高等数学导数应用(三)曲率.
导数的应用(曲率)专题
导数的应用(曲率)专题简介曲率是计算曲线弯曲程度的一种数学概念，它在许多领域中有着广泛的应用。
其中，导数是计算曲率的关键工具之一。
本文将介绍导数在曲率计算中的应用，并且通过一些例子来帮助理解。
导数与曲线的切线首先，我们来回顾一下导数的定义。
在数学中，导数用于描述一个函数在某一点的变化率。
对于一条曲线而言，我们可以通过计算其导数来获得该曲线在某一点上的切线的斜率。
举个例子，考虑一个函数 f(x) = x²。
我们可以通过求导数 f'(x) = 2x 来得到该函数在任意一点的斜率。
然后，我们可以利用该斜率来画出曲线在该点上的切线。
这样，我们就利用导数的概念来描述了曲线的局部特征。
曲率的计算有了切线的概念，我们就可以进一步讨论曲率的计算了。
曲率可以理解为曲线在某一点上的弯曲程度。
在二维平面中，曲率的计算公式为K = |dφ / ds|其中，dφ表示曲线切线与 x 轴正方向的夹角的变化量，ds表示曲线在该点的弧长。
对于一条曲线而言，我们可以通过计算其各个点上的切线的斜率的变化量来获得dφ，然后将其除以对应的弧长 ds 即可得到相应的曲率 K。
曲率的应用曲率在许多领域中有着广泛的应用。
以下是其中一些典型的应用场景：1. 工程学：曲率可以用来描述物体表面的弯曲程度，因此在机械工程、航空航天等领域中具有重要的应用。
2. 地理学：地球表面是一个曲面，而曲率可以用来描述地理地形的变化情况，对于地理学家来说，曲率是研究地球表面形态的重要工具。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，曲线和曲面的绘制是基础操作之一，而曲率是计算曲线和曲面的重要参数。
4. 物理学：在物理学中，曲率可以用来描述力场的变化情况，对于研究粒子运动和能量传递等问题具有重要意义。
总之，曲率作为导数的应用之一，在许多领域中都有着重要的作用。
通过计算曲线的导数和利用导数的概念来描述曲线的局部特征，我们可以更深入地理解和分析曲线的性质和变化。
高数--曲率
主讲人： 苏本堂
例5 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用
砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径
y0.8x y0.8
y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得
K
| y| (1 y2)3
2
08
抛物线顶点处的曲率半径为
r=K-11.25 因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径 不得超过2.50单位长
1 y2
由此得弧微分公式:
ds 1 y2 dx 或者
ds (dx)2 (dy)2
山东农业大学
高等数学
二、曲率及其计算公式
1、曲率的定义
主讲人： 苏本堂
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
D1
D2
M2 DS2 M3
DS1
M1
DS1
M
M
N
DS2 N
D
弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段短的弯曲大 问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？
提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表 达弧段的平均弯曲程度.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 Ds , 对应切线
转角为 D , 定义
弧段 Ds上的平均曲率
K D
Ds
点 M 处的曲率
K lim D d
Ds0 Ds
ds
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
注:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲
率互为倒数.
即R
1 ,k
1
.
