常微分方程解析式理论

例5 分解整系数多项式 f ( x) 3x 2x 9x 6
3 2
的因式． 1 2 分析：可能的试除数是 1, 2, 3, 6, ,
3 3
由于f(x)的奇次项系数都是正数，偶次项系 数都是负数，故只选择正的试除数：1，2，3，6， 1／3，2／3． 代入计算易知只有2／3合条件． 故由综合除法可得：
例2 把多项式 x3 x 2 2 x 2 表示成(x-1)的 幂的多项式的形式
解法一：据已知可设
x x 2 x 2 x 1 a x 1 b x 1 c
3 2 3 2
将右边展开，运用定理2（对应系数相等）从而 确定所求系数．
解法二：同解法一所设，将变元x代入不 同值求得两边的值，从而确定待定系数． 解法三：同解法一所设，利用高代中的综合除法， 从而确定待定系数．
定理2 （多项式恒等定理）数域F上的两个一 元多项式恒等的充要条件是它们的次数相同， 且同次项系数对应相等． 定理3 （多项式恒等判定）如果数域F上有个 次数不大于n的多项式f(x)和g(x)，对于x的n+1 个不同的值都有相等的值，则它们恒等．
三、待定系数法
例1 已知三次多项式f(x)在x=-1，0，1，2时的 值分别为1，2，3，2，试写出这个多项式． 解法一：设多项式为
由题意a≠b，解得
f (a) f (b) af (b) bf (a ) m ,n . a b a b
因此所求余式为
f (a) f (b) af (b) bf (a) x . a b a b
四、多项式的因式分解
相关概念： 不可约多项式（既约多项式）、因式分解等． 相关定理： ※任意一个次数大于零的多项式，都可以分解 成给定数域上的不可约多项式的乘积，且唯一． ※在复数域内，任意一个n次多项式都可分解成 n个一次因式的乘积． ※在实数域内，任意一个n次多项式都可分解成 一次与二次不可约因式的乘积． ※有理数域内，任意次多项式都可能是不可约 的．
f ( x1,, xi ,, x j ,, xn ) f ( x1,, x j ,, xi ,, xn )
就称这个多项式是交代多项式，简称交代式． 例如：x y , ( x y)( y z )( z x). 5．轮换式 设n元多项式，如果将变数字母轮换后有 f ( x1 , x2 , xn ) f ( xn , x1 , xn1 ) 则称这个多项式是轮换多项式，简称轮换式． 凡对称式都是轮换式，但轮换式不一定是对 称式． (a b)(b c)(c d ) , x2 y y 2 z z 2 x . 例如：
x 4 x 3 5 x 3 x 2 px q x 2 mx n .
再由待定系数法确定常数即可．
例7 证明 xy + 2 不能分解因式．
例10 分别在有理数集、实数集与复数集内分 解因式： x 4 2 x3 x 2 16.
解： 原式
x x 42
二、解析式的分类 定义2 只含有代数运算的解析式叫做代数 式；含有初等超越运算的解析式叫做 初等超越式，简称超越式．
单项式 整式 有理式 代数式 分式 无理式 多项式
解析式
初等超越式：指数式（ 式等．
ab ，b为无理数），对数式，三角式，反三角
注1、解析式的分类是按运算来分，特别是 针对字母运算而言。
具体做法如下： ⑴先写出整系数多项式f(x)的首项和常数项的所 有因数然后以首项的因数为分母，常数项的因 数作为分子，作出所有可能的既约分数（包括 整数）． ⑵从上述既约分数中合理地选择试除数． 如果f(x)的各项系数都是正数，或都是负数， 就只选择负的试除数． 如果f(x)的各项奇次项系数都是正数，偶次 项系数（包括常数项）都是负数，或者偶次项系 数都是正数，奇次项系数都是负数，就只选择正 的试除数． ⑶选好试除数后，即用综合除法试除．
6 ．对称式、交代式和轮换式的性质
⑴变数字母相同的两个对称式的和、差、积、商 仍是对称式．
⑵变数字母相同的两个轮换式的和、差、积、商 仍是轮换式．
⑶变数字母相同的两个交代式的和、差仍是交代 式，它们的积、商则是对称式．
⑷变数字母相同的一个对称式与一个交代式的积、 商是交代式． ⑸多个变数字母的交代式，必有其中任意两个变 数字母之差的因式．
( x x2 )( x x3 ) ( x xn 1 ) f ( x) y1 ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x1 xn 1 ) ( x x1 )( x x3 ) ( x xn 1 ) y2 ( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x2 xn 1 ) ( x x1 )( x x2 ) ( x xn ) yn 1 ( xn 1 x1 )( xn 1 x2 (y-z)(z-x)， 故，可设
y z z x x y
3 3
3
k ( x y )( y z )( z x).
