空间向量解立体几何题讲义(自编精品)

空间向量解立体几何题讲义

【提纲】

一、回顾平面向量的有关知识

1、 平面直角坐标系

2、 平面向量的坐标表示及运算

3、 平面向量的数量积、模及夹角公式

4、 平面向量的平行和垂直的的充要条件 二、介绍空间向量的有关知识（推广）

1、 空间直角坐标系

2、 空间向量的坐标表示及运算

3、 空间向量的数量积、模及夹角公式

4、 空间向量的平行和垂直的充要条件

5、 直线的方向向量

6、 平面的法向量

7、 空间向量的应用 （1）证明：平行；垂直 （2）计算：角；距离 【教学过程】

一、复习回顾平面向量的有关知识

1、平面直角坐标系

2、平面向量的坐标表示及运算

3、平面向量的数量积、模及夹角公式

4、平面向量的平行和垂直的的充要条件 二、介绍空间向量的有关知识（推广） （一）空间直角坐标系

1、建立

以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，即三条坐标轴．称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面，如图所示。注：作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=。

2、（正交）基底

用{}

,,表示

（二）空间向量的坐标表示及坐标运算 1、坐标表示

给定空间直角坐标系O xyz -和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组

123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系

O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =，其中1a 叫横坐标，2a 叫纵坐标，3a 叫竖坐标．

若),,(z y x A ，则),,(z y x =，如右图所示。 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则

212121(,,)AB x x y y z z =---，如右下图所示。

2、坐标运算

若123(,,)a a a a =，123(,,)b

b b b =，则 （1）112233(,,)a b a b a b a b +=+++ （2）112233(,,)a b a b a b a b -=--- （3）123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ （三）空间向量的数量积、模及夹角公式

1、设,是空间两个非零向量，我们把数><,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，b a ⋅＝><,cos ||||

规定：零向量与任一向量的数量积为0 2、模长公式：222||z y x ++=

=

，其中()z y x ,,=

3、夹角公式：cos ||||

a b

a b a b ⋅⋅=

⋅

（四）空间向量的平行和垂直的充要条件

1、//a b b a λ⇔=11

223

3()b a b a R b a

λλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩

2、00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x ，其中,是两个非零向量）

（五）直线的方向向量

把直线l 上的向量以及与共线的向量叫做直线l 的方向向量 （六）平面的法向量

若表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量。

在空间求平面的法向量的方法：

法1：（直接法）找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。

法2：（待定系数法）步骤：①建立空间直接坐标系；②设平面的法向量为(,,)n x y z =；

③在平面内找两个不共线的向量111(,,)a x y z =和222(,,)b x y z =；④建立方程组：00

n a n b ⎧⋅=⎪⎨

⋅=⎪⎩； ⑤解方程组，取其中的一组解即可。 （七）空间向量的应用

1、证明平行和垂直 （1）证明两直线平行

已知两直线a 和b ,b D C a B A ∈∈,,,,则⇔b a //存在唯一的实数λ使AB CD λ=

（2）证明直线和平面平行

已知直线a B A a ∈⊄,,α和平面α的法向量n ,则a ∥0=⋅⇔⊥⇔n AB n AB α （3）证明两个平面平行

已知两个不重合平面βα,,法向量分别为,,则α∥m ⇔β∥n （4）证明两直线垂直

已知直线b a ,，b D C a B A ∈∈,,,，则0=⋅⇔⊥CD AB b a （5）证明直线和平面垂直

已知直线a 和平面α，A 、B a ∈,平面α的法向量为n ,则AB a ⇔⊥α∥n （6）证明两个平面垂直

已知两个平面α和β及两个平面的法向量n ，m ,则⊥⇔⊥βα 2、求角与距离

（1）求两异面直线所成的角

已知两异面直线b a ,，且b D C a B A ∈∈,,,，则异面直线b a ,所成的角θ的计算公式为：

cos =

θ（2）求直线和平面所成的角

已知A,B 为直线a 上任意两点，n 为平面α的法向量，则a 和平面α所成的角θ为:

① 当⎪⎭

⎫ ⎝⎛>∈<2,0,π时，><-=n AB ,2πθ；

② 当⎪⎭

⎫ ⎝⎛>∈<ππ,2

,时，2

,π

θ-

>=<

（3）求二面角

已知二面角,βα--l ,分别为面βα,的法向量，则二面角的平面角θ的大小与两个法向量所成的角相等或互补,即>=<,θ或><-,π

注:如何判断二面角的平面角和法向量所成角的大小关系？

① 通过观察二面角的平面角是锐角还是钝角,再由法向量成的角来定之。 ② 通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。 （4）求两条异面直线的距离

已知两条异面直线b a ,,m 是与两条异面直线都垂直的向量,且b B a A ∈∈,，则两条异面直线的距离为|

|m d =

推导：作α⊥AC ，垂足为C ，连结BC ，d AC =即为所求，设θ=∠BAC ，则

|

||

||||||,cos |||cos ||m m AB AB m AB AB AB d =

⋅

=><⋅=⋅=θ