高等数学B资料：Ch2-曲率习题解答
曲率与曲率半径问题(解析版)-高中数学
曲率与曲率半径问题1.(2024·浙江温州·二模)如图，对于曲线Γ，存在圆C满足如下条件：①圆C 与曲线Γ有公共点A ，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C 与曲线Γ在点A 处有相同的切线；③曲线Γ的导函数在点A 处的导数(即曲线Γ的二阶导数)等于圆C 在点A 处的二阶导数(已知圆x -a 2+y -b 2=r 2在点A x 0,y 0 处的二阶导数等于r 2b -y 03)；则称圆C 为曲线Γ在A 点处的曲率圆，其半径r 称为曲率半径．(1)求抛物线y =x 2在原点的曲率圆的方程；(2)求曲线y =1x的曲率半径的最小值；(3)若曲线y =e x 在x 1,e x 1和x 2,e x 2x 1≠x 2 处有相同的曲率半径，求证：x 1+x 2<-ln2．【解析】(1)记f x =x 2，设抛物线y =x 2在原点的曲率圆的方程为x 2+y -b 2=b 2，其中b 为曲率半径．则f x =2x ，f x =2，故2=f0 =b 2b -03=1b ，2=r 2b 3，即b =12，所以抛物线y =x 2在原点的曲率圆的方程为x 2+y -122=14；(2)设曲线y =f x 在x 0,y 0 的曲率半径为r ．则法一：f x 0 =-x 0-ay 0-bfx 0 =r 2b -y 03，由x 0-a 2+y 0-b 2=r 2知，fx 0 2+1=r 2y 0-b 2，所以r =fx0 2+132f x 0，故曲线y =1x在点x 0,y 0 处的曲率半径r =-1x 202+1 322x 30，所以r 2=1x 40+132x 302=14x 20+1x 23≥2，则r 23=2-23x 20+1x 20≥213，则r =12x 20+1x 232≥2，当且仅当x 20=1x 20，即x 20=1时取等号，故r ≥2，曲线y =1x在点1,1 处的曲率半径r =2．法二：-1x 20=-x 0-a y 0-b 2x 30=r 2b -y 0 3，a +bx 20-2x 0x 40+1=r ，所以y 0-b =-x 0⋅r 23213x 0-a =-r 23213x 0，而r 2=x 0-a 2+y 0-b 2=x 20⋅r 43223+r 43223⋅x 20，所以r 23=2-23x 20+1x 20，解方程可得r =12x 20+1x 2032，则r 2=14x 20+1x 203≥2，当且仅当x 20=1x 20，即x 20=1时取等号，故r ≥2，曲线y =1x在点1,1 处的曲率半径r =2．(3)法一：函数y =e x 的图象在x ,e x 处的曲率半径r =e 2x+132e x，故r 23=e 43x +e-23x ，由题意知：e 43x1+e -23x 1=e43x 2+e-23x 2令t 1=e 23x1,t 2=e23x 2，则有t 21+1t 1=t 22+1t 2，所以t 21-t 22=1t 2-1t 1，即t 1-t 2 t 1+t 2 =t 1-t 2t 1t 2，故t 1t 2t 1+t 2 =1．因为x 1≠x 2，所以t 1≠t 2，所以1=t 1t 2t 1+t 2 >t 1t 2⋅2t 1t 2=2t 1t 2 32=2e x 1+x 2，所以x 1+x 2<-ln2．法二：函数y =e x 的图象在x ,e x 处的曲率半径r =e 2x+132e x，有r 2=e 2x +13e 2x=e 4x +3e 2x +3+e -2x令t 1=e 2x 1,t 2=e 2x 2，则有t 21+3t 1+3+1t 1=t 22+3t 2+3+1t 2，则t 1-t 2 t 1+t 2+3-1t 1t 2=0，故t 1+t 2+3-1t 1t 2=0，因为x 1≠x 2，所以t 1≠t 2，所以有0=t 1+t 2+3-1t 1t 2>2t 1t 2+3-1t 1t 2，令t =t 1t 2，则2t +3-1t2<0，即0>2t 3+3t 2-1=(t +1)22t -1 ，故t <12，所以e x 1+x 2=t 1t 2=t <12，即x 1+x 2<-ln2；法三：函数y =e x 的图象在x ,e x处的曲率半径r =e 2x +1 32e x．故r 23=e 43x +e23x 设g x =e 43x +e 23x ，则gx =43e 43x -23e -23x =23e -23x 2e 2x -1 ，所以当x ∈-∞,-12ln2 时g x <0，当x ∈-12ln2,+∞ 时g x >0，所以g x 在-∞,-12ln2 上单调递减，在-12ln2,+∞ 上单调递增，故有x 1<-12ln2<x 2，所以x 1,-ln2-x 2∈-∞,-12ln2 ，要证x 1+x 2<-ln2，即证x 1<-ln2-x 2，即证g x 2 =g x 1 >g -ln2-x 2 将x 1+x 2<-ln2，下证：当x ∈-12ln2,+∞ 时，有g x >g -ln2-x ，设函数G x =g x -g -ln2-x (其中x >-12ln2)，则G x =g x +g -ln2-x =232e 2x -1 e 23x -2-13 ⋅e -43x >0，故G x 单调递增，G x >G -12ln2 =0，故g x 2 >g -ln2-x 2 ，所以x 1+x 2<-ln2．法四：函数y =e x 的图象在x ,e x 处的曲率半径r =e 2x+132e x，有r 2=e 2x +13e2x=e 4x +3e 2x +3+e -2x ，设h x =e 4x +3e 2x +3+e -2x ．则有h x =4e 4x +6e 2x -2e -2x =2e -2x e 2x +1 22e 2x -1 ，所以当x ∈-∞,-12ln2 时h x <0，当x ∈-12ln2,+∞ 时h x >0，故h x 在-∞,-12ln2 上单调递减，在-12ln2,+∞ 上单调递增．故有x 1<-12ln2<x 2，所以x 1,-ln2-x 2∈-∞,-12ln2 ，要证x 1+x 2<-ln2，即证x 1<-ln2-x 2，即证h x 2 =h x 1 >h -ln2-x 2 ．