高数导数的应用习题及答案
一、是非题：
１． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点
()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ．
错误 ∵不满足罗尔定理的条件。
２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得
极值．
错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3
x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴
的切线．
错误 ∵曲线3
x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值．
正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹．
正确
二、填空：
１．设()x bx
x a x f ++=2
ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a
（ 23
-
），=b （ 16
-
）．
∵()12++=
'bx x
a x f ，当2,121==x x 时，
012=++b a ，0142
=++b a ，解之得6
1,32-
=-
=b a
２．函数()()1ln 2
+=x x f 的极值点是（ 0=x ）．
∵()x x
x f 2112
?+=
'，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ；
0 +=x x f 在0=x 取得极小值。 ３．曲线()x x x f -=3 的拐点是（ ()0,0 ）． ∵()122 -='x x f ，()x x f 4=''，令()0=''x f ，得0=x 。 又0>x ，()0>''x f ；0 的拐点是()0,0。 ４．曲线()x x f ln =的凸区间是（ ()+∞,0 ）． ∵()x x f 1= '，()2 1x x f - =''，使()x f ''无意义的点为0=x 。 当0>x 时，()0<''x f ，∴曲线()x x f ln =的凸区间是()+∞,0。 ５．若212sin lim = -→x b e ax x ，则=a （ 1 ），=b （ 1 ）． ∵x b e ax x 2sin lim -→= -=→x b e ax x 2lim 2 1lim 2 10 = -→x b e ax x ，即1lim =-→x b e ax x 又当0→x 时，1-x e ～x ，∴1,1==b a 。 三、选择填空： １．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ c ． ） a ．()x e x f = b ．()x x g ln = c ．()2 1x x h -= d ．()????? =≠=0 01sin x x x x x k ∵()x e x f =在端点的值不相等；()x x g ln =在区间[]1,1-上不连续； 对()????? =≠=0 01sin x x x x x k 在0=x 不可导； ()2 1x x h -=在区间[]1,1-上满足罗尔定理的条件。∴c 是正确的。 ２．罗尔定理的条件是其结论的（ a ． ） a ．充分条件 b ．必要条件 c ．充要条件 ３．函数()?? ? ? ?+∞ <<≤≤-=x x x x x f 1110232 在区间[]2,0上（ a ． ） a ．满足拉格朗日定理条件 b ．不满足拉格朗日定理条件 ∵12 3lim 2 1=--→x x ，11lim 1=+→x x ，()()11lim 1 f x f x ==→ ∴函数()x f 在1=x 连续，函数()x f 在[]2,0上连续。 ∵()() 12311 1 2 -=-=' ??? ? ? ?-='==-x x x x f ，()11111 21 -=?? ? ?? -=' ? ? ? ??='==+x x x x f ∴函数()x f 在1=x 可导，函数()x f 在[]2,0上可导。 ∴函数()x f 在[]2,0上满足拉格朗日定理条件，因而a 是正确的。 ４．设()x f 在0x 有二阶导数，()00='x f ， ()00=''x f ，则()x f 在0x 处( a ． ) a ．不能确定有无极值 b ．有极大值 c ．有极小值 ５．设函数()x f 在()a ,0具有二阶导数，且()()0>'-''x f x f x ，则()x x f '在()a ,0内是（a ．） a ．单调增加的 b ．单调减少的 ∵()()()02>'-''=' ? ? ????'x x f x f x x x f （∵()()0>'-''x f x f x ） ∴ ()x x f '在()a ,0内是单调增加的，因而a ．是正确的。 ６．函数()x f 的连续但不可导的点（ d ． ） a ．一定不是极值点 b ．一定是极值点 c ．一定不是拐点 d ．一定不是驻点 四、计算题： １．0 sin lim tan x x x x x →-- 解 2 2 222 0000sin 1co s 122lim lim lim lim tan 1sec tan 2 x x x x x x x x x x x x x x →→→→--====----- 2．() x x e x x --→1cos 1lim 20 解 () () ()2 2 2 001c o s s i n l i m l i m l i m 1 1x x x x x x x x x x x x e →→→-= ==- ?-?- - ３．?? ? ??-- →111lim 0 x x e x 解 () 200 0001 11111l i m l i m l i m l i m l i m 1222 1x x x x x x x x x x e x e x e x x e x x x x e →→→→→-----??-== = == ?--?? ４．x x x sin ln lim 0 → 解 2 2 2 ln sin co t lim ln sin lim lim lim lim 11tan x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→===-=-=- ５．1 1sin lim 2 -+→x x x x 解 原式( )( ) 2 22 1lim lim lim 12x x x x x x →→→?+==== ６．sin lim sin x x x x x →∞ -+ 解 s i n 1s i n l i m l i m 1 s i n s i n 1x x x x x x x x x x →∞ →∞ --= =++ ７．()??? ? ??-++→x x x x x 11ln lim 2 10 解 ()()1122 00ln 1ln 11lim lim x x x x x x x x x x ++→→?? ++--= ? ?? ? ()()()2 1ln 1ln 111 lim lim 2x x x x x x x x →→++- ++-== ()0 ln 11lim lim 222 x x x x x x →→+=== ８．()2 1ln lim x x x +→ 解 ()2 2 ln 1lim lim x x x x x x →→+==∞ ９．()x x x +?+→1ln ln lim 0 解 ()00 00 02 1 ln lim ln ln 1lim ln lim lim 1 1x x x x x x x x x x x x →+→+→+→+ ?+====- 10． 求函数() 32 3 1x x y -?= 的极值． 解 定义域为R 对函数两边取自然对数得（不妨设01x <<） 12ln ln ln (1)3 3 y x x = + - 11233(1) y y x x '= + - 所以 12311333(1)3(1) x x y y x x x x ??--'=+= =??--?? 令0y '=，得13 x =；0x =，1x =为不可导点 列表 所以极大值为1 ()33 y = ，极小值为(1)0y =． 