空间向量解立体几何题讲义(自编精品)

空间向量解立体几何题讲义【提纲】一、回顾平面向量的有关知识1、 平面直角坐标系2、 平面向量的坐标表示及运算3、 平面向量的数量积、模及夹角公式4、 平面向量的平行和垂直的的充要条件 二、介绍空间向量的有关知识（推广）1、 空间直角坐标系2、 空间向量的坐标表示及运算3、 空间向量的数量积、模及夹角公式4、 空间向量的平行和垂直的充要条件5、 直线的方向向量6、 平面的法向量7、 空间向量的应用 （1）证明：平行；垂直 （2）计算：角；距离 【教学过程】一、复习回顾平面向量的有关知识1、平面直角坐标系2、平面向量的坐标表示及运算3、平面向量的数量积、模及夹角公式4、平面向量的平行和垂直的的充要条件 二、介绍空间向量的有关知识（推广） （一）空间直角坐标系1、建立以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，即三条坐标轴．称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面，如图所示。

注：作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=。

2、（正交）基底用{},,表示（二）空间向量的坐标表示及坐标运算 1、坐标表示给定空间直角坐标系O xyz -和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =，其中1a 叫横坐标，2a 叫纵坐标，3a 叫竖坐标．若),,(z y x A ，则),,(z y x =，如右图所示。

若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---，如右下图所示。

2、坐标运算若123(,,)a a a a =，123(,,)bb b b =，则 （1）112233(,,)a b a b a b a b +=+++ （2）112233(,,)a b a b a b a b -=--- （3）123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ （三）空间向量的数量积、模及夹角公式1、设,是空间两个非零向量，我们把数><,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，b a ⋅＝><,cos ||||规定：零向量与任一向量的数量积为0 2、模长公式：222||z y x ++==，其中()z y x ,,=3、夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅=⋅（四）空间向量的平行和垂直的充要条件1、//a b b a λ⇔=112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩2、00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x ，其中,是两个非零向量）（五）直线的方向向量把直线l 上的向量以及与共线的向量叫做直线l 的方向向量 （六）平面的法向量若表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量。

在空间求平面的法向量的方法：法1：（直接法）找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。

法2：（待定系数法）步骤：①建立空间直接坐标系；②设平面的法向量为(,,)n x y z =；③在平面内找两个不共线的向量111(,,)a x y z =和222(,,)b x y z =；④建立方程组：00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩； ⑤解方程组，取其中的一组解即可。

（七）空间向量的应用1、证明平行和垂直 （1）证明两直线平行已知两直线a 和b ,b D C a B A ∈∈,,,,则⇔b a //存在唯一的实数λ使AB CD λ=（2）证明直线和平面平行已知直线a B A a ∈⊄,,α和平面α的法向量n ,则a ∥0=⋅⇔⊥⇔n AB n AB α （3）证明两个平面平行已知两个不重合平面βα,,法向量分别为,,则α∥m ⇔β∥n （4）证明两直线垂直已知直线b a ,，b D C a B A ∈∈,,,，则0=⋅⇔⊥CD AB b a （5）证明直线和平面垂直已知直线a 和平面α，A 、B a ∈,平面α的法向量为n ,则AB a ⇔⊥α∥n （6）证明两个平面垂直已知两个平面α和β及两个平面的法向量n ，m ,则⊥⇔⊥βα 2、求角与距离（1）求两异面直线所成的角已知两异面直线b a ,，且b D C a B A ∈∈,,,，则异面直线b a ,所成的角θ的计算公式为：cos =θ（2）求直线和平面所成的角已知A,B 为直线a 上任意两点，n 为平面α的法向量，则a 和平面α所成的角θ为:① 当⎪⎭⎫ ⎝⎛>∈<2,0,π时，><-=n AB ,2πθ；② 当⎪⎭⎫ ⎝⎛>∈<ππ,2,时，2,πθ->=<（3）求二面角已知二面角,βα--l ,分别为面βα,的法向量，则二面角的平面角θ的大小与两个法向量所成的角相等或互补,即>=<,θ或><-,π注:如何判断二面角的平面角和法向量所成角的大小关系？① 通过观察二面角的平面角是锐角还是钝角,再由法向量成的角来定之。

