高数导数的应用习题及答案
导数及其应用测试题(有详细答案)
《导数及其应用》一、选择题1。
0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。
B. C 。
D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（ ）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56。
设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 （ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。
直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。
若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 （ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。
高考数学导数及其应用多选题(讲义及答案)附解析
高考数学导数及其应用多选题(讲义及答案)附解析一、导数及其应用多选题1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.3．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．4．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e >B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭ 1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.5．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．ff f <<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x=，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx-=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln 2ln ,42f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x =所以当0x <<()0g x '>，函数()g x在上单调递增；当x >()0g x '<，函数()g x在)+∞上单调递减，所以当x =()g x取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．6．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD 【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．7．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<< B ．3412a b ==2a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<； B 选项，3412a b ==log 12a =4log 12b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=；C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.8．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D ．11x ⎫∈-⎪⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x xy e-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题. 【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x xm e-=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x xy e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11 y xx=--，12xxye-=-的图像如图所示，注意到：当()0,1x∈时，11122xxx xx e---<-<-，由图可知，3201x x<<<，()2,1m∈--，从而()11112,1xx--∈--，解得115,1x⎛⎫--∈-⎪⎪⎝⎭，所以选项AD正确，选项C错误，又121310x x x x-=<<.故选：ABD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。
高二数学导数的实际应用试题答案及解析
高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数，则（）A．0B．1C．2D．【答案】C【解析】,.【考点】导数公式的应用.2.已知函数，则＝____________。
【答案】0；【解析】，所以；【考点】三角函数求导公式；3.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极小值点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】在极小值点处满足：,由图可知在右边第二个零点处满足条件，故A.【考点】极值点定义.4.已知．.（1）求函数在区间上的最小值；（2）对一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(3) 证明对一切，恒成立．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）对于研究非常规的初等函数的最值问题，往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性，利用单调性求函数在某个区间上的最值；（2）恒成立问题，一般都需要将常数和变量分离开来（分离常数法）转化为最值问题处理；（3）证明不等式恒成立问题，往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明，还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的，然后再证.试题解析：⑴，当，，单调递减，当，，单调递增． 1分（由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同，故对经行分类讨论.）①，t无解； 2分②，即时， 3分③，即时，在上单调递增，；所以 5分由题可知:,则.因对于,恒成立，故,设，则.单调递增，单调递减.所以，即.问题等价于证明(为了利用第（1）小问结论，并考虑到作差做函数证明不方便，下证的最值与最值的关系.)由（1）可知在的最小值是,当且仅当时取到.设,则,易得,当且仅当时取到.从而对于一切,都有恒成立.【考点】（1）含参量函数最值的讨论；（2）含参恒成立问题，参数取值范围；（3）利用倒数证明不等式.5.已知是的导函数，，且函数的图象过点．（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1）;（2）函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【解析】⑴注意到是常数,所以从而可求得;又因为函数的图象过点，所以点的坐标满足函数解析式,从而可求出m的值，进而求得的解析式．（2）由⑴可得的解析式及其定义域,进而就可应用导数求其单调区间和极值．试题解析：⑴，，函数的图象过点，，解得：函数的表达式为：（2）函数的定义域为，当时，；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【考点】1．函数的导数;2．函数的单调区间;3．函数的极值．6.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A．B．-1C．4D．2【答案】A【解析】对求导，知，令可得，解得.【考点】求导.7.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.8.函数在x=4处的导数= .【答案】.【解析】∵，∴，∴.【考点】复合函数的导数.9.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，单调递增区间有,，可得.【考点】由导数求函数的单调性.10.已知函数在上是单调递减函数,方程无实根，若“或”为真，“且”为假，求的取值范围。
