cos(,).a b 2.微分方程21x y '=的通解是().(A) 1y C x =+(B) 1y C x=+ (C)1C y x =-+ (D) 1y xC =-+知识点:微分方程,难度等级:1. 答案:D分析:将方程改写为21,dy dx x =并积分,得通解1,y C x=-+故应选(D).3.设空间区域2222,x y z R Ω++≤：则().Ω=(A) 4R π(B)443R π;(C)4 32 R π(D)42 R π 知识点:三重积分计算,难度等级:2. 答案:A4．若L 是上半椭圆cos sin x a ty b t=⎧⎨=⎩取顺时针方向,则L ydx xdy -⎰的值为().(A)0 (B)2ab π(C)ab π (D)ab π-知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案: C分析:题中半椭圆面积为,2ab π要用格林公式,添有向线段1:0(:).L y x a a =-→112,0.DL L L dxdy ab π-+===⎰⎰⎰⎰故选C.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 X X 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密5.设函数(),0f x x >连续,并对0x >的任意闭曲线,L 有34()0,Lx ydx xf x dy +=⎰且(1)2,f =则()f x =().(A)242412423-+-x x x (B)324122424x x x -+- (C)31x +(D)xx 13+知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:3.答案:D分析:由条件知,积分与路径无关,有3(4)(()).x y xf x y x ∂∂=∂∂即34()().x f x xf x '=+A,B 选项显然不满足方程,而C 含常数,也不能满足方程,故选D.验证D 满足,或用一阶线性微分方程求出为D. 6.曲面z =包含在柱面222x y x +=内部那部分面积().=(A) π(C)知识点:曲面面积,难度等级:2. 答案:B分析:在xOy 投影区域22:2,D x y x +≤化为二重积分为D,选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7.级数12(2)!nn n n ∞=∑的和为__________.知识点:级数的和.难度等级:2. 答案:e分析:11121.(2)!!(1)!n n n n n n e n n n ∞∞∞======-∑∑∑8. 222()__________,c x y z ds ++=⎰其中c 为螺线cos ,sin ,(02).x a t y a t t a bt π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩的一段.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案：2222(343a b ππ+ 解:弧长的微分为,ds =于是222222222202()()(343cx y z ds a b t dt a b πππ++=+=+⎰9. 过已知点A )1,2,1(-和B )7,2,5(-作一平面,使该平面与x 轴平行,则该平面方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:2.答案:20.y -=分析:平面的法向量n AB ⊥,且n i ⊥,取606(0,6,0),100i j kn AB i =⨯=-=过点A (1,2,1),-平面方程为0(1)6(2)0(0)0,x y z ⋅-+⋅-+⋅-=即20.y -= 10. 函数zy u x =在点(1,2,1)-处沿(1,2,2)a =-方向的方向导数为______.知识点:函数的方向导数.难度等级:1 答案：1.6解:(1,2,2)a =-⇒122cos ,cos ,cos .333αβγ-===1(1,2,1)(1,2,1)1(1,2,1)(1,2,1)1;2ln 0;z z z y y z uy x x ux x zy y ------∂=⋅=∂∂=⋅=∂(1,2,1)(1,2,1)ln ln 0.zy z u x x y y z --∂=⋅=∂111.236u a ∂⇒=⨯=∂ 11.设∑为平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧,将⎰⎰∑++Qdzdx Pdydz Rdxdy 化为对面积的曲面积分的结果为__________.知识点:两种曲面积分之间的转换.难度等级:2. 答案:32().555P Q R dS ∑++⎰⎰ 分析:第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函数作内积即可,平面法向量为{,长度为5故得结果.12.设∑是圆锥面z =被圆柱面ax y x 222=+所截的下部分,则()xy yz zx dS ∑++⎰⎰__________.=知识:对面积的曲面积分,对称性.难度等级:3. 答案4. 分析:曲面关于x 轴对称,xy yz +为关于y 的奇函数,故只需算zx的积分值,2cos 3422cos .xya D zxdS d dr θππθθ-∑===⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 计算积分(2),c a y dx xdy -+⎰其中c 为摆线(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤的一拱.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2分析:已知了积分路径的参数方程,直接代入计算积分. 解:由题设(1cos ),sin .dx a t dt dy a tdt =-=于是{}20(2)[(2(1cos )](1cos )(sin )sin ca y dx xdy a a t a t a t t a t dt π-+=---+-⎰⎰[]2202202sin cos sin 2.a t tdt a t t t a πππ==--=-⎰14. 求32sin (2cos cos )0x d x x dx θθθθ+-+=的通解.知识点:微分方程,变量代换,一阶线性微分方程.难度等级:2 分析:sin cos d d θθθ=,若令cos z θ=,原方程可化为一阶线性方程.解:将原方程改写为2sin cos 2cos .x d dx dx xdx x θθθθ+-+= 令cos ,y xθ=则2sin cos .x d dxdy xθθθ+=-于是方程化为 2.dyxy x dx+= 这是一阶线性非齐次方程.由通解公式2221().2x x x y e xe dx C Ce --=+=+⎰ 故21cos .2x x Cxe θ-=+15. 计算,2222⎰⎰∑+++z y x dxdy z xdydz 其中∑是由曲面222R y x =+及平面,(0)z R z R R ==->所围成立体表面外侧.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:3 分析:利用高斯公式并注意对称性.解:利用高斯公式,并注意对称性,知22222222222()0.()z dxdy z x y dV x y z x y z ∑Ω+==++++⎰⎰⎰⎰⎰ 又dydz z R y R dydz z R y R z y x xdydz⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+--++-=++212222222222222212yzD RR RdzR z --==+⎰⎰⎰⎰2212[arctan ]2.2R R z R R R R ππ-=⋅=22222.2xdydz z dxdy R x y z π∑+⇒=++⎰⎰ 16. 计算第二类曲线积分222,Ly dx z dy x dz ++⎰其中L 为球面2222R z y x =++与柱面对)0,0(22>≥=+R z Rx y x 的交线,其方向是面对着正x 轴看去是反时针的.知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,对称性.难度等级:3 分析:利用斯托克斯公式,合一投影,并注意对称性的使用.解:222222L dydz dzdx dxdy y dx z dy x dz x y z y z x ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰dxdyy yx R xy x ydxdyxdzdx zdydz xyD ⎰⎰⎰⎰+--+-=++-=∑)(222222xyD xdxdy =-⎰⎰(∵xy D 关于x 轴对称,(,)f x y y 是关于y 的奇函数)⎰⎰--=22cos 02cos 2ππθθθR dr r d342034cos 3.4R d R πθθπ=-=-⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．判断级数111(1)nn e n∞=--∑的敛散性.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2 分析:取211n n ∞=∑用比较判别法的极限形式. 解: 1200211111limlim lim .122nx xn x x e e x e n x x n →∞→→-----===由于211n n∞=∑收敛,故级数111(1)n n e n ∞=--∑收敛.18．求函数2232z x y x =+-在闭域22(,)|194x y D x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭上的最大值和最小值.