【名师推荐】专题10 直线与圆-十年高考(2009-2018)之高三数学分项与解读(浙江专版) Word版含解析
专题17 直线与圆小题综合(教师卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)
专题17直线与圆小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1直线方程与圆的方程（10年5考）2024·北京卷、2022·全国甲卷、2022·全国乙卷2018·天津卷、2016·上海卷、2016·浙江卷2016·天津卷、2016·全国卷、2015·全国卷2016·北京卷、2015·北京卷1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系，熟练掌握直线方程的5种形式及其应用，熟练掌握距离计算及其参数求解，该内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习2.理解、掌握圆的标准方程和一般方程，并会基本量的相关计算，能正确处理点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系求解，能利用圆中关系进行相关参数求解，会解决圆中的最值问题，该内容是新高考卷的必考内容，一般考查直线与圆和圆与圆的几何综合，需强化练习3.熟练掌握圆中切线问题的快速求解，该内容是新高考卷的常考内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习4.强化解析几何联动问题考点2直线与圆的位置关系及其应用（10年6考）2023·全国新Ⅱ卷、2022·北京卷、2022·天津卷2020·天津卷、2018·全国卷、2016·全国卷2016·全国卷、2016·全国卷、2016·山东卷2015·湖北卷、2015·湖北卷、2015·全国卷考点3圆中的切线问题（10年7考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷2020·全国卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷2015·山东卷、2015·山东卷、2015·湖北卷考点4直线、圆与其他知识点综合（10年7考）2024·天津卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·全国乙卷、2021·全国甲卷、2020·山东卷2020·北京卷、、2018·全国卷、2015·全国卷考点5直线与圆中的最值及范围问题（10年9考）2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·全国乙卷2022·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全国新Ⅰ卷2020·全国卷、2020·北京卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·江苏卷、2018·北京卷2018·全国卷、2017·江苏卷、2016·四川卷2016·四川卷、2016·北京卷考点01直线方程与圆的方程1．（2024·北京·高考真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32【答案】D【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=()()221323211--+=+-故选：D.2．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．【答案】22(1)(1)5x y -++=【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，2222(3)(12)(2)-+-+-=a a a a R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=[方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线210x y +-=的交点(1,-1).5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=3．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒=22(2)(3)13x y -+-=；（2）若圆过A B D 、、三点，设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==的方程为22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒=，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =，线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=．故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．4．（2018·天津·高考真题）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．【答案】2220x y x +-=【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得：200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．5．（2016·上海·高考真题）已知平行直线，则12l l 与的距离是.【详解】试题分析：利用两平行线间的距离公式得5d ==.【考点】两平行线间距离公式【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数必须相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.6．（2016·浙江·高考真题）已知a R ∈，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是，半径是．【答案】(2,4)--；5．【详解】试题分析：由题意，知22a a =+，12a =-或，当1a =-时，方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，当2a =时，方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆．圆的标准方程.由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．7．（2016·天津·高考真题）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的距离为5，则圆C 的方程为.【答案】22(2)9.x y -+=【详解】试题分析：设(,0)(0)C a a >2,3a r ===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．8．（2016·全国·高考真题）圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=a A ．43-B ．34-C D ．2【答案】A【详解】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A.【考点】圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．9．（2015·全国·高考真题）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN =A ．2B ．8C ．4D ．10【答案】C【详解】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为AC 中点(1,2)-，半径为长为AC52=，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =C ．考点：圆的方程．10．（2016·北京·高考真题）圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为()A ．1B ．2CD ．【答案】C【详解】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d = C.【考点】直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线（即）的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.11．（2015·北京·高考真题）圆心为()1,1且过原点的圆的方程是A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++=C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=【答案】D【详解】试题分析：设圆的方程为()()2211(0)x y m m -+-=>，且圆过原点，即()()220101(0)m m -+-=>，得2m =，所以圆的方程为()()22112x y -+-=.故选D.考点：圆的一般方程.考点02直线与圆的位置关系及其应用1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（112,2,,22--中任意一个皆可以）【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB ，以及点C 到直线AB 的距离，结合面积公式即可解出．【详解】设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得AB =，所以1825ABC S d =⨯⨯=△，解得：5d =或5d =，由d ==5=5=，解得：2m =±或12m =±．故答案为：2（112,2,,22--中任意一个皆可以）．2．（2022·北京·高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为(),0a ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2010a +-=，解得12a =．故选：A ．3．（2022·天津·高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．【答案】2【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.【详解】圆()()22113x y -+-=的圆心坐标为()1,1圆心到直线()00x y m m -+=>由勾股定理可得2232m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =.故答案为：2.4．（2020·天津·高考真题）已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B两点．若||6AB =，则r 的值为．【答案】5【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =，即可求得r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．5．（2018·全国·高考真题）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =．【答案】【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出．【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，弦心距d =AB ==．故答案为：［方法二］：距离公式的应用由221230y x x y y =+⎧⎨++-=⎩解得：01x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，不妨设(0,1),(2,1)A B --，所以AB =．故答案为：［方法三］：参数方程的应用直线1y x =+的参数方程为0212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，将其代入22230x y y ++-=，可得22112130222t t ⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得20t +=，从而120,t t ==-12AB t t =-=．故答案为：【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦；方法三：直线参数方程中弦长公式的应用．6．（2016·全国·高考真题）已知直线l：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点.则CD =.【答案】4【详解】试题分析：由60x -+=，得6x =-，代入圆的方程，整理得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以AB ==l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30ABCD ==︒．【考点】直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．7．（2016·全国·高考真题）已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若||AB =，则||CD =．【答案】4【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m 的值，既而求得CD 的长可得答案.【详解】因为AB =r =()0,0到直线30mx y m ++=的距离为33=，解得m =l的方程，得3y x =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4AB CD ==︒．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．8．（2016·全国·高考真题）设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B两点，若AB =C 的面积为【答案】4π【详解】因为圆心坐标与半径分别为(0,),=C a rd =2232a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4πππ==+=S r ，应填答案4π．9．