11．若直角三角形的一直角边与斜线之和为常数，求有最大面积的直角三角形． 解 设两直角边分别为x 、y ，则面积12 S xy = （0,0x y >>） 设常数为c ．由c x =+2 2 2c y x c -= ． 所以22 4c y S y c -= ?（0y c <<） 2 34 4c y S c '= - ，令2 304 4c y S c '= - = ，得y = ，所以3 c x = 驻点唯一，故当两直角边分别为 3 c 时直角三角形的面积最大． 12．求乘积为常数0a >，且其和为最小的两个正数． 解 设其中一正数为x 、则另一正数为a x ；设这两个正数之和为S ． a S x x =+（0x >） 2 1a S x '=- ，令0S '= ，得x = 13．设圆柱形有盖茶缸V 为常数，求表面积为最小时，底半径x 与高y 之比． 解 底半径为x ，则高y 为 2 V x π；设表面积为S ． 2 2 2 2222V V S x x x x x ππππ=+? =+ ； 2 24V S x x π'=-，令0S '= ，得x = 驻点唯一， 故当底半径x = y = 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x ２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 《高等数学》（理工类） 1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ?=-，则复合函数[()]y f x ?=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈ 2.已知0x +→时，arctan3x 与 cos ax x 是等价无穷小，则a =______；0arctan 33 lim 1,3x x a ax a →===； 3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21 (2cos 2sin 2)x x dx x -； 4．函数x xe y -=的拐点为____________；(2)0,2x y e x x -''=-==，2(2,2)e - 5．设函数?? ??? ≥ +<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2 π =x 处连续；12π-； 6. 设()y y x =是由方程20y e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y y e x -+ 7．函数x x e x f --= 111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+ ==1x =； 8 ．定积分 1 1 sin )x dx -? ＝________ ；22π=? 9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则∠AMB = _______；3π； 10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==r r ，则a b ?r r ＝_________。(751)-，， 二、计算题（每小题6分，共42 分） 1．求极限220ln(1)1 lim 2sin 2x x arc x →+=。 2．求极限3sin 0 sin lim x t x e dt x x →-?=3 2sin 03sin lim 61cos x x xe x →=- 3．设 2 sin ,x y e x =?求.dy dx 。2 (2sin cos )x dy e x x x dx =+ 一．选择题 1.若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于( ) A.k 2 B.k C.k 2 1 D.以上都不是 2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( ) A ．sinα B ．cosα C ．sinα+cosα D ．2sinα 3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(?1)=4,则a 的值等于( ) A ． 319 B ． 316 C ．3 13 D ．3 10 4.函数y =x sin x 的导数为( ) A ．y ′=2x sin x +x cos x B ．y ′= x x 2sin +x cos x C ．y ′= x x sin +x cos x D ．y ′=x x sin －x cos x 5.函数y =x 2cos x 的导数为( ) A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x 6.函数y =2 2x a x +（a >0）的导数为0，那么x 等于（ ） A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2 7. 函数y =x x sin 的导数为（ ） A ．y ′=2 sin cos x x x x + B ．y ′= 2 sin cos x x x x - C ．y ′=2cos sin x x x x - D ．y ′=2 cos sin x x x x + 8.函数y = 2 )13(1 -x 的导数是（ ） A ． 3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3 )13(6-x D ．－2)13(6 -x 一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 高等数学公式 1导数公式： 2基本积分表： 3三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π (高等数学)第四章导 数的应用 第四章导数的应用 第一节中值定理 一.费马定理 1.定义1.极值设函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内对一切?Skip Record If...?有 ?Skip Record If...?或（?Skip Record If...?）， 则称?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处取得极大值（或极小值）；并称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点）. 注意：极大值、极小值在今后统称为极值； 极大值点、极小值点在今后统称为极值点； 2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内有定义，且在?Skip Record If...?处可导,若 ?Skip Record If...?为极值，则必有：?Skip Record If...?. 证明：不妨设?Skip Record If...?为极大值。按极大值的定义，则?Skip Record If...?的某个邻域，使对一切此邻域内的?Skip Record If...?有?Skip Record If...?--------------（1） 所以，?Skip Record If...? ?Skip Record If...?--------（2） 又因为?Skip Record If...?存在，所以应有?Skip Record If...?---------（3） 故，由（2）式及（3）式，必有?Skip Record If...?. 1．注意：使?Skip Record If...?的点?Skip Record If...?可能为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：?Skip Record If...? 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数( )()2 0ln 10x f x x a x ≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = \ 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 。 