知识点:二元函数在闭区域上的最值.难度等级:2分析:先求函数的驻点,得到在区域内部可能的最值点,然后求边界上可能的最值点.解:由22060x yz x z y =-=⎧⎨==⎩得D 内驻点(1,0),且(1,0) 1.z =-在边界22194x y +=上()21121233.3z x x x =--+-≤≤1220.3z x '=--< 11(3)15(3) 3.z z -==比较后可知函数z 在点(1,0)取最小值(1,0)1z =-在点(3,0)-取最大值(3,0)15.z -=五、 证明题(每小题6分,共12分)19．设函数(,,)F x y z 具有一阶连续偏导数,且对任意实数t 有(,,)(,,)(k F tx ty tz t F x y z k=是自然数),试证曲面(,,)0F x y z =上任一点的切平面都通过一定点(设在任一点处,有2220.x y z F F F ++≠).知识点:齐次函数,切平面.难度等级:2 分析:曲面(,,)0F x y z =在一点000(,,)x y z 的切平面方程为000()()()0,x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=求出此方程,可以发现坐标原点(0,0,0)满足方程.证明:由已知条件可得.x y z xF yF zF kF ++=曲面上点000(,,)x y z 处的切平面方程为000()()()0.x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=即000000(,,)0.x y z x y z xF yF zF x F y F z F kF x y z ++=++==易知0,0,0x y z ===满足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通过定点()000,,.20. 设0,n P >n P 单调增,且11n nP ∞=∑收敛.证明:(1)12n nn u P P P =+++单调减.(2)21n n u ∞=∑收敛.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2证:(1)1121121n n n nn nu u P P P P P P +++-=-++++++1212112121(1)()()()()n n n n n P P P n P P P P P P P P P ++++++-+++=++++++121121210()()n n n n P P P nP P P P P P P +++++-=<++++++12n nnu P P P ∴=+++单调减.(2)2122222,n n n n n n u P P P nP P =≤=+++而11n nP ∞=∑收敛,由比较判别法,21n n u ∞=∑收敛.六、 应用题(每小题8分,共16分)21. 设在xoy 面上有一质量为M 的匀质半圆形薄片,占有平面闭域222,,0{()|},D x y x y R y =+≤≥过圆心O 垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点,P .OP a =求半圆形薄片对质点P 的引力.知识点:平面薄片对质点的引力,难度等级:3 分析:由引力公式,建立二重积分计算 解:设P 点的坐标为(0,0,.)a 薄片的面密度为222.12M MRR μππ== 设所求引力为,,().x y z F F F F =由于薄片关于y 轴对称,所以引力在x 轴上的分量0,x F =而2223/2()y Dm yF G d x y a μσ=++⎰⎰2223/2sin ()Rm G d d a πρθμθρρ=+⎰⎰2223/22223/2sin ()2()RRm G d d a m G d a πρμθθρρρμρρ=+=+⎰⎰⎰24(ln GmM R R a π= 2223/2()z Dm aF G d x y a μσ=-++⎰⎰2223/2()Rm Ga d d a πρμθρρ=-+⎰⎰2223/22()2(1Rm Ga d a GmM R ρπμρρ=-+=-⎰22．一质量为m 的船以速度0v 沿直线航行,在0t =时,推进器停止工作(动力关闭). 假设水的阻力正比于,n v 其中n 为一常数,v 为瞬时速度,求速度与滑行距离的函数关系.知识点:微分方程模型.难度等级:2分析:据牛顿第二定律建立微分方程.解:船所受的力=向前推力-水的阻力=0,n kv -加速度为.dvdtα=于是,由题设有 00,|.n t dvmkv v v dt==-= 设距离为()x x t =,则上述方程化为.n dv dv dx dvmm mv kv dt dx dt dx=⋅=⋅=- 故有1.n mv dv kdx -=-当2n ≠时,两边积分得,22.2nmv kx c n-=-+- 代入000|,|0,t t v v x ====得20.2n mv c n-=-故220.(2)n n k n v x v m---=-+ 当2n =时,同理可解得0.k x mv v e-=。
【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案
第 1 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）LQdx Pdy +⎰=( )dxdy )P dxdy x 二重积分的积分区域D 是221≤+x y π C ．2π+⎰L Pdx Qdy在A．∂∂-=∂∂P Qy x第 2 页（共10 页）第 3 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）()Lx y ds +⎰＝ ()Lx y ds +⎰= Lydx xdy +⎰= 2sin y t =上对应22xy De dxdy --⎰⎰= 2.第 4 页 （共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。
重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 —20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量a与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos0β=时有().(A) a⊥xoy面(B) a//xoz面(C) a⊥yoz面(D) a xoz⊥面知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1.答案: (B)分析:cos0,β=,2πβ=a垂直于y轴,a//xoz面.2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为212323,y C C x C x=++其中123,,C C C为独立的任意常数,则该方程为().(A)0y y'''+=(B) 30yy'''+'=(C)0y y'''-=(D) 0y'''=知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.答案: (D)分析:由通解中的三个独立解21,,x x知,方程对应的特征方程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y'''=故应选(D).3. 设D由14122≤+≤yx确定.若1221,DI dx yσ=+⎰⎰222(),DI x y dσ=+⎰⎰223ln(),DI x y dσ=+⎰⎰则1,I2,I3I之间的大小顺序为().(A)321III<<(B)231III<<(C)132III<<(D)123III<<知识点:二重积分比较大小,难度等级:1.答案:(D)分析:积分区域D由22114x y≤+≤确定.在D内,2222221ln(),x y x yx y+<+<+故321.I I I<<只有D符合.4．设曲线L是由(,0)A a到(0,0)O的上半圆周22,x y ax+=则曲线积分命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.(sin )(cos )().xx Ley my dx e y m dy -+-=⎰(A)0 (B)22m a π (C)28m a π (D)24m a π知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级:2. 答案:(B)分析:补充直线段1:0(:0),L y x a =→则1L L +为封闭曲线在上使用格林公式可得12,2L L Dm mdxdy a π+==⎰⎰⎰而10.L =⎰选B.5. 已知向量23,a m n =+则垂直于a 且同时垂直于y 轴的单位向量().e =(A))i j k ++ (B))i j k -+ (C))2i k ±- (D)()2i k ±+知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1. 答案:(C) 分析:向量111010i j ki k =-+垂直于a 且同时垂直于y 轴,其模为6. 设∑为球面2222,x y z R ++=则22()().84x y I dS ∑=+=⎰⎰(A)24R π (B)545R π (C)24R π (D)R π4知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2. 答案:(C)分析: 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有2222224114()4.333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰利用上述结论所求I 为23.8x dS ∑⎰⎰故选C.