中国邮递员问题算法
数学建模中国邮递员问题求解算法
邮递员问题求解算法
若此连通赋权图是Euler图，则可用Fleury算法求Euler回路，此回路即为所求；关于非Euler图，1973年，Edmonds和Johnson给出下边的解法：
设G是连通赋权图，则
（i）求V0
{v|v
V(G),
d(v)
1(mod2)}；
（ii）对每对极点
u ,v V0，求
d(u,v)（
d
(u,v)
是
u
与v的距离，
可用
Floyd
算法求得）；
iii）结构完整赋权图K|V0|，以V0为极点集，以d(u,v)为边uv的权；
iv）求K|V0|中权之和最小的完满对集M；
v）求M中边的端点之间的在G中的最短轨；
vi）在（v）中求得的每条最短轨上每条边增添一条等权的所谓“倍边”（即共端点共权的边）；
vii）在（vi）中得的图G'上求Euler回路即为中国邮递员问题的解。
多邮递员问题求解
邮局有k(k2)位送达员，同时送达信函，全城街道都要送达，达成任务返回邮局，怎样分派送达路线，使得达成送达任务的时间最早？我们把这一问题记
成kPP。
KPP的数学模型以下：
G(V,E)是连通图，v0
V(G)，求G的回路
C1,
,C k，
使得
（i ）v0
V(C i)
，i1,2,,k，
（ii）max
(
)min，
w
e
ik e
E(C)
（ii i）
k
E
(C i)E(G)
1。
归纳中国邮递员问题.pptx
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4
– 第二步：考虑到从配货中心出发的送货车辆，在送完所有的门店货物 后，仍需要返回配货中心，故再需对生成的最小树采用中国邮递员线 路的算法进行扩充。
奇点有：V0，V1，V3，V4，V6，V7，V8，V9，V10，V12。故需增加边 V3V5，重复边V0V1，V5V6，V4V9，V9V10，V7V12，V8V12，V9V12等 7条。
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6
– 第四步：检查有重复边的线路是否是多余的。即检查重复边的两端是
否已有其他线路相连通，如有的话，可将重复边连同原边从线路图中 删去。发现重复边V4V5的两端可通过其他线路相连，可将V4V5及重复 边一起从线路图中删去。即可得送货线路如下：V0—V1—V2—V3— V5—V6—V10—V9—V12—V7—V8—V12—V9—V4—V11—V1—V0。线 路的总长度减少为215千米。总长度较前减少了20千米。
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7
– 第五步：要综合考虑问题，在优化第三步时，同时考虑第四步有没有 重复边是多余的。此例题发现：圈V0—V1—V2—V13—V0中，加重复 边的长度为23， 不加重复边的长度为15+9+8=32，故不需要改进，但 是，去掉重复边V0V1，增加重复边V1V2，V0V13，V13V2。则V1V2成 为重复边，发现重复边V1V2的两端可通过其他线路相连，可将V1V2及 重复边一起从线路图中删去。这样去掉重复边V0V1和V1V2，总和长度 为31千米，增加V0V13和V13V2，总和长度为24千米，总长度较前减少 了7千米。即可得送货线路如下： V0—V1—V11—V4—V9—V12—V7— V8—V12—V9—V10—V6—V5—V3—V2—V13—V0。线路的总长度减少 为208千米。
运筹学 中国邮递员问题
§4.中国邮递员问题（Chinese Postman Problem）1．问题的提出例5. 一个邮递员从邮局出发投递信件, 然后再返回邮局, 如果他必须至少一次地走过他负责投递范围内的每条街道, 街道路线如下图所示, 问选择怎样的路线才能使所走的路为最短?5 6 78问题的图论表述：在赋权G=[V, E]上找一条经每条边至少一次的权最小的圈。
1960年山东师范学院管梅谷教授首先提出此问题，并设计了一个“奇偶点表上作业法”，后来发现此法不是多项式算法，1973年，Edmonds和Johnson给出一个多项式算法。