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 第四章微分中值定理和导数的应用[单选题] 1、 曲线的渐近线为（）。 A、仅有铅直渐近线 B、仅有水平渐近线 C、既有水平渐近线又有铅直渐近线 D、无渐近线 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察渐近线计算. 因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。 [单选题] 2、 在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（） A、4 B、2 C、3 D、1 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题] 3、 ，则待定型的类型是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题] 4、 下列极限不能使用洛必达法则的是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则. [单选题] 5、 在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）. A、1 B、2 C、e D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题考察中值定理的应用。 [单选题] 6、 如果在内，且在连续，则在上（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在 上f(a)＜f(x)＜f(b). [单选题] 7、 的单调增加区间是（）. A、（0，+∞） B、（-1，+∞） C、（-∞，+∞） D、（1，+∞） 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题] 8、 （）. 高等数学中导数的求解及应用 摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导 数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着 承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求 解方法和在实际中的应用。 关键词：高等数学导数求解应用 导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习 导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如 何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子 说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。 一、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量 为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）- f（x0）。 若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记 为f`(x0)。 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处 的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数 为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线 y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义 并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。 二、导数的应用 1.实际应用 假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的 可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的 函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时 的产量。 解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和： 总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000 总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量） 总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入R(x)Γ=30 边际成本C(x)=0.02x+20 边际利润I(x)=-0.02x+20 令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用 如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无 穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商” 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝－1时，求 函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1- 成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->.（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区 间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3． 设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1 [,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得 12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数())0(2ln 2 >-+= a x a x x f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单 调区间； (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围； (Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[ ] e ,e 1 -上有两个零点， 求实数b 的取值范围． 6、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围． 