（2016·山东·高考真题）已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【详解】化简圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的距离d =⇒()221220,2,2a a M r+=⇒=⇒=，又()2121,1,1N r MN r r MN=⇒⇒-<<12r r+⇒两圆相交.选B10．（2015·湖北·高考真题）如图，已知圆C与x 轴相切于点，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A 的上方），且2AB=．（Ⅰ）圆C的标准方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________．【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y-+-=；（Ⅱ）1-．【详解】设点C的坐标为00(,)x y，则由圆C与x 轴相切于点知，点C的横坐标为1，即1x=，半径0r y=．又因为2AB=，所以22211y+=，即0y r=，所以圆C的标准方程为22(1)(2x y-+=，令0x=得：1)B+．设圆C在点B处的切线方程为1)y kx-=，则圆心C到其距离为：d==1k=．即圆C在点B处的切线方程为1)y x=+，于是令0y=可得1x=，即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为1-22(1)(2x y-+=和1--考点：本题考查圆的标准方程和圆的切线问题,属中高档题．11．（2015·湖北·高考真题）如图，圆C与x轴相切于点()1,0T，与y轴正半轴交于两点,A B （在的上方），且2AB=．（Ⅰ）圆C的标准方程为；（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆22:1O x y+=相交于,M N两点，下列三个结论：①NA MANB MB=；②2NB MANA MB-=；③NB MANA MB+=其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）【答案】22(1)(2)2x y -+-=；①②③【详解】（Ⅰ）依题意，设(1,)C r （r 为圆的半径），因为||2AB =，所以22112r =+，所以圆心(2,C ，故圆的标准方程为()(22122x y -+=．（Ⅱ）因为,M N 在圆22:1O x y +=上，所以可设(cos ,sin ),(cos ,sin )M N ααββ，所以22(cos 0)[sin (21)]NA ββ=-+--2(21)(2sin )β=--22(cos 0)[sin (21)]NB ββ=-+-+2(21)(2sin )β+-所以21NA NB =，同理可得21M AM B，所以NA MA NBMB=，1(21)221NB MA NAMB--=-，22NA MA NB MB +=，故①②③都正确.12．（2015·全国·高考真题）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN =A ．2B ．8C ．4D ．10【答案】C【详解】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为AC 中点(1,2)-，半径为长为AC52=，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得262y =±，所以46MN =C ．考点：圆的方程．考点03圆中的切线问题1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个【答案】ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1BCD 【答案】B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810k k ++=，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为PC =PA =可得sin APC APC ∠=∠=，则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ⎫∠=∠=∠-∠=-=-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α；法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，可得PC =PA PB ===，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以sin α==；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r 若切线斜率不存在，则切线方程为0x =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，=2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得12k k -=所以1212tan 1k k k k -==+αsin cos αα=，可得cos =α则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且()0,πα∈，则sin 0α>，解得sin α=故选：B.3．（2023·天津·高考真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．【答案】6【分析】根据圆()2223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，0k >，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆()2223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，0k >，=k =22y y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得：00x y =⎧⎨=⎩或23p x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以483p OP ==，解得：6p =．当k =故答案为：6．4．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离1d ==，解得m =或m =．故答案为：3．5．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r =，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.6．（2020·全国·高考真题）若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.7．（2020·全国·高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A B C D 【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为1d =；圆心到直线的距离均为25d =圆心到直线230x y --=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y --=.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.8．（2020·浙江·高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =；b =．【答案】33-【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可.【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 1=，1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.9．（2019·浙江·高考真题）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =，r =.【答案】2m =-r =【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.10．（2015·山东·高考真题）一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或53B ．35-或32C ．23-或23D ．43-或34-【答案】D【详解】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为：()32y k x +=-，即：230kx y k ---=.又因为光线与圆相切，()()22321x y ++-=1=,整理：21225120k k ++=，解得：43k =-，或34k =-,故选D ．考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.11．（2015·山东·高考真题）过点P （作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅=.【答案】32【详解】如图，连接PO ，在直角三角形PAO中，1,OA PA ==所以，tan APO ∠=，22211tan 1cos 1tan 2APO APB APO --∠∠==+∠，故1322PA PB PA PB cos APB ⋅=⋅∠== .考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.12．（2015·湖北·高考真题）如图，已知圆C 与x 轴相切于点，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________．【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）12-．【详解】设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点知，点C 的横坐标为1，即01x =，半径0r y =．又因为2AB =，所以222011y +=，即02y r =，所以圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y -+=，令0x =得：21)B +．设圆C 在点B 处的切线方程为(21)y kx -=，则圆心C 到其距离为：222121k d k -++==+1k =．即圆C 在点B 处的切线方程为(21)y x =+，于是令0y =可得21x =-，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为12-22(1)(2)2x y -+=和12--考点：本题考查圆的标准方程和圆的切线问题,属中高档题．考点04直线、圆与其他知识点综合1．（2024·天津·高考真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：452．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A B C D 【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e =222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离5d =，所以弦长||5AB ===.故选：D3．（2023·全国乙卷·高考真题）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域(){}22,|14x y x y ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率13π143π4P ⨯==.故选：C.4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D5．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离1d ==，解得m =或m =．6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+p =（）A ．1B ．2C．D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d ==解得：2p =(6p =-舍去).故选：B.7．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ==，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-==.8．（2021·全国甲卷·高考真题）点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（）A ．95B ．85C ．65D ．45【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340x y ±=，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==.故选：A.9．（2020·山东·高考真题）（多选）已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，。
十年高考分类解析与应试策略数学09--第九章 直线、平面、简单几何体(A)
3
面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF∥AB，EF= ，EF 与面 AC 的距离
2
为 2，则该多面体的体积是（ ）
图 9—6
9
A.
B.5
2
—259—
15
C.6
D.
2
26.（1998 全国，7）已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形
的圆心角为（ ）
A.120°
B.150°
A.V 甲＞V 乙且 S 甲＞S 乙
B.V 甲＜V 乙且 S 甲＜S 乙
C.V 甲=V 乙且 S 甲＞S 乙
D.V 甲=V 乙且 S 甲=S 乙
10.（2002 北京理，10）设命题甲：“直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，平面 ACB1 与对
角面 BB1D1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 是正方体”.那么，甲是乙的
1
1
A.
B.
32
2
图 9—5
1
C.
2
1
D.
42
22.（2000 全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧 面积的比是（ ）
1 2 A. 2
1 4 B. 4
1 2 C.