取x,y,z的特殊值计算即可得k．
§3.3 分式
一、基本概念 1．有理分式 定义2.3.1
f ( x) 两个多项式的比 g ( x )（其中g(x)不是零
就称这个多项式是对称多项式，简称对称式．
x 例如： y z 3xyz , x 2xy y 3x 3 y .
3 3 3 2 2
对称式的同型项 一般地：在含有两个以上变数字母的对称式 中，同型项的系数必相等．
4 ．交代多项式 设n元多项式对任意的 i , j , 1≤ i < j≤ n ,都有
x3 y 3 z 3 3xyz x y z m x 2 y 2 z 2 n xy yz zx
由待定系数法可确定 m , n．
例9 分析： 原式是一个轮换式．当x=y时， 原式=0．
分解因式： y z z x x y .
x 1 例如： 是整式而不是分式。 2
注2、解析式的分类只对形式而言，不涉及本质。
sin 2 x cos 2 x 1 例如： 2 2 2x 1 2x 1
注3、解析式的分类不能越级。 x 1 x 1 sin x 例如： 2x 1 2x 1
三、解析式的恒等
一个解析式的变数字母的所有容许值的集合， 叫做这个解析式的定义域． 定义3 设有两个解析式，若对于它们定义域的 公共部分内的一切值，它们都有相等的值，则 称这两个解析式是恒等的，记做A≡B，也记做 A＝B ． 定义4 把一个给定的解析式换成另一个与它恒 等的解析式，这种变形叫做恒等变形或恒等变 换．
f ( x, y, z) x3 y3 z3 3xyz. 例8 分解因式：
分析： 原式是对称式， 当x=-(y+z)时，
f ( x, y, z ) ( y z )3 y 3 z 3 3 ( y z ) yz 0,
所以原式有因式 (x+y+z) ．因为原式是三次式， 故还有另一个二次对称因式． 故可设
1.用因式定理和综合除法分解因式
因式定理： 整系数多项式 f (x)有因式(x-a)的充要条件是 f(a)=0．
有理根定理：
如果整系数多项式 n n1 f ( x) an x an1x a1x a0
q （p、q是互质的整数），则p一定是 有因式 x p
n次项系数的约数，q是常数项的约数．
特殊多元多项式的因式分解 通常应用对称式、交代式、轮换式的概念和 性质，结合因式定理和待定系数法进行．
一般步骤是： ⑴先观察所给多项式的特征，以其中一个字 母为主，把另一个或另一些变数字母作为试除 数，依据因式定理找出一个因式；再根据有关 性质用轮换的方法得出另外一些因式． ⑵用待定系数法确定分解后的因式乘积的系 数．
3 ．对称多项式
设 f ( x1 , x2 , xi ,, x j , xn ) 是n元 多项式，如果对于任意的 i , j , 1≤ i ≤ j ≤ n 都有
f ( x1, x2 ,, xi ,, x j ,, xn ) f ( x1, x2 ,, x j ,, xi ,, xn )
（C内）
因式分解的几个特点
⑴结果的相对性 ⑵解法的多样性 ⑶高度的技巧性
x 1、在实数域内分解因式： 6 x 11x 6.
3 2
x 2、 在有理数集内分解因式：
5
x 1.
五、多元多项式（几种特殊情况）
1．多元多项式的一般概念
含有两个以上变数字母的多项式，叫做多元 多项式．
多元多项式的标准形式（字典排列法）、项 的次数、多项式的次数等概念 2．齐次多项式 （齐次式） 性质： 两个齐次式的积仍然是齐次式，积得次数 为两个因式次数之和． 例如： ax by cz , ax3 bx3 cz3 dxyz
§3.2 多项式
一、基本概念
多项式的次数、 一元多项式的一般形式、 零次多项式、 零多项式等．
二、多项式的恒等
定理1 设数域F上的多项式 n n1 f ( x) an x an1x a1x a0 如果对于变数 x 在F上的任意取值，多项式的 值都等于零，则该多项式是零多项式．
多项式），叫做有理分式，简称分式． 分式的定义域 2．分式的恒等 如果两个分式对于它们的公共定义域上的任 意取值都有相等的值，那么这两个分式恒等．
定理2.3.1 两个分式f(x) ／g(x)和是s(x) ／t(x)恒等 的充要条件是f(x)t(x) ≡s(x)g(x) ．
f ( x) ax3 bx2 cx d
解法二：设这个多项式为
f ( x) a b( x 1) c( x 1) x d ( x 1) x( x 1)
（拉格朗日插值法）
附：拉格朗日插值公式（详见高等代数） 若一元n次多项式的变元x分别取n+1个不同的值 x1 , x2 , xn 1 所对应的多项式的值分别为 y1 , y2 , yn 1 则多项式可唯一确定为：