2019年中考复习试题-九上数学一元二次方程(含解析答案)
一元二次方程一．选择题（共14小题）1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）A．x1≠x2B．x12﹣2x1＝0C．x1+x2＝2D．x1•x2＝22．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（ ）A．16B．12C．14D．12或163．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（ ）A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．﹣64．一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ）A．48B．24C．24或40D．48或805．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（ ）A．34B．30C．30或34D．30或366．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1D．有两个相等的实数根7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤B．k＞C．k＜且k≠1D．k≤且k≠1 8．若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定9．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（ ）A．0或2B．﹣2或2C．﹣2D．210．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m 的值为（ ）A．B．C．D．011．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ）A．0B．±1C．1D．﹣112．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）A．k≥0B．k≥0且k≠2C．k≥D．k≥且k≠213．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（ ）A．2023B．2021C．2020D．201914．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）A．6B．5C．4D．3二．填空题（共7小题）15．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是 ．16．a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是 ．17．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于 ．18．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是 ．19．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝ ．20．已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 ．21．对于任意实数a、b，定义：a◆b＝a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5＝0的两根记为m、n，则m2+n2＝ ．三．解答题（共6小题）22．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．25．已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．26．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．27．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．2．【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0，得：x＝3或x＝5，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，故选：A．3．【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．4．【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，所以x1＝5，x2＝3，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∴菱形的另一条对角线为2＝6，∴菱形的面积＝×6×8＝24．故选：B．5．【解答】解：当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故选：A．6．【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A．7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠1．故选：D．8．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△＝k2﹣4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．9．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，∴k＝2．故选：D．10．【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．11．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0，则a的值为：a＝﹣1．故选：D．12．【解答】解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，∴，解得：k≥且k≠2．故选：D．13．【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab＝3，∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．14．【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有实数根∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m＝2或3．∴2+3＝5．故选：B．二．填空题（共7小题）15．【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝2，x2＝1，故答案为：1或2．16．【解答】解：∵a是方程2x2＝x+4的一个根，∴2a2﹣a＝4，∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．故答案为：8．17．【解答】解：根据题意得：△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，整理得：4ac﹣8a＝﹣4，4a（c﹣2）＝﹣4，∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a得：c﹣2＝﹣，则+c＝2，故答案为：2．18．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4+4m＞0，∴m＞﹣1；故答案为0；19．【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，所以m1＝﹣3，m2＝4．故答案为﹣3或4．20．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，∴k＝1．故答案为：1．21．【解答】解：∵（x◆2）﹣5＝x2+2x+4﹣5，∴m、n为方程x2+2x﹣1＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝6．故答案为：6．三．解答题（共6小题）22．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．23．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣x1x2＝16，∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．24．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，解得：m＝1．25．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．26．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；（2）k的最大整数为2，方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，∴m的值为．27．【解答】解：（1）由题意△≥0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤．（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根为x1，x2，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（x2+1）＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1＝﹣x2﹣x1﹣2＝3﹣2＝1．。
2019年湘教版九年级数学上册第二章一元二次方程单元考试试题(有答案)
湘教版九年级数学上册第二章一元二次方程单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1•下列方程中，是一元二次方程的为（）2 2A. x+3x=0B. 2x+y=3C. —D. x（x +2）=02. 若X I、X2是一元二次方程x2+2x - 3=0的二个根，则X1?X2的值是（）A. 2B. -2C. 3D. -33. 用配方法解方程，变形结果正确的是（）A. - -B. - -C. - —D. - —24. 已知关于x的方程（a - 1）x - 2x+仁0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. a<2B. a>2C. a S2a 工1D. a—25. 已知m,n是关于x的一元二次方程x - 3x+a=0的两个解，若（m -1）（n - 1）=- 6,则a的值为（）A. - 10B. 4-a D. 102 26.关于x的一兀二次方程（m 1）x x+m1=0的一个解是0, 则m的值为（）A. 0B.II ±111C. 127.方程（x—4）=81的解是（）A.x=13B. x=—5C. x=13 或—5D.以上都不对8.点P （a, b）是直线y=—x—5与双曲线-的一个交点，则以a、b两数为根的一元二次方程是（)A. x2-5x+6=0B. X-5x+6=02C. *5x-6=0D. X+5x-6=09.某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万兀，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元.设这种药品成本的年平均下降率为x,则x为（）A. 3%B. 6%C. 8%D. 10%10. 设是方程的两个实数根，则一一的值是（）A. -6B. -5 （M65 D.或5二、填空题（共10题；共30分）211. 一元二次方程x +3x=0的解是 ________ .12. ____________ 当m= 时，关于x的方程（期-3）产"-X — 5是一元二次方程；13. _________________________________________________________________________________ 若关于x 的一元二次方程（m - 1）x2+5x+m2- 3m+2=0的常数项为0，则m的值等于________________________14. 如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为__________15. _________________________________________________________________ 设X1 , X2是方程x2+x- 3=0的两个根，那么X13- 4X22+19的值为____________________________________________ .16. 已知X1 , X2为一元二次方程2x2+3x -仁0的两个实数根，那么X12+X22= ____________ .17. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且则m的值是_________ .18•已知实数 满足，则代数式一的值为 __________ .19•已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2X 2-8X +7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是________ 。
2019中考数学试题分类汇编考点10一元二次方程含解析201.doc
2019中考数学试题分类汇编：考点10 一元二次方程一．选择题（共18小题）1．（2019•泰州）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1、x2异号，结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1、x2异号，结论D错误．故选：A．2．（2019•包头）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m=2或3．∴2+3=5．故选：B．3．（2019•宜宾）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．0【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0．故选：D．4．（2019•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设参加酒会的人数为x人，根据题意得： x（x﹣1）=55，整理，得：x2﹣x﹣110=0，解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）．答：参加酒会的人数为11人．故选：C．5．（2019•临沂）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（）A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2=D．（y﹣）2=【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：y2﹣y﹣=0y2﹣y=y2﹣y+=1（y﹣）2=1故选：B．6．（2019•眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=﹣、αβ=﹣3，将其代入+=中即可求出结论．【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，∴α+β=﹣，αβ=﹣3，∴+====﹣．故选：C．7．（2019•泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根 B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3．故选：D．8．