高二数学导数的实际应用试题答案及解析
高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.设f′(x) 是f（x）的导函数，f′(x)的图象如下图,则f（x）的图象只可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由的图象可知：在区间(a,b)内恒成立，故知在区间(a,b)内f（x）是增函数，又由的图象可知：当x从a增大到b的过程中，的值选增大然后减小，由导数的意义可知函数的函数值先缓慢增加，后快速增加，最后又缓慢增加；符合这个情况的只有D；故选D．【考点】函数的导数．2.已知g(x)为三次函数f(x)＝x3＋x2－2ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是 ()【答案】D【解析】注意到原函数是三次函数,所以其导函数必为二次函数,再注意导函数与X轴的交点必为原函数的极值点,且导函数图象在X轴上方对应的范围内原函数必然是增函数, 导函数图象在X轴下方对应的范围内原函数必然是减函数,观察四个选择可知它们的图象只可能是D【考点】函数的导数与函数性质之间的关系.3.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因为函数在上单调递减，则在上即恒成立，等价于在上恒成立，所以。
故A正确。
【考点】用导数研究函数的性质。
4.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上是减函数，求的取值范围.【答案】（1）;（2）或.【解析】(I)求出当时函数的导数即切线斜率，代入点斜式；(II)求导解得函数的两个极值点和因为异号，分，，讨论.（1）当时，，又，所以.又，所以所求切线方程为，即.所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为，令，得或.当时，恒成立，不符合题意. 当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则解得.当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是或.【考点】1、导数及其应用；2、导数在研究函数中的应用.5.已知函数．（1）当在点处的切线方程是y=x+ln2时,求a的值．（2)当的单调递增区间是（1，5）时，求a的取值集合．【答案】(1);(2)．【解析】(1)利用导数的几何意义，先求,利用,解出;（2）函数的单调递增区间是，所以导函数的解集为，所以先求函数的导数，的解集为即的两个实根为或,根据根与系数的关系得到．（1）,,代入 5分（2）,的解集为即的两个实根为或,根据根与系数的关系得到,a的取值集合为 10分【考点】1．导数的几何意义；2．导数求函数的单调区间．6.分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时且的解集为（）A．（－2，0）∪（2，+∞）B．（－2，0）∪（0，2）C．（－∞，－2）∪（2，+∞）D．（－∞，－2）∪（0，2）【答案】A【解析】设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g（x）．=-F（x）．故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．故选D.【考点】利用导数研究函数的单调性．.7.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为s＝t2，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为 ()．A．2B．1C．D．【答案】C【解析】(Δt→0)．8.自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝gt2，t＝2时的瞬时速度为19.6，则g＝________.【答案】9.8【解析】＝2g＋gΔt.当Δt→0时，2g＋gΔt→2g.∴2g＝19.6，g＝9.89.某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件.（1）将一星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【答案】（1）；（2）当即商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大.【解析】（1）先写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低1元时，一星期多卖出5件”求出比例系数，即可得一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，也就是求出函数的极大值，从而得出定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大.试题解析：（1）依题意，设，由已知有，从而3分7分（2） 9分由得，由得或可知函数在上递减，在递增，在上递减 11分从而函数取得最大值的可能位置为或是，当时， 13分答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大 14分.【考点】1.函数模型及其应用；2.导数的实际应用.10.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交3元的管理费，预计当每件产品的售价为元（∈[7,11]）时，一年的销售量为万件．（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．【答案】（1）（ｘ）＝（ｘ－6），ｘ．（2）当每件产品的售价为8元时，分公司一年的利润最大，的最大值为32【解析】（1）（ｘ）＝（ｘ－6），ｘ． 4分（2）（ｘ）＝3（ｘ－12）（ｘ－8）,ｘ．当ｘ时，（ｘ）＞0，（ｘ）单增；当ｘ时，（ｘ）＜0，（ｘ）单减。
高二数学导数的实际应用试题答案及解析
高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数的图象在处的切线方程为，则的值是 .【答案】-1【解析】函数的图象在处的切线方程为，，，因此.【考点】导数的几何意义.2.已知函数的图像是下列四个图像之一,且其导函数的图像如右图所示,则该函数的图像是【答案】B【解析】由分析导函数的图像可知:原函数的从左向右一直是增函数，并且增长速度先是越来越快再越来越慢.【考点】导函数的应用.3.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中（1）大前提错误；（2）小前提错误；（3）推理形式正确；（4）结论正确你认为正确的序号为．【答案】(1)(3).【解析】该“三段论”的推理形式符合“S是P,M是S,M是P”的推理形式，所以推理形式是正确的；对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，且在的两侧，的符号相反，那么x=x是函数f（x）的极值点，所以题中所给的大前提是错误的；而小前提是正确的，结论是错误的.【考点】演绎推理.4.若，则等于（）A．－1B．－2C．1D．【答案】A【解析】因为，所以答案选A.【考点】导数的定义与应用5.