1 4 D. 2
23.（1999 全国，7）若干毫升水倒入底面半径为 2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高 度为 6 cm.若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）
12.（2001 上海，15）已知 a、b 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面，且 a⊥
α,
b⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）
A.若 a∥b，则α∥β
高三数学二轮复习《直线圆圆锥曲线》专题讲义
高三数学二轮复习《直线、圆、圆锥曲线》专题讲义专题热点透析解析几何是高中数学的重点内容之一，也是高考考查的热点。
高考着重考查基础知识的综合，基本方法的灵活运用，数形结合、分类整合、等价转化、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力。
其中客观题为基础题和中档题，主观题常常是综合性很强的压轴题。
本专题命题的热点主要有：①直线方程；②线性规划；③直线与圆、圆锥曲线的概念和性质；④与函数、数列、不等式、向量、导数等知识的综合应用。
热点题型范例 一、动点轨迹方程问题例1．M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 2.PM PN -= （Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）设d 为点P 到直线l ：12x =的距离，若22PM PN =，求PM d 的值。
1.1在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？二、圆的综合问题例2、在直角坐标系中，A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设三角形ABC 的外接圆圆心为E 。
（1）若圆E 与直线CD 相切，求实数a 的值；（2）设点p 在圆E 上，使三角形PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的圆E 是否存在？若存在，求出圆E 的标准方程；若不存在，请说明理由。
三、圆锥曲线定义的应用例3. 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB =3.1已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的两个焦点为:(2,0),:(2,0),F F P -点的曲线C 上.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程四、圆锥曲线性质问题例5．①已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96②已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C．(0,2D．2 4.1．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+4.2．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于五、圆锥曲线中的定值、定点问题例6． 设A 、B 为椭圆22143x y +=上的两个动点。
直线与圆位置关系-十年高考(2009-2018)之高三数学分项与解读(江苏专版)(解析版)
，若直线
上总存在点 ，使得过点 的 【答案】 【解析】 【分析】
的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是_____．
设两个切点分别为 A、B，则由题意可得四边形 PAOB 为正方形，根据圆心 O 到直线 进行求解即可得 的范围. 【详解】
的距离
，
圆心为 ，半径 ，
设两个切点分别为 A、B，则由题意可得四边形 PAOB 为正方形，
【考情概览】
年份 题号 考点
难度层次 考查内容，方式，模型等
2018 12
直线与圆位置关系 一般 [来
直线与圆位置关系
2017 13 2016 2015 10 2014 9 2013 2012 12 2011 14 2010 9 2009
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直线与圆位置关系 困难
直线与圆位置关系 一般 直线与圆位置关系 简单
交
于不同的两点 A，B．若 O 是坐标原点，且
，则实数 b权，侵权必究！
4
【答案】
点睛：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，能正确的转化向量的 不等式是解题关键，属于中档题．
2．【江苏省苏州市第五中学校 2018 届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知
A B ,则实数 m 的取值范围是
。
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2
【答案】
1 2
,2
2
5 【2015 江苏高考，10】在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx y 2m 1 0(m R)
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】 (x 1)2 y2 2.
【解析】由题意得：半径等于 | m 1| m2 1
高三数学-2018年全国高考试题分类解析(直线与圆) 精品
2018年全国高考试题分类解析（直线与圆）一、选择题1．（江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π2．（江西卷） “a =b ”是“直线相切与圆2)()(222=-+-+=b y a x x y ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. (重庆卷)圆(x +2)2+y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) (A) (x -2)2+y 2=5； (B) x 2+(y -2)2=5；(C) (x +2)2+(y +2)2=5； (D) x 2+(y +2)2=5。
4 (浙江)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是 ( )(A)21 (B) 32 (C) 2 (D)25．(浙江)设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( )6.（天津卷）将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为 （ ） A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10 D ．1或11 7. (全国卷Ⅰ)在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（）（A ）2（B ）23（C ）223 （D ）28. (全国卷Ⅰ)设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是 （ ）（A ）1±（B ）21±（C ）33±（D ）3±9. (全国卷I)已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是 （ ）（A ）），（2222- （B ）），（22- （C ）），（4242-（D ）），（8181- 10. (全国卷III)已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ ）（A ）0 （B ）-8 （C ）2 （D ）10 11.（北京卷）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) （A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π12. （辽宁卷）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－813. （湖南卷）设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）A ．20B ．19C ．18D ．1614.（湖南卷）已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是 （ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．[1，2] 15.（北京卷）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( ) （A ）充分必要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件填空题1.(全国卷II)圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为 ． 2.（湖南卷）设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是3．（湖南卷）已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则⋅＝4．（湖北卷）某实验室需购某种化工原料118千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.5 (福建卷)15．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为6（江西卷）设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤--7（上海）3．若x,y 满足条件 x+y ≤3y ≤2x ,则z=3x+4y 的最大值是 8（上海）直线y=21x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 9.（上海）将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是10.(山东卷)设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是11．（重庆卷文）若y x y x -=+则,422的最大值是 . 12．（重庆文）已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .解答题1.(广东卷)在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上． （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值．XPMN2.（江苏卷） 如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM 试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程.3.（天津卷）某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为a ,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）2018年全国高考试题分类解析（直线与圆）参考答案选择题1．