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 幂级数21!n nn n x n ∞=∑的收敛半径为__________.知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1. 答案分析:1`22222(1)(1)(1)!lim lim 1!n n n n n n n n n xn n x ex x n n x n ++→∞→∞+++==<⇒< 8. 由原点向平面引垂线,垂足的坐标是),,(c b a ,此平面的方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:1.答案:23120.x y z -+-=分析:该平面的法向量为22350,x y z -+-=且过点22350,x y z -+-=则其平面的方程23120.x y z -+-=9. 设L 为椭圆221,34x y +=其周长记为,a 则求22(243)Lxy x y ds ++⎰__________.=知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:12.a10. 设区域D 为222,x y R +≤则()DR y dxdy +⎰⎰__________.=知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2. 答案:3.R π分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得. 11.3222(2cos )(12sin 3)__________,Lxy y x dx y x x y dy -+-+=⎰其中为抛物线22x y π=上由到的一段弧.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2答案:2.4π解: 322cos ,P xy y x =-2212sin 3,Q y x x y =-+262cos .Q P xy y x x y∂∂⇒=-=∂∂ 3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy ⇒-+-+⎰与积分路径无关.⇒取L 为由(0,0),(,0),(,1)22ππ组成的折线,则2132222203(2cos )(12sin 3)0(12).44L xy y x dx y x x y dy y y dy ππ-+-+=+-+=⎰⎰12. 设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,则333I x dydz y dzdx z dxdy∑=++⎰⎰__________.=知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级:3. 答案:12.5π分析: 由高斯公式,2122240123()3sin .5I x y z dV d d r dr ππθϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题2(2)|1x ydy x y dxy ==+⎧⎨=⎩的解.知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1. 分析:所给方程为齐次微分方程,作代换yu x=化为可分离变量的微分方程. 解:将方程改写为2.dy x y dx y+= 这是齐次方程.令,y xu =则.dy du u x dx dx=+ 代入上式得L (0,0))1,2(π21.du u xdx u+=+ 这是变量分离方程,且有(2)1(2).22y u ==积分得21ln |2|ln |1|0.33x u u C +-+++= 代入初值可解得32ln .2C =--故原方程的特解为213ln |2|ln |1|2ln 0.332y y x x x +-++--=14. 求级数11(4)!n n ∞=∑的和. 知识点:级数和,难度等级:3分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导解: 0,.!nx n x e x R n ∞==∈∑(1),.!n nx n x e x R n ∞-=-⇒=∈∑20,.(2)!2n x xn x e e x R n -∞=+⇒=∈∑又 20(1)cos ,.(2)!n nn x x x R n ∞=-=∈∑ 40cos 2,.(4)!2x xn n e e x x x R n -∞=++⇒=∈∑ 111cos112.(4)!2n e e n -∞=++⇒=∑ 15. 计算222()L ydx xdy x y -+⎰,其中L 为圆周22(1)2,x y -+=L 的方向为逆时针方向.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分.解:当(,)(0,0)x y ≠时,22222.2()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂作小圆222:,C x y ε+=取逆时针方向,则222222222112.2()2()22L C Cx y ydx xdy ydx xdy ydx xdy dxdy x y x y επεε+≤--==-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰16. 求力(,,)F y z x =沿有向闭曲线L 所作的功,其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z 轴正向看去,顺时针方向.知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲线积分用格林公式.解: 用斯托克斯公式,取∑为平面1x y z ++=的下侧被L 所围的部分,∑1,1,1).--- 力F 所做的功为LW ydx zdy xdz =++⎰x y y z ∑---=∂∂∂∂⎰⎰3.2===⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(),u yxf z =其中()f z 二阶可导,(,)z z x y =由方程2ln 10x y z +-+=所确定,求22.ux∂∂知识点:方程组的二阶偏导数,难度等级:2. 分析:()u yxf z =对x 求二阶偏导数得22,ux ∂∂但其中会包含z 对x 的二阶偏导数22zx ∂∂.2ln 10x y z +-+=两边对x两次求偏导数,可求出22zx∂∂.解:()(),u z yf z xyf z x x∂∂'=+∂∂ 222222()()()(),u z z zyf z xyf z xyf z x x x x∂∂∂∂''''=++∂∂∂∂221,1,z z x zz zz x x∂==∂∂∂==∂∂2222()()().uyzf z xyz f z xyzf z x∂''''=++∂ 18. 计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.知识点:高斯公式,球面坐标,极坐标,难度等级3. 分析: 补充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.解: 设222:,0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩取下侧,则∑与S 围成的区域为,ΩS 在xoy 面的投影区域为.D 于是323232()()()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+=+++++⎰⎰323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy -+++++⎰⎰22223()Dx y z dv ay dxdy Ω=+++⎰⎰⎰⎰⎰222222203sin sin a a d d r r dr a d r rdr πππθϕϕθθ=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰555615429.20a a a πππ=+=五、 证明题(每小题6分,共12分)19. 证明:()()0()()().ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰知识点:二重积分交换积分次序,难度等级:1分析: 将二次积分化为定积分,注意到被积函数不含变量,y 先对y 积分,故将积分区域D 由y 型区域化为x 型区域计算可得证明结果证明: 积分区域为,0,{()0|},D x y y a x y =≤≤≤≤并且D 又可表示为,0,{(}.)|D x y x a x y a =≤≤≤≤ 所以()()()0()()()().ay a a am a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰20. 设在半平面0x >内有力3()kF xi yj ρ=-+构成力场,其中k 为常数,ρ=证明:在此力场中场力所作的功与所取路径无关. 知识点:变力沿曲线作功,难度等级:1 分析: 验证积分与路径无关. 证明 场力所作的功2232,()Lxdx ydyW k x y +=-+⎰其中L 为力场内任一闭曲线段.223222523;()()Q y xyx x x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 223222523.()()P x xy y y x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 可见,,P Qy x∂∂=∂∂且,P Q 在半平面0x >内有连续偏导数,所以0.W =即场力作用与路径无关.