函数的图象如图所示，则导函数的图象的大致形状是( )【答案】D【解析】由函数的图象知：先减再增，最后成为常数函数；故其导函数的函数值应先小于零，等于零，然后再大于零，最后又等于零；符合这种情况的只有Ｄ；故选Ｄ．【考点】函数的导数．6.已知点A(0，1)和点B(－1，－5)在曲线C：为常数)上，若曲线C 在点A、B处的切线互相平行，则 .【答案】7【解析】和在曲线上，又∵，曲线在两点的切线平行，∴，∴可解得，∴.【考点】导数的运用.7.设定义在上的可导函数的导函数的图象如右所示,则的极值点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】首先由得到此方程有四个根，同时在极值点的左右两侧满足异号，这样的极值点的个数为三个.故选C.【考点】函数极值点的判断方法.8.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.9.若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴.【考点】常见基本函数的导函数.10.已知函数的定义域为R，为的导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为【答案】（－2，3）【解析】由图可知：函数在单调递增，因此当时，；函数在单调递减，因此当时，，综上不等式的解集为（－2，3）.【考点】利用导数研究函数性质11.已知函数，（1）求在点（1,0）处的切线方程；（2）判断及在区间上的单调性；（3）证明：在上恒成立.【答案】(1);(2)详见解析;(3）详见解析.【解析】（1）首先求出切线斜率即f’（x）利用点斜式即可求出答案；（2）首先求出，判断在（1，+∞）是否大于零，判断g（x）在区间上的单调性，在求出的导数判断其在（1，+∞）是否大于零，即可得到在（1，+∞）上的单调性；（3）对不等式两边取对数，化简得，设函数将原问题转化为则在，求出H（x）的最小值大于0 即可.（1） 1分2分3分（2） 4分在上恒成立 6分在上单调递减在上单调递增 7分（3）即 8分设函数则在在上单调递增11分即在上恒成立 12分.【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.利用导数研究函数的单调性；3.不等式的证明. 12.已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(2－x)2成正比，比例系数为4．（1）写出今年商户甲的收益y(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式；（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．【答案】（1）y＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)（2）不能【解析】（1）根据收益等于单件利润与销售量的乘积，列等量关系.注意今年销售量等于原销售量与新增的年销量之和，另外还要注意交代函数定义域；y＝[1＋4(x－2)2](x－1)＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)．（2）本题实际需求本年收益范围，即需求函数y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2的值域，这可借助于导数研究.求导后可知函数图像先增后减再增，因此其最大值在极大值及处取到，比较大小知f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(2)＝1，即为往年的收益，所以商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．试题解析：解（1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x－2)2 (万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x－1)元，所以今年商户甲的收益y＝[1＋4(x－2)2](x－1)＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)． 4分（2）由（1）知y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2，从而y′＝12x2－40x＋33＝(2x－3)(6x－11)．令y′＝0，解得x＝，或x＝．列表如下：(1，)(，)(，2)＋0－0＋7分又f()＝1，f(2)＝1，所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．10分【考点】函数解析式，利用导数求函数最值13.自由落体运动的物体下降的距离h和时间t的关系式为h＝gt2，则从t＝0到t＝1时间段内的平均速度为________，在t＝1到t＝1＋Δt时间段内的平均速度________，在t＝1时刻的瞬时速度为________．【答案】g，g＋gΔt，g【解析】＝g.＝g＋gΔt.当Δt→0时，g＋gΔt→g.14.质量为10 kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物体的动能．【答案】运动开始后4秒时的动能为3 125 J【解析】＝3Δt＋25，当Δt→0时，3Δt＋25→25.即4秒时刻的瞬时速度为25.∴物质的动能为mv2＝×10×252＝3 125(J)15.直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求切点的坐标及a的值．【答案】，a＝.【解析】设切点A(x0，y)，＝3－2x0＋(3x－1)d＋d2→3－2x(d→0)．故曲线上点A处切线斜率为3－2x0，∴3－2x＝1，∴x0＝1或x＝－，代入C的方程得或代入直线l，当时，a＝0(舍去)，当时，a＝，即切点坐标为，a＝.16.（1）设函数，.求函数的单调递减区间；（2）证明函数在上是增函数.【答案】（1）（2）函数在上是增函数【解析】（1）由原函数求其导数得，令----3分减区间为 6分（2） --12分【考点】函数单调性的判定点评：求函数的单调增区间只需令导数大于零，求减区间只需令导数小于零，求解相应的不等式即可；证明单调性可通过证明导数大于零或小于零。
高三数学导数的实际应用试题答案及解析
高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数 ().（1）若,求函数的极值;（2）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】（1）参考解析；（2）①－1－e－1，②(－1,+∞)【解析】（1）由函数 ()，且，所以对函数求导，根据导函数的正负性可得到结论（2）①当时,对任意,都有成立，即时，恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x2－2x－ (x＞0)的最小值即可得到结论.②若存在,使.通过表示即可得到＝，所以求出函数u(x)＝(x＞1)的单调性即可得到结论.（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x)＝e x. 2分令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表(0,)(,＋∞)－↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝4. 4分（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 7分记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1. 9分解法二：因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以g(2)＝－e2＞0,因此b＜0. 5分g′(x)＝(1＋)e x＋(x－－2)e x＝．