将x 1+x 2<-ln2，下证：当x ∈-12ln2,+∞ 时，有h x >h -ln2-x ，设函数H x =h x -h -ln2-x (其中x >-12ln2)，则H x =h x +h -ln2-x =2e 2x -1 21+12e -2x +14e -4x >0，故H x 单调递增，故H x >H -12ln2 =0，故h x 2 >h -ln2-x 2 ，所以x 1+x 2<-ln2．2.有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率(Curvature )来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线C 上的曲线段AB ，设其弧长为Δs ，曲线C 在A ，B 两点处的切线分别为l A ,l B ，记l A ,l B 的夹角为ΔθΔθ∈0,π2，定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率，定义K (x )=lim Δx →0ΔθΔs=f (x )1+f (x ) 232为曲线C :y =f (x )在其上一点A (x ,y )处的曲率．(其中f (x )为f (x )的导函数，f (x )为f (x )的导函数)(1)若f (x )=sin (2x )，求K π4；(2)记圆x 2+y 2=2025上圆心角为π3的圆弧的平均曲率为a ．①求a 的值；②设函数g (x )=ln (x +45a )-xe x -1，若方程g (x )=m (m >0)有两个不相等的实数根x 1,x 2，证明：x 2-x 1 <1-(5e -2)m3e -3，其中e 为自然对数的底数，e =2.71828⋯．【解析】(1)f (x )=sin (2x ),f (x )=2cos (2x ),f (x )=-4sin (2x )，所以f π4 =2cos π2=0,f π4 =-4sin π2=-4，因此K π4 =f π4 1+f π4 232=-4 1+0 32=4.(2)①由圆的性质知圆x 2+y 2=2025上圆心角为π3的圆弧的弧长为ΔS =π3⋅R .弧的两端点处的切线对应的夹角Δθ=π3，所以该圆弧的平均曲率K =Δθ ΔS=1R =12025=145，也即a =145.②由于a =145，故g x =ln x +1 -xe x -1,x ∈-1,+∞ ，又g (0)=0，g x =1x +1-x +1 e x -1,g x =-1x +12-x +2 e x -1<0，所以g (x )在-1,+∞ 上单调递减，而g 0 =1-1e >0,g 1 =12-2=-32<0.因此必存在唯一的x 0∈(0,1)使得g (x 0)=0且g (x )在-1,x 0 上为正，在x 0,+∞ 为负，即g (x )在-1,x 0 上单调递增，在x 0,+∞ 上单调递减，而g (0)=0，又g 12 =ln 32-12e>ln 32-13>0∵2e >3⇔e >94,ln 32>13⇔e 13<32⇔e <278，g (1)=ln2-1<0，所以∃t ∈12,1 使得g (t )=0，即g (x )的图象与x 轴有且仅有两个交点(0,0),(t ,0)，易得g (x )在(0,0)处的切线方程为l 0:y =1-1e x =e -1ex ，在(t ,0)处的切线方程为l t :y =1t +1-t +1 e t -1 x -t ，下面证明两切线l 0,l t 的图象不在g (x )的图象的下方:令h x =g x -1t +1-t +1 e t -1 x -t =g (x )-g (t )(x -t )，则h (x )=g (x )-g (t ).因为h (x )=g (x )<0，所以h (x )在(-1,+∞)单调递减，而h (t )=0，所以h (t )在(-1,t )上为正，在(t ,+∞)为负，即h (x )在(-1,t )上单调递增，在(t ,+∞)单调递减，因此h (x )≤h (t )=g (t )-0=0，即g x ≤1t +1-t +1 e t -1 x -t ，即g (x )的图象恒在其图象上的点(t ,0)处的切线的下方(当且仅当x =t 时重合).同理可证(将t 视为0即可)，g x ≤1-1ex设直线y =m (m >0)与两切线l 0,l 1交点的横坐标分别为X 0,X t ，则易得X 0=me e -1,X t =m1t +1-t +1 e t -1+t 且X 0<x 1<x 2<X t ，因为t ∈12,1，故1t +1-t +1 e t -1∈-32,23-32e⊆-32,0 ，所以X t =m 1t +1-t +1 e t -1+t <m -32+t <1-2m3，因此x 2-x 1 <X t -X 0<1-2m 3-mee -1=1-5e -2 m 3e -3.3.定义：若h (x )是h (x )的导数，h (x )是h (x )的导数，则曲线y =h (x )在点(x ,h (x ))处的曲率K =h (x )1+h(x ) 232；已知函数f (x )=e x sin π2+x，g (x )=x +(2a -1)cos x ,a <12，曲线y =g (x )在点(0,g (0))处的曲率为24；(1)求实数a 的值；(2)对任意x ∈-π2,0,mf (x )≥g (x )恒成立，求实数m 的取值范围；(3)设方程f (x )=g (x )在区间2n π+π3,2n π+π2n ∈N * 内的根为x 1,x 2,⋯,x n ，⋯比较x n +1与x n +2π的大小，并证明．【解析】(1)由已知g (x )=-2a -1 sin x +1,g (x )=-2a -1 cos x ，所以2a -1 1+12 32=24，解得a =0(a =1舍去)，所以a =0；(2)由(1)得g (x )=x -cos x ，f (x )=e x sin π2+x=e x cos x ，则g x =1+sin x ，对任意的x ∈-π2,0，mf x -gx ≥0，即me x cos x -sin x -1≥0恒成立，令x =-π2，则m ⋅0+1-1=0≥0，不等式恒成立，当x ∈-π2,0时，cos x >0，原不等式化为m ≥sin x +1e x cos x ，令h x =sin x +1e x cos x,x ∈-π2,0 ，则hx =cos x e x cos x -e xcos x -sin x sin x +1 e x cos x2=1-sin x cos x -cos x +sin xe x cos 2x =1-cos x 1+sin x e x cos 2x≥0，所以h x 在区间-π2,0单调递增，所以h