2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题八 平面向量 第32讲 平面向量的应用举例优质课
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可得 cos〈O→A，O→B〉＝－12.∴向量O→A，O→B的夹角为 120°.
答案：120°
8．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝CD＝1，P 是 AB 的中点，则D→P·A→B ＝________．
解析：因为在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC →
剖析 向量在解析几何中的作用： (1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于 “包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算， 脱去“向量外衣”； (2)工具作用，利用 a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)， 可解决垂直、平行问题．
3．向量的综合应用
【例 3】 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两
cos 2x，
|a＋b|＝
cos
32x＋cos
x22＋sin
32x－sin
x22＝
2 cos2x＝2cos x，x∈0，π2 .
(2)f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2(cos x－λ)2－1－2λ2. 因为 x∈0，π2 ，所以 cos x∈[0，1]， ①当 λ＜0，cos x＝0 时，f(x)min＝－1，矛盾 ②当 0≤λ≤1，cos x＝λ 时，f(x)min＝－1－2λ2，由－ 1－2λ2＝－32，得 λ＝12 ③当 λ＞1，cos x＝1 时，f(x)min＝1－4λ，由 1－4λ＝ －32，得 λ＝58＜1，矛盾．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们 的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的 知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数 量积，即 W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角)．
3．平面向量与其他数学知识的交汇
∴P→A·P→B＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，
∴y2＝x＋6.即点 P 的轨迹是抛物线．
答案：D
3．若△ABC 内有一点 O，满足O→A＋O→B＋O→C＝0，
且O→A·O→B＝O→B·O→C，则△ABC 一定是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形
解析：因为O→A·O→B＝O→B·O→C，所以O→B·(O→A－O→C)
C．正方形
D．菱形
解析：(1)在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F， 则B→E＝F→D，∴B→E＝F→D＝A→D－12A→B， 又∵A→C＝A→D＋A→B，∴A→C·B→E＝(A→D＋A→B)·A→D－12A→B ＝A→D2－12A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2＝|A→D|2＋12|A→D||A→B|cos 60°－12|A→B|2＝1＋12×12|A→B|－12|A→B|2＝1. ∴12－|A→B||A→B|＝0，又|A→B|≠0，∴|A→B|＝12.
则P→E·P→F最小值是H→E·H→F，HC＝CM－1＝5－1＝4，
HE＝ HC2－CE2＝ 16－4＝2 3， sin ∠CHE＝CCHE＝12，∴cos∠EHF＝cos 2∠CHE＝1－
2sin2∠CHE＝12， H→E·H→F＝|H→E|·|H→F|cos∠EHF＝2 3×2 3×12＝6. 答案：B
1．向量在平面几何中的应用
【例 1】 (1)在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠
BAD＝60°，E 为 CD 的中点．若A→C·B→E＝1，则 AB＝
________． (2)平面四边形 ABCD 中，A→B＋C→D＝0，(A→B－A→D)·A→C
＝0，则四边形 ABCD 是( )
A．矩形
B．梯形
在△OAB 中，取O→C＝λO→A，过点 C 作 CD∥OB 交 AB 于点 D，作 DE∥OA 交 OB 于点 E，显然O→D＝λO→A＋ C→D.
由于CODB＝AAOC，CODB＝2－22λ，∴C→D＝(1－λ)O→B， ∴O→D＝λO→A＋(1－λ)O→B＝λO→A＋μO→B＝O→P， ∴λ＋μ＝1 时，点 P 在线段 AB 上，
第 32 讲 平面向量的应用举例
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识
公式表示
线平行、点 共线等问题
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0， 共线向量
定理
其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
b≠0
垂直 问题
数量积的运 算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0， 其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 a，b 为非零向量
A．5 3 N
B．5 N
C．10 N
D．5 2 N
解析：对应向量如图，由于 α＝60°，则 F2 的大小
为|F 合|·sin 60°＝10× 23＝5 3 (N)．
答案：A
5．若函数 y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0， |φ|<π2在一
个周期内的图象如图所示，M，N 分别是这段图象的最高
点和最低点，且O→M·O→N＝0(O 为坐标原点)，则 A 等于
解析：∵A→B·A→C<0，∴∠BAC 为钝角， 又∵S△ABC＝12|a||b|sin ∠BAC＝145.∴sin ∠BAC＝12，∴∠ BAC＝150°.