（2019•宜宾）某市从2019-2019开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2019-2019“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2019年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%【分析】设该市2019年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2019-2019及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该市2019年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市2019年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．故选：C．9．（2019•湘潭）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：D．10．（2019•盐城）已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x=1代入方程得1+k﹣3=0，解得k=2．故选：B．11．（2019•嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，整理得：x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．12．（2019•铜仁市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．【解答】解：x2﹣4x+3=0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，故选：C．13．（2019•台湾）若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b之值为何？（）A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=﹣3，然后计算代数式a﹣2b的值．【解答】解：（x﹣11）（x+3）=0，x﹣11=0或x﹣3=0，所以x1=11，x2=﹣3，即a=11，b=﹣3，所以a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17．故选：D．14．（2019•安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．【解答】解：x2﹣7x+10=0，（x﹣2）（x﹣5）=0，x﹣2=0，x﹣5=0，x1=2，x2=5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．故选：A．15．（2019•广西）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2019-2019蔬菜产量为80（1+x）吨，2019年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，即：80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．故选：A．16．（2019•乌鲁木齐）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890 B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．【解答】解：设房价定为x元，根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．故选：B．17．（2019•黑龙江）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：=15，解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛．故选：C．18．（2019•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8% B．9% C．10% D．11%【分析】设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1﹣x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得6000（1﹣x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．故选：C．二．填空题（共14小题）19．（2019•扬州）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为2019 ．【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，∴2m2﹣3m=1∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2019故答案为：201920．（2019•苏州）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ﹣2 ．【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，∴4+2m+2n=0，∴n+m=﹣2，故答案为：﹣2．21．（2019•荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为﹣3 ．【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．【解答】解：把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，因为k≠0，所以k的值为﹣3．故答案为﹣3．22．（2019•资阳）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= 2 ．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，∴m2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2．故答案是：2．23．（2019•南充）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0，然后把等式两边除以n 即可．【解答】解：∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，∴4n2﹣4mn+2n=0，∴4n﹣4m+2=0，∴m﹣n=．故答案是：．24．（2019•柳州）一元二次方程x2﹣9=0的解是x1=3，x2=﹣3 ．【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．【解答】解：∵x2﹣9=0，∴x2=9，解得：x1=3，x2=﹣3．故答案为：x1=3，x2=﹣3．25．（2019•绵阳）已知a＞b＞0，且++=0，则= ．【分析】先整理，再把等式转化成关于的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：2b（b﹣a）+a（b﹣a）+3ab=0，整理得：2（）2+﹣1=0，解得=，∵a＞b＞0，∴=，故答案为．26．（2019•十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为 1 ．【分析】根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为：1．27．（2019•淮安）一元二次方程x2﹣x=0的根是x1=0，x2=1 ．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=1．28．（2019•黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为16 ．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．【解答】解：解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．29．（2019•黔南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是13 ．【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【解答】解：x2﹣6x+8=0，（x﹣2）（x﹣4）=0，x﹣2=0，x﹣4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，故答案为：13．30．（2019•通辽）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为x（x﹣1）=21 ．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为： x（x﹣1）=21．31．（2019•南通模拟）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是100（1+x）2=160 ．【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器160台，可列出方程．【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为x，100（1+x）2=160．故答案为：100（1+x）2=160．32．（2019•泰州）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 3 ．【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．【解答】解：依题意得：，解得∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3=0，解得a=3．故答案是：3．三．解答题（共11小题）33．（2019•绍兴）（1）计算：2tan60°﹣﹣（﹣2）0+（）﹣1．（2）解方程：x2﹣2x﹣1=0．【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂，然后再计算加减即可；（2）首先计算△，然后再利用求根公式进行计算即可．【解答】解：（1）原式=2﹣2﹣1+3=2；（2）a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，方程有两个不相等的实数根，x===1，则x1=1+，x2=1﹣．34．（2019•齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3或x2=．35．（2019•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x （元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；（2）根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，解得：x1=35，x2=25．∵20≤x≤32，∴x=25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．36．（2019•德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x （单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：，解得：，∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，整理，得：x2﹣130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．37．（2019•沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．38．（2019•重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2019年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2019年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2019年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2019年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2019年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．【分析】（1）设2019年前5个月要修建x个沼气池，则2019年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．【解答】解：（1）设2019年前5个月要修建x个沼气池，则2019年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，根据题意得：x≥4（50﹣x），解得：x≥40．答：按计划，2019年前5个月至少要修建40个沼气池．（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元），修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），设y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，∴a的值为10．39．（2019•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为26 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．故答案为26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）=1200，整理，得x2﹣30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，解得：x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．40．（2019•宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求n的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q 值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；（3）利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．【解答】解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，解得：m1=，m2=﹣（舍去），∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，则（30﹣a）+2a=39.5，解得：a=9.5，则Q=20.5．设第一年用甲方案整理降低的Q值为x，第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，解法一：（30﹣a）+2a=39.5a=9.5x=20.5解法二：解得：41．（2019•安顺）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019-2019在2015年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2015年到2019-2019，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2019-2019异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2019-2019该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2019-2019该地投入异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设2019-2019该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金=前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．