x max =h 0 =1，所以m ≥1，综上所述，实数m 的取值范围为1,+∞ ；(3)x n +1>x n +2π，证明如下：由已知方程f x =g x 可化为e x cos x -sin x -1=0，令φx =e x cos x -sin x -1，则φ x =e x cos x -sin x -cos x ，因为x ∈2n π+π3,2n π+π2，所以cos x <sin x ,cos x >0，所以φ x <0，所以φx 在区间2n π+π3,2n π+π2n ∈N * 上单调递减，故φ2n π+π3 =e 2n π+π3cos 2n π+π3 -sin 2n π+π3 -1=12e 2n π+π3-32-1≥12e 2π+π3-32-1>22×3+1×12-32-1>0，φ2n π+π2=-2<0，所以存在唯一x 0∈2n π+π3,2n π+π2，使得φx 0 =0，又x n ∈2n π+π3,2n π+π2 ，x n +1-2π∈2n π+π3,2n π+π2 ，则φx n +1-2π =e x n +1-2πcos x n +1-2π -sin x n +1-2π -1=e x n +1-2πcos x n +1-sin x n +1-1=ex n +1-2πcos x n +1-e x n +1cos x n +1=ex n +1-2π-ex n +1cos x n +1<0=φx n由φx 单调递减可得x n +1-2π>x n ，所以x n +1>x n +2π.4.(2024·湖北黄冈·二模)第二十五届中国国际高新技术成果交易会(简称“高交会”)在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C :y =f x 上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB 运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δ→0ΔθΔs=y1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率.(其中y ，y 分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点3,y 处的曲率是多少？(2)若函数g x =12x +1-12，不等式g e x +e -x 2 ≤g 2-cos ωx 对于x ∈R 恒成立，求ω的取值范围；(3)若动点A 的切线沿曲线f x =2x 2-8运动至点B x n ,f x n 处的切线，点B 的切线与x 轴的交点为x n +1,0 n ∈N * .若x 1=4，b n =x n -2，T n 是数列b n 的前n 项和，证明T n <3.【解析】(1)∵抛物线x 2=2py (p >0)的焦点到准线的距离为3，∴p =3，即抛物线方程为x 2=6y ，即f x =y =16x 2，则f x =13x ，f x =13，又抛物线在点3,y 处的曲率，则K =131+19⋅3232=1322=212，即在该抛物线上点3,y 处的曲率为212；(2)∵g -x =12-x +1-12=2x 2x +1-12=12-12x +1=-g x ，∴g x 在R 上为奇函数，又g x 在R 上为减函数.∴g e x +e -x 2≤g 2-cos ωx 对于x ∈R 恒成立等价于cos ωx ≥2-e x +e -x2对于x ∈R 恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记p x =cos ωx ，q x =2-e x +e -x2，则曲线p x 恒在曲线q x 上方，p x =-ωsin ωx ，qx =-e x -e -x 2，又因为p 0 =q 0 =1，所以在x =0处三角函数p x 的曲率不大于曲线q x 的曲率，即p 0 1+p 20 32≤q 01+q 232，又因为p x =-ω2cos ωx ，qx =-e x +e -x 2，p 0 =-ω2，q 0 =-1，所以ω2≤1，解得：-1≤ω≤1，因此，ω的取值范围为-1,1 ；(3)由题可得f x =4x ，所以曲线y =f x 在点x n ,f x n 处的切线方程是y -f x n =f x n x -x n ，即y -2xn 2-8 =4x n x -x n ，令y =0，得-x n 2-4 =2x n x n +1-x n ，即x n 2+4=2x n x n +1，显然x n ≠0，∴x n +1=x n 2+2x n，由x n +1=x n 2+2x n ，知x n +1+2=x n 2+2x n +2=x n +2 22x n ，同理x n +1-2=x n -2 22x n，故x n +1+2x n +1-2=x n +2x n -22，从而lg x n +1+2x n +1-2=2lg x n +2x n -2，设lg x n +2x n -2=a n ，即a n +1=2a n ，所以数列a n 是等比数列，故a n =2n -1a 1=2n -1lg x 1+2x 1-2=2n -1lg3，即lg x n +2x n -2=2n -1lg3，从而x n +2x n -2=32n -1，所以x n =232n -1+132n -1-1，∴b n =x n -2=432n -1-1>0，b n +1b n =32n -1-132n-1=132n -1+1<132n -1≤1321-1=13，当n =1时，显然T 1=b 1=2<3；当n >1时，b n <13b n -1<13 2b n -2<13n -1b 1，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n <b 1+13b 1+⋯+13 n -1b 1=b 11-13 n1-13=3-3⋅13n<3，综上，T n <3n ∈N * .5.(2024·高三·浙江宁波·期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs=y1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y1+y 3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．【解析】(1)K =ΔθΔs=π3π3=1．