1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ ）． ]1,1[,)()](2 ,23[,sin )()](4,2[,)4()()](0,2[,1)()(2-=-=--=-= x x f D x x f C x x f B x x f A π π 2、函数f(x)=sinx 在[0，π]上满足罗尔定理结论的ξ=（ ）． （A ） 0（B ） 2 π（C ）π （D ）23π 3、下列函数在[1，e]上满足拉格朗日定理条件的是（ ）． （A ）)ln(ln x （B ） x ln （C ）)2ln(x - （D ） x ln 1 4、函数f(x)=2x 2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日定理的ξ等于（ ）． (A) 4 3- (B)0 (C) 43 (D) 1 5、函数x x y 4 + =的单调减区间为（ ）． (A)(,2),(2,)-∞-+∞ (B) )2,2(- (C) (,0),(0,)-∞+∞ (D) (2,0),(0,2)- 6、若x 0为f(x)的极小点，则下列命题正确的是（ ）． (A) 0)(0='x f (B) 0)(0≠'x f (C) )(0x f '不存在 (D)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 7、若在（a ，b ）内，0)(,0)(<''<'x f x f ，则f(x)在（a ，b ）内为（ ）． (A)单调上升而且是凸的(B) 单调上升而且是凹的(C) 单调下降而且是凸的(D) 单调下降而且是凹的 8、曲线29623++-=x x x y 的拐点是（ ）． （A ）（1，6）（B ） （2，3）（C ） （2，4）（D ） （3，2） 9、()y f x =在(a,b)内可导，且12a x x b <<<，则下列式子正确的是（ ）． （A ）在12(,)x x 内只有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立； （B ）在12(,)x x 内任一点ξ处均有2121()()()f x f x f x x ξ-'=-成立；（C ）在1(,)a x 内至少有一点ξ，使 11()() ()f x f a f x a ξ-'=-成立； （D ）在12(,)x x 内至少有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立． 10、求下列极限时，（ ）可用罗必达法则得出结果． （A ）sin lim sin x x x x x →∞- +；（B ）22sin lim x x x →∞； （C ）lim x →+∞； （D ）lim (arctan )2x x x π→+∞-． 11、下列命题中正确的是（ ）． （A ）若0x 为()f x 的极值点，则必有0()0f x '=；（B ）若0()0f x '=，则0x 必为()f x 的极值点； （C ）若()f x 在(a,b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值； 1．已知函数d x b a c bx ax x f )23()(2 3 的图象如图所 示． （I ）求d c,的值；（II ）若函数)(x f 在2x 处的切线方程为0113y x ，求函 数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y 与m x x f y 5)(3 1的 图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4x 处切线的斜率为,2 3若函数 ]2 ) ('[3 1) (2 3 m x f x x x g 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f 2 3 )(的图象经过坐标原点，且在 1x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 ) 32() (2 a x f 恰好有两个不同的根，求 ) (x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意 R 、 ，求证：81|)sin 2() sin 2(|f f ． 4．已知常数0a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x ) (，x a x x g ln ) (2 ． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a ；（II ）讨论函数)(x g y 在区间),1(a e 上零点的个数． 5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x ．（I ）当1k 时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x 是函数2 ()(23)x f x x ax a e 的一个极值点（718 .2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,2 3[x 的最大值和最小值． 7．已知函数) 0,(,ln )2(4)(2 a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2 e e 上的最小值． 8．已知函数()(6) ln f x x x a x 在(2, )x 上不具有．．． 单调性．（I ）求实数a 的取值范围； （II ）若 ()f x 是()f x 的导函数，设 2 2()()6 g x f x x ，试证明：对任意两个不相 等正数 12x x 、，不等式121 238|() ()| ||27g x g x x x 恒成立． 《高等数学教程》第三章 习题答案 习题3-1 (A) 1. 34= ξ 2. 14 -= π ξ 习题3-2 (A) 1. (1)31 (2) 8 1 - 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31 e e --∞ 习题3-2 (B) 1. n a a a e e 21)8(1 )7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(-- 2. 连续 4. )(a f '' 5. )0()1(g a '= ??? ??? ?=+''≠--+'='0 ] 1)0([210 ]c o s )([]s i n )([)()2(2 x g x x x x g x x g x x f (3) 处处连续. 习题3-3 1. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f 2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f 3. )40(,) (cos 3]2)()[sin sin(31tan 4 523<<++ +=θθθθx x x x x x x 4. )10()] 4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(41243 2<<-+-- -+---+=θθx x x x x x 5. )10() (! )1(2132 <<+-++++=θn n x x O n x x x x xe 6. 645.1≈e 7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--?<≈?<≈R R 8. 12 1)3(2 1) 2(2 3 ) 1(- 习题3-4 (A) 1. 单调减少 2. 单调增加 3. .),2 3 ()23,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞ .),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞ .),21 ()21,()4(内单调增加 在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升；，在+∞n n 7. (1) 凸 (2) 凹 （3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹 8. ） ，（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ） ，（内凹，拐点内凸，在）在（22 2),2[]2,(2e +∞-∞ 内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞ ） ，（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞ ） ，（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 2 1),21[]21,(5e +∞-∞ ） ，（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞ 9. 