4)2()1(22=-+-y x 2. 0323=--y x 3. 21-4. 5005. 96.237. 11 8. 022=-+y x 9. 4)1(22=+-y x 10. (2, 3) 11. 22 12. 13422=+y x 解答题 1．（广东卷）.解(I) （1）当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程21=y （2）当0≠k 时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G(a,1) 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k a k ak k OG -=⇒-=-=⋅11,1 故G 点坐标为)1,(k G -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为)21,2(k M -折痕所在的直线方程)2(21kx k y +=-，即222k k kx y ++= 由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，21=y ；0≠k 时222k k kx y ++= （II ）(1)当0≠k 时，折痕的长为2;(1) 当0≠k 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21(),21,0(22k k P k N +-+ 23222224)1()21()21(kk k k k PN y +=+-++== 432222/168)1(42)1(3k kk k k k y ⋅+-⋅⋅+=令0/=y 解得22-=k ∴21627max <=PN 所以折痕的长度的最大值2PMN2．（江苏卷）解：如图，以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则两圆心分别为12(2,0),(2,0)O O -． 设(,)P x y ，则2222211(2)1PM O P O M x y =-=++-， 同理222(2)1PN x y =-+-．∵PM ，∴2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，即221230x x y -++=，即22(6)33x y -+=．这就是动点P 的轨迹方程． 3．（天津卷）以OA 所在直线为x 轴，以OB 所在直线为y 轴建立直角坐标系， 直线l 与水平面的夹角为α，tan α=21即l 的斜率为21，又直线l 过A （200，0）点， 所以l 方程为)200(21-=x y ,即02002=--y x 过B ，C 两点作一个圆，圆心为M ，点M 在线段BC 的垂直平分线上。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题11直线与圆
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题11 直线与圆一、选择题1.(2019·全国2·理T11文T12)设F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5【答案】A【解析】如图,设PQ 与x 轴交于点A,由对称性可知PQ ⊥x 轴. ∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2.∴PA 为以OF 为直径的圆的半径,A 为圆心, ∴|OA|=c 2.∴P c 2,c2.又点P 在圆x 2+y 2=a 2上,∴c 24+c 24=a 2,即c 22=a 2, ∴e2=c 2a 2=2,∴e=√2,故选A.2.(2018·北京·理T7)在平面直角坐标系中,记d 为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 变化时,d 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C【解析】设P(x,y),则{x =cosθ,y =sinθ,x 2+y 2=1.即点P 在单位圆上,点P 到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+2=1+2.当m=0时,d max =3.3.(2018·全国3·理T6文T8)直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]【答案】A【解析】设圆心到直线AB 的距离d=√2=2√2.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即√2≤d'≤3√2.又AB=2√2,∴S△ABP=12·|AB|·d'=√2d',∴2≤S△ABP≤6.4.(2016·山东·文T7)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】B【解析】圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=√1+1=√22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2√R2-d2=2√a2-(√22a)2=√2a,由题意可得√2a=2√2,故a=2.而|MN|=√(1-0)2+(1-2)2=√2,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.(2016·全国2·理T4文T6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-4B.-3C.√3D.2【答案】A【解析】圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,圆心坐标为(1,4).所以d=2=1,解得a=-43,故选A.6.(2015·全国2·理T7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.10【答案】C【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得{D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得{D=-2,E=4,F=-20.则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根, 由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√16+80=4√6.7.(2015·全国2·文T7)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.√213C.2√53D.43【答案】B【解析】由题意知,△ABC 外接圆的圆心是直线x=1与线段AB 垂直平分线的交点为P,而线段AB 垂直平分线的方程为y-√32=√33(x -12),它与x=1联立得圆心P 坐标为(1,2√33),则|OP|=√12+(2√33)2=√213.8.(2015·北京·文T2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2 【答案】D【解析】圆的半径r=√2 ,标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.9.(2015·广东·理T5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0 【答案】A【解析】设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m ≠1), 因为直线2x+y+m=0与圆x 2+y 2=5相切, 所以√5=√5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.10.(2015·山东·理T9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-53或-35 B.-32或-23 C.-54或-45D.-43或-34【答案】D【解析】如图,作出点P(-2,-3)关于y 轴的对称点P 0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0. ∴圆心到直线的距离d=√1+k=1,解得k=-43或k=-34.11.(2015·重庆·理T8)已知直线l:x+ay-1=0(a ∈R)是圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|=( ) A.2 B.4√2 C.6 D.2√10【答案】C【解析】依题意,直线l 经过圆C 的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A 的坐标为(-4,-1).又圆C 的半径r=2,由△ABC 为直角三角形可得|AB|=√|AC |2-r 2. 又|AC|=2√10,所以|AB|=√(2√10)2-22=6.12.(2014·全国2·文T12)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( ) A.[-1,1] B.[-12,12] C.[-√2,√2] D.[-√22,√22]【答案】A【解析】建立三角不等式,利用两点间距离公式找到x 0的取值范围.如图,过点M 作☉O 的切线,切点为N,连接ON.M 点的纵坐标为1,MN 与☉O 相切于点N. 设∠OMN=θ,则θ≥45°,即sin θ≥√22, 即ON OM ≥√22.而ON=1,∴OM≤√2.∵M 为(x 0,1),∴√x 02+1≤√2,∴x 02≤1,∴-1≤x 0≤1,∴x 0的取值范围为[-1,1].13.(2014·浙江·文T5)已知圆x 2+y 2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( ) A.-2B.-4C.-6D.-8【答案】B【解析】圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=√2-a .圆心到直线x+y+2=0的距离d=√2=√2,又弦长为4,因此由勾股定理可得(√2)2+(42)2=(√2-a )2, 解得a=-4.故选B.14.(2014·安徽·文T6)过点P(-√3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.(0,π] B.(0,π] C.[0,π6] D.[0,π3]【答案】D【解析】设过点P 的直线方程为y=k(x+√3)-1,则由直线和圆有公共点知√3k √1+k ≤1,解得0≤k≤√3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0,π3].15.(2014·北京·文T7)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C 上存在点P,使得∠APB=90°,则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】因为A(-m,0),B(m,0)(m>0),所以使∠APB=90°的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O(0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C(3,4),半径为1. 