答：从2015年到2019-2019，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．（2）设2019-2019该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，解得：a≥1900．答：2019-2019该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．42．（2019•内江）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}=解决问题：（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}= ，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取值范围为；（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．【分析】（1）根据定义写出sin45°，cos60°，tan60°的值，确定其中位数；根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，可得不等式组：则，可得结论；（2）根据新定义和已知分情况讨论：①2最大时，x+4≤2时，②2是中间的数时，x+2≤2≤x+4，③2最小时，x+2≥2，分别解出即可；（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，根据M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论．【解答】解：（1）∵sin45°=，cos60°=，tan60°=，∴M{sin45°，cos60°，tan60°}=，∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则，∴x的取值范围为：，故答案为：，；（2）2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，分三种情况：①当x+4≤2时，即x≤﹣2，原等式变为：2（x+4）=2，x=﹣3，②x+2≤2≤x+4时，即﹣2≤x≤0，原等式变为：2×2=x+4，x=0，③当x+2≥2时，即x≥0，原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0，综上所述，x的值为﹣3或0；（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，如图所示：结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}=y A=y B，此时x2=9，解得x=3或﹣3．43．（2019•重庆）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2019-2019通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1：2，且里程数之比为2：1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2019-2019的基础上增加10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2019-2019的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．【分析】（1）根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列不等式可得结论；（2）先根据道路硬化和道路拓宽的里程数之比为2：1，设未知数为2x千米、x千米，列方程可得各自的里程数，同理可求得每千米的道路硬化和道路拓宽的经费，最后根据题意列方程，并利用换元法解方程可得结论．【解答】解：（1）设道路硬化的里程数是x千米，则道路拓宽的里程数是（50﹣x）千米，根据题意得：x≥4（50﹣x），解得：x≥40．答：原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米．（2）设2019-2019通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为2x千米、x 千米，2x+x=45，x=15，2x=30，设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为y千米、2y千米，30y+15×2y=780，y=13，2y=26，由题意得：13（1+a%）•40（1+5a%）+26（1+5a%）•10（1+8a%）=780（1+10a%），设a%=m，则520（1+m）（1+5m）+260（1+5m）（1+8m）=780（1+10m），10m2﹣m=0，m1=0.1，m2=0（舍），∴a=10．。
(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2kx +k ﹣3＝0有实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．k ≥0B ．k ≥0且k ≠1C ．k ≥34D ．k ≥34且k ≠1 2．一个菱形两条对角线的长是方程28120x x -+=的两个根，则该菱形的面积为（ ） A ．12B ．6或12C ．8D ．6 3．已知关于x 的一元二次方程240x x k +-=，当40k -<<时，该方程解的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定 4．1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24a b +=（ ） A ．2-B ．3-C ．4-D ．6- 5．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x 元，则符合题意的方程是（ ） A ．(1612)(36040)1680x x +--=B ．(12)(36040)1680x x --=C ．(12)[36040(16)]1680x x ---=D ．(1612)[36040(16)]1680x x +---= 6．关于x 的方程()11340a a xx ++-+=是一元二次方程，则（ ） A ．1a ≠± B ．1a =- C ．1a = D ．1a =± 7．若关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．28．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x 个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．()1132x x +=B ．()1132x x -=C ．1(1)1322x ⨯+=D ．1(1)1322x x -= 9．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为2120x x m -+=的两根，则m 的值为（ ）A ．32B ．36C ．32或36D ．不存在10．若12,x x 是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于( )A ．2020B ．2019C ．2029D ．202811．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个；①方程220x x --=是倍根方程；②若()()20x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若p 、q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，则必有229b ac =．A ．1B ．2C ．3D ．412．若关于x 的一元二次方程x 2＋x －3m ＋1＝0有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞14 B ．m ＜14 C ．m ≥14 D ．m ≤14二、填空题13．已知a ，b 是方程230x x --=的两个实数根，则2+1a b +的值为__________． 14．已知m ，n 是方程2210x x --=的两实数根，则11m n+=_______． 15．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程28120x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是________．16．若实数a 、b （a ≠b ）满足2850a a -+=，2850b b -+=，则+a b 的值_______． 17．某种植基地2018年蔬菜产量为100吨，预计2020年蔬菜产量达到150吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为_________________． 18．关于x 的方程21x a =-有实数根，则a 的取值范围为_______________________． 19．已知一元二次方程x 2-10x +21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为_________．20．如图，把矩形纸片ABCD （BC CD >）沿折痕DE 折叠，点C 落在对角线BD 上的点P 处；展开后再沿折痕BF 折叠，点C 落在BD 上的点Q 处；沿折痕DG 折叠，点A 落在BD 上的点R 处．若4PQ =，7PR =，则BD =___________．三、解答题21．2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m ，宽为8m 的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？22．小虎同学用配方法推导一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的求根公式时，对于240b ac -≥的情况，他是这样做的：由于0a ≠，方程20ax bx c ++=变形为：2b c x x a a+=-， 第一步 22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 第二步 222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 第三步 242b b ac x a -+=， 第四步 244b b ac x a--=． 第五步 （1）小虎的解法从第_______步开始出现错误；事实上，当240b ac -≥时，方程20(a 0)++=≠ax bx c 的求根公式是：_____________________．（2）用配方法解方程：2640x x ++=．23．若关于x 的方程(3)(2)x x p --=有两个不相等的实数根，求p 的取值范围． 24．“黄冈名师课堂”是集黄冈众多名师的网络课堂，自上线以来受到了广大师生，家长和社会各界的好评．经统计，2020年10月在线听课的学生为66250人次，12月在线听课学生增加至95400人次．若10月至12月，每月在线听课人数平均增长率相同． （1）求每月的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计2021年1月在线听课的人次将会达到多少？ 25．在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠===，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/s 的速度作直线运动，已知点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC 的延长线运动，设点P 运动时间为(s)t ，PCQ △的面积为()2cm S ．当P 运动到几秒时625ABC S S =？26．某商家将进货单价40元的商品，按50元出售能卖出500件，已知这种商品每涨价0.4元，就会少销售4件，商家为了赚得8000元的利润，每件售价应定为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次项系数不为0和△≥0列不等式组即可．【详解】解：根据关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2kx +k ﹣3＝0有实数根，列不等式组得，210(2)4(1)(3)0k k k k -≠⎧⎨----≥⎩， 解得，k ≥34且k ≠1， 故选：D ．【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式列不等式，注意：一元二次方程二次项系数不为0．2．D解析：D【分析】利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积=12对角线的积求解即可． 【详解】解：28120x x -+=，（x-6）（x-2）=0，∴x 1=6，x 2=2，∵菱形的两条对角线长分别为6，2，∴菱形面积为162=62⨯⨯， 故选：D ．【点睛】综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用到的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积=12对角线的积． 3．A解析：A【分析】计算根的判别式，根据k 的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．【详解】解：∵一元二次方程240x x k +-=，∴△= 22444b ac k -=+=16+4k ，∵40k -<<，∴1640k -<<，∴16+4k ＞0，∴△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．4．A解析：A【分析】把1x =代入方程，得到a 与b 的式子，整体代入即可．【详解】解：把1x =代入220x ax b ++=得，120a b ++=，∴21a b +=-，∴242a b +=-，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，解题关键是明确方程解的意义，树立整体代入思想．5．A解析：A【分析】根据总利润=每盒的利润×销售量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份”即可得出答案．【详解】解：每份盒饭涨价x 元后，利润为(16+x-12)元，销售量为(360-40x)盒，∴可得方程为(1612)(36040)1680x x +--=，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关键．6．C解析：C【分析】 根据一元二次方程的定义可得1a +=2，且a+1≠0，解方程即可；．【详解】 解：由题意得1a +=2，且a+1≠0，，解得：a=±1，因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1，故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 7．C解析：C【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a 的范围，确定出所求即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，∴△＝1−8（a−2）≥0，且a−2≠0，解得：a≤178且a≠2， 则整数a 的最大值为1．故选C ．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解本题的关键．8．B解析：B【分析】利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可．【详解】设这段线路有x个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票，x x-=．根据题意，列方程得()1132故选择：B．【点睛】本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键．9．