(2)y =1-x 24，y=-x 41-x 24 -12，y =-141-x 24 -12-x 2161-x 24 -32，故y x =3=-32，y x =3=-2，故K =21+3432=16749．(3)fx =ln x -1，fx =1x ，故φy =22y 1+y 3=22x ln x 3=223s ln s3，其中s =3x ，令t 1=3x 1，t 2=3x 2，则t 1ln t 1=t 2ln t 2，则ln t 1=-t ln tt -1，其中t =t 2t 1>1(不妨t 2>t 1)令p x =x ln x ，p x =1+ln x ⇒p x 在0,1e 递减，在1e ,+∞ 递增，故1>t 2>1e>t 1>0；令h t =ln t 1+t 2 =ln t +1 -t ln tt -1，h 't =1t -1 2ln t -2t -1 t +1，令m (t )=ln t -2t -1 t +1(t >1)，则m(t )=t -1 2t (t +1)，当t >1时，m (t )>0恒成立，故m (t )在(1,+∞)上单调递增，可得m (t )>m (1)=0，即ln t -2t -1t +1>0，故有h t =1t -12ln t -2t -1 t +1>0，则h t 在1,+∞ 递增，又lim t →1h t =ln2-1，lim t →+∞h t =0，故ln t 1+t 2 ∈ln2-1,0 ，故3x 1+3x 2=t 1+t 2∈2e ,1．6.(2024·高三·辽宁·期中)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f x 是f x 的导函数，fx 是fx 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =f (x )1+f (x ) 232．(1)求曲线f x =ln x +x 在1,1 处的曲率K 1的平方；(2)求余弦曲线h x =cos x (x ∈R )曲率K 2的最大值；【解析】(1)因为f x =ln x +x ，则f x =1x +1，f x =-1x 2，所以K 1=f 11+f 1 232=11+2232=1532，故K 1 2=15322=153=1125.(2)因为h x =cos x x ∈R ，则h x =-sin x ，h x =-cos x ，所以K 2=h x 1+hx 2 32=-cos x1+sin 2x 32，则K 22=cos 2x 1+sin 2x 3=cos 2x2-cos 2x3，令t =2-cos 2x ，则t ∈1,2 ，K 22=2-t t3，设p t =2-t t 3，则pt =-t 3-3t 22-t t 6=2t -6t 4，显然当t ∈1,2 时，p t <0，p t 单调递减，所以p (t )max =p 1 =1，则K 22最大值为1，所以K 2的最大值为1．7.曲线的曲率定义如下：若f '(x )是f (x )的导函数，f "(x )是f '(x )的导函数，则曲线y =f (x )在点(x ,f (x ))处的曲率K =|f "(x )|1+[f '(x )]232.已知函数f x =e x cos x ，g x =a cos x +x a <0 ，曲线y =g (x )在点(0,g (0))处的曲率为24．(1)求实数a 的值；(2)对任意的x ∈-π2,0，tf x -g x ≥0恒成立，求实数t 的取值范围；(3)设方程f x =g x 在区间2n π+π3,2n π+π2(n ∈N +)内的根从小到大依次为x 1,x 2,⋯,x n ,⋯，求证：x n +1-x n >2π．【解析】(1)由已知g (x )=-a sin x +1,g (x )=-a cos x ,，所以a 1+1232=24，解方程得a =-1(2)对任意的x ∈-π2,0，tf x -gx ≥0，即te x cos x -sin x -1≥0恒成立，令x =-π2，则t ⋅0+1-1≥0，不等式恒成立当x ∈-π2,0时，cos x >0，原不等式化为t ≥sin x +1e x cos x 令h x =sin x +1e x cos x，则hx =cos x e x cos x -e xcos x -sin x sin x +1 e x cos x2=1-sin x cos x -cos x +sin xe x cos 2x=1-cos x 1+sin xe x cos 2x所以h x 在区间-π2,0单调递增，所以最大值为h 0 =1所以要使不等式恒成立必有t ≥1(3)由已知方程f x =g x 可化为e x cos x -sin x -1=0令φx =e x cos x -sin x -1，则φ x =e x cos x -sin x -cos x因为x ∈2n π+π3,2n π+π2，所以cos x <sin x ,cos x >0所以φ x <0，φx 在区间2n π+π3,2n π+π2(n ∈N +)上单调递减，φ2n π+π3 =e 2n π+π3cos 2n π+π3 -sin 2n π+π3 -1=e 2n π+π312-32-1≥e 2π+π312-32-1>22⋅3+112-32-1>0φ2n π+π2=-2<0所以存在唯一x 0∈2n π+π3,2n π+π2，φx 0 =0x n ∈2n π+π3,2n π+π2 ，x n +1-2π∈2n π+π3,2n π+π2φx n +1-2π =e x n +1-2πcos x n +1-2π -sin x n +1-2π -1=e x n +1-2πcos x n +1-sin x n +1-1=ex n +1-2πcos x n +1-e x n +1cos x n +1=ex n +1-2π-ex n +1cos x n +1<0=φx n由φx 单调递减可得x n +1-2π>x n 即x n +1-x n >2π8.(2024·湖南永州·三模)曲线的曲率定义如下：若f (x )是f (x )的导函数，令φ(x )=f (x )，则曲线y =f (x )在点x ,f x 处的曲率K =φ (x )1+f (x ) 232．已知函数f (x )=x 2a +x (a >0)，g (x )=(x +1)ln (x +1)，且f (x )在点(0,f (0))处的曲率K =24．