由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点. 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切, 故m-1≤|CO|≤m+1,即m-1≤5≤m+1,解得4≤m ≤6. 所以m 的最大值为6.故选B.16.(2014·四川·文T9)设m ∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A.[√5,2√5] B.[√10,2√5] C.[√10,4√5] D.[2√5,4√5]【答案】B【解析】由题意,得A(0,0),B(1,3),因为1×m+m×(-1)=0,所以两直线垂直,所以点P在以AB为直径的圆上,所以PA⊥PB.所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,设∠ABP=θ,则|PA|+|PB|=√10sin θ+√10cos θ=2√5sin(θ+π4).因为|PA|≥0,|PB|≥0,所以0≤θ≤π2.所以√10≤|PA|+|PB|≤2√5,故选B.17.(2013·重庆·理T7)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P 为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5√2-4B.√17-1C.6-2√2D.√17【答案】A【解析】圆C1,C2的圆心分别为C1,C2,由题意知|PM|≥|PC1|-1,|PN|≥|PC2|-3,∴|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4的最小值.又C1关于x轴对称的点为C3(2,-3),所以|PC1|+|PC2|-4的最小值为|C3C2|-4=√(2-3)2+(-3-4)2-4=5√2-4,故选A.18.(2013·湖南·理T8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )A.2B.1C.83D.43【答案】D【解析】以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示. 则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,则D点坐标为(43,43 ).设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC 的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,∴k P 1D =k P 2D ,即4343+m=43-4+m 43-4, 解得,m=43或m=0.当m=0时,P 点与A 点重合, 故舍去.∴m=43.19.(2012·浙江·理T3)设a ∈R,则“a=1”是“直线l 1:ax+2y-1=0与直线l 2:x+(a+1)y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】l 1与l 2平行的充要条件为a(a+1)=2×1且a×4≠1×(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l 1∥l 2的充分不必要条件.20.(2010·安徽·文T4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 【答案】A【解析】设直线方程为x-2y+c=0,将点(1,0)代入,解得c=-1,故直线方程为x-2y-1=0. 二、填空题1.(2019·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y=x+4x (x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x 相切位置时,切点Q 即为点P 到直线x+y=0的最小距离的点,有y'=(x +4x )'=1-4x 2=-1(x>0),得x=√2(-√2舍). 此时y=√2√2=3√2,即切点Q(√2,3√2),则切点Q 到直线x+y=0的距离为d=√2+3√2|√1+1=4,即为所求最小值.2.(2019·天津·理T12)设a ∈R,直线ax-y+2=0和圆{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数)相切,则a 的值为____.【答案】34【解析】由{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数),得(x-2)2+(y-1)2=4, 圆心为(2,1),r=2. 由直线与圆相切,得√2=2,解得a=3.3.(2019·浙江·T 12)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m= ,r= . 【答案】-2 √5【解析】由题意知k AC =-12⇒AC:y+1=-12(x+2),把(0,m)代入得m=-2,此时r=|AC|=√4+1=√5. 4.(2018·天津·文T12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 【答案】x 2+y 2-2x=0【解析】画出示意图如图所示,则△OAB 为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0.5.(2018·全国1·文T15)直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点,则|AB|= . 【答案】2【解析】圆的方程可化为x 2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=√2=√2,所以弦长|AB|=2√r 2-d 2=2√4-2=2√2.6.(2018·天津·理T12)已知圆x 2+y 2-2x=0的圆心为C, 直线{x =-1+√22t ,y =3-√22t (t 为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC 的面积为_____________. 【答案】12【解析】圆C 的方程可化为(x-1)2+y 2=1,得圆心为C(1,0),半径为1.由{x =-1+√22t ,y =3-√22t(t 为参数),可得直线的普通方程为x+y-2=0.所以圆心C(1,0)到直线x+y-2=0的距离d=√1+1=√22.所以|AB|=2√1-(√22)2=√2. 所以S △ABC =12·|AB|·d=12×√2×√22=12.7.(2016·全国1·文T15)设直线y=x+2a 与圆C:x 2+y 2-2ay-2=0相交于A,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 . 【答案】4π【解析】圆C 的方程可化为x 2+(y-a)2=2+a 2,直线方程为x-y+2a=0, 所以圆心坐标为(0,a),半径r 2=a 2+2,圆心到直线的距离d=√2.由已知(√3)2+a 22=a 2+2,解得a 2=2,故圆C 的面积为π(2+a 2)=4π.8.(2016·上海·理T3)已知平行直线l 1:2x+y-1=0,l 2:2x+y+1=0,则l 1,l 2的距离是 . 【答案】2√55 【解析】d=12√A +B =√2+1=2√55.9.(2016·浙江·文T10)已知a ∈R,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .【答案】(-2,-4) 5【解析】由题意,可得a 2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x 2+y 2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x 2+4y 2+4x+8y+10=0,(x +12)2+(y+1)2=-54不表示圆.10.(2016·天津·文T12)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 . 【答案】(x-2)2+y 2=9【解析】设圆心C 的坐标为(a,0)(a>0),√5=4√55⇒a=2.又点M(0,√5)在圆C 上,则圆C 的半径r=√22+5=3.故圆C 的方程为(x-2)2+y 2=9.11.(2016·全国3·理T16文T15)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .【答案】4【解析】因为|AB|=2√3,且圆的半径R=2√3,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-√3=0的距离为√R 2-(|AB |2)2=3.由√3|2=3,解得m=-√33.将其代入直线l 的方程,得y=√33x+2√3,即直线l 的倾斜角为30°. 由平面几何知识知在梯形ABDC 中, |CD|=|AB |cos30°=4. 12.(2015·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】(x-1)2+y 2=2【解析】(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P 的直线系方程.当直线与AP 垂直时,所求圆的半径最大.此时,半径为|AP|=√(2-1)2+(-1-0)2=√2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y 2=2.(方法二)设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=√2=√m 2+2m+1m 2+1=√1+2mm 2+1,当m<0时,1+2m m 2+1<1,故1+2mm 2+1无最大值; 当m=0时,r=1;当m>0时,m 2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号). 所以r≤√1+1=√2,即r max =√2, 故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y 2=2. 13.(2015·全国1·理T14)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为___________. 【答案】(x -32)2+y 2=254【解析】由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以√(a -0)2+(0-2)2=4-a,解得a=32,故圆心为(32,0),此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是(x -3)2+y 2=25.14.(2014·重庆·理T13)已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a= .【答案】4±√15【解析】由△ABC 为等边三角形可得,C 到AB 的距离为√3,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=2=√3,即a 2-8a+1=0,可求得a=4±√15.15.(2014·陕西·理T12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称,则圆C 的标准方程为 .