导数的应用曲率与曲率半径
导数的应用曲率与曲率半径导数的应用：曲率与曲率半径导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理学、经济学等领域也有重要的作用。
其中，导数的应用之一就是计算曲线的曲率及曲率半径，这在几何学中有着重要的意义。
一、导数与曲线的切线关系在探讨导数与曲率的关系之前，我们先来了解一下导数与曲线的切线关系。
在函数图像中，如果函数在某一点的导数存在，那么此点的切线斜率就等于导数的值。
也就是说，导数可以描述曲线在某一点的切线的斜率。
二、曲率的概念及计算方法曲率是描述曲线弯曲程度的量，它衡量的是曲线上某一点处曲线弯曲的程度。
曲率越大，说明曲线变化越明显，曲率越小，说明曲线变化较为平缓。
计算曲线的曲率可以通过导数来实现。
对于给定的曲线 y=f(x)，我们可以通过以下公式来计算曲线在某一点 x 处的曲率 K：K = |f''(x)| / (1+f'(x)²)^(3/2)其中，f'(x) 表示函数 y=f(x) 的一阶导数，f''(x) 表示函数 y=f(x) 的二阶导数。
三、曲率半径的概念及计算方法曲率半径是描述曲线弯曲程度的另一个量，与曲率密切相关。
曲率半径 R 是曲线在某一点的曲率的倒数，表示曲线弯曲程度的反比。
计算曲线的曲率半径可以通过曲率来实现。
对于给定的曲线 y=f(x)，我们可以通过以下公式来计算曲线在某一点 x 处的曲率半径 R：R = 1 / K其中，K 表示曲线在某一点处的曲率。
四、曲率与曲率半径的几何解释曲率和曲率半径的几何解释有助于我们更好地理解这两个概念。
在一个平面曲线上，曲率越大，说明曲线越弯曲，曲率半径就越小；曲率越小，说明曲线越平坦，曲率半径就越大。
当曲率半径 R 等于无穷大时，曲线是一条直线；当曲率半径 R 等于零时，曲线是一个尖点或一个曲率不连续的点。
五、导数、曲率和曲率半径的应用领域导数、曲率和曲率半径的应用领域广泛。
《高等数学曲率》课件
曲率与生物形态
在自然界中，许多生物形态都呈现出 曲率的特点。例如，鸟类的飞行轨迹 、河流的流向、植物的生长方式等都 与曲率密切相关。通过研究这些生物 形态的曲率特点，可以更好地理解自 然界的规律和原理。
VS
曲率在生物形态中的应用还体现在仿 生学领域。通过模仿自然界中生物的 形态和运动方式，可以创造出更加高 效、环保和可持续的交通工具、建筑 材料等。例如，仿生学中的“蜂巢” 结构就是利用了曲率的特点，具有很 好的抗压和抗震性能。
曲率与建筑设计
在建筑设计中，曲率也被广泛应用。通过合理利用曲率，可以创造出更加美观、舒适和功能性的建筑。例如，在建筑设计时 可以利用曲率来优化建筑的外观和结构，提高建筑的稳定性和安全性。
曲率还可以用于建筑内部的布局和空间设计。例如，利用曲率可以将建筑的内部空间划分为不同的区域，提高建筑的实用性 和舒适性。
曲率研究展望
曲率与几何拓扑关系
未来研究可以探索曲率与几何拓扑之间的关系，例如研究 曲率在曲面分类中的作用，以及曲率在流形学习等方面的 应用。
高维空间曲率研究
随着高维几何的发展，对高维空间中曲率的研究也日益重 要，未来可以进一步探讨高维空间中曲率的性质和计算方 法。
数值计算与模拟
随着计算机技术的发展，数值计算和模拟已经成为研究曲 率的重要手段，未来可以借助更先进的计算方法和模拟技 术，对曲率进行更精确和深入的研究。
03
曲率应用
曲率在几何学中的应用
曲率在几何学中有着广泛的应用，它描述了曲线在某一点的 弯曲程度。在平面几何中，曲率用于描述曲线在某一点的弯 曲程度，而在球面几何中，曲率则用于描述曲面在某一点的 弯曲程度。
在几何学中，曲率的概念可以帮助我们更好地理解空间中的 几何形状，以及它们之间的相互关系。例如，在研究行星运 动时，曲率的概念可以帮助我们理解行星轨道的形状和大小 。
高等数学(理工科)课件第3章导数的应用
0
0
极
f (x) ↗ 大
值
极大值 f (1) 10,
极
↘
小
↗
值
极小值 f (3) 22.
高等数学应用教程 3.2.1 函数的极值及其求法
解法2 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) f (x) 6x 6 6(x 1)
令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 由于 f (1) 12 0， 则 f (1) 10为极大值 由于 f (3) 12 0， 则 f (3) 22为极小值
1、求出函数 f（x）所有的临界点（驻点和不可导点）；
2、计算各临界点的函数值和区间端点的函数值；
3、比较各函数值的大小，其中最大的就是函数 f(x)在区 间[a, b]上的最大值，最小的就是函数 f(x)在区间[a, b] 的最小值.
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值 例3
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值
2
arctan
1 n
n
( n 为正整数)?