因为b＜0,所以：当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1 7分因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以(－1－b)e－1≥1,解得b≤－1－e－1因此b的最大值为－1－e－1. 9分②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． 11分因为a＞0,所以＝.设u(x)＝(x＞1),则u′(x)＝．因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞). 14分解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立. 11分设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x）≥0此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a－b因为存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立所以只要－a－b＜0即可,此时－1＜≤0 12分当b＞0时,令x0＝＞＝＞1,得u(x)＝b＞0,又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0,在(1,x)上必有零点即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此时＞0 13分综上有的取值范围为(－1,+∞)------14分【考点】1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.2.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴x＝(a＋b)．∵a<b，∴x∈，∴0<(a＋b)< ，∴1<<.3.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________.【答案】(1)；（2）2013.【解析】，，令，∴，∴∴对称中心为，∴，∴.【考点】1.新定义题；2.导数.4.已知，函数．（1）当时，写出函数的单调递增区间；（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值；（3）设，函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答，本题当时，函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成，画出其图象，容易判断函数的单调递增区间；（2）时，所以，这是二次函数，求其在闭区间上的最小值，一般要分类讨论，考虑对称轴和区间的相对位置关系，从而判断其单调性，从而求出最小值；（3）函数在开区间上有最大值和最小值，必然要使开区间上有极大值和极小值，且使极值为最值，由于函数是与二次函数相关，可考虑用数形结合的方法解答.试题解析：（1）当时，, 2分由图象可知，的单调递增区间为． 4分（2）因为，所以． 6分当，即时，； 7分当，即时，． 8分． 9分（3）， 10分①当时，图象如图1所示．图1由得． 12分②当时，图象如图2所示．图2由得． 14分【考点】含绝对值的函数、二次函数.5.设，当时，恒成立，则实数的取值范围为。
导数应用含答案
导数及其应用一、选择题1．曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π22．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋1n x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e3．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A ．(0，12)和(1，＋∞)B ．(0,1)和(2，＋∞)C ．(0，12)和(2，＋∞) D ．(1,2) 4．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式(x ＋1)f (x ＋1)＞f (x 2－1)·f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞) 5．函数y ＝x －2sin x ，x ∈[－π2，π2]的大致图象是( )6．若函数y ＝cos x ＋ax 在[－π2，π2]上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞) 7．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．－1＜a ＜1 D ．0＜a ＜128．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)二、填空题9．若函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝1n x －a ，若f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题11已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程.12已知函数f (x )＝ln x －ax .(1)若a ＞0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值．13已知函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x (a ∈R )．(1)若f (x )在(2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若f (x )在(0，e)内有极小值12，求a 的值.14已知f (x )＝a ln x ＋12x 2－x (a ∈R )．(1)若x ＝2是函数f (x )的一个极值点，求f (x )的最小值；(2)对任意x ∈(e ，＋∞)，f (x )－ax ＞0恒成立，求a 的取值范围．答案精析1．B [∵f ′(x )＝ln x ＋1， ∴f ′(1)＝1，又∵直线倾斜角的取值范围是[0，π)． ∴f (x )在(1，f (1))处的切线的倾斜角为π4.] 2．B [因为f (x )＝2xf ′(1)＋1n x ， 所以f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1.故选B.] 3．C [函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)， 令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x ＝(x －2)(2x －1)x ＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f (x )的单调递增区间是(0，12)，(2，＋∞)．]4．D [因为f (x )＋xf ′(x )＜0，所以[xf (x )]′＜0，故xf (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，又(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)·f (x 2－1)，所以x ＋1＜x 2－1，解得x ＞2.] 5．D [因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A ，B. 函数的导数为f ′(x )＝1－2cos x ， 由f ′(x )＝1－2cos x ＝0，得cos x ＝12， 又x ∈[－π2，π2]，所以x ＝±π3.当0＜x ＜π3或－π3＜x ＜0时，f ′(x )＜0，函数单调递减， 当π3＜x ＜π2或－π2＜x ＜－π3时，f ′(x )＞0，函数单调递增， 所以当x ＝π3时，函数取得极小值，当x ＝－π3时，函数取得极大值．故选D.] 6．