B解析：B【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．【详解】分为两种情况：①当腰长是4时，设底边为a，依题意得：a+4=12，解得：a=8，即三边为4，4，8，不能构成三角形，舍去；②底边为4，设腰长为b，依题意得：b+b=12，∴腰长为b=6，即三边为4，6，6，∴m=6×6=36；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，掌握根与系数的关系并能进行分类讨论是解此题的关键．涉及等腰三角形的问题容易漏解或多解，要特别注意．10．D解析：D【分析】先根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出21142020x x -=，124x x +=，代入原式计算即可．【详解】解：∵1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，∴211420200x x --=，即21142020x x -=，由根与系数之间关系可知124x x +=，∴211222x x x -+=21112422x x x x -++=2020+122()x x +=2020+8=2028．所以选项D 正确．故答案为：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数之间的关系，本题解题的关键是将211222x x x -+进行等量变形，并代入求解．11．C解析：C【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m 、n 之间的关系，而m 、n 之间的关系正好适合；③当p ，q 满足2pq =，则()()2310px x q px x q ++=++=，求出两个根，再根据2pq =代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当122x x =，或122x x =时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【详解】解：①解方程220x x --=（x-2）（x+1）=0，∴x-2=0或x+1=0，解得，12x =，21x =-，得，122x x ≠，∴方程220x x --=不是倍根方程；故①不正确；②若()()20x mx n -+=是倍根方程，12x =，因此21x =或24x =，当21x =时，0m n +=，当24x =时，40m n +=，()()224540m mn n m n m n ∴++=++=，故②正确；③∵pq=2，则：()()2310px x q px x q ++=++=， 11x p∴=-，2x q =-， 2122x q x p ∴=-=-=， 因此是倍根方程，故③正确；④方程20ax bx c ++=的根为：1x =2x =，若122x x =2=，20-=，02b a+∴=，0b ∴+=，b ∴=-，()2294b ac b ∴-=，229b ac ∴=．若122x x =2=，20=，0=，0b ∴-+=，b ∴=，()2294b b ac ∴=-，229b ac ∴=．故④正确，∴正确的有：②③④共3个．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．12．C解析：C【分析】关于x 的一元二次方程2310x x m +-+=有两个实数根，即判别式△=24b ac - ≥0，即可得到关于m 的不等式，从而求得m 的范围；【详解】∵ 关于x 的一元二次方程2310x x m +-+=有两个实数根，∴ ()214131m ∆=-⨯⨯-+≥0， 解得：m≥14， 故选：C ．【点睛】 本题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，正确掌握根与判别式的关系是解题的关键．二、填空题13．5【分析】先根据根与系数的关系写出两根的和与积代入所求代数式计算即可【详解】解：∵是方程的两个实数根∴∴∴；故答案为：5【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系掌握根与系数的关系是解决本题的关 解析：5【分析】先根据根与系数的关系，写出两根的和与积，代入所求代数式计算即可．【详解】解：∵a ，b 是方程230x x --=的两个实数根，∴230a a --=，111a b -+=-=， ∴23a a =+，∴2131()4145a b a b a b ++=+++=++=+=；故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．掌握根与系数的关系是解决本题的关键．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=c a． 14．-2【分析】由根与系数的关系可得出m ＋n ＝2mn ＝−1将其代入中即可求出结论【详解】解：∵mn 是方程x2−2x−1＝0的两实数根∴m ＋n ＝2mn ＝−1∴＝＝−2故答案为：-2【点睛】本题考查了根与系解析：-2【分析】由根与系数的关系可得出m ＋n ＝2、mn ＝−1，将其代入11m n +=m nn m +中，即可求出结论．【详解】解：∵m ，n 是方程x 2−2x−1＝0的两实数根，∴m ＋n ＝2，mn ＝−1， ∴11m n +=m n n m +＝21-＝−2． 故答案为：-2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于−b a 、两根之积等于c a是解题的关键． 15．14【分析】运用因式分解法解一元二次方程求出两根因为三角形是等腰三角形分情况讨论：腰为2时和腰为6时再利用三角形三边关系验证是否符合题意即可求出周长；【详解】解：（x-2）（x-6）=0x1=2x2解析：14【分析】运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长；【详解】解：28120x x -+=，（x-2）（x-6）=0，x 1=2，x 2=6，当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，则周长为：6+6+2=14，故答案为：14．【点睛】本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解题的关键．16．8【分析】直接用一元二次方程的韦达定理进行求解即可；【详解】∵a 是的解b 是的解∴ab 是方程的两个解∴故答案为：8【点睛】本题考查了一元二次方程的韦达定理正确理解公式的应用是解题的关键解析：8【分析】直接用一元二次方程的韦达定理进行求解即可 12b x x a +=-、12c x x a= ； 【详解】∵ a 是 2850a a -+= 的解，b 是2850b b -+=的解，∴ a 、b 是方程2850x x -+=的两个解， ∴ 881a b -+=-= ， 故答案为：8．【点睛】 本题考查了一元二次方程的韦达定理，正确理解公式的应用是解题的关键．17．【分析】利用两次增长后的产量=增长前的产量×（1+增长率）2设平均每次增长的百分率为x 根据从100吨增加到150吨即可得出方程【详解】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x 则可列方程为100（1+x ）2=解析：()21001150x +=【分析】利用两次增长后的产量=增长前的产量×（1+增长率）2，设平均每次增长的百分率为x ，根据“从100吨增加到150吨”，即可得出方程．【详解】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为100（1+x ）2=150，故答案为：()21001150x +=．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于熟知两次增长后的产量=增长前的产量×（1+增长率）2，根据条件列出方程． 18．【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根∴a-1≥0解得a≥1故答案为a≥1【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件直接开平方法解一解析：1a ≥【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程21x a =-有实数根，∴a-1≥0，解得a≥1，故答案为a≥1．【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a 的一元一次不等式是解题的关键．19．17【分析】先求出方程的解然后分两种情况进行分析结合构成三角形的条件即可得到答案【详解】解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根∴∴∴或当3为腰长时3+3<7不能构成三角形；当7为腰长时则周解析：17【分析】先求出方程的解，然后分两种情况进行分析，结合构成三角形的条件，即可得到答案．【详解】解：∵一元二次方程x 2-10x+21=0有两个根，∴210210x x -+=，∴(3)(7)0x x --=，∴3x =或7x =，当3为腰长时，3+3<7，不能构成三角形；当7为腰长时，则周长为：7+7+3=17；故答案为：17．【点睛】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解题的关键是掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．20．13【分析】由折叠的性质可得CD=PDAD=DRBC=BQ 由勾股定理可得（CD+7+CD4）2=（CD+7）2+CD2可求CD=5由勾股定理可求解【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC ∠C=解析：13【分析】由折叠的性质可得CD=PD ，AD=DR ，BC=BQ ，由勾股定理可得（CD+7+CD -4）2=（CD+7）2+CD 2，可求CD=5，由勾股定理可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，∠C=90°，由折叠的性质可得：CD=PD ，AD=DR ，BC=BQ ，∵PQ=4，PR=7，∴PQ=BQ-（BD-PD ）=BC -BD+CD=4，PR=AD -PD=BC -CD=7，∴BD=BC+CD -4，BC=CD+7，∵BD 2=BC 2+CD 2，∴（CD+7+CD -4）2=（CD+7）2+CD 2，∴CD 1=5，CD 2=-4（舍去），∴BC=12，∴13=，故答案为：13．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．三、解答题21．1【分析】根据矩形的面积和为102平方米列出一元二次方程求解即可．【详解】解：设人行通道的宽度为x 米，根据题意得，（20﹣3x ）（8﹣2x ）＝102，解得：x 1＝1，x 2293=（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为102m 2得出等式是解题关键．22．（1）四；2b x a-±=；（2）13x =-23x =-． 【分析】（1）观察小虎的解法找出出错的步骤，写出求根公式即可；（2）利用配方法求出方程的解即可．【详解】解：（1）小虎的解法从第四步开始出现错误；当b 2﹣4ac ＞0时，方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式是x ；故答案为：四；x ； （2）移项得:264x x +=-，配方得：x 2+6x +9=-4+9，即（x +3）2=5，开方得：x解得：x 1= - x 2=【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．23．14p >- 【分析】根据根的判别式大于0列不等式即可．【详解】解：(3)(2)x x p --=，化简得，2560x x p -+-=，∵关于x 的方程(3)(2)x x p --=有两个不相等的实数根，∴()2425460b ac p -=-->， 解得，14p >-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟知一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0．24．（1）20%；（2）114480人【分析】（1）设该每月平均增长率为x ，根据等量关系：10月份在线听课的学生人次×（1+增长率）2＝12月份在线听课学生人次，列出方程求解即可；（2）1月份在线听课的人次＝12月份在线听课的人次×增长率列式计算即可．【详解】（1）解：设每月的平均增长率为x ，由题意得：266250(1)95400x +=，解得：10.2x =，2 2.2x =-（舍）．答：月平均增长率为20%．（2）95400(120%)114480+=（人）答：按照这个平均增长率，预计2021年1月在线听课的人次将会达到114480人．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x ）2＝后来的量，其中增长用+，减少用﹣．25．4秒、6秒或12秒【分析】先根据三角形面积公式可得S △ABC ，根据S ＝625S △ABC ，可求△PCQ 的面积，再分两种情况：P 在线段AB 上；P 在线段AB 的延长线上；进行讨论即可求得P 运动的时间．【详解】 解：∵S △ABC =12AB•BC=50cm 2，625S △PCQ =12cm 2， 设当点P 运动x 秒时，S ＝625S △ABC ，当P 在线段AB 上，此时CQ=x ，PB=10-x ，S △PCQ =12x （10-x ）=12， 化简得 x 2-10 x+24=0，解得x=6或4，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ=x ，PB=x-10，S △PCQ =12x （x-10）=12， 化简得 x 2-10 x+24=0，x 2-10 x-24=0，解得x=12或-2，负根不符合题意，舍去．所以当点P 运动4秒、6秒或12秒时，S ＝625S △ABC ． 【点睛】此题主要考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知分两种情况进行讨论是解题关键．26．60元/件或80元/件．【分析】设售价应定为x 元/件，则每件的销售利润为（x-40）元，能卖出4500(50)0.4x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦件，根据总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设售价为每件x 元，则每件的销售利润为（x-40）元，依题意，得：4405005080000.()[()]4x x ---=， 整理得214048000x x -+=，解得：160x =，280x =，且符合题意，答：售价应定为60元/件或80元/件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。
人教版初中数学-学年九年级上学期期末专题复习 专题1：一元二次方程 解析版
人教版初中数学2019-2020学年九年级上学期期末专题复习专题1：一元二次方程一、单选题1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A. x2+2y=1B. ﹣2=0C. ax2+bx+c=0D. x2+2x=12.一元二次方程x2-x-4=0的一次项系数和常数项分别是（）A. 1，-1B. 1，-4C. -1，-4D. -1，43.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（）A. B. C. D.4.方程的解是（）A. B. C. ， D.5.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根,则k的取值范围是( )A. k>-1或k≠0B. k≥-1C. k≤-1或k≠0D. k≥-1且k≠06.一元二次方程x2+4x+2=0的根的判别式的值为（）A. 8B. 24C.D.7.已知x1、x2、是一元二次方程x2+x-2=0的两个根，则x1+x2+x1x2的值为（）A. 1B. -3C. 3D. -2二、填空题8.方程x2-2ax+3=0有一个根是1，a的值是________。
9.若代数式可化为，则=________，=________.10.定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是________.三、计算题11.解下列方程。