高等数学应用教程
二、 型未定式
定理3.3.2 如果函数 f (x)和g (x)满足：
2)
f
( x)、g ( x)
，在
o
U(x0 )
内可导，且
f (x)
3) lim
A
xx0 g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xx0 g(x) xx0 g(x)
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
导数的应用曲线的弧长与曲率计算
导数的应用曲线的弧长与曲率计算导数的应用——曲线的弧长与曲率计算曲线是几何学中的重要概念，我们在日常生活中经常会遇到各种各样的曲线形状。
在数学中，对于曲线的研究和计算也有很多有趣的应用。
其中，导数的应用可以帮助我们计算曲线的弧长和曲率，进一步深化我们对曲线性质的理解。
本文将介绍导数在曲线的弧长和曲率计算中的具体应用。
一、曲线的弧长计算在数学中，曲线的弧长是指曲线上两点之间的实际距离。
我们可以通过导数来计算曲线的弧长。
假设有一条平面曲线y=f(x)，我们希望计算曲线上从点A(x=a,y=f(a))到点B(x=b, y=f(b))的弧长。
首先，将曲线分割成无穷小的线段，假设一个无穷小线段的长度为ds。
根据勾股定理，该线段的长度可以表示为：ds = √(dx² + dy²)由导数的定义可知，dy/dx为曲线在某一点的斜率。
由此得到dy=dy/dx*dx。
将dy代入上式中，得到：ds = √(1+(dy/dx)²)*dx对上述表达式进行积分运算，就可以得到整个曲线上从A点到B点的弧长L的计算公式：L = ∫[a,b]√(1+(dy/dx)²)dx通过上述公式，我们可以使用导数来计算曲线上任意两点之间的弧长。
二、曲线的曲率计算曲率是指曲线在某一点上的弯曲程度，可以反映曲线的灵活性和形状。
我们可以通过导数来计算曲线的曲率。
假设有一条平面曲线y=f(x)，我们希望计算曲线在点P(x, y)处的曲率。
曲率的计算公式为：κ = |dy/dx|/√(1+(dy/dx)²)³其中，|dy/dx|表示曲线在该点的斜率的绝对值。
曲率计算的实际应用场景非常广泛。
例如，在道路设计中需要考虑道路的弯曲程度，通过曲线的曲率计算可以帮助工程师设计出更符合交通规范和行车安全的道路。
通过导数的应用，我们可以结合曲线的弧长和曲率计算，更深入地研究和理解曲线的各种性质。
总结：在数学中，导数的应用可以帮助我们计算曲线的弧长和曲率，进一步深化对曲线性质的理解。
高等数学 第3章 第九节 曲率
曲线的弯曲程度与下列两个量有关：
（1）切线转过的角度； （2）弧段的长度。 曲率：单位弧长上切线所转过的角度。
M1M2 N1N2
1 2
3
设 MM'的长度为
切线转过的角度为
平均曲率：
s , .
s
MM '的平均弯曲程度
K
s
y
M
•
s
M
M0
•
•
O
x
曲线在点M处的曲率：
K lim s0 s
x,
y
相应的有向弧段的值
s有增量 s,
s M 0 M M 0 M MM
s ?
x
y f x
M •
M0
y
• M•
x
s s MM MM MM o
x x x MM x
MM
MM
xs2与x2x总y是2 同号MM的MM
1 y 2 x
ds
lim
s
lim
MM
1
y
2
dx x0 x x0 MM
ds y
dx
3
1 y2 2
ds 1 y2 dx
d ?
dx
6
设曲线的参数方程为
x (t)
y
(t
)
't "t "t 't
K
'2 t '2 t 3/ 2
例1 计算 xy 1 在点 1,1 处的曲率。
解
y 1, x
y
1 x2
,
y
2 x3
.
y 1, y 2.
平均曲率的极限
若 lim 存在，则
高等数学曲率
yxddyxcRss2cin dd
1
R sin3
K
y
3
R
1 sin
3
3
(1 y2 )2 ( 1 cot 2 ) 2
1 csc 2
R
3
(csc 2 ) 2
1 . R
12
例3 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率
解 y2a xb, y2a,
D
1
k
yf(x)
在凹的一侧取一点D，使
DM 1 , 以D为圆心， o
K
M
x
为半径作圆(如图)，称此圆为曲线在点M处的曲率圆.
D曲率中 , 心 曲率半. 径
15
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的
曲率互为倒数.
即
1 K
,K
1
.
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点
复习
1.判定凹凸性的方法：
如果 f (x) 在 (a,b)内具有二阶导数，若在(a,b)内 (1) f(x)0,则曲线 f (x)在(a,b)内是凹的. (2) f(x)0,则曲线 f (x) 在 (a,b)内是凸的.
说明：拐点的横坐标可能是 y 0的根， 也可能是 y不存在的点.