2．哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
3．Euler圈Euler圈：经图G的每条边的简单圈Euler图：具有Euler圈的图Euler图非Euler图下面讨论的图G允许有重边，且重边被认为是有区别的边。
伪Euler 圈：经图G 的每条边至少一次的圈点v 的次：与点V 关联的边的数目奇(偶)点：该点的次为奇(偶)数命题1：G 的奇点个数为偶数命题2：G 中有伪Euler 圈 ⇔ G 无奇点中国邮递员问题可表述为：在图G 中找一条权最小的伪Euler 圈。
对于邮递员来说，有些街道可能会重复走，原问题便转化为尽可能少走重复的 街道。
我们将这些重复的边组成的集合称可行集，即找最小的可行集。
命题3：E *是最小可行集 ⇔ωωμμμ()()()()*()*()e e e E E E e E E ≤∑∑∀μ∈∩∈∩\初等圈重复的边 非重复的边4．算法思路由命题1，简单图G 的奇点个数为偶数，可设为v 1 , v 2 , …, v 2k , 对每个1≤ i ≤k, 找v 2i − 1 至v 2i 的链p i ，将p i 的边重复一次。
第六节 中国邮递员问题
e4
3
4
e3
e4
e1
V4 V2
3
4
e3
2
V2
e2
2
e5
V3
1
e2
2
e5
V3
1
e1
V4
(b)
8 30(a )
V1
V1
2
e4
3
4
e3
e4
e1
V4 V2
3
4
e3
2
V2
e2
2
e5
V3
1
e2
2
e5
V3
1
e1
V4
(d )
(c )
②
赋权图G的每个闭链上，
重复边权之和不超过该闭链总权数的一半
或该闭链中非重复边权之和． 设重复边权之和为a，非重复边权之和为b：
1 a (a b ) 2
ab
作业
195页
习题8
8.3题
第六节 中国邮递员问题 所谓中国邮递员问题，用图的语言来描 述，就是给定一个赋权连通图G ，要寻求一 个圈，使得经过G的每条边至少一次，并且 圈的总圈数最小。
这个问题是由我国数学家管梅谷教授于 1962年首先提出来的，因此称为“中国邮路 问题”． 这个问题和所谓的“一笔画问题”联系密切 。
8. 6. 1 一笔画问题
定理 8.6
加边法化欧拉图的原则和方法是：
在赋权图G的一些边上，加且仅加一条重 复边，使图G的每个顶点成为偶次顶点 ；
①
赋权图G的每个闭链上，重复边权之和不 超过该闭链总权数的一半或该闭链中非重复 边权之和．
②
例8.8 设有图 8-30（a）所示的赋权图，构造 总权数最小的闭的欧拉链．
关于中国邮递员问题和欧拉图应用
1如果G的基图连通且所有顶点的入、出度均不为0，转2，否则返回无解并结束；
2计算所有顶点v的d’(v)值；
3构造网络N；
4在网络N中求最小费用最大流；
5对N中每一条流量f(u,v)的边(u,v)，在图G中增加f(u,v)次得到G’；
6在G’中求欧拉回路，即为所求的最优路线。
NPC问题：
if(in[i] +1 == out[i]) ...{
spos = i;
break;
}
}
}
else ...{
for(i=0;i<30;i++) ...{
if(f[i] != -1) ...{
spos = i;
break;
}
}
}
for(i=0;i<30;i++) sort(words[i].begin(), words[i].end());
如果部分街道能够双向通行，部分街道只能单向通行。这个问题已被证明是NPC的。[5]
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[1]大城市邮政投递问题及其算法研讨
[2]忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。
step = 0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
find_euler(spos);
//memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(i=step-1;i>0;i--) ...{
spos = seq[i];
string snext;