（1）x2-5x+6=0（2）(2x＋1)(x－4)＝5.12.（1）先化简，再求值：（x-2y）2-x（x+3y）-4y2，其中x=-4，y= .（2）已知：x+y=6，xy=4，求下列各式的值x2+y213.按要求解一元二次方程（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0．（5）(6x－1)2＝25；四、解答题14.如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．15.要组织一次篮球邀请比赛，参赛的队伍每两个队都要比赛一场.赛程安排7天,每天比赛4场,问组织者应该邀请多少个队参赛?五、综合题16.已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（1）当m＝0时，求方程的实数根．（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．17.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．（1）若参加聚会的人数为3，则共握手________次；若参加聚会的人数为5，则共握手________次；（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手________次；（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．答案解析部分一、单选题1. D解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故答案为：D．【分析】一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可．2. C解：一元二次方程x2-x-4=0的一次项系数时-1，常数项是-4，故C正确。
2019备战中考数学专题练习(全国通用)-一元二次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题(含答案)
2019备战中考数学专题练习（全国通用）一元二次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题（含答案）一、单选题1.选择题：用一个正方形在日历中任意圈出相邻的2×2个数，使这4个数的和为64，则这4个数分别是（）A. 12，13，18，19B. 13，14，15，19C. 12，13，19，20D. 11，12，19，222.如图是某年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（）A. 69B. 54C. 40D. 273.如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈出9个数（如6、7、8、13、14、15、20、21、22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为32，则这9个数的和为（）A. 144B. 153C. 198D. 2164.甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的两倍，乙现在的年龄是（）A. 10岁B. 15岁C. 20岁D. 30岁5.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为46，则这9个数的和为（）A. 69B. 84C. 126D. 207二、填空题6.当日历中同一行中相邻三个数的和为63，则这三个数分别为________．7.一个两位数，个位数字比十位数字的2倍多1，如果个位与十位的数字交换位置，得到一个新的两位数，新的两位数比原来两位数的2倍少1，则原两位数为________．8.如图，在2018年10月的月历上，任意圈出一个由3个数组成的竖列如果它们的和为36，那么其中最小的数是2018年10月________号．9.一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字1移到右端，那么所得新的六位数等于原数的3倍，则原来的六位数为________．10.如果日历上爸爸的生日的那天上、下、左、右四个日期的和为96，那么爸爸的生日是________日．11.已知在月历中竖列上三个数的和是45，则这三个数中最小的数是________．12..三个连续偶数的和为48，则这三个偶数的积为________ .13.观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则a﹣b+m=________．14.有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，其中某三个相邻数的和是-1701，那么这三个数中最小的数是________．三、解答题15.已知右表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n以及表中x的值．16.概念：如果一个n×n矩阵（教材中表现为方格图）的每行，每列及两条对角线的元素之和都相等，且这些元素都是从1到n的自然数，这样的矩阵就称为n阶幻方．有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数字问题．下面介绍一种构造三阶幻方方法﹣﹣﹣杨辉法：（如图（1））口诀：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”学以致用：（1）请你将下列九个数：﹣18、﹣16、﹣14、﹣12、﹣10、﹣8、﹣6、﹣4、﹣2，分别填入方格1中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等；（2）将方格2中左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和相等；（3）将9个连续自然数填入方格3的方格内，使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于60；（4）用﹣3～5这九个数补全方格4中的幻方．方格1方格2方格3方格4四、综合题17.把正整数1，2，3，4，…，2017排列成如下图所示的一个数表：（1）用一正方形在表中随意框住4个数，把其中最小的数记为，另三个数用含的式子表示出来，从大到小依次是________，________，________；（2）当被框住的4个数之和等于416时，的值是多少？（3）被框住的4个数之和能否等于622？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由.18.在如图所示的某年12月份日历中，用长方形的方框圈出任意3×3个数．（1）如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数字的和为54，那么这9个数的和为________，在这9个日期中，最后一天是________号；（2）在这个月的日历中，用方框能否圈出“总和为171”的9个数？如果能，请求出这9个日期最后一天是几号；如果不能，请推测下个月的日历中，能否用方框圈出，如果能，请推测圈出的9个数中最后一天是星期几？19.生活与数学（1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是________；（2）玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是________；（3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是________；（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是________号；（5）若干个偶数按每行8个数排成下图：①图中方框内的9个数的和与中间的数的关系是________；②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是________；③托马斯也画了一个斜框，斜框内9个数的和为252，则斜框的中间一个数是________．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题【解析】【解答】解：设最小的数为x，则其他三个数分别是(x+1)、(x+7)、(x+8)x+(x+1) +(x+7)+(x+8)=644x=48x=12即：x+1=13，x+7=19，x+8=20故本题选择C【分析】如题意选出的四个数字后一个数比前一个数大1，下面的数比上面的数大7，所以设出最小的数即可表示出另外三个数，从而可列出方程，并求得这四个数.2.【答案】C【考点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题【解析】【解答】解：设中间的数是x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7．则这三个数的和是（x﹣7）+x+（x+7）=3x，因而这三个数的和一定是3的倍数．则，这三个数的和不可能是40．故选C．【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小7．可设中间的数是x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7．则这三个数的和是3x，因而这三个数的和一定是3的倍数．3.【答案】A【考点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题【解析】【解答】解：设圈出的数字中最小的为x，则最大数为x+16，根据题意得：x+x+16=32，移项合并得：2x=16，解得：x=8，所以9个数之和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故A符合题意.故答案为：A．【分析】设圈出的数字中最小的为x，则最大数为x+16，根据“最大数与最小数的和为32”列出方程求得x的值，进而求出9个数之和.4.【答案】C【考点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题【解析】【分析】本题等量关系为：5年前甲的年龄=2×5年前乙的年龄．可设乙现在的年龄为x岁，则甲为（x+15)岁，根据等量关系列方程求解。
2019年人教版数学九年级上册一元二次方程单元测试卷( 含答案)
人教版九年级数学一元二次方程单元测试卷 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2＋2x－y＝3 B.3x－1x2＝23 C．(3x2－1)2－3＝0 D.5x2－8＝3x 2．方程3x2－x＋1＝0的二次项系数和一次项系数分别为( ) A．3和0 B．3和－1 C．2和－1 D．3和1 3．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( ) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 4．一元二次方程(x＋3)(x－7)＝0的两个根是( ) A．x1＝3，x2＝－7 B．x1＝3，x2＝7 C．x1＝－3，x2＝7 D．x1＝－3，x2＝－7 5．已知关于x的方程x2－2x＋m＝0，根的判别式的值为0，则m的值为( ) A．－3 B．3 C．－1 D．1 6．解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)，最适当的方法是( ) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 7．在解方程2x2＋4x＋1＝0时，对方程进行配方，文本框①中是嘉嘉做的，文本框②中是淇淇做的，对于两人的做法，说法正确的是( ) A．两人都正确 B．嘉嘉正确，淇淇不正确 C．嘉嘉不正确，淇淇正确 D．两人都不正确
8．下列说法不正确的是( )
A．方程x2＝x有一根为0 B．方程x2－1＝0的两根互为相反数 C．方程(x－1)2－1＝0的两根互为相反数 D．方程x2－x＋2＝0无实数根 9．若b(b≠0)是关于x的方程x2＋cx＋b＝0的根，则b＋c的值为( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 10．某QQ群有若干人，春节期间互发短信问候，已知全群共发短信1 056条，若设该群共有成员x名，则可列方程为( )
2019年秋北师大版九年级上册数学习题：《一元二次方程》复习与巩固(共17张PPT)
件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是 第几档次的产品？ • 解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．即此批次蛋糕属第三档次产品．
• (2)设烘焙店生产的是第x档次的产品．根据题意，得(2x＋8)×(76＋4－ 4去x))＝．1即0该80烘.整焙理店，生得产x2的－是16第x＋五5档5＝次0的.解产得品x．1＝5，x2＝11(不合题意，舍
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• 分析：(1)设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6元列出 一元二次方程求解即可；
• (2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可．
• 解答：(1)设平均每次下调的百分率为x. • 由题意，得15(1－x)2＝9.6. • 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍)．
• 故平均每次下调的百分率是20%. • (2)方案一所需费用：9.6×0.9×3000＝25 920(元)， • 方案二所需费用：9.6×3000－400×3＝27 600(元)． • ∵25 920＜27 600， • ∴小刘选择方案一购买更优惠．
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• 3．某台电脑病毒传播非常快，如果一台电脑感染病毒，经两轮传播 后共有121台电脑感染病毒．
• (1)每轮感染中平均每一台电脑会感染几台电脑? • (2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后共有多少台电脑感染病毒？
• 解：(1)设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑．根据题意，得1 ＋轮感x＋染x(中1＋平x均)＝每1一21台，电解脑得会x1＝感1染01，0x台2＝电－脑1．2(不(合2)1题2意1＋，1舎21去×1)．0＝故每
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• ★考点3 一元二次方程的应用 • 1．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后，
2019-2020学年人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 达标测试卷(含答案)