② 通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。

（4）求两条异面直线的距离已知两条异面直线b a ,,m 是与两条异面直线都垂直的向量,且b B a A ∈∈,，则两条异面直线的距离为||m d =推导：作α⊥AC ，垂足为C ，连结BC ，d AC =即为所求，设θ=∠BAC ，则|||||||||,cos |||cos ||m m AB AB m AB AB AB d =⋅=><⋅=⋅=θ（5）求点到面的距离已知平面α和点B A ,，αα∈∉B A ,,为平面α的法向量，则点A 到平面α的距为d =推导过程：类似上面方法三、例题选讲例1（2008安徽理）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是四边长均为1的菱形，4ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖（Ⅱ）求异面直线AB 与DM 所成角的大小； （Ш）求点B 到平面OCD 的距离.例2（2005湖南文、理）如图1，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴O O 1折成直二面角，如图2（Ⅰ）证明：1BO AC ⊥； （Ⅱ）求二面角1O AC O --的大小.BOCO 1D例3(2007四川理）如图，PCBM 是直角梯形，090=∠PCB ，PM ∥BC ，1=PM ，2=BC ，又1=AC ，0120=∠ACB ，PC AB ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60°（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小； （Ⅲ）求三棱锥MAC P -的体积.四、练习题1、（2006福建文、理）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2====BD CD CB CA ,2==AD AB . （I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；BE（III ）求点E 到平面ACD 的距离.2、(2007海南、宁夏理)如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．3、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P 在正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 上，060=∠PDA（Ⅰ）求DP 与1CC 所成角的大小；（Ⅱ）求DP 与平面D D AA 11所成角的大小.OSBAC1A4、（2007安徽文、理)如图,在六面体1111D C B A ABCD -中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,四边形1111D C B A 是边长为1的正方形,⊥1DD 平面1111D C B A ,⊥1DD 平面ABCD ，21=DD(Ⅰ) 求证:11C A 与AC 共面，11D B 与BD 共面； (Ⅱ) 求证:平面1111BDD B ACC A 平面⊥； (Ⅲ) 求二面角C BB A --1的大小.5、(2006全国Ⅰ卷文、理)如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段.点A 、B 在1l 上，点C 在2l 上，AM MB MN ==。