中国邮递员问题——欧拉巡回
案例2：铲雪车的行驶路线问题
铲雪车的行驶路线问题（MCM 90B题）
返回
案例1：双车道公路扫雪模型
问题 某地区的双车道公路如图1的图G（单 位是千米），路上积满了雪 。一辆扫雪车从 v1点出发，扫除公路上的所有积雪，最后回 到v1 。 要求1） 请你为扫雪车选择一条路径，使它 经过的总路程最短。 要求2） 现在先进的喷气扫雪车只需沿公 路一侧行驶，就能清除两个车道的积雪。如 果改用喷气扫雪车来扫雪，再请你为它选择 一条路径，使它经过的总路程最短。
6 8 v4 5 7 3 v5
5 4
9 6 v9 1 v10 2 v15
v6 5 v12
v7
4 3
2 v8
3
v11 1 1 v13 v14
案例1：双车道公路扫雪模型
深度优先搜索法遍历求解
要求1）的解法2 还可用深度优先搜索法（迷宫法则），遍历所有边，且 每边正好来回各走一次。 迷宫任务：从迷宫入口处出发，每个走廊都要搜索，最后 再从入口出来．
求解中国邮递员问题的算法
最小权对集法（Edmonds) 设G是连通加权图。 1) 求G的所有奇次顶点之间的最短路径及其 长度； 2) 以G的所有奇次顶点为顶点集作一完全图， 各条边上的权赋为两端点在原图中的最短路径长度， 得到一个加权完全图，记为G1；求G1的最小权理想 匹配M, 得到奇次顶点的最佳配对； 3）在G中，沿最佳配对奇次顶点间的最短路径 添加重复边得欧拉图G*，G*的欧拉巡回即为所求。
基本概念与基本结论
无向图的情形
结论一：连通图G是欧拉图的充要条件是G无奇次顶 点。
结论二：连通图G有欧拉道路的充要条件是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ最多有 两个奇次顶点。 结论三：任何无向图的奇次顶点数目必为偶数。
网络优化模型-中国邮递员问题
中国邮递员问题及其网络模型
问题: 问题: 一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发， 经过要分发的每条街道，送完邮件后又返回邮 局．如果他必须至少一次走过他管辖范围内的 每一条街道，如何选择投递路线，使邮递员走 尽可能短的路程． 这个问题是由我国数学家管梅谷教授在 1962年首次提出并研究的，因此在国际上称之 1962年首次提出并研究的，因此在国际上称之 为中国邮递员问题．
AUMCM1990AUMCM1990-B AUMCM1991AUMCM1991-B AUMCM1994AUMCM1994-B AUMCM2000AUMCM2000-B
扫雪问题 通讯网络的极小生成树 计算机网络的文件传输 无线电信道的分配
求解中国邮递员问题的算法
如果中国邮递员问题中的图是欧拉 图，那么欧拉回路就是最优回路。 一般情形下（不是欧拉图），最优 回路包含某些边至少两次。这时求最优 回路的思想是：在图G 回路的思想是：在图G中添加一些重复边 使新图G*成为欧拉图，且使得所有添加 使新图G*成为欧拉图，且使得所有添加 的重复边的权和最小。再由G*的欧拉回 的重复边的权和最小。再由G*的欧拉回 路得到G 路得到G的最优回路。
求解中国邮递员问题的算法
管梅谷首先提出的方法是奇偶点图上作业法 （1962年） 1962年） Edmonds，Johnson（1973年）给出有效算法。 Edmonds，Johnson（1973年）给出有效算法。 复杂度为 O(| V(G)|2| E(G)|)
求解中国邮递员问题的算法 （ Edmonds，Johnson,1973年） Edmonds，Johnson,1973年）
欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(回路算法) 求欧拉回路的算法(回路算法) 算法思想: 首先得到一个回路C 算法思想: 首先得到一个回路C1, 再在剩 下的图G 下的图G- C1中求一条与C1有公共顶点的 中求一条与C 回路C 回路C2, 则C1与 C2构成一个更长的回路, 构成一个更长的回路, 继续下去可得到含所有边恰好一次的回 路. 回路算法的复杂度是 O(| E (G) |) 注意到上述两算法都是在连通欧拉图中 求欧拉回路的算法. 求欧拉回路的算法.
