第六章(六)中国邮递员问题

再把 C从C1的v2点处插C入 1，即得所求欧拉回路
{v3,e3,v4,e9,v 2 ,e 1 ,v 5 0 ,e 5 ,v 6 ,e 6 ,v 1 ,e7,v5,e4,v4,e8,v1,e 1 ,v 2 , e2 , v3}
例：判断下图是否为欧拉图，若是，求出欧拉回路
• • • v 1
e1 e6
若vi 是C的中间点v， i 每出现一次，必关联两条边 如 C ： { v 1 , e 1 , v 2 , e 2 , v 3 , v i 1 , e i 1 , v i , e i , v i 1 , , v 1 } d(vi )为偶， 数即vi为偶点
若vi 是C的起点v，i 也是C的终点， vi必关联两条边
Байду номын сангаас
推论 无向连通图G有欧拉道路的充要条件 是G中恰有两个奇点
证明：充分性v： i ,v设 j是G的奇点， 在G上增加一e条 (v边 i ,vj ), 则G中无奇点，所以G存在欧拉回C路 去掉C中的边e，即得以vi为起点,vj为终点的欧拉道路
必要性G ： 有设 一条 vi为 以起,v点 j为终点的欧L拉道 在G上增加一e条 (v边 i,vj), 得连通图 G， 把边 e加到 L中得 G的一条欧拉 C，回 即G路 为欧拉图 d(v)为偶 ,v 数 G 在 G 中，,d(vi ),d(vj )为奇数
Euler circuit and Chinese Postman Problem
※歌尼斯堡七桥难题
普莱格尔河
七桥问题的数学模型：
用A、B表示两座小岛，C、D表示两岸， 连线AB表示A、B之间有一座桥。
C•
A•
•B
•
问题简化为：
D
在该图中，从任一点出发，能否通过每条线段 一次且仅仅一次后又回到原来的出发点
在 G中， G以 与 C2的公共 v1为 顶起 点点取一C 个 3
简单 C 3 ： {回 v1,e7,v路 5,e4,v4,e8,v1}
v1 e1
• •• v 6
e6
e8
e5
e7
v
5
e10
e
4
G
• v 2
•e 9 e 2 v 3 • • • e 3
v6
•v 4
v1 e1
e6
e8
e5
e7
v
e10
5
e4
记 G GC 1 （ V， E）E， EE1，V是E中边的端 在 G中， G与 以 C1的公共 v2为 顶起 点点取一C 个 2 简
简单 C 2 ： { v 2 ,回 e 1,0 v 5 ,e 5 路 ,v 6 ,e 6 ,v 1 ,e 1 ,v 2 }
记 G G C 2 （ V， E ） E， EE1， V是 E中边的
•v 1 e 1
e5 e6
•v 5 e 4
•v 2 • e 2 v 3
v•4 e 3
存在
v 2到
v
的
4
一条欧拉道路：
v•1 e 1 •v 2
• e 4 e 2
v3
v•4 e 3
存在
v
到
3
v
的
4
一条欧拉道路：
• e 2 v 1 e 1 •v 2
•v 3
e3
•v 4
任两点之间都不 存在欧拉道路
{ v 2 ,e 1 ,v 1 ,e 5 ,v 4 ,e 3 ,v 3 ,e 2 ,v 2 ,e 6 ,v 5 ,e 4 ,v 4 } {v3,e3,v4,e2,v2,e1,v1,e4,v4}
v1 e1
• •• v 6
e6
e8
e5
e7
v
5
e10
e
4
v2
v1 e1
• • e 9 e 2 v 3 • • e 3
• • v 4
v6
e6
e8
e5
e7
v
5
e10
e4
•v 2 v•4
•v 1
e8 e7
•v 5 e 4 v•4
G
G
G
把C3从C2的v1点处插 C2， 入得一简单 C，回路
C ： { v 2 ,e 1 ,v 0 5 ,e 5 ,v 6 ,e 6 ,v 1 ,e7,v5,e4,v4,e8,v1,e 1 ,v 2 }
d(vi )为偶数 ，即vi为偶点
充分性：若无向连通图G=(V,E)中无奇点，则G为欧拉图
例： G 连通， d(vi )为偶数
v1 e1
• •• v 6
e6
e8
e5
e7
v
5
e10
e
4
•v 2 • e 9 e 2 v 3 v•4 e 3
G
任取一点，如v3，找一个以v3为起点的一个简单回C1路 简单 C 1 ： {v 回 3,e3,v路 4,e9,v2,e2,v3}
• 欧拉回路：
欧拉图
圈
设G是一个无向连存 通在 图一 ，个 若回路 G中 ，的 经 每一条边一次， 且则 仅称 一这 次个回回 路路 为欧
v•1 e 1
e6
e5
•v 5 e 4
•v 2 • e 7 e 2 v 3 v•4 e 3
存在欧拉回路：
{ v 1 ,e 1 ,v 2 ,e 2 ,v 3 ,e 3 ,v 4 ,e 7 ,v 2 ,e 5 ,v 5 ,e 4 ,v 4 ,e 6 ,v 1 }
v2 e2 v3
e4 e3 e7
•v 5 e 5 v•4
•v 3
e4
e7
•v 5 e 5 v•4
C 1 : { v 1 ,e 1 ,v 2 ,e 2 ,v 3 ,e 3 ,v 4 ,e 6 ,v 1
C 2 : v 3 ,e 7 ,v 4 ,e 5 ,v 5 ,e 4 ,v 3
欧拉回路 :
{v1,e1,v2,e2,v3,e7,v4,e5,v5,e4,v3,e3,v4,e6,v1
结论：不存在这样一种走法。
类似的问题：一笔画问题
图的一笔画： 可一笔画
不可一笔画
字的一笔画：如“中、日、口、串”等可一笔画 而：“田、目”等不能一笔画
6.6.1 欧拉图与中国邮递员问题 开
• 欧拉道路： 一笔画问题
链
设G是一个无向连存 通在 图一 ，条 若道路 G中 ，的 经 每一条边一次， 且则 仅称 一这 次条道道 路路 为欧
该图特点：d(vi )均为偶数
v•1 e 1 v•2
e4
e5
e2
v
•
3
e3
v•4
该图不存在欧拉回路
存在奇点
定理 无向连通图G为欧拉图的 充要条件是G中无奇点
证明：必要性
已知G=（V,E)为欧拉图，即存在一条欧拉回路C， C经过G的每一条边，由于G为连通图， 所以G中的每个点至少在C中出现一次
对vi V
G
•v 2 v•4
•v 1
e8 e7
•v 5 e 4 v•4
G
简单 C 1 ： {v 回 3,e3,v路 4,e9,v2,e2,v3}
简单 C 2 ： { v 2 ,回 e 1,0 v 5 ,e 5 路 ,v 6 ,e 6 ,v 1 ,e 1 ,v 2 }
简单 C 3 ： {回 v1,e7,v路 5,e4,v4,e8,v1}