第二十一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列方程是关于x的一元二次方程的是()A．ax2＋2＝x(x＋1) B．x2＋1x＝3C．x2＋2x＝y2－1 D．3(x＋1)2＝2(x＋1)2．如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为()A．1 B．2 C．－1 D．－23．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是()A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝54．方程x2－42x＋9＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．无实根D．以上三种情况都有可能5．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两根，则它的周长为() A．12 B．12或9 C．9 D．76．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行(或列)，则列方程得() A．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B．(8－x)(10－x)＝8×10＋40C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40(第7题) 7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x －3＝0的根，则▱ABCD的周长为()A．4＋2 2 B．12＋6 2C．2＋2 2 D．2＋2或12＋6 28．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx＋b的大致图象可能是()9．在直角坐标系xOy中，已知点P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2)(m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为()A. 5 B．1 C．5 D.5或110．如图，某小区规划在一个长为40 m，宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使每块草坪(阴影部分)的面积都为144 m2，则路的宽为()(第10题) A．3 m B．4 mC．2 m D．5 m二、填空题(每题3分，共30分)11．方程(x－3)2＋5＝6x化成一般形式是__________________，其中一次项系数是________．12．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长为________________．13．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则(a＋b)2 019的值为________．14．若关于x的一元二次方程2x2－5x＋k＝0无实数根，则k的最小整数值为________．15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x21－x22＝10，则a＝________．16．对于任意实数a，b，定义f(a，b)＝a2＋5a－b，如f(2，3)＝22＋5×2－3，若f(x，2)＝4，则实数x的值是________．17．下面是某同学在一次测试中解答的填空题：①若x2＝a2，则x＝a；②方程2x(x－2)＝x－2的解为x＝12；③已知x1，x2是方程2x2＋3x－4＝0的两根，则x1＋x2＝32，x1x2＝－2.其中错误的答案序号是__________．18．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．19．若x2－3x＋1＝0，则x2x4＋x2＋1的值为________．20．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，一面利用墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24 m．当围成的花圃面积为40 m2时，平行于墙的边BC的长为________m.(第20题) 三、解答题(21、26题每题12分，22、23题每题8分，其余每题10分，共60分) 21．用适当的方法解下列方程：(1)x(x－4)＋5(x－4)＝0；(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；(3)x2－2x－2＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.22.已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？请说明理由．23．已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0的一个根为x＝3.(1)求a的值及方程的另一个根；(2)如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．24．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1·x2，求k的值．25．为了贯彻党中央、国务院关于倡导开展全民阅读的重要部署，落实《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程的意见》．某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)，该阅览室在2015年图书借阅总量是7 500本，2017年图书借阅总量是10 800本．(1)求该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率；(2)已知2017年该社区居民借阅图书人数有1 350人，预计2018年达到1 440人．如果2017年至2018年图书借阅总量的增长率不低于2015年至2017年的年平均增长率，那么2018年的人均借阅量比2017年增长a%，求a的值至少是多少？26．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．问：(1)P，Q两点出发多长时间后，四边形PBCQ的面积是33 cm2?(2)P，Q两点出发多长时间后，点P与点Q之间的距离是10 cm?(第26题)答案一、1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D7．A 8.B 9.B 10.C 二、11.x 2－12x ＋14＝0；－1212．6或10或1213．－1 点拨：将x ＝1代入方程x 2＋ax ＋b ＝0，得1＋a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝－1，∴(a ＋b )2 019＝－1.14．415.214 点拨：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a .由x 21－x 22＝10得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214.16．－6或1 17.①②③ 18.直角19.18 点拨：由已知x 2－3x ＋1＝0得x 2＝3x －1，则x 2x 4＋x 2＋1＝x 2（3x －1）2＋x 2＋1＝x 210x 2－6x ＋2＝3x －110（3x －1）－6x ＋2＝3x －124x －8＝3x －18（3x －1）＝18.20．4三、21.解：(1)原方程可化为(x －4)(x ＋5)＝0，∴x －4＝0或x ＋5＝0， 解得x ＝4或x ＝－5. (2)原方程可化为(2x ＋1＋2)2＝0，即(2x ＋3)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－32. (3)∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴Δ＝4－4×1×(－2)＝12＞0， ∴x ＝2±122＝2±232＝1±3. ∴x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3. (4)原方程化为一般形式为y 2－2y ＝0.因式分解，得y(y－2)＝0.∴y1＝2，y2＝0.22．(1)证明：在关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设方程的两根分别为m，n，则mn＝t－2.∵方程的两个根互为倒数，∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．23．解：(1)将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0中，得9(a－1)－12－1＋2a＝0，解得a＝2.将a＝2代入原方程中得x2－4x＋3＝0，因式分解得(x－1)(x－3)＝0，∴x1＝1，x2＝3.∴方程的另一个根是x＝1.(2)∵三角形的三边长都是这个方程的根．∴①当三边长都为1时，周长为3；②当三边长都为3时，周长为9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，∴不能构成三角形．故三角形的周长为3或9或7.24．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，解得k＞3 4.(2)∵k＞34，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0.又∵x1·x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1.∵|x1|＋|x2|＝x1·x2，∴2k＋1＝k2＋1，解得k1＝0，k2＝2.又∵k ＞34，∴k ＝2.25．解：(1)设该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率为x ，根据题意，得7 500(1＋x )2＝10 800， 即(1＋x )2＝1.44，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．因此该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率为20%. (2)10 800×(1＋0.2)＝12 960(本)，10 800÷1 350＝8(本)，12 960÷1 440＝9(本)． (9－8)÷8×100%＝12.5%. 故a 的值至少是12.5.26．解：(1)设P ，Q 两点出发x s 后，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2，则由题意得(16－3x ＋2x )×6×12＝33，解得x ＝5.即P ，Q 两点出发5 s 后，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2.(2)设P ，Q 两点出发t s 后，点P 与点Q 之间的距离是10 cm ，过点Q 作QH ⊥AB 于点H .在Rt △PQH 中，有(16－5t)2＋62＝102，解得t 1＝1.6，t 2＝4.8.即P ，Q 两点出发1.6 s 或4.8 s 后，点P 与点Q 之间的距离是10 cm.。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典习题(含答案解析)(3)
一、选择题1．一面足够长的墙，用总长为30米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块，若要围成的矩形面积为54平方米，设垂直于墙的边长为x米，则x 的值为（）A．3 B．4 C．3或5 D．3或4.5D解析：D【分析】设AD长为x米，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，即可求得AB的长；根据题意可得方程x（30−4x）＝54，解此方程即可求得x的值．【详解】解：设与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，∴BC＝MN＝PQ＝x米，∴AB＝30−AD−MN−PQ−BC＝30−4x（米），根据题意得：x（30−4x）＝54，解得：x＝3或x＝4.5，AD的长为3或4.5米.故选：D．【点睛】考查了一元二次方程的应用中的围墙问题，正确列出一元二次方程，并注意解要符合实际意义．2．用配方法解方程x2﹣6x﹣3＝0，此方程可变形为（）A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12D解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．3．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20B解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．4．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2B 解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2，∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．5．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关A解析：A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，∴220m m c --=∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，∴p ＜q故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．(2)(2)0x x -+=B ．220x -=C ．2(1)0x -=D ．2(1)20x ++=D 解析：D【分析】分别利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式即可得．【详解】A 、由因式分解法得：122,2x x ==-，此项不符题意；B 、由直接开平方法得：120x x ==，此项不符题意；C 、由直接开平方法得：121x x ==，此项不符题意；D 、方程2(1)20x ++=可变形为2230x x ++=，此方程的根的判别式2241380∆=-⨯⨯=-<，则此方程没有实数根，此项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握各解法是解题关键．7．下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根C解析：C【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-8＜0，进而可得出方程23210x x ++=没有实数根．【详解】解：∵△=22-4×1×3=-8＜0，∴方程23210x x ++=没有实数根．故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．8．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定C 解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．【详解】解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8．∵k 2≥0，∴k 2+8＞0，即△＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．9．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≥1D ．m ≠0A 解析：A【分析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m ﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．10．一元二次方程x （x ﹣2）＝x ﹣2的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝0B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝1，x 2＝2D解析：D【分析】方程x （x ﹣2）＝x ﹣2移项后，运用因式分解法可以求得方程的解，本题得以解决．【详解】解：x （x ﹣2）＝x ﹣2，移项，得x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0，提公因式，得（x ﹣2）（x ﹣1）＝0，∴x ﹣2＝0或x ﹣1＝0，解得x ＝2或x ＝1．故选：D ．【点睛】本题考查解解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是会利用提公因式法解方程． 二、填空题11．已知x a =是方程2350x x --=的根，则代数式234a a -++的值为________．