中国邮递员数学问题
中国邮递员数学问题
中国邮递员数学问题是一个著名的数学问题，也称为"中国邮递员问题"。
这个问题源于邮递员在担任邮递员工作时，需要沿着不同的街道进行投递。
邮递员必须走遍每一条街道至少一次，然后回到出发地点。
问题的目标是寻找一条最短的路径，使得邮递员能够满足投递的要求。
具体问题描述如下：给定一个城市的街道网络图，每条街道上都有一个正整数表示街道的长度。
邮递员需要从一个特定地点出发，沿着街道网络进行投递，然后回到出发地点。
要求邮递员经过的路径总长度最短。
这个问题属于旅行商问题的变种，是一个NP-完全问题。
因为问题规模较大，难以找到一个最优解。
因此，通常采用近似算法进行求解，如TSP（Traveling Salesman Problem）等。
邮递员问题在实际中有很多应用，比如快递员的路线规划、物流配送等。
解决这个问题可以提高物流效率，减少成本。
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V2
V5 V2
现V在5 ，我们是
不是已经解决
V3
V4
(a)
V3
了V哥桥4 尼问斯题V2 堡？七
V3
(b)
(c)
由定理13-1.1及推论13-1.1.1容易看出：
a) 是欧拉图； b) 不是欧拉图，但存在欧拉道路； c) 既不是欧拉图，也不存在欧拉道路。
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有向图的欧拉道路、欧拉图
Gk＝G-{e1,e2,…,ei}中的桥；
3. 当Gk为零图时，算法结束；否则，返回2。
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例13-1.5
在右图所示的欧拉图中，某 人用算法求Ｇ中的欧拉回路时，
v1
走了简单的回路：
e8
v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
设G＝<V，E>是一个欧拉图 即如果ei+1是割
1. 任取v0∈V，令P0＝v0；
边，同时还有其 它边与vi相关联，
2. 设P0＝v0e1v1e2…eivi，按下则面不的能方选法ei+从1
GK=E-{e1,e2,…,ei}中选取ei+1：
1) ei+1与vi相关联；
2) 除非无别的边可选取，否则ei+1不应该为
证明： “”
由于在回路C 中边不可能重
设G是Euler图，则G必然存复在出一现条包含所有边
（也包含所有结点）的回路C，对uV，u必然在
C中出现一次（可出现多次），每出现u一次，都
关联着G中的两条边，而当u又重复出现时，它又
关联着G中的另外的两条边，（为什么？）
因而u每出现一次，都将使得结点u的度数增
b(乙)
a(甲) c
解
，仅有两个度数为奇数的结点b，c，因而存
在从b到c的欧拉通路，蚂蚁乙走到c只要走一条欧拉通路，
边数为9条。而蚂蚁甲要想走完所有的边到达c，至少要
先走一条边到达b，再走一条欧拉通路，因而它至少要走
10条边才能到达c，所以乙必胜。
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13
Fleury算法（构造Euler回路）
D
b3
b4 b7
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B
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3
Euler图
定义13-1.1 设G是一个无孤立结点的图，包含
G的每条边的简单道路（回路）称为该图的一条
欧拉道路（回路）。具有欧拉回路的图称为欧
拉图。 规定平凡图为欧拉图。
为什么？
显然，每个欧拉图必然是连通图。
因此，一条欧拉道路（回路）是经过图中每 边一次且仅一次的道路（回路）。
冯伟森
Email：fws365@ 2020年3月1日星期日
主要内容
Euler图及其应用
① 欧拉道路（回路）的定义 ② 如何判别欧拉图 ③ 一个图含有欧拉道路的条件 ④ 连通有向图G中含有有向欧拉道路和回路的充
要条件 ⑤ Fleury算法 ⑥ Euler图的应用(中国邮递员问题算法)
G-E（C）仍然无奇数度结点。
?
