平面向量经典精品结论总结
高中数学平面向量知识点归纳总结800字(优秀范文8篇)
高中数学平面向量知识点归纳总结800字(优秀范文8篇)关于高中数学平面向量知识点归纳总结，精选5篇优秀范文，字数为800字。
平面向量是数学中的一个重要概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还涉及到物理、工程等多个领域。
本文将对平面向量的应用知识点进行总结。
高中数学平面向量知识点归纳总结(优秀范文)：1平面向量是数学中的一个重要概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还涉及到物理、工程等多个领域。
本文将对平面向量的应用知识点进行总结。
一、向量的表示和运算1. 向量的表示：向量可以用一个有序数组或者一个点对来表示，分别称为坐标表示和几何表示。
2. 向量的加法和减法：向量的加法和减法遵循交换律和结合律，可以将向量看作有向线段进行运算。
3. 向量的数量积：向量的数量积是向量的一种运算，结果是一个实数。
它有几何意义和代数意义，可以用来计算向量的模、夹角和投影等。
4. 向量的数量积的性质：数量积满足分配律、交换律、结合律等性质，还满足向量垂直的判定定理和平行的判定定理。
二、向量的几何应用1. 向量的共线和垂直：利用向量共线的性质可以判断直线是否相交、线段是否相交等几何问题；利用向量垂直的性质可以判断两条直线的关系、判断线段之间的位置关系等。
2. 向量的模和单位向量：向量的模表示向量的长度，可以用来计算两点之间的距离等；单位向量是模等于1的向量，可以用来表示方向。
3. 向量的投影：向量的投影表示一个向量在另一个向量上的投影长度，可以用来计算力的分解、向量的分量等。
三、向量的物理应用1. 力的合成和分解：利用向量的加法和减法可以对力进行合成和分解，分析力的平衡和不平衡等物理问题。
2. 动量和动量守恒：动量是物体的物理量，可以用向量表示；利用动量守恒原理可以解决碰撞问题等物理问题。
3. 矢量速度和导数：速度是矢量量，表示物体在单位时间内位移的方向和大小；利用导数可以求解速度与时间的关系。
四、向量的工程应用1. 机械平衡：利用向量的平衡原理可以分析机械结构的平衡条件，设计合理的支撑结构。
高一数学平面向量归纳总结
高一数学平面向量归纳总结一、向量的概念及基本性质向量是有大小和方向的量，用箭头表示。
向量的大小可以用模表示，方向可以用角度或方位角表示。
向量的相等与相反，向量的加法和数量乘法满足交换律、结合律、分配律。
二、向量的表示方法1. 终点坐标表示法：向量的起点在坐标原点O处，终点在坐标平面上的某个点P(x,y)处，向量记作OP。
2. 坐标表示法：向量的起点在坐标原点O处，终点在坐标平面上的某个点P(x₁,y₁)处，向量记作(x₁,y₁)。
3. 位置矢量表示法：在平面直角坐标系中，向量的起点是原点O，终点为某一点P，则OP向量可以表示为以O为原点，以P为终点的位置矢量。
三、向量的运算1. 向量的加法：向量加法满足三角形法则和平行四边形法则。
2. 向量的数量乘法：向量与实数相乘，改变向量的长度但不改变方向。
3. 向量的减法：向量减法等于加上减向量的负向量，即A-B=A+(-B)。
4. 内积运算：内积(点积)的运算结果是一个实数，满足交换律、分配率，且与夹角θ的余弦有关。
5. 外积运算：外积(叉积)的运算结果是一个向量，其大小等于以两个向量为两条邻边的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形的平面。
四、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示与直角坐标系中的坐标表示是一致的，即用向量的横、纵坐标表示向量的分量。
五、向量共线与共面1. 向量共线：若向量A与向量B的数量积为0，则两个向量共线。
2. 向量共面：若向量A、B、C的数积为0，则A、B、C三个向量共面。
六、向量的数量积应用1. 向量夹角的性质：夹角余弦公式可以用于求解向量夹角。
2. 向量投影的概念：设A为非零向量，B为任意向量，点的B在A 上的投影记为Prj(A,B)。
3. 向量投影的计算：设A为非零向量，B为任意向量，则Prj(A,B) = (A·B)/|A|。
4. 向量垂直与平行的判定：若向量A与向量B的数量积为0，则两个向量垂直；若向量A与向量B共线且方向相同或相反，则两个向量平行。
平面向量经典精品结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
平面向量知识点归纳总结
平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。
例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。
二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。
三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。
设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。
新的线段即为向量A + B。
2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。
设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。
即A - B = A + (-B)。
4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。
任何向量与零向量相加等于该向量本身。
四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。
2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。
3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。
4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。
5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。
6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。
五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。
平面向量的一些重要结论
平面向量的一些重要结论向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：（一）向量与三角形四心 ①1()3PG PA PB PC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ÛG 为ABC D 的重心， 特别地0PA PB PC P ++=Ûuuu r uuu r uuu r r 为ABC D 的重心；(),[0,)AB AC l l +Î+¥uuu r uuu r 是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心；()1,2AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r 等于已知AD 是ABC D 中BC 边的中线. ②PA PB PB PC PC PA P ×=×=×Ûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 为ABC D 的垂心； ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +uuu r uuu r uuu r uuu r [0,)l Î+¥是ABC △边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心. ③ ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=Ûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r ABC D 的内心； 向量()(0)||||AC AB AB AC l l +¹uuu r uuu r uuu r uuu r 所在直线过ABC D 的内心(是BAC Ð的角平分线所在直线). ④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +×=+×=+×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r222OA OB OC OA OB OC Û==Û==Ûuuuu r uuuu r uuuur uuu r uuu r uuu r O 为ABC D 的外心.