答案：150°
7．单位圆上三点 A，B，C 满足O→A＋O→B＋O→C＝0， 则向量O→A，O→B的夹角为________．
解析：∵A，B，C 为单位圆上三点， ∴|O→A|＝|O→B|＝|O→C|＝1， 又∵O→A＋O→B＋O→C＝0.∴－O→C＝O→B＋O→A.∴O→C2＝ (O→B＋O→A)2＝O→B2＋O→A2＋2O→B·O→A，
∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1 时，点 P 必在△OAB 内(包括
边界)．
考虑|λ|＋|μ|≤1 的其他情形，点 P 构成的集合恰好是 以 AB 为一边，以 OA，OB 为对角线一半的矩形，
其面积为 S＝4S△OAB＝4×12×2×2sin π3＝4 3. 答案：D
剖析：利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、 不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化， 使问题的条件结论明晰化．
(2) A→B ＋ C→D ＝ 0 ⇒ A→B ＝ － C→D ＝ D→C ⇒ 平 面 四 边 形 ABCD 是平行四边形，(A→B－A→D)·A→C＝D→B·A→C＝0⇒D→B⊥ A→C，∴平行四边形 ABCD 是菱形．
答案：(1)12 (2)D
剖析：解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向 量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运 算研究几何元素之间的关系．
1．在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，则△ABC
的形状一定是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：由(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，得A→C·(B→C＋B→A－A→C) ＝0，即A→C·(B→C＋B→A＋C→A)＝0，2A→C·B→A＝0，
定点 A，B 满足|O→A|＝|O→B|＝O→A·O→B＝2，则点集{P|O→P＝
λO→A＋μO→B，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域面积是
() A．2 2
B．2 3
C．4 2 D．4 3
解析：由|O→A|＝|O→B|＝O→A·O→B＝2，知〈O→A，O→B〉＝ π 3.
当 λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1 时，
＝90°，AD＝2，BC＝CD＝1，所以|BD|＝ 2， 所以D→P·A→B＝12(D→B＋D→A)·(D→B－D→A)＝12(D→B2－D→A2)
＝－1. 答案：－1
9．已知向量 a＝(cos θ，sinθ)，向量 b＝( 3，－1)， 求|2a－b|的最大值．
解：因为 2a－b＝(2cos θ－ 3，2sinθ＋1)， 所以|2a－b|2＝(2cos θ－ 3)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋4sinθ －4 3cosθ. 又 4sinθ－4 3cosθ＝
()
π
7
A.6
B. 12 π
7 C. 6 π
7 D. 3 π
解析：由题意知 M(1α2，A)，N71α2，－A，又∵O→M·O→N
＝1α2×71α2－A2＝0，∴A＝
7 12 α.
答案：B
6．已知在△ABC 中，A→B＝a，A→C＝b，a·b<0，S△ABC ＝145，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________．
∴A→C⊥B→A，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|A→B| ＝|A→C|，故△ABC 一定是直角三角形．
答案：C
2．已知点 A(－2，0)，B(3，0)，动点 P(x，y)满足P→A·P→B
＝x2，则点 P 的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线 解析：∵P→A＝(－2－x，－y)，P→B＝(3－x，－y)，
8sinθcos
π3－cosθsin
π 3＝
8sinθ－π3的最大值为 8，
所以|2a－b|2 的最大值为 16，
所以|2a－b|的最大值为 4.
10．已知 a＝cos
32x，sin
32x，b＝cos
x2，－sin
x2，
x∈0，π2 .