(1)求a 的值，并证明：当x >0时，f (x )>g (x )；(2)若b n =ln (n +1)n +1，且T n =b 1⋅b 2⋅b 3⋯b n (n ∈N ∗)，求证：(n +2)T n <e 1-n 2．【解析】(1)f ′(x )=2x a +1=φ(x )，φ′(x )=2a，f ′(0)=1，a >0，∵f (x )在点(0，f (0))处的曲率K =24，∴2a(1+12)32=24，解得a =2．当x >0时，h (x )=f (x )-g (x )=12x 2+x -(x +1)ln (x +1)，h ′(x )=x +1-ln (x +1)-1=x -ln (x +1)，令u (x )=x -ln (x +1)，则u ′(x )=1-1x +1=xx +1>0，∴u (x )在x >0时单调递增，∴u (x )>u (0)=0，∴h ′(x )>0，∴函数h (x )在(0,+∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)=0，因此f (x )>g (x )．(2)证明：由(1)可得：12x 2+x >(x +1)ln (x +1)，∴ln (x +1)x +1<x (x +1)2(x +1)2，x >0，令x =n ∈N *，则：ln (n +1)n +1<n (n +2)2(n +1)2，∴T n =b 1⋅b 2⋅b 3⋅⋯⋅b n <12n ×1×322×2×432×3×542×4×652×⋯⋯×(n -1)(n +1)n 2×n (n +2)(n +1)2=12n ×12×n +2n +1要证明：(n +2)T n <e 1-n 2，只要证明：2ln (n +2)-(n +1)ln2-ln (n +1)-1+n2<0即可，n =1时，左边=2ln3-2ln2-ln2-12<0n ≥2时，令v (x )=2ln (x +2)-(x +1)ln2-ln (x +1)-1+x 2，v ′(x )=2x +2-ln2-1x +1+12=s (x )，s ′(x )=1(x +1)2-2(x +2)2=-x 2+2(x +1)2(x +2)2<0，∴v ′(x )<v ′(2)=23-ln2<0，∴v (x )在(2,+∞)上单调递减，∴v (x )<v (2)=4ln2-3ln2-ln3=ln2-ln3<0，综上可得：(n +2)T n <e1-n2成立．9.曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线C :y =f x 具有连续转动的切线，在点x ,f x 处的曲率K =f x1+f x 232，其中f x为f x 的导函数，f x 为f x 的导函数，已知f x =x 2ln x -a 3x 3-32x 2．(1)a =0时，求f x 在极值点处的曲率；(2)a >0时，f x 是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；(3)g x =2xe x -4e x +a 2x 2，a ∈0,1e，当f x ，g x 曲率均为0时，自变量最小值分别为x 1，x 2，求证：x1ex 2>e 2．【解析】(1)当a =0时，f x =x 2ln x -32x 2,x >0，可得f x =2x ln x +x -3x =2x (ln x -1)，令f x =0，可得x =e ，当0<x <e 时，f x <0，当x >e 时，f x >0，所以当x =e 为f x 在极小值点，又f x =2ln x ，所以f e =2ln e =2，所以K =f e 21+f e 2232=2[1+02]32=2；(2)由f x =x 2ln x -a 3x 3-32x 2，可得f x =2x ln x +x -ax 2-3x =2x ln x -2x -ax 2，令h (x )=f x =2x ln x +x -ax 2-3x =2x ln x -2x -ax 2，则h x =2ln x -2ax ，令h x =0时，可得a =ln x x ，令φ(x )=ln x x ，可得φ (x )=1-ln xx 2，当0<x <e 时，φ x >0，φ(x )=ln xx 单调递增，当x >e 时，φ x <0，φ(x )=ln x x 单调递减，则φ(x )max =1e，所以0<a <1e时，f x =2ln x -2ax =0有解，且有两解x 1,x 3且1<x 1<e <x 3，x 1为f x 的极小值点，x 3为f x 的极大值点，当a =1e 时，f x =2ln x -2ax =0有解，且有唯一解，但此解不是f x 极值点，当a >1e时，f x =2ln x -2ax =0无解，所以f x 无极值点，所以当0<a <1e 时，f x 存在极值点，所以K =f x1+f x 2 32=0；(3)由题意可得g x =2xe x -4e x +a 2x 2，可得g x =2(x +1)e x -4e x +2ax ，要g x ，f x 曲率为0，则g x =f (x )=0，即2ln x -2ax =2a +2xe x =0，可得a =ln x x ，a 2=-xe x ，所以0<a <1e 时，φ(x )=ln xx有两解x 1,x 3，1<x 1<e <x 3，可证x 1x 3>e 2，由(2)可得ln x 1-ax 1=0，ln x 3-ax 3=0，可得ln x 1+ln x 3=ax 1+ax 3，ln x 1-ln x 3=ax 1-ax 3．要证明x 1x 3>e 2，即证明ln x 1+ln x 3>2，也就是a (x 1+x 3)>2．因为a =ln x 1-ln x 3x 1-x 3，所以即证明ln x 1-ln x 3x 1-x 3>2x 1+x 3，即ln x 1x 3<2(x 1-x 3)x 1+x 3，令x1x 3=t ，则0<t <1，于是ln t <2(t -1)t +1，令f (t )=ln t -2(t -1)t +1，则f(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2(t +1)2>0,故函数f (t )在(0,1)上是增函数，所以f (t )<f (1)=0，即ln t <2(t -1)t +1成立．所以x 1x 3>e 2成立．又因为a 2<a ，则-x 2e x 2=ln e-x2e-x 2<ln x 3x 3，由(2)可得φ(x )=ln xx在(e ,+∞)上单调递减，因为e -x 2>e ，x 3>e ，所以x 1ex 2=x 1e -x2>x 1x 3>e 2，10.