（二）向量与平行四边形 向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD 中，设,AB a AC b ==uuu r r uuu r r ，则有以下的结论： ①,AB AC a b AD +=+=uuu r uuu r r r uuu r 通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若C AB D =uuu r uuu r ,可判断四边形为平行四边形；②,,a b AD a b CB +=-=r r uuu r r r uuu r 若0a b a b a b +=-Û×=r r r r r r 对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；()()0a b a b a b +×-=Û=u u r r r r r r 对角线垂直.则平行四边形为菱形； ③222222a b a b a b ++-=+r r r r r r 说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；④||||||||||||a b a b a b -£±£+r r r r r r ，特别地，当 a b r r 、同向或有0r Û||||||a b a b +=+r r r r ³||||||||a b a b -=-r r r r ；当 a b r r 、反向或有0r Û||||||a b a b -=+r r r r ³||||||||a b a b -=+r r r r ；当 a b r r 、不共线Û||||||||||||a b a b a b -<±<+r r r r r r (这些和实数比较类似).（三）解析几何与向量综合时可能出现的结论（1） 给出直线的方向向量()k u ,1=r 或()n m u ,=r ；（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;（3）给出0r =+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()BQ BP AQ AP +=+l ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一： ①AC AB //； ②存在实数,AB AC l l =rr 使； ③若存在实数,,1,OC OA OB a b a b a b +==+uuu r uuu r uuu r 且使,等于已知C B A ,,三点共线.（6） 给出ll ++=1OB OA OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，l 为定比，即PB AP l = （7） 给出0=×MB MA ,等于已知MB MA ^,即AMB Ð是直角,给出0<=×m MB MA ,等于已知AMB Ð是钝角, 给出0>=×m MB MA ,等于已知AMB Ð是锐角,（8）给出MP MB MA =öæ+l ,等于已知MP 是AMB Ð的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-×+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，等于已知ABCD 是矩形;（11）在ABC D 中，给出222OC OB OA ==，等于已知O 是ABC D 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在ABC D 中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC D 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC D 中，给出OA OC OC OB OB OA ×=×=×，等于已知O 是ABC D 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC D 中，给出+=OA OP (||||AB AC AB AC l +uuu r uuu r uuu r uuu r )(+ÎR l ，等于已知AP 通过ABC D 的内心； （15）在ABC D 中，给出,0=×+×+×OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC D 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16在ABC D 中，给出()12AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ,等于已知AD 是ABC D 中BC 边的中线;。
高考数学平面向量的基本定理总结
高考数学平面向量的基本定理总结一、平面向量的定义在平面上，任意给定的两个点A和B，我们可以由点A指向点B画出一条有向线段，这条有向线段就是一个平面向量，记作AB。
二、平面向量的表示平面向量既可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
对于平面上的向量AB，用坐标表示为：AB = (x2-x1, y2-y1)其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是向量起点A和终点B的坐标。
这种表示方法非常直观，也很容易理解。
三、平面向量的基本运算在平面向量的基本定理中，我们需要掌握平面向量的基本运算，主要包括向量的加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A和向量B的和向量C的坐标为：C = A + B = (x1+x2, y1+y2)2. 向量的减法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A减去向量B的差向量D的坐标为：D = A - B = (x1-x2, y1-y2)3. 数量乘法设k为实数，向量A的坐标为(x1, y1)，则向量A的数量乘积ka的坐标为：ka = (kx1, ky1)四、平面向量的基本定理平面向量的基本定理是指任何一个平面向量都可以表示成两个非零向量的和。
具体而言，对于平面上的向量A，可以找到两个非零向量B和C，使得：A =B + C其中，向量B和向量C的坐标满足条件：B = (x1, y1)，C = (x2, y2)B和C分别称为向量A的两个互补向量。
根据平面向量的基本定理，我们可以将任意一个向量拆分成两个向量的和，从而简化向量的运算和应用。
五、基本定理的应用平面向量的基本定理在高考数学中有着广泛的应用。
主要包括以下几个方面：1. 向量的坐标运算：利用基本定理，我们可以通过向量的坐标进行加法、减法、数量乘法和求模等运算，从而简化向量的运算。
2. 向量的平衡力：基于平面向量的基本定理，我们可以将受力问题转化为向量的平衡问题，通过求解向量的平衡条件，得到力的大小和方向。
平面向量中的定理
平面向量中重要定理总结（非常经典）1、共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .2、三点共线的证明方法若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．3、平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4、奔驰定理：已知O 是ABC ∆内一点，则0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC推论：已知O 是ABC ∆内一点，若=⋅+⋅+⋅z y x ，则z y x S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆5、极化恒等式定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 即：)|||(|2|AD ||AB |2222BO AO +=+ 设.,b AD a AB == 则,,b a DB b a AC -=+= 极化恒等式：[]22)()(41b a b a b a --+=⋅，即：=⋅6、三点共线定理：已知OB y OA x OC +=，且1=+y x ，则C B A ,,三点共线 OABC向量等和线： 平面内一组基底，及任意向量，21λλ+=，若点P 在直线AB 上或在与AB 平行的直线上，则k =+21λλ(||OC k =反之也成立,我们把直线AB 以及与AB 平行的直线称为基底系数等和线7、三角形各“心”的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点，重心将中线长度分成2∶1；垂心：三角形的三条高线的交点，垂线与对应边垂直；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)，内心到三角形三边的距离相等；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．三角形各“心”的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)．(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0.注意：向量λ((AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．。