由于G是连通的，C中应至少存在一点v，使G-
E（C）中有一条包含v的回路C′。（见示意图）
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7
C
v
C'
这样，就可以构造出一条由C和C′组成的 G的回路，其包含的边数比C多，与假设矛盾。 因此，C必是Euler回路，结论成立。
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推论13-1.1.1非平凡连通图G＝<V，E>含有欧拉道 路当且仅当G仅有零个或者两个奇数度结点。
证明：“” 设G具有一注意条：Eu若le有r道两路个L奇，则在L中除起 点和终点外，其余每个度结数点结都点与，偶则数它条们边相关联，所
以，G中仅有零个（Eule是r回G路中）每或条者欧两拉个通奇数度结点。
▪ 图 (c) 中 有 欧 拉 回 路 v1v2v3v4v5v6v7v8v2v4v6v8v1 因而(c)是欧拉图。
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例13-1.4
甲、乙两只蚂蚁分别位于右图 中的结点a，b处，并设图中的边长 度是相等的。甲、乙进行比赛：从 它们所在的结点出发，走过图中的 所有边最后到达结点c处。如果它们 的速度相同，问谁先到达目的地？
类似于无向图的讨论，对有向图我们有以下 结论： 定理13-1.2 ⅰ）有向连通图G含有有向欧拉道路，当且仅当
除了两个结点以外，其余结点的入度等于出度， 而这两个例外的结点中，一个结点的入度比出 度大1，另一个结点的出度比入度大1。 ⅱ）有向连通图G含有有向欧拉回路，当且仅当G 中的所有结点的入度等于出度。
“”
路的端点。
⑴若 G没有奇度数结点，则结论显然成立；
⑵若G有两个奇度数结点u和v，则G+uv是Euler图，从而
存在Euler回路C。从C中去掉边uv，则得到一条简单
道路L（起点u和终点v），且包含了G的全部边，即L是
一条Euler道路。
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例13-1.2
V1
V1
V1
V4
加2度，若u在通路中重复出现j次，则deg(u)＝2j。
即u的度数必为偶数。
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6
“”
设连通图G的结点的度数都是偶数，则G必
含有简单回路（可对结点个数进行归纳证明） 。
设C是一条包含G中边最多的简单回路：
⑴ 若C已经包含G中所有的边，则C就是Euler回
路，结论成立。
⑵ 若C不能包含G中所有的边，则删边子图 Why
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例13-1.1
v1
v2
v5
v3 v4 a)
v1
v1
v2
v5
v4
v3 v4 b)
v2 c) v3
图a是欧拉图；图b不是欧拉图，但存在欧拉道 路；图c不存在欧拉道路。
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定理13-1.1 无向连通图G＝<V，E>是欧拉图当
且仅当G的所有结点的度数都为偶数。
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哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡城市有一条横贯全城的普雷格尔(Pregel) 河，城的各部分用七座桥联接，每逢假日，城中居民进 行环城逛游，这样就产生了一个问题：能不能设计一次 “遍游”，使得从某地出发对每座跨河桥只走一次，而 在遍历了七桥之后却又能回到原地？
A
b1
b2
b5
C
b6
同样，有向Euler图的结点度数都为偶数；含有有 向Euler道路的图仅有零个或者两个奇度数结点。
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例13-1.3
V2
V2
V1
V2
V3
V1
V3 V1
V3
V8V4ຫໍສະໝຸດ V4V4V7
V6
V5
(a)
(b)
(c)
▪ 图a)存在一条的欧拉道路：v3v1v2v3v4v1；
▪ 图(b)中存在欧拉回路v1v2v3v4v1v3v1，因而(b) 是欧拉图；