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f x 是f x 的导函数，f x 是f x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =f x1+f x 232.(1)求曲线f x =ln x +x 在1,1 处的曲率K 1的平方；(2)求余弦曲线h x =cos x x ∈R 曲率K 2的最大值；(3)余弦曲线h x =cos x x ∈R ，若g x =e x h x +xh x ，判断g x 在区间-π2,π2上零点的个数，并写出证明过程.【解析】(1)因为f x =ln x +x ，所以f x =1x +1，f x =-1x2，所以K 1=f 11+f 1 232=11+2232=1532，∴K 1 2=15322=153=1125.(2)因为h x =cos x x ∈R ，h x =-sin x ，h x =-cos x ，所K 2=h x 1+h x 2 32=-cos x 1+sin 2x32，K 22=cos 2x 1+sin 2x 3=cos 2x 2-cos 2x3，令t =2-cos 2x ，则t ∈1,2 ，K 22=2-t t3，设p t =2-t t 3，t ∈1,2 ，则pt =-t 3-3t 22-t t 6=2t -6t4，显然当t ∈1,2 时，p t <0，p t 在1,2 上单调递减，所以p t max =p 1 =1，所以K 22最大值为1，所以K 2的最大值为1.(3)g x 在区间-π2,π2上有且仅有2个零点.证明：g x =e x cos x -x sin x ，所以g x =e x cos x -sin x -x cos x +sin x ，①当x ∈-π2,0时，因为cos x ≥0，sin x ≤0，则cos x -sin x >0，-x cos x +sin x >0，∴g x >0，g x 在-π2,0上单调递增，又g 0 =1>0，g -π2 =-π2<0.∴g x 在-π2,0上有一个零点，②设φx =e x -x ，则φ x =e x -1，当x ∈0,π4时，φx ≥0，φx 单调递增，φx =e x -x ≥φ0 =1，又cos x ≥sin x >0，∴g x =e x cos x -x sin x ≥e x sin x -x sin x =sin x e x -x >0恒成立，∴g x 在0,π4上无零点.③当x ∈π4,π2 时，0<cos x <sin x ，g x =e x cos x -sin x -x cos x +sin x <0，∴g x 在π4,π2 上单调递减，又g π2 =-π2<0，g π4 =22e π4-π4>0.∴g x 在π4,π2上必存在一个零点，综上，g x 在区间-π2,π2上有且仅有2个零点.。
高等数学习题解答
高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题 1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题1、（1）解 函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解 函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解 由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解 由11+-=x x y 得 yy x -+=11 交换x 、y 得反函数为xx y -+=114．（1）解 只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，x arcsin 无定义（2）解 不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义5．解（1）12arccos 2-====x w w v v u ey u(2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u u v v yx w em m x v vu ey wu2)s i n (32==+===6．解 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解 设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 25214-===b a c习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加 三．计算题1、（1）解 因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数（2）解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xxx x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=-所以函数是奇函数 2．解 因为 x x y 2cos 2121sin2-==而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π3．解 由h r V 231π=得23rvh π=表面积： )0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r vr rrrvr r rr h r s πππππππ四 证明 )()1()1(11)(x f ee e e e e xf xxx x xx-=+-=+-=---习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错 四．（1） 证明 令12+=n n x nε<=<+=-nnn n n x n 11022只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0n x 所以01lim2=+∞→n n n（2）证明 因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A =ε，存在M>0，当x>M 时，有2)()(A A x f A x f <-<-故当x>M 时，2)(A x f >习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、a e2、0，63、64、2，－2 三．