平面向量知识点归纳总结
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
下面是平面向量的一些重要知识点的归纳总结：1.平面向量的表示：●使用箭头或小写字母加上一个横线来表示，如a→或AB。
●平面向量通常用两个有序实数（分量）表示，如a = (a₁, a₂)。
2.向量的模/长度：●向量的模/长度表示为|a|，计算公式为|a| = √(a₁²+ a₂²)。
3.向量的方向角：●向量与正x 轴之间的夹角称为方向角。
●方向角可以使用三角函数来表示，如tanθ= a₂/a₁。
4.向量的运算：●向量的加法：a + b = (a₁+ b₁, a₂+ b₂)。
●向量的减法：a - b = (a₁- b₁, a₂- b₂)。
●数乘：k * a = (k * a₁, k * a₂)，其中k 为实数。
5.向量的数量积（点积）：●向量a 和向量b 的数量积（点积）表示为a ·b。
●计算公式为a ·b = a₁* b₁+ a₂* b₂。
●点积满足交换律：a ·b = b ·a。
●点积的几何意义：a ·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
6.向量的矢量积（叉积）：●向量a 和向量b 的矢量积（叉积）表示为a ×b。
●计算公式为a ×b = (0, 0, a₁* b₂- a₂* b₁)，即得到一个垂直于平面的向量。
●矢量积满足反交换律：a ×b = - (b ×a)。
●矢量积的几何意义：|a ×b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
7.平行向量和共线向量：●平行向量指方向相同或相反的向量。
●共线向量指在同一直线上的向量。
●如果两个向量平行，则它们的叉积为零。
8.向量的投影：●向量a 在向量b 上的投影表示为projₐb。
●计算公式为projₐb = (|a| * |b| * cosθ) * u，其中θ为a 和b 之间的夹角，u 为b 的单位向量。
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平面向量复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
如（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：1322a b -）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-（答：B ）；（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答：2433a b +）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π时，a ，b 垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
如（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____（答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____）；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30）（3）b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。
如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：512） （4）a •b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔•=；②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，222,a a a a a a =•==；当a 与b 反向时，a •b ＝－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a ba bθ•=；④||||||a b a b •≤。
如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且13λ≠）；（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________（答：(,)43ππ）；（3）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==a 与b 之间有关系式3,0ka b a kb k +=->其中，①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +⋅=>；②最小值为12，60θ=）6、向量的运算： （1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
如（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：）；（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为____（答：120）；（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。
如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6π或2π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是 （答：（9,1））②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。
③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如设(2,3),(1,5)A B -，且13AC AB =，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________（答：11(1,),(7,9)3-）； ④平面向量数量积：1212a b x x y y •=+。
如已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。
（1）若x ＝3π，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求λ的值（答：1(1)150;(2)2或21--）； ⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+。
如已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____（答：13）；⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则()()222121||AB x x y y =-+-。
如如图，在平面斜坐标系xOy中，60xOy ∠=，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。
（1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径2210x y xy ++-=）；的圆在斜坐标系xOy 中的方程。
（答：（1）2；（2）7、向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a •=•；(2)结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ•=•=•；（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +•=•+•。