-1【分析】利用x=a 是方程x2-3x-5=0的根得到a2-3a=5然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解：∵x=a 是方程x2-3x-5=0的根∴a2-3a-5=0∴a2-3a=5∴故答案为解析：-1【分析】利用x=a 是方程x 2-3x-5=0的根得到a 2-3a=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：∵x=a 是方程x 2-3x-5=0的根，∴a 2-3a-5=0，∴a 2-3a=5，∴()223434541a a a a -++=--+=-+=-．故答案为-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】∵2630x x +-=∴263x x +=∴26939x x+++=∴()2312x+= 故答案为：()2312x+=【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．13．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．14．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．20【分析】设每年绿化面积的增长率为x 根据该小区2019年及2021年的绿化面积即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x 依题意得：3000（1+x ）解析：20%设每年绿化面积的增长率为x ，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x ，依题意，得：3000（1+x ）2=4320，解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______．-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为：-1【点睛】此题考查一元二次方程根与解析：-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】∵a ，b 是方程210x x --=的两根，∴a+b=1，ab=-1， ∴11a b+ =a b ab+ =11- =-1， 故答案为：-1.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则.16．若m 是方程210x x +-=的根，则2222018m m ++的值为__________2020【分析】根据m 是方程的根得代入求值【详解】解：∵m 是方程的根∴即原式故答案是：2020【点睛】本题考查一元二次方程的根解题的关键是掌握一元二次方程根的定义解析：2020【分析】根据m 是方程210x x +-=的根，得21m m +=，代入求值．解：∵m 是方程210x x +-=的根，∴210m m +-=，即21m m +=，原式()222018220182020m m =++=+=．故答案是：2020．【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义．17．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了______人．3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人则第一轮共有人患病第二轮后患病人数有人从而列方程再解方程可得答案【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人则：或或经检验：不符合题意舍去取答：每轮传染中平均一解析：3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮共有()1x +人患病，第二轮后患病人数有()21x +人，从而列方程，再解方程可得答案．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则：()1+116,x x x ++=()2116,x ∴+=14x ∴+=或14,x +=- 3x ∴=或5,x =-经检验：5x =-不符合题意，舍去，取 3.x =答：每轮传染中平均一个人传染了3人．故答案为：3.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用中的传播问题是解题的关键．18．若a ，b 是方程22430x x +-=的两根，则22a ab b +-=________．4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2ab=-再变形后代入即可求出答案【详解】解：∵是方程的两根∴故答案为：4【点睛】本题考查了根与系数的关系能够整体代入是解此题的关键解析：4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2，ab=-32，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】 解：∵a ，b 是方程22430x x +-=的两根， ∴42232a b ab ⎧+=-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ()()()222222224a ab b a a b b a b a b +-=+-=--=-+=-⨯-=．故答案为：4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能够整体代入是解此题的关键．19．若()22214x y +-=，则22x y +=________．3【分析】根据题意将两边开方即可分情况得出的值【详解】解：两边开方得或故答案为：3【点睛】本题考查开方运算熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键解析：3【分析】根据题意将()22214x y +-=两边开方，即可分情况得出22x y +的值．【详解】解：两边开方得2212x y +-=±， 223x y ∴+=或221x y +=-，220x y +≥，223x y ∴+=．故答案为：3．【点睛】本题考查开方运算，熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键．20．已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-，则方程的另一根为______【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可【详解】因为已知关于的方程有一个根是-2由二次方程根与系数的关系可知：即有：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系如果方程的解析：6-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．【详解】因为已知关于x 的方程 280x x m ++=有一个根是-2，由二次方程根与系数的关系可知：128x x +=-，即有：228x -+=-解得：26x =-．故答案为：6-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，如果方程20x px q ++=的两个根是 1x ，2x ，那么12x x p +=-， 12·x x q =，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．三、解答题21．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm =？（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC Scm =？（3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？解析：（1）2或4；（2）2；（3）1082-+【分析】本题可设P 出发x 秒后，QPC S 符合已知条件：在（1）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，2QC xcm =，根据题意列方程求解即可； 在（2）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，()22QC x cm =-，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -，利用勾股定理和PQ BQ =列出方程，即可求出答案．【详解】（1）P 、Q 同时出发，经过x 秒钟，28QPC Scm =， 由题意得：()16282x x -⋅= ∴2680x x -+=，解得：12x =，24x =．经2秒点P 到离A 点1×2＝2cm 处，点Q 离C 点2×2＝4cm 处，经4秒点P 到离A 点1×4＝4cm 处，点Q 到离C 点2×4＝8cm 处，经验证，它们都符合要求．答：P 、Q 同时出发，经过2秒或4秒，28QPC Scm =． （2）设P 出发t 秒时24QPC S cm =，则Q 运动的时间为()2t -秒，由题意得： ()()162242t t -⋅-=， ∴28160t t -+=，解得：124t t ==．因此经4秒点P 离A 点1×4＝4cm ，点Q 离C 点2×（4﹣2）＝4cm ，符合题意． 答：P 先出发2秒，Q 再从C 出发，经过2秒后24QPC S cm =．（3）设经过x 秒钟后PQ ＝BQ ，则()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -， ()()()2226282x x x -+=-，解得：110x =-+210x =--答：经过10-+PQ ＝BQ ．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．22．（1）()2120x --=；（2）21212t t += （3）()22x x x -=-（4）23520.x x --=解析：（1）1211==x x 2）1222t t =-=-3）1221x x ==，（4）12123x x ==-，． 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用配方法求解即可；（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（4）利用因式分解法解方程．【详解】解:（1）()212x -=，x-1=，11x x -=-=，1211x x ∴==（2）242t t +=，()226t ∴+=2t ∴+=1222t t ∴=-=-（3）()2(2)0x x x ---=，() 1)20(x x ∴--=122,1x x ∴==（4）23520.x x --=()2310()x x -+=1212,3x x ∴==-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解题的关键．23．解方程：y(y-1)+2y-2=0．解析：121,2y y ==-【分析】利用分解因式法解答即可．【详解】解：原方程可变形为：()()1210y y y -+-=，即()()120y y -+=，∴y －1=0或y +2=0，解得：121,2y y ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握求解的方法是关键． 24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买了这种服装x 件．（1）填空：（2）小丽一次性购买这中服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？ 解析：（1）①80；②74；③25x ≥（2）20件【分析】（1）①如果一次性购买不超过10件，单价为80元；②用单价80元减去（13－10）×2，得出答案即可；③求出单价恰好是50元时的购买件数，即可分析得到；（2）根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．【详解】解：（1）①∵如果一次性购买不超过10件，单价为80元，故填：80；②80－（13－10）×2＝74，故填：74；③设购买a 件时，单价恰好是50元，80－（a －10）×2＝50，解得：a ＝25，而题目中“单价不得低于50元”，∴25x ≥时，单价是50元，故填：25x ≥；（2）因为1200＞800，所以一定超过了10件，设购买了x 件这种服装且多于10件，根据题意得出：[80－2（x －10）]x ＝1200，解得：x 1＝20，x 2＝30，当x ＝20时，80－2（20－10）＝60元＞50元，符合题意；当x ＝30时，80－2（30－10）＝40元＜50元，不合题意，舍去；答：购买了20件这种服装．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键． 25．解方程：（1）2237x x +=；（2）x(2x+5)=2x+5．解析：（1）112x =，23x =；（2）11x =，252x =- 【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法求解．【详解】解：（1）2x 2-7x+3=0，（2x-1）（x-3）=0，2x-1=0或x-3=0，所以x 1=12，x 2=3； （3）移项得，x （2x+5）-（2x+5）=0，因式分解得，（2x+5）（x-1）=0，∴x-1=0，2x+5=0，∴11x =，252x =-； 【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．26．解方程：22350x x --= （请用两种方法解方程） 解析：152x =，21x =- 【分析】采用公式法和因式分解法求解即可．【详解】解：方法1：∵a =2，b =-3，c =-5，∴2449b ac ∆=-=，∴x =∴152x =，21x =-； 方法2：()()2510x x -+=∴ 152x =，21x =-． 【点睛】 本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的求解方法是解题的关键． 27．解下列方程：（1）2320x x +-=（2）()220x x x -+-=解析：（1）1x =，2x =2）11x =-，22x =【分析】（1）直接应用公式法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解．【详解】解：（1）2320x x +-=1,2x ==∴1x =，2x （2）()220x x x -+-=因式分解可得：()()120x x +-=，即10x +=或20x -=，解得11x =-，22x =． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键． 28．解下列方程：（1）x （x －1）＝1－x（2）(x-3) 2 = (2x-1) (x +3)解析：（1）12x 1x -1==，；（2）12x 12x 1=-=，．【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据因式分解法，可得答案．【详解】解：（1）x （x －1）＝1－x方程整理，得，x （x ﹣1）+（x ﹣1）＝0，因式分解，得，（x ﹣1）（x +1）＝0于是，得，x ﹣1＝0或x +1＝0，解得x 1＝1，x 2＝﹣1；（2）(x-3) 2 = (2x-1) (x +3)方程整理，得，x 2+11x ﹣12＝0因式分解，得，（x +12）（x ﹣1）＝0于是，得，x +12＝0或x ﹣1＝0，解得x 1＝﹣12，x 2＝1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．。
北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程 复习题(解析版)