(1)求 a·b 及|a＋b|；
(2)若 f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求 λ 的值． 解：(1)由题意知，a·b＝cos 32xcos x2－sin 32xsin x2＝
2．向量在解析几何中的应用
【例 2】 已知圆 C：(x－2)2＋y2＝4，圆 M：(x－2
－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，过圆 M 上任意一点 P
学海导航人教版高三第一轮复习课件文科数学第32讲 平面向量的数量积
|a||b| ；当 a 与 b 反向时，a· |a||b| ； (1)当 a 与 b 同向时，a· b＝_______ b＝－ _______ a2＝|a|2 或|a|＝_________. 特别地，a· a＝__________
(2)a· b＝0⇒__________. a⊥b
1 1 1 a· b＝1× ＋0× ＝ ，所以 B 不正确． 2 2 2 1 1 因为 1× －0× ≠0，所以 C 不正确． 2 2 1 1 因为(a－b)· b＝a· b－b ＝ － ＝0， 2 2
2
所以 a－b 与 b 垂直，D 正确．
答案：D
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
求向量的数量积、模
2．向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 、 b ，它们的夹角为 θ ，我们把数量 |a|· |b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积， |a|· |b|cos θ ___________ 记作 a· b， 即 a· b＝___________. 规定 0 与任一向量的数量积为______. 0
解：由题意可得 a2＝2，a· b＝－3， 所以(2a＋b)· a＝2a2＋a· b＝4－3＝1.
答案：C
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
4．若非零向量 a，b 满足|a|＝|b|，(2a＋b)· b＝0，则 a 与 b 的夹角 为( ) A．30° C．120° B．60° D．150°
解：因为(2a＋b)· b＝0，所以 2a· b＋b2＝0， 1 所以 a· b＝－ |b|2，又因为|a|＝|b|， 2 设 a，b 的夹角为 θ， 1 － |b|2 2 1 a· b 所以 cos θ＝ ＝ 2 ＝－ ，所以 θ＝120° . |a||b| |b | 2
2019高考数学文科总复习第8单元【平面向量】测试A卷及答案解析
sin x 2cos x 0 ， tanx 2 ，
2
sin
x
4
2 sin x cos x
2 tan x 1
2 2 1 3 2 ，故答案为 3 2 ．
sin x cos x sin x cos x
tan x 1
2 1
据此可知： 2m n 62 82 10 ．
15．【答案】
3 5
,
4 5
【解析】 AB
1，5 4，1
3，4 ，
AB
5
，
与向量
AB
方向相同的单位向量为
3 5
,
4 5
．
16．【答案】 8, 15
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
11．已知向量 a ，b 的夹角为120 ，且 a 2 ， b 3 ，则向量 2a 3b 在向量 2a b 方向上的投影为（ ）
A．
83 13
B．
6 13 13
C． 5 6 6
D．
19 13 13
12．在锐角 △ABC
中， B 60 ，
【解析】a a b ，所以， a a b 0 ，即 a a a b | a |2 a b cos a, b 0 ，
所以 cos
a,b
| a |2 ab
2 2
，又
a, b
0,
，故
a
与
b
的夹角为
3 4
，故选
C．
7．【答案】A
高考平面向量及其应用专题及答案 百度文库
一、多选题1．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=4．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+5．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=- B ．0OE OC +=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为766．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒7．在ABC 中，若30B =︒，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =︒，则B =（ ）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形10．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+11．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 12．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e D ．()12,6=e ，()21,3=--e13．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=14．已知ABC ∆的面积为32,且2,b c ==,则A =( ) A ．30° B ．60°C ．150°D ．120°15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．在矩形ABCD 中，3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（ ）A ．0B ．833C ．-4D ．417．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形18．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形；④若3B π=，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是()3+∞，.以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（ ）A 23B 3C ．332D 4320．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形21．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．123B ．3C ．12D ．18322．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形23．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A ．62-B ．1(62)2- C ．62+ D ．1(62)2+ 24．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）A ．a 与b 的夹角为αβ-B ．a b ⋅的最大值为1C ．2a b +≤D ．()()a b a b +⊥-25．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-26．题目文件丢失！27．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 28．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．1429．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=30．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ）A ．54B ．2C ．174D ．431．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．33C ．33D ．332．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A ．32B ．22C ．312D ．212- 33．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形34．题目文件丢失！35．在ABC ∆中，6013ABC A b S ∆∠=︒=，，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ）A B C D ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知 解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.2．D 【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查解析：D 【分析】 在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．4．AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心解析：AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.5．BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，解析：BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123(0,),3),(1,),(,33O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以2313y y =-，解得：3y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；322OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；123(3ED =，(1,3)BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确.故选：BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.6．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解； 对于选项C中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A B a =<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC .【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC【分析】由题意结合正弦定理可得sin 2C =，再由()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】 由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒，所以60C =︒或120C =︒.故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.8．BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.