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 已知年复利为0.05,现存a 万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,…,第n 年取出109n +万元,问a 至少为多少时,可以一直取下去？知识点:幂级数的和函数,难度等级:2解:设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值,则(1)(109).n n A r n -=++ 故1111110919102009.(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设1(),(1,1),n n S x nx x ∞==∈-∑ 则21()()(),(1,1).1(1)n n x x S x x x x x x x ∞=''===∈---∑所以11()()4201 1.05S S r ==+万元,故20094203980A =+⨯=万元,即至少应存入3980万元.22．按照牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.已知空气温度为30,︒物体在15分钟内从100︒冷却到70︒时,求物体冷却到40︒时所需要的时间？知识点:微分方程数学模型,难度等级:2分析:根据冷却定律建立微分方程初值问题并求解. 解:设在时间t 时,物体的温度为.T C ︒ 根据冷却定律列出方程(30).dTk T dt=-- 分离变量,并积分得,30dTkdt T =-- ln(30)ln .T kt c -=-+故有0.3kt T ce -=+由初始条件:015|100,|70.t t T T ==== 代入可解得1770,ln ,154c k ==即有 17(ln )154.3070t T e-=+当40T =时,由上式可解得15ln 7527ln 4t ==(分).。
重庆大学高数(下)期末试题11(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分一、 选择题(每小题3分,共18分)1. 设,yu xy x =+则22u x ∂=∂__________.答案:32.y x难度等级：1；知识点：偏导数.2. 已知级数1nn n a x ∞=∑满足11lim ,3n n na a +→∞=且lim 2,n n n ab →∞=则级数1n n n b x ∞=∑的收敛半径为__________.答案:3.难度等级：2；知识点：幂级数分析:1111111limlim 2, 3.233n n n n n n n n n n b b a a R b a a b +++→∞→∞+==⨯⨯== 3. 若曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率等于(1),yx-+且过点(2,1),则该曲线方程是__________.答案:14.2y x x =-+难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程4. 设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)__________.Lxy y dx x x dy -+-=⎰答案:18.π-难度等级：2；知识点：格林公式分析:利用格林公式可化为被积函数为2-的二重积分,而积分区域面积为9,π故得.5. 设()f t 具有连续导数, (0)0,(0)1,f f '=={}2222(,,)|,x y z x y z t Ω=++≤则1lim40I f d t t V π==⎰⎰⎰+Ω→__________. 答案:1.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密难度等级：2；知识点：三重积分6. 求以向量23a m n =+和4b m n =-为边的平行四边形的面积为 ，其中,m n 是互相垂直的单位向量. 答案：11.难度等级：2；知识点：向量代数.分析：为了便于计算,令,m i n j ==,则23a i j =+,4b i j =-,230(0,0,11),140i j ka b ⨯==--平行四边形的面积为20011a b ⨯=+=二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设非零向量,,a b c 满足条件0a b c ++=,则a b ⨯().=(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯ 答案:(B).难度等级：1；知识点：向量代数分析:在0a b c ++=的两边左乘以b得到()0,b a b c b ⨯++=⨯0,b a b b b c ⨯+⨯+⨯=即0.a b b c -⨯+⨯=于是.a b b c ⨯=⨯8. 设函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处沿任何方向有方向导数,则z f x y =(,)在点(,)x y 00处().(A)偏导数存在(B)可微 (C)偏导数不一定存在 (D)偏导数连续 答案:(C).难度等级：2；知识点：偏导数与方向导数分析:函数z =(0,0)处沿任何方向的方向导数均为1,但偏导数不存在,所以应选(C).9. 微分方程22x y y '''=的通解是().(A)1221ln(1)C x y x C C -=--+ (B) 1211ln(1)C x x y C C C -=--+ (C)12211ln(1)C x x y C C C -=-+ (D) 12211ln(1)C x x y C C C -=--+ 答案: (D).难度等级：2；知识点：可降阶微分方程分析:方程为二阶非线性方程.令,u y '=则方程降为一阶方程22,x u u '=这是变量可分离方程.分离变量得22,du dxu x=积分得111.C u x =+将u y '=代入并积分可得12211,ln(1)C x x y C C C -=--+故应选(D).10.曲线2,x t y z t ===在点(4,8,16)处的法平面方程为().(A) 8132x y z --=- (B) 8140x y z ++= (C)x-y+8z=124 (D) 8116x y z +-=答案:(B).难度等级：1；知识点：多元微分学在几何上的应用 分析:法平面的法向量就是曲线的切向量,为(1,1,8),n =所以法平面方程为:(4)(8)8(16)0.x y z -+-+-=即 8140.x y z ++= 与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选B).11. 设有一分布非均匀的曲面,∑其面密度为(,,),x y z ρ则曲面∑对x 轴的转动惯量为().(A)xdS ∑⎰⎰ (B)(,,)x x y z dS ρ∑⎰⎰(C)2x dS ∑⎰⎰ (D)22()(,,)y z x y z dS ρ∑+⎰⎰答案:(D).难度等级：1；知识点：曲面积分的应用分析:A,C 明显不对,B 被积函数不对,D 是转动惯量. 12. 设流速场{0,0,1},v =则流过球面2222x y z R ++=的流量值为().(A)0 (B)24R π (C)334R π (D)1 答案:(A).难度等级：2；知识点：第二型曲面积分的应用.分析:通量00.dxdy dV ∑ΩΦ===⎰⎰⎰⎰⎰三、 计算题(每小题6分,共24分)13. 求微分方程3dy y dx x y =+的通解. 难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性方程，需变形为一阶线性方程求解.解 方程改写为21dx x y dy y-=, 这是关于()x x y =的一阶线性非齐次方程，故通解为2()dydyyyx ey edy C -⎰⎰=+⎰ 21()2y y C =+即32y x Cy =+.14. 设(,)z z x y =由方程(,)0f y x yz -=所确定，其中f 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂.难度等级：2；知识点：隐函数的高阶偏导数. 分析 由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数的偏导数xzFz x F ∂=-∂，求出zx∂∂后再对x 求偏导数即可得22z x ∂∂.解11221f f z x yf y f -∂=-=∂ 21112221221222()()1z zf yf f f yf f z x x x y f ∂∂-+--+∂∂∂=⋅∂ 211121221232222f f f f fyf yf yf=-+-15.将函数()ln(f x x =+展成关于x 的幂级数. 难度等级：2；知识点：函数展开成幂级数分析:有对数,反三角函数需要求导后展开,然后逐项积分解:()f x '====0(21)!!(1).(2)!!n nn n x n ∞=-=-∑20(21)!!(),.(2)!!n n n f x x x R n ∞=-'⇒==∈∑ 21(21)!!()(1),.(2)!!21n knn n x f x dx x R n n +∞=-'⇒=-∈+∑⎰21(21)!!()(1),.(21)(2)!!nn n n f x x x R n n ∞+=-⇒=-∈+∑16. 计算2232(()(2),xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰其中∑为上半球体0z ≤≤表面的外侧.难度等级：2；知识点：高斯公式分析:题设曲面为封闭曲面,利用高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解: 2232(()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222205sin 2.