【答案】x 2+(y-1)2=1【解析】因为(1,0)关于y=x 的对称点为(0,1),所以圆C 是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x 2+(y-1)2=1.16.(2011·浙江·文T12)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .【答案】1【解析】由题意知1×2+(-2)·m=0,即m=1.17.(2010·全国·理T15)过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为 .【答案】(x-3)2+y 2=2【解析】由题意知A,B 两点在圆C 上,∴线段AB 的垂直平分线x=3过圆心C.又圆C 与直线y=x-1相切于点B(2,1),∴k BC =-1.∴直线BC 的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.y=-x+3与x=3联立得圆心C 的坐标为(3,0),∴r=|BC|=√(3-2)2+(0-1)2=√2. ∴圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2. 18.(2010·全国·文T13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 .【答案】x 2+y 2=2【解析】圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离R=√1+1=√2.∴圆的方程为x 2+y 2=2.三、计算题1.(2015·全国1·文T20)已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 【解析】(1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1.因为l 与C 交于两点, 所以√1+k <1.解得4-√73<k<4+√73. 所以k 的取值范围为(4-√73,4+√73). (2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k 2)x 2-4(1+k)x+7=0.所以x 1+x 2=4(1+k )1+k 2,x 1x 2=71+k 2.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k 2+8. 由题设可得4k (1+k )1+k 2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1.故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.2.(2015·广东·理T20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】(1)由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4,从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0).(2)设线段AB 的中点M(x,y),由弦的性质可知C 1M ⊥AB,即C 1M ⊥OM.故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32,其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内,所以√(x -3)2+y 2<2.又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53.易知x≤3,所以53<x≤3. 所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3).(3)存在实数k 满足题意. 由(2)知点M 的轨迹是以C (32,0)为圆心,32为半径的圆弧EF ⏜(如图所示,不包括两个端点),且E (53,2√53),F (53,-2√53). 又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线L 与圆C 相切时,由|k (32-4)-0|√k +1=32,得k=±34. 又k DE =-k DF =-0-(-2√53)4-53=2√5,结合上图可知当k ∈{-3,3}∪[-2√5,2√5]时,直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点.3.(2014·全国1·文T20)已知点P(2,2),圆C:x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.【解析】设M(x,y),则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-4),MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x,2-y). 由题设知CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心,√2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM. 因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=2√2,O 到l 的距离为4√105,|PM|=4√105,所以△POM 的面积为165.4.(2013·江苏·T17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C 的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.【解析】(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,√k+1=1,解得k=0或k=-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),因为MA=2MO,所以√x2+(y-3)2=2√x2+y2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1, 即1≤√a2+(2a-3)2≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为[0,125].。
高三数学-2018年高考直线与圆试题集锦 精品
2001～2018年高考直线试题集锦§1．直线的方程、两条直线的位置关系1．（18北京春招文）直线（a 为实常数）的倾斜角的大小是_________．30︒ 2．（18浙江文）直线2=y 与直线02=-+y x 的夹角是（ A ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．43π3．（18安徽春招）在x 轴和y 轴上的截距分别是2-、3的直线方程是（ C ）A ．2360x y --=B ．3260x y --=C ．3260x y -+=D ．2360x y -+=4．（01天津卷）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且||||PA PB =．若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是（ A ）A ．50x y +-= B ．210x y --= C ．240y x --= D ．270x y +-= 5．（18全国理4）过点(1,3)-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ A ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 6．（18全国文3）已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ B ）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x7．（01上海理）3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的（ C ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件8．（18江苏）设1k >，()(1)f x k x =-（x R ∈）．在平面直角坐标系xOy 中，函数()y f x =的图象与x 轴交于A 点，它的反函数1()y fx -=的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ） A ．3 B ．32 C ．43D ．65x y O x y O x y O xyO9．（18北京文）若直线l：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ B ） A ．[,)63ππB ．(,)62ππC ．(,)32ππ D ．[,]62ππ10．（18辽宁文）在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ C ）A ．B ．C ．D ．11．（18全国文）已知点(,2)a （0a >）到直线l ：30x y -+=的距离为1，则a =（ C ）AB．C1D112．（18上海文）已知定点(0,1)A ，点B 在直线0x y +=上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是__________．11(,)22-13．（18全国文）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为（ C ） A ．12y x =-B ．12y x =C ．2y x =-D ．2y x =14．（18安徽春招）已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=．若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程是（B ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．10x y +-=D ．210x y +-=15．（18全国卷）已知长方形四个顶点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,1)C 和(0,1)D ．一质点从AB的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）．设4P 的坐标为4(,0)x ．若412x <<，则t a n θ的取值范围是（ C ） A ．1(,1)3B ．12(,)33C ．21(,)52D ．22(,)5316．（18全国文4）已知函数14log y x =与y kx =的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k 等于（ A ）A ．41-B ．41 C ．21-D ．21 17．（18全国理3）已知平面上直线l 的方向向量43(,),55e =-点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别是O '和A '，则O A e λ''=，其中λ=（ D ）A ．511 B ．511-C ．2D ．2-§2．简单的线性规划1．