第二章一元二次方程复习题一．选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两实数根，则的值是（）A．﹣7B．﹣1C．1D．72．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个实数根为b，若y＝4b2﹣4b+m2，则y的取值范围是（）A．y＞B．C．y＞﹣1D．y≥﹣13．若x＝2是关于x的方程ax2﹣bx＝2的解，则2019﹣2a+b的值为（）A．2016B．2017C．2018D．20194．若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m﹣1和2m+4，则的值为（）A．4B．3C．2D．15．一元二次方程y2﹣y＝配方后可化为（）A．＝1B．＝1C．＝D．＝6．将y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是（）A．﹣5B．﹣8C．﹣11D．57．代数式x2﹣4x﹣2019的最小值是（）A．﹣2017B．﹣2019C．﹣2021D．﹣20238．已知等腰三角形两边a，b，满足4a2﹣4ab+2b2﹣8b+16＝0，则此等腰三角形的周长为（）A．8B．10C．12D．8或109．设x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，则（）A．0＜x1＜1B．﹣1＜x1＜0C．﹣2＜x1＜﹣1D．﹣5＜x1＜﹣4 10．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣211．若方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根恰好是直角△ABC的两边的长，则△ABC的周长为（）A．12B．7+C．12或D．1112．方程3x（2x+1）＝2（2x+1）的两个根为（）A．B．C．D．13．方程2x2+5＝7x根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根14．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯21次，则参加酒会的人数为（）A．5人B．6人C．7人D．8人15．一件产品原来每件的成本是1000元，在市场售价不变的情况下，由于连续两次降低成本，现在利润每件增加了190元，则平均每次降低成本的（）A．10%B．9.5%C．9%D．8.5%二．填空题16．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率．设每次降价的百分率为x，则可列方程为．17．某市从2017年开始大力发展旅游产业．据统计该市2017年旅游收入约为2亿元，预计2019旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年旅游收入的年平均增长率约为．18．自中国加入WTO以来，中美经贸往来日益密切，贸易总量不断攀升．据海关统计，2018年中国对美国进出口总值比2017年增长5.5%，其中进口值下降5%，出口值大幅增长，且增长率是进口值下降率的正整数倍，以致对美贸易顺差（贸易顺差＝出口值﹣进口值）进一步加大．经核算，2018年贸易顺差增长率是出口值增长率的倍，则2017年的出口值占进出口总值的百分比为．19．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则+＝．20．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．三．解答题21．某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？22．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．24．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？25．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？26．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．第二章一元二次方程复习题参考答案与试题解析一．选择题1．【分析】先根据一元二次方程解的定义得到x12﹣3x1+1＝0，x22﹣3x2+1＝0，则1﹣3x1＝﹣x12，1﹣3x2＝﹣x22，则可变形为﹣，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两实数根，∴x12﹣3x1+1＝0，x22﹣3x2+1＝0，∴1﹣3x1＝﹣x12，1﹣3x2＝﹣x22，∴＝﹣﹣＝﹣，∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两实数根，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴原式＝﹣＝﹣7．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了根与系数的关系．2．【分析】先表示出判别式△，根据方程有两个实数根得出m的取值范围，根据b是方程的一个实数根，可得4b2﹣4b+2m＝0，整体代入，根据二次函数的性质可得y的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有实数根，∴△＝1﹣2m≥0，∴m≤，∵b是方程的一个实数根，∴b2﹣b+m＝0，∴4b2﹣4b+2m＝0，∴4b2﹣4b＝﹣2m，∴y＝4b2﹣4b+m2＝﹣2m+m2＝（m﹣1）2﹣，而m≤，∴y≥﹣1．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，二次函数的性质，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．3．【分析】把x＝2代入方程求出2a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：把x＝2代入方程得：4a﹣2b＝2，即2a﹣b＝1，则原式＝2019﹣（2a﹣b）＝2019﹣1＝2018，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：ax2＝b有两个根，由直接开方法可知：m﹣1与2m+4互为相反数，∴m﹣1+2m+4＝0，∴m＝﹣1，∴m﹣1＝﹣2，2m+4＝2，∴x2＝＝4，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．【分析】先配方，再变形，即可得出选项．【解答】解：y2﹣y＝，y2﹣y+（）2＝+（）2，（y﹣）2＝1，故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．6．【分析】利用完全平方公式计算即可求出所求．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k，∴h＝3，k＝﹣8，则h+k＝﹣5，故选：A．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答．【解答】解：x2﹣4x﹣2019＝x2﹣4x+4﹣4﹣2019＝（x﹣2）2﹣2023，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣2023≥﹣2023，即代数式x2﹣4x﹣2019的最小值﹣2023，故选：D．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键．8．【分析】利用配方法和非负数的性质求出a、b的值，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵4a2﹣4ab+2b2﹣8b+16＝0，∴（4a2﹣4ab+b2）+（b2﹣8b+16）＝0，∴（2a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝2，b＝4，∴当腰为4时，等腰三角形的周长为4+4+2＝10，当腰为2时，2+2＝4，构不成三角形．故选：B．【点评】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．9．【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案．【解答】解：x2﹣2x＝，8x2﹣16x﹣5＝0，x＝＝，∵x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，∴x1＝＝1﹣，∵5＜＜6，∴﹣1＜x1＜0．故选：B．【点评】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小．10．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：△＝4﹣4k＞0，∴k＜1，∴k的最大整数为0，故选：B．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．11．【分析】先利用因式分解法解方程得到直角三角形的两边为3，4，然后进行讨论：当4为直角边时，利用勾股定理计算斜边长，从而得到此时三角形的周长；当4为斜边时，利用勾股定理计算出另一条直角边长，从而得到此时三角形的周长．【解答】解：（x﹣3）（x﹣4）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝0，所以x1＝3，x2＝4，所以直角三角形的两边为3，4，当4为直角边时，斜边长＝＝5，三角形的周长为3+4+5＝12；当4为斜边时，另一条直角边长＝＝，三角形的周长为3+4+＝7+．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．12．【分析】先变形得到3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）（3x﹣2）＝0，2x+1＝0或3x﹣2＝0，所以x1＝﹣，x2＝．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．【分析】先把方程化为一般式，然后计算判别式的值后判断方程根的情况．【解答】解：方程化为2x2﹣7x+5＝0，因为△＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．14．【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯21次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题意，得：x（x﹣1）＝21，解得：x1＝7，x2＝﹣6（舍去）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．【分析】设平均每次降低成本的x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设平均每次降低成本的x，根据题意得：1000﹣1000（1﹣x）2＝190，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），则平均每次降低成本的10%，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．二．填空题16．【分析】设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程即可．【解答】解：设每次降价的百分率为x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4．故答案是：40（1﹣x）2＝32.4．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．17．【分析】设该市2018年、2019年旅游收入的年平均增长率为x，根据该市2017年及2019年的旅游收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该市2018年、2019年旅游收入的年平均增长率为x，依题意，得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．【分析】设2017年的进口值为x，出口值为y，总值为x+y，则2018年的出口值为（1﹣5%）x，出口值为（1+5n%）y，总值为（1+5.5%）x+y，其中n为正整数，即可得到结论．【解答】解：设2017年的进口值为x，出口值为y，总值为x+y，则2018年的出口值为（1﹣5%）x，出口值为（1+5n%）y，总值为（1+5.5%）x+y，其中n为正整数，由题意得，（1﹣5%）x+（1+5n%）y＝（1+5.5%）（x+y）解得：x＝y，∵2018年贸易顺差增长率是出口值增长率的倍，∴＝×，将x＝y代入，化简整理得，85n2﹣148n﹣44＝0，解得：n＝2，（负值舍去），∴＝，∴＝70%，答：2017年的出口值占进出口总值的百分比为70%．故答案为：70%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．19．【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝1，x1•x2＝﹣3，将其代入+＝中即可得出结论．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣3，∴+＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．20．【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4k≥0，∴k≤1，∵k≠0，∴k≠0且k≤1，故答案为：k≠0且k≤1；【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．三．解答题21．【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由2019年村该村的人均收入＝2018年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即可得出结论．【解答】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得：20000（1+x）2＝24200，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．22．【分析】（1）分k＝0及k≠0两种情况考虑：当k＝0时，原方程为一元一次方程，通过解方程可求出方程的解，进而可得出k＝0符合题意；当k≠0时，由根的判别式△≥0可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上，此问得解；（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，结合x1+x2+x1x2＝4可得出关于k 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤．综上所述，k的取值范围为k≤．（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，∴x1+x2＝，x1x2＝．∵x1+x2+x1x2＝4，∴+＝4，解得：k＝1，经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k的值为1．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以及解分式方程，解题的关键是：（1）分k＝0及k≠0两种情况，找出k的取值范围；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2+x1x2＝4，找出关于k的分式方程．23．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．24．【分析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，根据总利润＝每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，整理，得：x2﹣360x+32400＝0，解得：x1＝x2＝180．180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．【解答】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．所以3x＝90，2x＝60，答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．【点评】题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键．26．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．。