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求函数),(y x z z =的极值点和极值.难度等级：3；知识点：多元函数极值解:方程0182106222=+--+-z yz y xy x 两边分别对,x y 求偏导数得到26220,(1)6202220.(2)x x y y x y yz zz x y z yz zz ---=⎧⎪⎨-+---=⎪⎩令00x yz z =⎧⎪⎨=⎪⎩得260,62020x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩即3.x yz y =⎧⎨=⎩ 代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x 得 3.y =±因此有两个驻点(9,3),(9,3).--相应的函数值为3, 3.-方程(1),(2)两边再次分别对,x y 求偏导数得到22222()20(3)622220(4)20422()20.(5)xx x xxx xy y x xy y yy y yy yz z zz z yz z z zz z yz z zz ⎧---=⎪⎪-----=⎨⎪----=⎪⎩将9,3,3,0,0x y x y z z z =====代入(3),(4),(5)得到21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==>==-==->故点(9,3)是(,)z z x y =的极小值点,极小值(9,3) 3.z = 同样将9,3,3,0,0x y x y z z z =-=-=-==代入(3),(4),(5)得到 21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==-<====--> 故点(9,3)--是(,)z z x y =的极大值点,极大值(9,3) 3.z --=-18. 计算23,ydx xzdy yz dz Γ-+⎰其中Γ为圆周222, 2.x y z z +==若从z 轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向.难度等级:2,知识点:斯托克斯公式,曲面积分的概念,二重积分的性质分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式化为对面积的曲面积分.解:取∑为平面2z =被Γ所围成的部分的上侧,∑的法线向量为(0,0,1),n =其方向余弦为(cos ,cos ,cos )(0,0,1).αβγ=于是23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰2cos cos cos 3(3)dS x y z yxzyzz dSαβγ∑∑∂∂∂=∂∂∂-=--⎰⎰⎰⎰ 2245520.x y dSdxdy π∑+≤=-=-=-⎰⎰⎰⎰五、证明题(每小题6分,共12分)19. 证明下列第二类曲线积分的估计式: .L xdx ydy LM +≤⎰其中L 为积分路径L 的弧长,M 为函数22y x +在L 上最大值.难度等级：3；知识点：第二类曲线积分分析:将题设积分转化为对弧长的积分,再进行估值,并注意将被积函数表成向量的点积.证明:设路径L 上的单位切向量为(cos ,sin ).αα利用两类曲线积分的联系可得(cos sin )LL xdx ydyx y dsαα+=+⎰⎰cos sin {,}{cos ,sin }LLx y ds x y dsαααα≤+=⋅⎰⎰.LMdsML =≤=⎰⎰20. 设函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,10()(),1,2,.xn n f x f t dt n -==⎰证明:(1)1001()()(),1,2,;(1)!xn n f x f t x t dt n n -=-=-⎰ (2)对于区间),(+∞-∞内的任意固定的,x 级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.难度等级：3；知识点：无穷级数 证明:(1)由函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,1011000()(),1,2,()();(0)lim ()0,,(0)0(2).xn n nn xk x f x f t dt n f x f x f f t dt f k --→=='=⎧⎪⇒⎨===≥⎪⎩⎰⎰11()()(1)!xn f t x t dt n -⇒--⎰ 1101()()(1)!xn x t df t n -=--⎰ 1110102101(()()()())(1)!1()()(2)!xn x n xn x t f t f t d x t n f t x t dt n ---=----=--⎰⎰().n f x ==(2) 函数0()f t 在t x ≤上连续,⇒存在0()0,,()().M x t x f t M x >∀≤≤由(1),1001001()()()(1)!1()()()(1)!xn n xn n f x f t x t dt n f x f t x t dt n --=--⇒=--⎰⎰10()()()().(1)!!n xn n M x x M x f x x t dt n n -⇒≤-=-⎰ 由于0()!nn M x x n ∞=∑收敛,故级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设均匀柱体密度为,ρ占有闭区域222,,{()|,0,}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤ 求它对于位于点00,0(),)(M a a h >处单位质量的质点的引力. 分析:由空间物体引力公式和对称性,利用直角坐标计算即可 解:由柱体的对称性可知, 沿x 轴与y 轴方向的分力互相抵消, 故0,x y F F ==而 2223/2[()]z z aF G dv x y z a ρΩ-=++-⎰⎰⎰2222223/20()[()]hx y R dxdyG z a dzx y z a ρ+≤=-++-⎰⎰⎰ 2223/2000()[()]hRrdrG z a dz d r z a πρθ=-+-⎰⎰⎰012()[hG z a dz a z πρ=--⎰2[G h πρ=-22. 按P.F.Verhulst 人口增长规律:当人口数充分大时,大致按有机增长规律随时间成正比例增长(设比例系数为a ).如考虑到疾病和其它原因,有一个与人口数的平方成反比的的负增长率(设比例系数为b ).已知0t =时,人口数为0,x 求在时刻t 时的人口数(),x t 并问当t →∞时人口数如何？难度等级:3;知识点:常微分方程模型,可分离变量的微分方程的初值问题.分析:只需将二阶导数表示出来就可证之. 解:据题意可得如下初始值问题200.t dx ax bxdtx x =⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 将方程分离变量,积分得020,xt x dxdt ax bx =-⎰⎰ 即有 00()1ln.()x a bx t ax a bx -=-解出x 得000.atatax e x a bx bx e=-+ 而且,当t →∞时,.a x b→。
重庆大学高等数学(工学类)课程试卷
2.若2lim ()x x a x x a xe dx x a
+∞-→+∞-=+⎰，求a 的值。
3、设函数()y y x =由方程322
2221y y xy x -+-=所确定，试求()y y x =的驻点，并判断它是否是极值点。
4. 计算
22(tan 1)x e x dx +⎰。
5. 设12
01()()1x f x xe f x dx x =-+⎰，求(),()f x f x '。
6. 已知1(2),(2)02
f f '==及20()1f x dx =⎰，求120(2)x f x dx ''⎰。
四、证明题（每小题9分，本题共18分）
1、证明方程0ln x x e π=
-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同的实根。
2、设()f x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可微，且0()sin 0f x xdx π
=⎰，0()cos 0f x xdx π
=⎰。
证明：在(0,)π内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=。
五、应用题（本题共10分）用自重200N 的抓斗将井深30米内开始时重2000N 的污泥提升到井口，已知铁链每米重50N ，提升速度为每秒3米，提升过程中污泥以每秒20N 的速度从抓斗的漏孔中漏掉，问克服重力作功多少焦耳？。
重庆大学高数(工学下)期末试题七(含答案)
答案:
分析:设动点的坐标为 根据题意得到 两边平方化简得到
9．设 交换积分次序后,
知识点:交换积分顺序；难度等级:2。.
答案:
10.设 则
知识点:一阶偏微分计算；难度等级:1。答案:
11.设 为取正向的圆周 则曲线积分
知识点:曲线对坐标的积分计算，格林公式；难度等级:1.答案:
分析:先求出对应的齐次线性方程的通解,再定出相应的特解形式.
解:对应的齐次方程的特征方程为: 故可得特征根为
原方程右端的函数 其中
方程 的一个特解为
方程 的一个特解为
利用叠加原理,得原方程的特解
故方程的通解为
15.计算曲面积分 其中 为曲面 的上侧.
知识点:对坐标曲面积分计算，高斯公式；难度等级:2.
(A)
(B)
(C)
(D)
知识点:对坐标曲面积分计算,高斯公式；难度等级:1。答案:B
分析:A中右边被积函数错误,B正确,C符号错误,D被积函数错误.