判断正误1、错；2、错；3、错； 四．计算题 1、原式＝2112lim)1)(1()1)(2(lim11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim=++=+++∞→+∞→x x xx x x3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xxx x x x x x x x4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n nn nn 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(lim =⋅+-=∞→n n6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3limnnn n n nnn n n -++=-+++∞→+∞→2132123lim 22=+=∞→nn n n7、因为 0lim =-+∞→xx e1s i n ≤x 所以 0s i n lim =-+∞→x exx习题五一、1.B ， 2.A, 3. B 二、1.sin tan x x x << 2．０ 三、1.（1）0sin 77limtan 55x x x→=解：（2）0lim sin0x x x π→=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）00sin 5sin 5115sin 55limlimlim1sin 3sin 3sin 31133x x x x x x x x xx x x xxx→→→---===-+++解： （4）0sin 1limlim sin1()x x x x xx++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数2．（1）22222222222lim (1)lim[(1)]lim (1)1nnn n n e e nnn⨯+→∞→∞→∞=+=++== 原式（2）()1()1111lim (1)lim 1xx x x xx e---∙-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式=（3）22322(3)3332233lim (1)lim (1)22x x x x ex x -++-∙---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝(4)13330lim (13)x x x e ∙→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nnn n n n n n n nnnn∙→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式四． 1.证明：......<+<limlim1,,.n n n n →∞→∞==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->> n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B，2．B，3．B，4．B，5。
高等数学-第三章 第7节 曲率
一、曲率及其计算公式
二、曲率圆与曲率半径
1
问 题: 如何定量描述曲线的弯 曲程度 ?
2
一、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N
（１）当弧长相同时， 转角越大曲线弯曲程 度越大。
5
2、弧微分
y
设函数f ( x )在区间( a , b ) 内具有连续导数 .
A
M
N T R
基点 : A( x0 , y0 ),
M ( x , y )为任意一点 ,
o
x0
x
x x
x
x增大的方向一致 ; 规定：(1) 曲线的正向与
( 2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号, 相反时, s取负号.
9( x 2 2 xy 8 y 2 2 x 14 y 3) y 0 2 (8 y x 7)
k
y (1 y )
3 2 2
0
所以曲线必为直线 .
14
4
弧段MM 的平均曲率为K . s
注意(1)直线的曲率处处为零。
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的 倒数,且半径越小曲率越大.
如图所示 , 有
s R
1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 愈小, 则K愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K愈小 , 圆弧弯曲得愈小 ;
有 arctan y,
y d dx, 2 1 y
高等数学曲率
yxddyxcRss2cin dd
1
R sin3
K
y
3
R
1 sin
3
3
(1 y2 )2 ( 1 cot 2 ) 2
1 csc 2
R
3
(csc 2 ) 2
1 . R
12
例3 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率
解 y2a xb, y2a,
D
1
k
yf(x)
在凹的一侧取一点D，使
DM 1 , 以D为圆心， o
K
M
x
为半径作圆(如图)，称此圆为曲线在点M处的曲率圆.
D曲率中 , 心 曲率半. 径
15
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的
曲率互为倒数.
即
1 K
,K
1
.
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点
复习
1.判定凹凸性的方法：
如果 f (x) 在 (a,b)内具有二阶导数，若在(a,b)内 (1) f(x)0,则曲线 f (x)在(a,b)内是凹的. (2) f(x)0,则曲线 f (x) 在 (a,b)内是凸的.
说明：拐点的横坐标可能是 y 0的根， 也可能是 y不存在的点.