【详解】解：根据正弦定理得： ，由于，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项.【详解】 解：根据正弦定理sin sin a b A B =得：1sin 2sin 12b A B a ===，由于1b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题. 9．AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.【详解】对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π=，ABC 是直角三角形，故③正确；对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab +-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.10．ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确；对于B 选项，，由于为三解析：ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确；对于C ，，则或与共线，故C 错误；对于D ，在四边形中，若解析：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.12．ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量解析：AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.14．BD【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为,所以,所以,因为,所以或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：BD【分析】由三角形的面积公式求出sin 2A =即得解. 【详解】 因为13sin 22S bc A ==,所以13222A ⨯=,所以sin A =,因为0180A ︒︒<<, 所以60A =或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．无二、平面向量及其应用选择题16．C【分析】先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.【详解】 如图所示，AB AF 2232,3cos 113BE EC BE BC AF DF α=⇒==→→=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则())0,3,,3B F E ⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此)BF AE BF 232,23264→=-→→=⨯=-=-，故选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 17．C【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案.【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=.所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥，故AB AC =，ABC 是等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18．B【分析】由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误.【详解】①由正弦定理及大边对大角可知①正确；②可得A B =或2A B π+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，因为0A π<<，所以2A π=，因此③正确； ④由正弦定理sin sin a b A B =得sin 3sin sin a B b A A==， 因为三角形有两解，所以2,332A B A πππ>>=≠ 所以3sin 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即)3,2b ∈，故④错误. 故选：B【点睛】 本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题.19．A【分析】首先根据余弦定理求AB，再判断ABC的内角，并在ABD△和ADC中，分别用正弦定理表示AD，建立方程求DC的值.【详解】AB=3==，222cos22AB BC ACBAB BC+-∴===⋅，又因为角B是三角形的内角，所以6Bπ=，90BAC∴∠=，sin BAD∠=，cos BAD∴∠==，sin cosDAC BAD∴∠=∠=，在ABD△中，由正弦定理可得sinsinBD BADBAD⋅=∠，在ADC中，由正弦定理可得sinsinDC CADDAC⋅=∠，()17DC DC⨯=，解得：DC=.故选：A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.20．D【分析】由数量积的定义判断B角的大小，得三角形形状．【详解】由题意cos()0a b a b Bπ⋅=->，∴cos()0Bπ->，cos0B->，cos0B<，又B是三角形内角，∴2Bππ<<．∴ABC是钝角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 21．A【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】由题意，可得如下示意图令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33b CM CB == ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab ab b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立 ∴有48ab ≤ ∴113sin 4812322ABC S ab C ∆=≤⨯=故选：A【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值22．D【分析】首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【详解】 解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 23．A【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得AE =-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒，∴12AE =，∴AE =）， 故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．24．D【分析】由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ⋅，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算()()a b a b +⋅-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得1b =，a 与b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈. 对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，()cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-，B 选项错误；对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误；对于D 选项，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以，()()a b a b +⊥-，D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.25．D【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+，∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=．解得15cos 17A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-． 故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．无27．D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=， 平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得223a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||323a b a b cos a b a b bθ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=， ， 故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 28．D【分析】由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44m n == 所以1344CP CA CD =+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为14故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.29．C【分析】利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案. 【详解】如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅， 所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=， 所以O 为ABC ∆的垂心。
2019年高考数学(文)一轮复习题 第八单元 平面向量
π
考点二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ向量的数量积运算
4.(2016 年全国Ⅱ卷)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则 m=( ). A.-8 B.-6 C.6 D.8 【解析】因为 a=(1,m),b=(3,-2),所以 a+b=(4,m-2). 因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,所以 12-2(m-2)=0,解得 m=8. 【答案】D 5.(2016 年全国Ⅲ卷)已知向量������������= 2, 2 ,������������= 2 ,2 ,则∠ABC=( ). A.30° B.45° C.60°
2 5
2 5
(θ 为参数),
而������������=(x0,y0),������������=(0,1),������������=(2,0).