2 9 ,32=-=b a 10. a = 3, b = -9, c = 8 11. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16 导数大题专题 题型一．求含参数的单调性问题 一． 讨论是否存在极值点问题 1.求f(x)= -ax+1的单调区间 2. 已知函数（其中）. （Ⅰ）若函数在点处的切线为，求实数的值； （Ⅱ）求函数的单调区间. 2()1 x a f x x +=+a R ∈()f x (1,(1))f 12 y x b =+,a b ()f x 3. 设函数. （Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值点. 二．讨论极值点的大小关系问题 1．设0>a 且a ≠1，函数x a x a x x f ln )1(2 1)(2++-=. （1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在（3，)3(f ）处切线的斜率； （2）求函数)(x f 的极值点。， 3()3(0)f x x ax b a =-+≠()y f x =(2,())f x 8y =,a b ()f x 2. 已知函数其中 (1)当时，求曲线处的切线的斜率； (2)当时，求函数的单调区间与极值。 3.（本小题13分） 设函数=[]． （Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，）处的切线与轴平行，求a ； （Ⅱ）若在x =2处取得极小值，求a 的取值范围． 4. 已知函数2()()x k f x x k e =-。求()f x 的单调区间； 22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈a R ∈0a =()(1,(1))y f x f =在点23 a ≠ ()f x ()f x 2(41)43ax a x a -+++e x (1)f x ()f x 三． 讨论极值点和定义域问题 1．已知函数.,1ln )(R ∈-=a x x a x f （I ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值； （II ）求函数)(x f 的单调区间 2.已知函数f (x )=In(1+x )-x +22 x x (k ≥0)。 (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。 第二章导数与微分练习题 一、填空题 1. 设)cos(cos 2sin x y x =，则='y _________________. 2. 设函数)(x y y =由方程0)sin(222=-++xy e y x x 所确定，则 =dx dy __________. 3. 设 2sin x e y = ，则=dy ____________________. 4．设函数()x y y =由方程0=+-y x e e xy 所确定，则()0y '= (),0y ''= 5 ．若函数2sec y t t =?+设 ，则=dy 。 6．曲线?????=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ，2214 t d y dx == 。 7. 设(0)0,'(0)4,f f == 则0()lim x f x x → =_______________. 8. ()(1)(2)(3)(4)(100)f x x x x x x x =-----，则=')1(f ________. 9. 设)]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy _____________. 二、选择题 1. 若???≥+<+=1 ,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2,2-=-=b a 2. 设0'()2f x =，则000()()lim h f x h f x h h →+--＝( ). A.不存在 B. 2 C. 0 D 、 4 3. 设)0()(32>=x x x f , 则=')4(f ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4. 设()f x 是可导函数，且0(1)(1)lim 12x f f x x →--=-，则曲线(x)f y =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ ） A.1 B.0 C.-1 D.-2 5. 设20()(),0x f x x g x x =≤? ＞，其中()g x 是有界函数，则()f x 在x =0处（ ） A.极限不存在 B.可导 C.连续不可导 D.极限存在，但不连续 第9次课2学时 第二章导数与微分 导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。 §2、1导数的概念 一、 引例 1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。 设曲线方程为 )(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线 在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。我们不难求 得PQ 的斜率为： 0) ()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→。 若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。 2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时， 位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？ 为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度 为 00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用0 0) ()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当 0t t →时， 0) ()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时， 二、导数的定义 综合上两个问题，它们均归纳为这一极限0 0) ()(lim x x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的 增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。 定义：设函数 )(x f y =在0x 点的某邻域内有定义，且当自变量在0x 点有一增量x ?（x x ?+0仍 在该邻域中）时，函数相应地有增量y ?，若增量比极限：x y x ??→?0lim 即0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→存在，就称函数 y f x =（）在x 0处可导，并称这个极限值为)(x f y =在0x x =点的导数，记为)(0x f '， 0x x y ='， x x dx dy =或 x x dx df =。 即0 00) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --='→等等，这时，也称)(x f y =在0x x =点可导或有导数，导数存在。大学高等数学上考试题库(附答案)
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