（18湖南理）设集合{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|0}B x y x y n =+-≤，那么点(2,3)U P A B ∈ð的充要条件是（ A ）A ．5,1<->n mB ．5,1<-<n mC ．5,1>->n mD ．5,1>-<n m2．（18全国理3）设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x 则y x z 23+=的最大值是 ．53．（18全国理4）设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x ，则y x z +=2的最大值是 ．24．（18上海文）当x 、y 满足不等式组2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，目标函数32k x y =-的最大值为________．65．（18浙江理）z x y =-，式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩，则z 的最小值为（ A ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-6．（18广东理）变量x 、y 满足下列条件： 212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使32z x y =+的值最小的(,)x y 是（ ）A ．(4.5,3)B ．(3,6)C ．(9,2)D ．(6,4)7．（00上海文）图中阴影部分的点满足不等式组5260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，在这些点中，使目标函数68K x y =+取得最大值的点的坐标是______．(0,5)8．（18北京春招理）在直角坐标系xOy 中，已知AOB ∆三边所在直线的方程分别为0x =，0y =，23300x y ++=，则AOB ∆内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ B ）A ．95B ．91C ．88D ．75§3．圆的方程1．（18上海理）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 的方程为 ．22(2)(3)5x y -++=2．（18上海文）圆心在直线2x =上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 的方程为 ．22(2)(3)5x y -++=3．（18上海春招）过抛物线24y x =的焦点F 作垂直于x 于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________．22(1)4x y -+=4．（18全国理3）已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ C ） A ．22(1)1x y ++=B ．221x y +=C ．1)1(22=++y x D ．1)1(22=-+y x5．（01全国）过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ C ）A ．22(3)(1)4x y -++=B . 22(3)(1)4x y ++-=C . 22(1)(1)4x y -+-=D . 22(1)(1)4x y +++=6．（18全国文4）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ D ） A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x7．（18北京文）圆的圆心坐标是________，(0,1)-如果直线与该圆有公共点，那么实数a 的取值范围是_____________．11a ≤≤8．（18北京春招）圆22221x y +=与直线sin 10x y θ+-=（,,2R k k Z πθθπ∈≠+∈）的位置关系是（ C ）A ．相交B .相切C .相离D .不确定的9．（18广东理）如右下图,定圆半径为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y -+=的交点在( )A ．第四象限B . 第三象限C .第二象限D . 第一象限10．（18全国理1）圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ D ） A ．023=-+y x B ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x11．（18全国文）直线(1)10a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为（ D ）A ．1,1-B . 2,2-C . 1D . 1-12．（18江苏）以点(1,2)为圆心，与直线43350x y +-=相切的圆的方程是______________．22(1)(2)25x y -+-=13．（18辽宁）若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 ．114．（18上海理）已知圆22(1)1x y ++=和圆外一点(0,2)P ，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是__________.4315．（18上海文）已知圆22(1)1x y +-=和圆外一点(2,0)P -，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是__________.4316．（18北京理）已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是__________.17．（18全国理2）由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60=∠APB ，则动点P 的轨迹方程为 ．224x y +=18．（18北京春招）已知直线0ax by c ++=（0abc ≠）与圆221x y +=相切，则三条边长分别为||a 、||b 、||c 的三角形（ B ）A ．是锐角三角形B .是直角三角形C .是钝角三角形D . 不存在19．（18全国理）圆22(1)1x y -+=的圆心到直线3y x =的距离是（ A ）A ．12 B . 2C .1D 20．（18重庆理）圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ D ）A ．2B ．2C ．1D 21．（18全国理）已知圆C ：22()(2)4x a y -+-=（0a >）及直线l ：30x y -+=．当直线l 被C 截得的弦长为a =（ C ）A B .2- C 1 D 122．（18福建理）直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等 ．423．（18天津理）若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ A ） A ． 03=--y x B ． 032=-+y xC ． 01=-+y xD ． 052=--y x24．（18天津文）若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ A ）A ．0k <<B ．0k <<C ．0k <<D ．05k <<25．（18全国文1）设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 ．126．（18北京文）圆222210x y x y +--+=上的动点Q 到直线3480x y ++=距离的最小值为___________.2 27．（18北京理）曲线C ：（为参数）的普通方程是_______，22(1)1x y ++=如果曲线C 与直线有公共点，那么实数a 的取值范围是_____．11a ≤28．（18北京）在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A ，(cos20,sin 20)B ，则||AB 的值是（ D ）A ．12B C D ．1 29．（18浙江理）点P 从(1,0)出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（ A ）A ．1(2-B ．1()2-C ．1(,2-D ．1()230．（18湖北文）两个圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（ B ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条31．（18全国理3）在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ B ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条32．（18全国文4）已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥． （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积． 解：（Ⅰ）21y x '=+． 直线1l 的方程为33y x =-．设直线2l 过曲线22y x x =+-上的点2(,2)B b bb +-，则2l 的方程为2(21)2y b x b =+--．因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.32,31-=-b 所以直线l 2的方程为.92231--=x y （II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为15(,)62-． l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,322(-. 所以所求三角形的面积 1255125||23212S =⨯⨯-=．。
高考数学二轮复习专题四解析几何第10讲直线与圆课件
第10讲 直线与圆
l1=3x-y+1=0,直线l2过点(1,0),且l1的倾斜角是l2的倾斜角的2倍,则直线l2
的方程为
.
答案 3x+4y-3=0
解析 设直线l1的倾斜角是α,则tan α=3,直线l2的倾斜角是2α,斜率k=tan 2α=
2 tan α 1 tan2α
围为
.
答案
,
3 4
解析 设直线m的斜率为k,则m:kx-y-3k=0.设C(x,y),则由A,B,C三点到直线m的
有向距离之和为0,得 4k + 2k + kx y 3k =0,化简得,kx-y-9k=0.又圆x2+(y
k2 1 k2 1
k2 1
-18)2=81上存在一点C,则直线kx-y-9k=0与圆有公共点.所以| 18 9k | ≤9.解得
3-1 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x+1)2+y2=2,点A(2,0).若圆C上存在点
M,满足|MA|2+|MO|2≤10,则点M的纵坐标的取值范围是
.
答案
7, 2
7
2
解析 设M(x,y),则|MA|2+|MO|2=(x-2)2+y2+x2+y2≤10,化简得(x-1)2+y2≤4,则点M
形,符合题意的面积最大的圆是该三角形的内切圆,则圆心为(1,0),半径r=
3 6
×
4 3=2.故该圆的标准方程是(x-1)2+y2=4.