弧微分公式
4
ds 1 y2dx
y
变形 ds
1
( dy)2 (d x)2
dx
(dx)2(dy)2
M
M0
ds
M
Tdy
R
dx
o
则有 (ds)2(dx)2(dy)2.
x0
x
xx x
弧微分的几何意义：ds 就是曲线 y f(x)上点M(x, y)
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y x 0 y x 0
2
1 2 ( x ) 0, 4 x 0 1 1 ( x ) , 2 2 x 0
x y 在 点 (0, 0) 处的曲率为 4 y 1 k1 2 3 2 (1 y ) 2
1 故 y 4 x 在点 (0, 0) 处的曲率为 k . 2
第六章 一元微积分的应用
本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
将它们代入曲率计算公式中即可得：
| y( ) x( ) y( ) x( ) | k 2 2 3 [( x( )) ( y( ) )]2
例4
求抛物线 y 2 4 x 在点 (0, 0) 处的曲率 .
解
如果用 y 2 x , 会出现导数的分母 2 y 2 的图形 为零的情形 , 但 y 4 x 与 x 4 2 2 y x 与 y 的图形关于 y x 相同 , 而 x 4 4 2 x 对称 , 故原问题可以转为求曲线 y 在 4 点 (0, 0) 处的曲率 .
2
在有些实际问题中 ,
若 | y | 1 , 则可取 k | y | .
现在问你一下 : (假设单位是统一的)
1 如果告诉你一条曲线在点 M 处的曲率为 , 5 你能想象出它的弯曲程度吗？
如果告诉你有一个半径为 5 的圆 , 你能想象 出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？ 由此及前面讲的例题1 , 你有什么想法？
称为曲线 y f ( x) 在点 M 处的曲率 .
又是平均值 极限的方法 .
例1
求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .
如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则 ︵ s || MM || R 1 O 故 lim lim s 0 R s 0 s R R 即圆上点的曲率处处相同： M 1 k R 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .
一、曲率的概念
y
y f ( x)
M
设 y f ( x) C 1.
点 M 沿曲线运动到点
M 时 , 相应地切线转
过角度 (称为转角),
M
O
弧的改变量为s . 称
k s
x
单位弧长上的转角
为 MM 的平均曲率. 其中, 与 s 具有方向性 .
︵
d k lim k lim s 0 s 0 s ds
2 2
解
d2 y b sin , 2 d
d y b cos b cot d x a sin a
b ( cot ) 2 d y b 1 a 2 3 2 (a cos ) dx a sin
故
ab y k 2 2 3 2 2 2 3 (a sin b cos ) 2 (1 y ) 2
1 k , R 5. 5
第六章 导数的应用
第 五 节 平面曲线的曲率
一、曲率的概念
二、曲率的计算公式
三、参数方程下曲率的计算公式 四、曲率圆、曲率中心
我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如 何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和 判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中 都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的 弯道设计 , 梁的弯曲程度 , 曲线形的切削工 具的设计等等 . 你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度 ?
O
y d dx 2 1 y
y d 1 d y 2 d x 1 y d x 1 y2
x
又
ds
2 1 y d x
d y 从而 k 3 2 ds (1 y ) 2
例2
求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 . y a , y 0 ,
当
kmax kmin
3
2 , 2
时 , k 取最小值
a 2 b b 2 a
三、参数方程下曲率的计算公式
x x( ) 若 , x( ) , y ( ) 二阶可导 , 则 y y ( )
d y y( ) , d x x( )
d 2 y y( ) x( ) y( ) x( ) 2 3 dx ( x ( ))
解
M
二、曲率的计算公式
设曲线方程为 y f ( x) , f ( x) 二阶可导 ,
则在曲线上点 M ( x, y ) 处的曲率为
y k 2 3 (1 y ) 2
证
y
y f ( x)
如图所示 , 曲线在
点 M 处切线的斜率为
M
M
y tan
故
arctan y
dk 3ab(a 2 b 2 ) sin cos 令 2 2 3 0, 2 2 d (a sin b cos ) 2
得驻点
3 0, , , , 2 2
dk 的符号依次为 因为 a b , 故在各象限中 d
Ⅰ
Ⅱ +
Ⅲ
Ⅳ +
由此可得 :
当 0 , 时 , k 取最大值
( x R ) .
解
y k 0 3 (1 y2 ) 2
直线上任意一点处的曲率均为零 .
俗话说 , 直线不弯曲 .
椭圆 x a cos , y b sin (a b 0) 上 ,
例3
哪一点曲率最大 , 哪 dx dy dx b cos , a sin , d d d x a cos , 2 d