∵������������=λ������������+μ������������=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),
1 5 2 5 5 sinθ.
∴μ=2x0=1+ 5 cosθ,λ=y0=1+
两式相加,得
λ+μ=1+
5 2 5 5 sinθ+1+ 5 cosθ=2+sin(θ+φ)≤3
(其中sin������ =
5 5
,cos������ = 5 ,
2 5
)
当且仅当 θ=2+2kπ-φ,k∈Z 时,λ+μ 取得最大值 3. 故选 A. 【答案】A
4 1
C.������������=3������������+3������������
4 1
2018-2019学年度第二学期数学阶段测试卷(一)平面向量
(A).-4
(B).2√10
(C).2√5
(D).20
3．当两个手提重为 G 的书包时，夹角为 θ，用力为 F ，则三者的关系式为（ ）
2．D
【解析】∵a＝(1，x)，b＝(2，－6)且 a∥b，
∴－6－2x＝0，x＝－3，∴a＝(1，－3)，a·b＝20，故选(D).
3．D
【解析】由于| F 合力|=2|F|cos ，则 2|F|cos =| |，故|F|=
.
考点：向量在力的合成与分解中的应用.
4．C
【解析】∵������与���⃑���的夹角为120°，������ = (2,0)，|���⃑���| = 1，
14．已知 a 1， b 6 ， a b a 2 ，则 a 与 b 的夹角为________
15．在 ABC 中， ABC 120 ， BA 2 ， BC 3， D, E 是线段 AC 的三等分点，则 BD BE 的
值为__________． 16 ． 定 义 ： 对 于 实 数 ������ 和 两 定 点 ������, ������ ， 在 某 图 形 上 恰 有 ������(������ ∈ ������ ∗) 个 不 同 的 点 ������������ ， 使 得 ���⃑⃑���⃑���⃑���⃑���⃑⃑��� · ���⃑⃑���⃑���⃑���⃑���⃑��� = ������(������ = 1,2,3 ⋯ ������)，称该图形满足“������度契合”.若边长为 4 的正方形������������������������中，���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� = 2���⃑⃑���⃑⃑���⃑⃑���, ���⃑⃑⃑���⃑⃑���⃑��� = 3���⃑⃑⃑���⃑⃑���⃑���，且该正 方形满足“4 度契合”，则实数������的取值范围是__________．
2018年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第三讲平面向量课件
误区警示
1．在解决平面向量的数量积问题中的注意点 (1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3) 平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及 其性质等． 2．向量的数量积运算需要注意的问题 a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质 有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.
3 2 sin
2ωx－12＝sin2ωx＋π6－12，
3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)， 且a∥b，则m＝___－__6___.
解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.
4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若 向量a＋b与a垂直，则m＝___7_____.
(2)因为a2＝bc，所以cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋2cb2c－bc≥2b2c－bcbc＝ 12(当且仅当b＝c时，取等号)． 因为0<A<π，所以角A的取值范围是0，π3. 由正弦定理，知0<absin B＝sin A≤ 23，所以absin B的取值范围 是0， 23.