二、填空题(每小题3分,共18分)
7.微分方程 的通解为
知识点:齐次微分方程；难度等级:1。答案:
8.平面 与一动点的距离等于动点与原点间的距离,动点的轨迹表达式为
证明:令
显然 在正方形域 上连续,且
由连续函数的介值定理知 在 上至少有一个零点,即方程 在 上至少有一组解.
20.设曲面 证明:
知识点:对面积的曲面积分,对称性,轮换性；难度等级:3。
分析:据题目的特点,注意对称性的使用
证明: 关于 面对称, 为连续的奇函数,故
由轮换性对称性知 于是
在八个卦限中都是以边长为 的等边三角形,其面积为 故
重庆大学高数工学下期末试题十二含答案
大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 —20 学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1.设,x yz x=则zx∂=∂().(A)1xx yy x-(B)1ln lnxy x yx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(C)1ln lnxx yy x x yx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(D)1lnxx yy x xx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦难度等级：2；知识点：偏导数答案:C.2. 曲线sec,csc,sec cscx t y t z t t===在对应于4tπ=点处的切线方程是().(A) 2z==-(B) 2zx--==(C) 2z==-(D)2z-==难度等级：1；知识点：多元微分学的几何应用答案:B.分析:4tπ=时切点为2),切向量(2,a=-所以切线方程为2.10y zx-==-与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选(B).3. 物质沿曲线23:,,(01)23t tx t y z tΓ===≤≤分布,线密度为μ则它的质量为().()A⎰(B)0⎰(C)10⎰(D)1t⎰难度等级：2；知识点：第一类曲线积分的应用答案:C.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号XX考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密分析: 化为定积分,被积函数为1),t =≤≤ 只有C 符合.4. 设2,1m n ==，m 与n 的夹角为2π,a =4,m n -2,b m n =+23c m n =-，则23()2()1a a b b c +⋅-⋅+=( ).(A) 126 (B) 102 (C) 103 (D) 104 难度等级：2；知识点：向量代数. 答案： ( D)分析：2a 2222(4)1681620165m n m m n n =-=-⋅+=⋅-+=a b ⋅222(4)(2)472420214m n m n m m n n =-⋅+=-⋅-=⋅--=22(2)(23)2262b c m n m n m m n n ⋅=+-=-⋅-= 23()2()1a a b b c +⋅-⋅+=65314221104+⋅-⋅+=5. 设积分区域D 由2y x =和2y x =+围成,则(,)Df x y d σ=⎰⎰().(A)2221(,)x x dx f x y dy +-⎰⎰ (B)2210(,)dx f x y dy -⎰⎰(C)2122(,)x x dx f x y dy +-⎰⎰ (D)2120(,)x x dx f x y dy +⎰⎰难度等级：1；知识点：二重积分答案:(A)分析:四个选项都是先y 后x 的积分顺序,曲线求交点得为(1,1),(2,4),-积分区域为212,2,x x y x -≤≤≤≤+显然(D)不符合,(C)下限小于上限不符合,(B)积分限不对,只有(A)符合.6. 设积分曲面∑为球面2222R z y x =++的外侧,则322221()()xdydz ydzdx zdxdy x y z ∑++++⎰⎰().=(A)0 (B)π4 (C)24R π (D)334R π难度等级:2;知识点:对坐标曲面积分的计算,高斯公式 答案:(B).分析: 先将∑的方程代入被积函数，然后使用高斯公式，故选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 极限0x y →→=__________.难度等级:2;知识点:多元函数极限 答案:4.分析:可通过分母有理化和等价无穷小的代换约去分母上的无穷小量,使分母的极限不为零.解: 0x y →→=004.x y →→= 8. 函数32242z x xy y x =+++的驻点为__________.答案:()12,,1,2.33⎛⎫-- ⎪⎝⎭难度等级:1;知识点:多元函数极值 分析:驻点处函数的偏导数等于0.解:由26420,420x y z x y z x y ⎧=++=⎪⎨=+=⎪⎩解得驻点:()12,,1,2.33⎛⎫-- ⎪⎝⎭9. 设空间区域2222,x y z R Ω++≤：则__________.Ω=难度等级:2;知识点:三重积分 答案:4.R π分析::02,0,0,r R θπϕπΩ≤≤≤≤≤≤220sin Rd d r r dr ππθϕϕΩ=⋅=⎰⎰⎰4.R π10.设向量场()()(23)32,A z y i x z j y x k =-+-+-则旋度________.rotA = 难度等级:1;知识点:旋度答案:2332i jk x y z z y x zy x∂∂∂∂∂∂---=246.i j k ++ 11.设24(),x f x x e -=则(69)(0)__________.f = 难度等级:2;知识点:函数展开成幂级数 答案: 0. 分析: 2244(69)0(1)()(0)0.!n nx n x f x x ex f n ∞-=-==⇒=∑因为24()x f x x e -=幂级数的69x 的系数为 0.12. 设123(),(),()y x y x y x 是线性微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的三个线性无关的解,则微分方程的通解是__________. 难度等级:1;知识点:二阶非齐次线性微分方程的通解 答案:1213233(()())(()())().y x y x y x y x y x C C -++-类似的也可. 分析:由二阶线性微分方程通解的结构定理,13()()y x y x -与23()()y x y x -是齐次微分方程()()0y P x y Q x y '''++=的解,因此原方程的通解为1213233(()())(()())().y x y x y x y x y x C C -++-三、 计算题(每小题6分,共24分)13. 判断级数11(0)1nn a a∞=>+∑的敛散性.难度等级:2;知识点:敛散性的判别 分析:对参数进行讨论.解:(1)11101,lim 1,1,lim .112n n n n a a a a →∞→∞<<===++故级数111n n a∞=+∑发散. (2)11111,,1n n n n a a a a ∞=>≤+∑收敛,故级数111nn a ∞=+∑收敛. 14.求微分方程2xy y y '-=满足初始条件1|1x y ==的解. 难度等级:2;知识点:一阶线性微分方程. 分析:方程为2n =的贝努利方程的初值问题. 解:这是2n =的贝努利方程,在原式两边同除以2xy 得2111.dy y dx xy x-= 令1,z y =则21.dz dydx y dx=-方程化为 11.dz z dx x x+=- 这是一阶线性方程,且有11, 1.x z y ===其解为2.xz x-=故原方程的解为().2xy x x=-15.确定正数a ，使曲面xyz a =与球面22227x y z ++=在交点000(,,)M x y z 处相切.难度等级：2；知识点：曲面的切平面. 分析(,,)0F x y z =在点000(,,)x y z 处的切平面的法向量为(,,)x y z n F F F =，两曲面在000(,,)M x y z 相切，说明法向量平行，且000(,,)M x y z 在两个曲面上.解曲面xyz a =在点M 的法向量1000000(,,)n y z x z x y =，球面22227x y z ++=点M的法向量2000(,,)n x y z =，二曲面在交点000(,,)M x y z 相切，则12//n n 于是000000000x y zy z x z x y ==，而且000x y z a =，22200027x y z ++= 解之得到0003x y z ===，00027a x y z == 16.计算()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中积分路径Γ为椭圆222,x y a +=1x za b+=(0,0).a b >>若从x 轴的正向看去,这椭圆是取逆时针方向.难度等级:3,知识点:斯托克斯公式,曲面积分的计算,二重积分的性质分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式.解:取∑为平面1x za b+=被Γ所围成的部分的上侧,∑的法线向量为11(,0,),n a b=其方向余弦为(cos ,cos ,cos )αβγ=于是()()()y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰cos cos cos dS x y zy zz xx ydSαβγ∑∑∂∂∂=∂∂∂---=⎰⎰⎰⎰2222222()y a x y a a b dxdy a +≤+≤=-+=⎰⎰⎰⎰22()2().a b a aa ab ππ-+=⋅=-+ 或解:cos sin :02cos x a t y a tt z b b t π=⎧⎪=→⎨⎪=-⎩()()()y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰20[(sin cos )(sin )(cos cos )cos (cos sin )sin ]a t b b t a t b b t a t a t a t a t b t dtπ=-+-+--⋅+-⎰220()2()a ab dt a a b ππ=-+=-+⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17.