弧微分公式
4
ds 1 y2dx
y
变形 ds
1
( dy)2 (d x)2
dx
(dx)2(dy)2
M
M0
ds
M
Tdy
R
dx
o
则有 (ds)2(dx)2(dy)2.
x0
x
xx x
弧微分的几何意义：ds 就是曲线 y f(x)上点M(x, y)
高等数学：第六节 曲率
四、作业
作业19
30
5
一、曲率及其计算公式
设曲线光滑的(即对应函数具有连续导数),动点
沿曲线从点M1移动到点M2 , 切线方向从M1T1转到
M2T2 , 切线的转角称为曲线弧M1M2的转角.
可用曲线弧 M1 M 2的转角定量刻画曲线的弯曲:
转角大的弯曲程度大; y
T2
M2
T1
P0
M1
x
6
M1M2与N1 N2的转角相同, 但由于
解
由y
1 得y' x
1 x2 ,
y''
2 x3 .
(1,1)处的曲率为
| y'' |
2
2
k [1 ( y' )2 ]3/ 2 [1 (1)2 ]3/ 2 2 .
x1
13
直角坐标系下：
k= d
ds
| y'' | [1 ( y' )2 ]3/ 2 .
曲线:由参数方程表示： x (t), y (t)
ds
10
容易求出:
圆在每一点处的曲率都等于其平均曲率 1 , R
这与我们的直观感知一致: 圆上各点处的弯曲程度一样; 圆的半径越小,曲率越大,从而 弯曲得越厉害.
11
设曲线C:y f ( x), f 二阶可导,则曲线C在M( x, y)处的
切线斜率为y' tan, (为切线倾斜角),
y'' sec2 d ,
y
(t)
| r 2 2r '2 rr'' | k (r 2 r'2 )3/ 2
极坐标式曲线 r r( )
高等数学典型例题与解法(一)01-第38讲 曲率与曲率半径_38
d 些= 亜
fcsc2t —2sint
孜=无=克赢=一乎毗
d%2 dx
dt
dt
____________
从而，曲率K= 伊〃 I g— 10 g_
3, 10
5 4sin3t"
(1 _|_ y，2)a (4sin2t + 25cos2*)2 (4 + 21cos^)2
当cost = 0即％ = 0时曲率最大，当cost = ±1即工=±2时曲率最小.
K="
3,
(1+門2
NATIONAL UNIVERSITY OF DEFENSE TECHNOLOGY'
r
国防科学技术大学
第38讲曲率与曲率半径
(3)曲率半径与曲率中心
____
过曲线上。上点M作一个与其相切的圆(即它在
点M处与曲线有公共 切线)，使该圆与曲线。 线在在点点MM处处有的相曲同率的圆凹，向其和圆曲心率和，半称径这分个别圆称为曲 为曲线C在点M处的曲率中心和曲率半径.
N«3I Mvtniey of Maw
高等数学典型例题与解法（一）
第38讲曲率与曲率半径
理学院李建平教授
主要内容
第38讲曲率与曲率半径
i弧微分平面光滑曲线的弧长微分(弧微分)在几何上是用切线长 作为曲线长的一种局部线性近似.
⑴平面光滑曲线C\y = y(x)的弧微分
ds = 1 + y,2dx.
国防科学技术大学
第38讲曲率与曲率半径
2、曲率曲率是曲线的切线的转角关于弧长的变化率.
(1)曲率定义 设M是光滑曲线Gy = y(x)上一定点，N是。上
异于M的任意一点.设弧段标力的长度为4s , 设 点M处的切线转动到点N处的切线位置时, 切线 转过的角度为，如果极限
《高等数学》 详细上册答案(一--七)
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
高等数学：第六节 曲率
四、作业
作业19
30
21
例4 求曲线y ln x与x轴交点处的曲率半径.
解 曲线y ln x与x轴的交点为M (1, 0). 在交点M处
的曲率为
| y'' |
1
k( x) [1 ( y' )2 ]3/ 2 2
. 2
曲率半径为R 1 2 2. k
22
三、小结
平均曲率 单位弧长的弧段上的切线转角, 即
k .
基点,
点M
是C
上某定点M
的
0
M
•
临近点. 又设M0、M处对应的弧长
M0
C P0 •
和倾斜角分别为s、s s和、 O
x
.
当点M沿曲线C趋于点M0时(此时s 0), 若平均曲率k
的极限存在, 则称此极限为曲线C在M0处的曲率, 记做k, 即
k= lim k lim d .
x0
MM0 s
当曲线y f ( x)在点M( x, y)处的曲率为k(k 0)时, 就可以通过半径为1/ k的圆, 将弯曲程度形象的表示 出来.
20
设曲线y f ( x)在点M（x，y)处的曲率为k(k 0), 在点M处的法线上取线段MC，使 MC ＝1 / k R. 以C为圆心,R为半径作圆,此圆称为曲线y f ( x) 在点M处的曲率圆. C称为曲线y f ( x)在点M处 的曲率中心. 曲率圆的半径R 1 / k称为曲线y f ( x) 在点M处的曲率半径.
dx
d
y''
y''
dx 1 tan2 1 ( y' )2 ,
转角的微分为d
y'' 1 ( y')2