A平．面1直角坐标系(图略)，则A(0B,1).1，16B(2,0)，C
1，12
，所以
→ OP
＝
1 2
→ OC
＝
C12.14，14，
D．－12
A→P＝12，－34，
故A→P·O→P＝12，－34×12，14＝116.
题组突破
专题08 平面向量-2019年高考数学(文)考试大纲解读 Word版含解析
（九）平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景.（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.（3）理解向量的几何表示.②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．样题5（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的+的最大值为圆上.若，则λμA．3 B．C D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.考向四向量与其他知识的综合样题6 （2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，OA与OC的m n∈R，则夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°．若(,)+=．m n【答案】3【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．。
高考数学学业水平测试一轮复习专题八平面向量第31讲平面向量的数量积课件
所以S△ABC＝
1 2
|
→ AB
||
→ BC
|sin∠ABC＝
1 2
×4×3×
3 2
＝
3 3.
10．已知x∈0，π3，设向量m＝(sin x，cos x)，n＝
23，12.
(1)若m∥n，求x的值；
(2)若m·n＝35，求sinx－1π2的值．
解：(1)因为m＝(sin x，cos x)，n＝ 23，12，且m∥
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝________或|a|＝ x2＋y2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离 |AB|＝|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)，则a⊥b⇔________． 答案：x1x2＋y1y2 (1)x2＋y2 (3)x1x2＋y1y2＝0
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥
a－52b，则a与b的夹角为(
)
π
π
A.3
B.4
C.π2
D.π6
答案：A
2．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，
则a与b的夹角为( )
π
π
A.3
B.2
C.23π
D.56π
答案：C
3．已知向量a＝(1， 3 )，b＝(3，m)．若向量a，b
所以cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12， 又因为0≤θ≤π， 所以θ＝23π. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6) ＋32＝13， 所以|a＋b|＝ 13. (3)因为A→B与B→C的夹角θ＝23π，
广东省高考数学学业水平合格考试总复习 学业达标集训 平面向量(含解析)-人教版高三全册数学试题
平面向量一、选择题1．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线B [因为BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，所以BD →，AB →共线，又有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选B ．]2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3，λ)且a ⊥b ，则λ的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．32D ．－32A [由向量垂直的充要条件可得：2×3＋1×λ＝0，解得λ＝－6，即λ的值为－6.] 3．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a|＝|b|B ．a·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥bD [a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b.]4．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ． 3 B ．3 C ．－ 3D ．－3D [向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.]5．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．4C [∵(2a －b )·b ＝2a·b －|b|2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.]6．在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6B [由题意得AB ＝32，△ABC 是等腰直角三角形，CM →·CB →＝⎝⎛⎭⎫CA →＋13AB →·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝0＋13|AB →|·|CB →|cos 45°＝13×32×3×22＝3，故选B ．]7.如图，在△ABC 中，已知BD →＝2DC →，则AD →＝( )A ．－12AB →＋32AC →B ．12AB →＋32AC →C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC →C [AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23·(BA →＋AC →)＝13AB →＋23AC →.]8．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2D [∵向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2， ∴a ·b ＝1×2×cos 60°＝1， ∴|2a －b |＝4|a |2＋(b )2－4a ·b ＝4＋4－4＝2，故选D ．]9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A ．⎝⎛⎭⎫79，73 B ．⎝⎛⎭⎫－73，－79 C ．⎝⎛⎭⎫73，79D ．⎝⎛⎭⎫－79，－73D [设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)．又(c ＋a )∥b ， ∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73，故选D ．]10．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( ) A ．－1＋ 3 B ．－2 C ．－1±3 D ．