设22,323ydx xdydz x xy y -=-+求原函数.z难度等级2;知识点:曲线积分与路径无关的条件 分析: 利用曲线积分与路径无关找原函数 解: 22010323xy ydxz dy c x xy y =++-+⎰⎰2283()39x y dx c y y x =+-+⎰3y c=+.c =+ 18.求与原点的距离为6，且在三个坐标轴上的截距之比为2:3:1::=c b a 的平面方程.难度等级：2；知识点：空间解析几何.分析平面的截距式方程为1x y z abc++=.解设所求的平面方程为123=++kz k y k x . 即.06326=-++k z y x 由题意有63266030206222=++-⨯+⨯+⨯k，即676=k ，7±=k .故所求的平面方程为042326=±++z y x五、证明题(每小题6分,共12分)19.设函数()f x 在[0,1]上连续,试证1113001()()()[()].6yxxf x f y f z dxdydz f x dx =⎰⎰⎰⎰难度等级:3;知识点:重积分分析: 利用连续函数一定有原函数,计算三次积分,求出结果即证证: 令0()(),xF x f t dt =⎰则()().dF x f x dx =()()()().yyxxf z dz dF z F y F x ⇒==-⎰⎰110()()()yxxf x f y f z dxdydz ⇒⎰⎰⎰11()()()yxxf x dx f y dy f z dz =⎰⎰⎰11()()[()()]xf x dx f y F y F x dy =-⎰⎰121012201()[()()()]211()[(1)()(1)()]22x f x F y F x F y dx f x F F x F F x dx =-=+-⎰⎰ 23210111{(1)()()(1)()}262F F x F x F F x =+- 1301[()].6f x dx =⎰ 20. 设有方程10,n x nx +-=其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根,n x 并证明当1>α时,级数∑∞=1n n x α收敛.难度等级:2;知识点:敛散性的判别证明: 1.设1()1()0(0)()n n f x x nx f x nx n x f x -'=+-⇒=+>≥⇒单增(0).x >故方程01=-+nx x n 至多一正实根.又(0)10,(1)0,f f n =-<=>故方程01=-+nx x n 至少一正实根.所以方程01=-+nx x n (其中n 为正整数)存在惟一正实根.n x2. 111110.n n n n n n n x nx x x n x n n αα-+-=⇒=<⇒<+故当1>α时,级数∑∞=1n n x α收敛.六、应用题(每小题8分,共16分)21.设薄片所占的闭区域D 如下,求均匀薄片的质心:D 由y =0,0,x x y ==所围成.难度等级:2;知识点:二重积分的应用分析:由平面薄片质心公式,分别计算即可 解: 令密度为 1.μ=因为区域D可表示为00, 0x x y ≤≤≤≤所以00x x DA dxdy dx ====⎰⎰⎰⎰0000001113,5x x D x xdxdy dx x A A A ====⎰⎰⎰⎰0000001113.8x x D y ydxdy dx ydy pxdx y A A A ====⎰⎰⎰⎰ 所求质心为0033(, ).58x y22. 设有一半径为R 的空球,另有一半径为r 的变球与空球相割,如果变球的球心在空球的表面上,问r 等于多少时,含在空球变球的表面积最大？并求出最大表面积的值．分析:建立合适坐标系,以空球心为原点,变球心在z 轴建立坐标系,求关于变球半径为变量函数,即含于空球部面积,再求函数最值解: STEP1.以空球心为原点,变球心在z 轴建立坐标系.STEP2.变球与空球的交线为22222222,()x y z R x y z R r⎧++=⎪⎨++-=⎪⎩它在xoy 面投影为:42222.4R r x y r R=⇒+=-STEP3.由曲面方程z R =zx z y ∂⎧=⎪∂⎪⇒⎨∂⎪=⎪∂⎩DA ⇒=20322().2D r r d r r Rπθπ===-⎰23()2(2)0.2r A r r Rπ'⇒=-=23241616432,2().3922727R R R r A R R ππ⇒==-=。
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重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ⨯与,a b 的位置关系是().(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B).分析:,a b 的向量积a b ⨯是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面.2. 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为().(A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x =知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有y x =满足方程,故应选(D).3. 累次积分⎰⎰=-2022x y dy e dx ().(A))1(212--e (B))1(314--e (C))1(214--e (D))1(312--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C).分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(214--e ,只能选(C). 4．设曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f ().(A)2x x e e -- (B)2xx e e --(C) 12-+-x x e e (D)21xx e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B).分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=-命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密()().x f x f x e '⇒-=-由结构看,C,D 不满足方程,代入,B 满足,A 不满足,选B.5. 设直线方程为1111220,0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0,A B C D B D ≠则直线().(A) 过原点 (B) 平行于z 轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y 轴 知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).分析:方程2220,0B y D D +=≠表示垂直于y 轴且不过原点的平面,11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩表示的直线位于垂直于y 轴且不过原点的平面上,不平行于z 轴,不垂直于x 轴.6. 设∑为球面2224(0)x y z z ++=≥的外侧,则2yzdzdx dxdy∑+⎰⎰().=(A)354(B)354π (C)12 (D)12π知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).分析: 添有向平面221:0(4)z x y ∑=+≤取下侧,则124,yzdzdx dxdy zdV π∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰1228.Dyzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰故有结果为D.二、填空题(每小题3分,共18分)7.121lim(1)sin x y x y →→⎛⎫- ⎪⎝⎭__________.= 知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明:1(1)sin01x x y--≤- 0,ε∴∀>取,δε=只要0,δ<必有1(1)sin0.x yε--<121lim(1)sin 0.x y x y →→⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 8. 已知lim6,n n a →∞=则11()n n n a a ∞+=-=∑__________. 知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:1 6.a - 分析: 部分和数列12231111()()() 6.n n n n s a a a a a a a a a ++=-+-++-=-→-9.2221___________,ds x y z Γ=++⎰其中Γ为曲线cos ,sin ,tttx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧.知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案21).e- 解:弧长的微分为tds dt ==,22222.tx y z e ++=于是2222011).ds x y z e Γ=-++⎰⎰10. 平面3x y z a ++=被球面2222x y z R ++=(0)R <所截得一个圆,则该圆的半径为__________.=知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案分析:该圆的中心在平面3x y z a ++=上,且三个坐标相等,中心坐标为(,,),a a a,11．设曲线积分 ,4 L 22⎰++-=yx xdyydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正向,则__________.I =知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:.π分析: 可取椭圆的参数方程计算.12. 设∑是球面222x y z R ++=在第一卦限部分,则2__________.x dS ∑=⎰⎰知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:4.6R π分析:222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()22213x y z dS ∑=++⎰⎰ 224114.386R R R ππ=⋅⋅=三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程()0y xxe d y x xdy -=+的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换yu x=化为可分离变量的微分方程.解: 方程两端同除以,x 得()0.y xye dx dy x+-=令,y vx =则.dy vdx xdv =+ 代入上式,得0,ve dx xdv -= 即 0.vdx e dv x--= 积分之,得ln .v x e C -+=故原方程的通解为ln .y xx e C -+=14. 计算2(2)(3),y L x y dx x ye dy -++⎰其中L 由从)0,2(A 到)1,0(B 的直线段22=+y x 及从)1,0(B 到)0,1(-C 的圆弧21y x --=所构成.知识点：对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级：2. 分析：补充线段构成闭曲线用格林公式.解 :如图,添加一段定向直线,CA 这样L 与CA 构成闭路.设所围的区域为,D 于是根据格林公式得:2211(2)(3)55(211)24y L CA Dx y dx x ye dy dxdy π+-++==⋅⋅+⋅⎰⎰⎰15(1).4π=+ 则L⎰=.L CACA→+-⎰⎰又2221(2)(3) 3.y CAx y dx x ye dy x dx --++==⎰⎰故25(2)(3)5(1)32.44y L x y dx x ye dy ππ-++=+-=+⎰ 15. 计算22(),x y dS ∑+⎰⎰其中∑为抛物面222z x y =--在xoy 面上方的部分.知识点：对面积的曲面积分,难度等级：2.分析：直接将曲面积分化为二重积分,用极坐标计算二重积分. 解:∑在xoy 的投影为22:2,xy D x y +≤且= 于是22()x y dS ∑+⎰⎰22(xyD x y =+⎰⎰20220112(14(14)84149.30d r r πθππ==⋅+-+=⎰ 16. 计算333,x dydz y dzdxz dxdy ∑++⎰⎰其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,球面坐标,难度等级：2 分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222053sin 12.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(,)z f x u =具有连续的二阶偏导数，而,u xy =求22.zx∂∂难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.分析: 按复合函数的偏导数的求法两次对x 求偏导数，即可求出22.z x∂∂ 解:x x u z f y f '''=+ 22.xx xx xu uu z f yf y f ''''''''⇒=++18．利用斯托克斯公式计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体[]⨯1,0[]⨯1,0[]1,0的表面所得的截痕,若从z 轴正向看去,Γ取逆时针方向.知识点：对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,难度等级：3 分析: 通过斯托克斯公式将曲线积分转化为对面积的曲面积分,注意积分技巧:可将方程代入被积函数.解: 如图,我们将平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分取为,∑于是∑的单位法向量.n e =由斯托克斯公式得:dS y x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222cos coscos γβα ().x y z dS ∑=++ 观察上述积分,由于在∑上有3,2x y z ++=根据第二型曲面积分的计算公式,故396(6)().42xyxyD D I dS S ∑=-=-=-=-=-其中xy D 是∑在xOy 坐标平面的投影区域,而xyD S 为xy D 的面积.五、 证明题(每小题6分,共12分)19．试证:,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处偏导数存在,但是不可微.知识点：二元函数偏导数、可微,难度等级：1分析:先求出(0,0),(0,0)x y f f 然后说明(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆-∆-∆不是比ρ更高阶的无穷小量就可以了.证明 : 0(,0)(0,0)lim 0(0,0);x x f x f f x∆→∆-==∆同理, (0,0)0.y f =则2200limlim.()()x x y y zx yx y ρρ→∆→∆→∆→∆→∆∆∆==∆+∆ 但是此极限不存在,故(,)f x y 在(0,0)处不可微.20. 证明:级数2(!)nn x y n ∞==∑满足方程0.xy y y '''+-= 知识点：幂级数,微分方程,难度等级：2. 分析：直接用幂数代入微分方程验证.证明: 因为20,(!)n n x y n ∞==∑所以122212(1),.(!)(!)n n n n nx n n x y y n n --∞∞==-'''==∑∑ 212222101122222111221(1)(!)(!)(!)(1)11(!)(!)(!)!(2)!!(1)!!!n n n n n n n nn n n n n nn n n n n x nx x xy y y x n n n n n x nx x n n n x x x n n n n n n --∞∞∞===--∞∞∞===--∞∞∞===''-'''+-=+--=++--=+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 21111(1)!(1)!(1)!!(!)(1)(1)(1)!!0n n nn n n nn x x x n n n n n n n xn n ∞∞∞===∞==+-+-++-+=+=∑∑∑∑∴方程0xy y y '''+-=成立.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设球在动点(),,P x y z 处的密度与该点到球心距离成正比,求质量为m 的非均匀球体2222x y z R ++≤对于其直径的转动惯量． 知识点：立体的转动惯量,难度等级：2. 分析：利用转动惯量公式,球坐标计算三重积分.解:设球体方程为2222:,x y z R Ω++≤密度函数ρ=则球体的质量为:234(,,)sin Rm x y z dxdydz k k d d r dr k R ππρθϕϕπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以,密度函数为ρ=计算该球体绕z 轴转动的转动惯量:22224235232240()(,,)(24sin sin 39Rm I x y x y z dxdydz xy R m d d r dr mR d mR R πππρπθϕϕϕϕπΩΩ=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22．将质量为m 的物体垂直上抛,假设初始速度为0,v 空气阻力与速度成正比(比例系数为k ),试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系.知识点：微分方程的初值问题,难度等级：1 分析: 只需将二阶导数表示出来就可证之.解: 根据条件,空气阻力为.kv 于是物体上升过程中受力为()kv mg -+(其中负号表示力与运动方向相反),而运动加速度为.dva dt=因而得微分方程 .dv m kv mg dt=-- 又知初始速度为0v ,故得初值问题0,(0).dv kv g dt mv v ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ 因此000000(1.)()()ttkkkk k k dtdtt t t t tm m mm m mgm mg v egedt v ee v e v e k m k kg -----⎰⎰=-+=+-+=+⎰。