【方法归纳】 (1)求直线方程主要有以下两种方法:①直接法:根据已知条 件,选择适当的直线方程形式,直接求出直线方程;②待定系数法:先设出直线 方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入,求出直线方程. (2)求圆的方程一般有以下两种方法:①几何法:通过研究圆的性质、直线与 圆的位置关系、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程;②代数法: 先设出圆的方程,再由已知条件求出待定系数,从而求得圆的方程.另外,圆心 到切线的距离等于半径,该结论在解题过程中会经常用到,需牢记. (3)边长为a的正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心重合,都是正三角形
2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总 直线与圆 (可下载)
2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总解析几何——直线与圆（附详细答案解析）1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β。
图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β（B ）4β+4sin β（C ）2β+2cos β（D ）2β+2sin β【答案】（B）.【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积BOP AOP AOB S S S S ∆∆++=扇形()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=βπβsin 2221222212ββsin 44+=.故选B.2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】()2214x y -+=.【解析】24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=.3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当︒<∠90OBP 时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当︒≥∠90OBP 时，对线段PB 上任意一点F ，OB OF ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ==此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，∴直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+- .在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+4.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r 。
2009年高考题分类解析——直线和圆、圆锥曲线
Ｃ（ ５ ４） ，
如 图 １ 当 ｚ ＝ ４ Ｙ＝ ， ，
一
一
０ １ （ ２ ＇ ４ ） １
一
可得丝 一 ２ 从 可 拿，选Ｂ ａ 而 得 一Ｃ 故 ．
，
．
２时 ， ５＝ Ｙ— ｚ 一 一 ２— ４
一
＼
ｘ Ｙ２ ０ ＋ －＝
６ 最 小值 ． 为
（ ）方 程 问 题 ２
点 Ｂ， 若蔚 一 ３ ， Ｊ 商 则
（ Ａ）√ （ Ｂ）２
Ｉ （ 一
（ Ｃ）√
） ．
（ Ｄ）３
解 析 过点 Ｂ作 Ｂ ＿ 于 Ｍ ， Ｍ ｌｚ Ｉ 并设右准线 ｚ 与
Ｂ２ 有・ｚ｛一屯 （Ｙ则 ｚ ｚ ＝ｘ ｘｚ ≠ ， ４， ，， ｌ
两 式相减 ， 得 一 一 ４ ｘ 一ｚ ） 故 ｌ － ； （ ｚ ， Ｘ －
１ 基 础 知 识 的 考查
１ 即 ｂ 一 ３ 故 ｂ一 ． ， ， Ｃ 选 ．
例 ５ （ 西６ 江 ）过 椭 圆 ＋ ２ ２
—
（） 性 规 划 问题 １线 例 １ （北 京 理 ｌ ） 若 实 数 Ｘ Ｙ 满 足 Ｏ ，
ｒ ＋ Ｙ一 ２≥ ０ ，
１（ 口＞ ６＞ ｏ ）
程是
．
— —
解 双 线 一２ １焦 （ｏ 渐 析 曲 等 ＝ 的 点４） 近 ２ ，到
线 Ｙ一
Ａ．
解 析 将 直 线 ｚ＋ ｙ一 ６化 为 ｚ＋ ｙ一 ６— ０， 圆 的半 径 ｒ＝ ２— １— ６ ｌ
一
的距离为 —Ｌ
一２ 选
，
５
ｉ ＿ 一 ’
所 以 圆 的方 程 为 （ ｚ一 ２ 。 （ ） ＋ ＋ １ 。一 ５ ） ２
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【考情概览】
【应试策略】
1.已知点A （-3，-1），B （1，5），直线l 过线段AB 的中点，且在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的2倍.求直线l 的方程． 【答案】230x y +-=
【应试策略】
求直线方程的常用方法有
1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．
2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．
3. 直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．
2.圆x 2
+y 2
-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（ ）
A. 18
B. 6【答案】C
【应试策略】
1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；
2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；
3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.
3.直线l 经过点(5,5)P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为l 的方程． 【答案】250x y --=或250x y -+=
=
解得2k =或1
2
k =．代入所设l 的方程化简为：250x y --=或250x y -+=． 【应试策略】
1. 如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在Rt AOB ∆中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.
2.弦长的计算：方法一、设圆的半径为R ，圆心到直线的距离为d ，则弦长l =方法二、设直线的斜率为k ，直线与圆的交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y ，则弦长
11PQ x x y y =-=-【真题展示】
1.【2012年.浙江卷.理3】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是
l 1∥l 2的充分不必要条件．
2.【2014年.浙江卷.文5】已知圆0222
2=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实
数a 的值为（ ）
A.2-
B. 4-
C. 6-
D.8- 【答案】B
3.【2009年.浙江卷.文9】已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】C
【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现． 二、填空题
4.【2012年.浙江卷.理16】定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2
＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2
＋(y ＋4)2
＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝__________． 【答案】
94
5.【2013年.浙江卷.文13】直线y ＝2x ＋3被圆x 2
＋y 2
－6x －8y ＝0所截得的弦长等于__________．
【答案】
【解析】圆的圆心为(3,4)，半径是5，圆心到直线的距离
d ==
可知弦长l ==.
6.【2011年.浙江卷.文12】若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数
m =_______
【答案】1 【解析】：121212,,12k k k k m =
=-∴⋅=- 直线互相垂直,，即12
()1,12m m
⋅-=-∴= 7.【2016高考浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--，5 【解析】
试题分析：由题意，知22a a =+，12a =-或，当1a =-时，方程为224850x y x y +++-=，即
22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，当2a =时，方程为224448100x y x y ++++=，
2215
()(1)24
x y +++=-不表示圆．
【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．
【对症下药】
1、两圆公共弦长的求解方法
点拨：当两圆相交求其公共弦所在的直线方程或公共弦长时，把两圆方程相减消去二次项，所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆的方程和这条直线方程就可以求出公共弦长. 2、圆的中点弦问题的解法
说明：解法1利用根与系数的关系求解，是一种通法，但运算量很大；解法2用的是点差法，利用弦端点坐标满足曲线方程得到两个关系式，把两个等式相减直接得出弦的中点坐标和斜率的关系，也是一种常用的方法；解法3充分运用圆这种特殊曲线的几何性质解题，从而使解题过程大大简化，在解答解析几何问题中，如能恰当运用几何图形的几何性质，常常可以简化解题过程. 3、与圆有关的最值问题的解题策略
点拨：与圆上点(),x y 有关的最值问题的常见类型及解法： （1）形如y b
t x a
-=
-的最值转化为过点(),a b 和(),x y 的直线的斜率的最值. （2）形如t ax by =+的最值，转化为动直线截距的最值.
（3）形如()()22
t x a y b =-+-的最值，转化为点(),x y 与(),a b 的距离的平方的最值.
【考题预测】
1.设直线y=x +2a 与圆C ：x 2
+y 2
-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若,则圆C 的面积为 .
【答案】4π
2.已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：
2
2(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（ ）
（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离 【答案】B 【解析】 试题分析：
3.已知直线()():21440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：
222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是（ ）
A. 1m ≤或2m ≥
B. 28m ≤≤
C. 210m -≤≤
D. 2m ≤-或8m ≥ 【答案】C
【解析】
4.过点()2,1作圆()()2
2
124x y -+-=的弦，其中最短的弦长为 .
【答案】
【解析】如下图所示，圆的圆心坐标为()1,2A ，点()2,1P ，过点P 作圆的弦BC ，过点A 作AD BC ⊥，
垂足为点D
，则BC ==AD AP ≤，当点D 与点P 重合时，AD 取最大
值，此时BC 取最小值，且
max AD AP ==
=
min BC ==
【综合点评】
数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.
5.在平面直角坐标系xOy 中，已知()2
2
1125x y -+=， 22240x y -+=，则()()2
2
1212x x y y -+-的最
小值为（ ） A.
515
C. 1215
D. 5
【答案】B。