（Ⅰ）证明NB AC ⊥；(Ⅱ) 若60OACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。

ABMNCl 2l 1H例题及练习题参考答案例1 解：作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系，则(0,0,0),(1,0),,0),(,,0),A B P )2,0,0(O ，)1,0,0(M ，)0,42,421(-N(Ⅰ)2222(1,,1),(0,,2),(MN OP OD =--=-=-设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0=⋅OP n 即 220y z x y z -=⎨⎪-=⎪⎩ 取z =,解得n =∵()02,4,01,42,421=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅ ∴MN ∥平面OCD(Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)AB MD ==--∵ ∴21||||cos =⋅=MD AB θ ∴3πθ= , 即AB 与MD 所成角的大小为3π(Ⅲ)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量)2,4,0(=n 上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得32||==n d .所以点B 到平面OCD 的距离为23例2 解:（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1. 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB. 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标是)0,0,3(A ，)0,3,0(B ，)3,1,0(C ,)3,0,0(1O .从而)3,3,0(),3,1,3(1-=-=BO ，.03331=⋅+-=⋅BO 所以AC ⊥BO 1.（II ）解：因为,03331=⋅+-=⋅BO 所以BO 1⊥OC ，由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量.设),,(z y x n =是0平面O 1AC 的一个法向量，由,3.0,033001=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z y z y x O 取 得)3,0,1(=.设二面角O —AC —O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知=<θn ，1BO >，所以cos <=cos θ，1BO .431=例3 解：（Ⅰ）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴PAC ABC ⊥平面平面（Ⅱ）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有)0,21,23(-A 设()()000,0,0P z z >，则()()000310,1,,,,,0,0,2M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为60，得0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即200z z =，解得10=Z∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为{}111,,n x y z =， 则11110102y zy z +=⎧-=，取11x =，得{1,3,n =,平面ABC 的法向量取为()0,0,1m =设m 与n 所成的角为θ，则3c o s 7m n m nθ⋅-==⋅显然，二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的平面角大小为（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知，PCMN 为正方形 ∴011sin1203212P MAC A PCM A MNC M ACN V V V V AC CN MN ----====⨯⋅⋅⋅= （Ⅲ）解法二：取平面PCM 的法向量取为()11,0,0n =，则点A 到平面PCM 的距离23||11==n h ∵1,1PC PM ==，∴11111326P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅=⨯⨯练习1：(1)证明：连结OC.∵BO=DO,AB=AD, ∴AO ⊥BD.∵BO=DO,BC=CD, ∴CO ⊥BD.在△AOC 中，由已知可得AO=1, CO=3.而AC=2,∴AO 2+CO 2=AC 2,∴∠AOC=90°,即AO ⊥OC.,0=OC BD ∴AO ⊥平面BCD .（Ⅱ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (-1，0，0)，C (0，3，0)，A (0,0,1), E (21,23,0),).0,3,1(),1,0,1(--=-= ∴,42=∙=CD BA CD BA ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.42arccos （Ⅲ）解法一：设平面ACD 的法向量为),,(z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=-∙=∙=--∙=∙,0)1,3,0(),,(,0)1,0,1(),,(z y x z y x AD n ∴⎩⎨⎧=-=+.03,0z y z x 令y=1，得n =(-3,1,3)是平面ACD 的一个法向量.又),0,23,21(-= ∴点E 到平面ACD 的距离h=.72173|||·|==n n （Ⅲ）解法二：设点E 到平面ACD 的距离为h . CDE A ACD A V V --- , ∴h 31·S △ACD =31·AO ·S △CDE . 在△ACD 中，CA =CD =2,AD =2,∴S △ACD =,2722222132=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯而AO =1,S CDE =,23243212=⨯⨯∴h =,72127231=⨯=∙∆∆ACDCDE S S AO∴点E 到平面ACD 的距离为721. 练习2：证明：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以OA OB OC ===，且A O B C ⊥，又S B C △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且SO SA =，从而222SA SO OA =+．所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AOBO O =．所以SO ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，．00MO SC MA SC ==，∴··．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B--的平面角．3cos MO MA MO MA MO MA<>==，··，所以二面角A SC B --． 练习3：解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，，由cos DA DH DA DH DADH =<>，可得2m =m =21DH ⎛= ⎝（Ⅰ）因为0011cosDH CC ++⨯'<>==，， 所以45DH CC '<>=，．即DP 与CC '所成的角为45． （Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos2DH DC +⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，．可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． 练习4：解（向量法）：以D 为原点，以DA ,DC ,1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz D -如图，则有A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0）).2,0,0(),2,1,0(),2,1,1(),2,0,1(1111D C B A（Ⅰ）证明：),0,2,2(),0,1,1(11-=-=AC C A),0,2,2(),0,1,1(11==B D .2,21111B D C A ==∴平行，与平行，与1111B D C A ∴ 于是11C A 与AC 共面，11D B 与BD 共面.（Ⅱ）证明：，）＝，，（），，＝（00222001-∙∙AC DD ，）＝，，（），，0022022-∙∙.1AC DB AC DD ⊥⊥∴，，是平面与111BDD B DB DD 内的两条相交直线，.11BDD B AC 平面⊥∴ 又平面，过AC ACC A 11.1111BDD B ACC A 平面平面⊥∴（Ⅲ）解：.210211201111），，＝（），，，），，，----CC BB 设的法向量，为平面11111),,(ABB A z y x n =,02,021111111==--=∙=+-=∙z y x BB n z x AA n 于是).1,0,2(,2,1,0111====n z z y 则取设的法向量，为平面11222),,(BCC B z y x m =.02,022212221=+-=∙=+--=∙z y CC m z y x BB m 于).1,2,0(,2,1,0222====m y z x 则取.51,cos ==n m .511---∴的余弦为二面角C BB A 练习5：解: 如图,建立空间直角坐标系M －xyz.令MN=1,则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),(Ⅰ)∵MN 是 l 1、l 2的公垂线, l 1⊥l 2, ∴l 2⊥平面ABN. l 2平行于z 轴. 故可设C(0,1,m).于是 AC →=(1,1,m), NB →=(1,－1,0).∴AC →·NB →=1+(－1)+0=0 ∴AC ⊥NB.(Ⅱ)∵AC → =(1,1,m), BC →=(－1,1,m), ∴|AC →|=|BC →|, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC 为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt △CNB 中,NB=2, 可得NC=2,故C(0,1, 2).连结MC,作NH ⊥MC 于H,设H(0,λ, 2λ) (λ>0). ∴HN →=(0,1－λ,－2λ),MC →=(0,1, 2). HN →·MC → = 1－λ－2λ=0, ∴λ= 13 ,∴H(0, 13, 23), 可得HN →=(0,23, －23), 连结BH,则BH →=(－1,13, 23),∵HN →·BH →=0+29 － 29 =0, ∴HN →⊥BH →, 又MC ∩BH=H,∴HN ⊥平面ABC,∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角.又BN →=(－1,1,0), ∴cos ∠NBH= BH →·BN →|BH →|·|BN →| = 4323×2= 63l 1。