1C [∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2，|a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b ) ·( a ＋b )|k a －b||a ＋b |，即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2，化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.]11．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形B [由AB →＝DC →知四边形ABCD 是平行四边形，由AC →·BD →＝0知AC ⊥BD ，即对角线垂直，所以四边形ABCD 是菱形．]12.如图，已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43bB [BC →＝2BD →＝2⎝⎛⎭⎫23BE →＋13AD → ＝43BE →＋23AD →＝23a ＋43b .] 13．若非零向量a ，b 满足|a|＝|b|，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°C [由题知，(2a ＋b )·b ＝2a·b ＋b 2＝2|a |2cos 〈a ，b 〉＋a 2＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴a ，b 的夹角为120°.]14．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( ) A ．(2,6) B ．(－2，－6) C ．(2，－6)D ．(－2,6)D [设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)．]15．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)C [∵|BC →|＝|AC →－AB →|，且||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|AC →|＋|AB →|.∴3≤|AC →－AB →|≤13. ∴3≤|BC →|≤13.] 二、填空题16．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝ . 1 [a －2b ＝(3，3)．∵a －2b 与c 共线，∴3×3＝3k ，解得k ＝1.]17．等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么ab ＋bc ＋ca 等于 ． －32 [∵等边三角形ABC 的边长为1， ∴a ·b ＝1×1×cos 120°＝－12，b ·c ＝1×1×cos 120°＝－12，c ·a ＝1×1×cos 120°＝－12，∴ab ＋bc ＋ca ＝－32.]18．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a·b )b ，则|c|＝ . 82 [由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c|＝82＋(－8)2＝8 2.]19．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a|＝|b|＝1，则a 与b 的夹角θ为 ． π3 [因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b －8＋5＝0，即a·b ＝12. 又a·b ＝|a||b|cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.]三、解答题20．已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2.求： (1)(a －2b )(a ＋b )； (2)|3a －4b |.[解] a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， ∴ab ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4， (1)(a －2b )(a ＋b )＝|a |2－2ab ＋ab －2|b |2＝16＋4－2×4＝12. (2)|3a －4b |2＝9|a |2－24ab ＋16|b |2＝9×42－24× (－4)＋16×22＝16×19，∴|3a －4b |＝419.21．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c|＝25，且c 与a 方向相反，求c 的坐标； (2)若|b|＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. [解] (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 及|c|＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，因为c 与a 方向相反，所以c ＝(－2，－4)． (2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a·b －2b 2＝0， 所以2|a|2＋3a·b －2|b|2＝0，所以2×5＋3a·b －2×54＝0，所以a·b ＝－52.所以cos θ＝a·b|a||b|＝－1.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.。
第8讲+平面向量课件-2024年湖南省普通高中学业水平考试复习
则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，
λ＝1，
－1＝λ＋μ，
2
即 2＝λ－μ， 解得 μ＝－3.
2
故 c＝12a－32b.
【答案】 B
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【变式题】
设 M 是△ABC 边 BC 的中点，若A→M＝λA→B＋μA→C，则 λ＋μ 的值为( )
1
1
A. 4
B.2
【解析】 设 a 与 b 的夹角为θ. 因为 a·b＝|a||b|cos θ＝12， 又|b|＝5，所以|a|cos θ＝12，
5 即 a 在 b 方向上的投影向量为 152e.
【答案】 152e
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【变式题】
(1)已知向量 a＝(1，1)，b＝(2，0)，则 a·b＝( )
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探究点一：平面向量的基本概念 探究点二：平面向量的运算 探究点三：平面向量的基本定理 探究点四：平面向量的坐标运算 探究点五：平面向量的数量积 探究点六：平面向量的综合应用
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探究点一： 平面向量的基本概念
【例 1】 在平行四边形 ABCD 中， (1)举例说明以下概念：相等向量；相反向量；共线向 量；单位向量. (2)A→E＝λ·A→C，求λ. (3)A→E＝xA→D＋y·A→B，求 x，y.
4
44
＝3a＋1B. 44
【答案】 C
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【变式题】
(1) 如图，O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点， 则下列等式正确的是( )
A.D→A－D→C＝A→C B.D→A＋D→C＝D→O C.O→A－O→B＋A→D＝D→B D.A→O＋O→B＋B→C＝A→C