D [y ′＝－sin x ＋a ，若函数在[－π2，π2]上是增函数， 则a ≥sin x 在[－π2，π2]上恒成立，所以a ≥1， 即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．]7．B [∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得a ＝x 2.又∵x ∈(0,1)， ∴0＜a ＜1.故选B.]8．D [∵f (2x )＝e 2x －e －2x －4x ，∴f ′(2x )＝2e 2x ＋2e －2x －4≥4e 2x ·e －2x －4＝0， f (2x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值．] 9．D [由题意知f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点， ∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)， ∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)， ∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.]10．B [f ′(x )＋f (x )x ＞0⇒xf ′(x )＋f (x )x ＞0⇒[xf (x )]′x ＞0，即[xf (x )]′x ＞0. ∵x ＞0，∴[xf (x )]′＞0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a ＞b ，得af (a )＞bf (b )，故选B.]11．C [ʃπ40cos2x cos x ＋sin x d x ＝ʃπ40cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x＝ʃπ40(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|π40＝2－1.] 12．B [由题意得，f ′(x )＝2ax ＋b ， ∵f ′(0)>0，∴b >0，又∵∀x ∈R ，都有f (x )≥0，∴a >0， ∴Δ＝b 2－4ac ≤0⇔ac ≥b 24⇒ac b 2≥14⇒a b ·c b ≥14，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝1＋a b ＋cb ≥1＋2a b ·c b ≥1＋214＝2，当且仅当a b ＝c b ＝12⇒a ＝c ＝12b >0时，等号成立， ∴f (1)f ′(0)的取值范围是[2，＋∞)，故选B.] 13．(－∞，2)解析 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，又f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，即a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2)． 14.π2解析 因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 所以f ′(x )＝0在[π6，π]上的解为x ＝π2. 又f (π6)＝π12＋32，f (π2)＝π2，f (π)＝－1，所以函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在[π6，π]上的最大值为π2. 15．[－1，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝ln x －a ，且f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∴函数f (x )＝ln x －a ＜x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ＞ln x －x 2，令h (x )＝ln x －x 2，有h ′(x )＝1x －2x ， ∵x ＞1， ∴1x －2x ＜0，∴h (x )在(1，＋∞)上为减函数， ∴当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜h (1)＝－1， ∴a ≥－1. 16．[2e －2，＋∞)解析 当x ＞0时，f (x )＝e 2x 2＋1x ＝e 2x ＋1x ≥2e 2x ·1x ＝2e ，当且仅当x ＝1e 时取等号，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )有最小值2e.因为g (x )＝e 2x 2e x ，所以g ′(x )＝e 2(2x e x －x 2e x )e 2x ＝－e 2x (x －2)e x.当0＜x ＜2时，g ′(x )＞0，则函数g (x )在(0,2)上单调递增，当x＞2时，g′(x)＜0，则函数g(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以当x＝2时，函数g(x)有最大值g(2)＝4，则当x1，x2∈(0，＋∞)时，f(x2)min＝2e＞g(x1)max＝4.因为g(x1)k≤f(x2)k＋1恒成立，且k＞0，所以kk＋1≥42e，所以k≥2e－2.17．解(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)．∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)·(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.18．解(1)由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1x＋ax2＝x＋ax2，a＞0，显然f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由(1)可知，f′(x)＝x＋a x2.①若a≥－1，则当x∈(1，e)时，x＋a＞0，即f′(x)＞0，故f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝－a＝32，所以a＝－32(舍去)．②若a≤－e，则当x∈(1，e)时，x＋a＜0，即f′(x)＜0，故f(x)在[1，e]上为减函数，所以f(x)min＝f(e)＝1－ae＝32，所以a＝－e2(舍去)．③若－e＜a＜－1，令f′(x)＝0，得x＝－a，当1＜x＜－a时，f′(x)＜0，f(x)在(1，－a)上为减函数；当－a＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)在(－a，e)上为增函数．所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32， 所以a ＝－ e. 综上所述，a ＝－ e.19．解 (1)∵f (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋ax ≥0在(2，＋∞)上恒成立，即x 2－(a ＋1)x ＋a ≥0在(2，＋∞)上恒成立， 即(1－x )a ＋x 2－x ≥0在(2，＋∞)上恒成立， 即(1－x )a ≥x －x 2在(2，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 在(2，＋∞)上恒成立． ∴实数a 的取值范围是(－∞，2]． (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －a )(x －1)x.①当a ＞1时，令f ′(x )＞0，结合f (x )定义域解得0＜x ＜1或x ＞a ， ∴f (x )在(0,1)和(a ，＋∞)上单调递增，在(1，a )上单调递减， 此时f (x )极小值＝f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a ， 若f (x )在(0，e)内有极小值12，则1＜a ＜e ， 但此时－12a 2－a ＋a ln a ＜0与f (x )＝12矛盾．②当a ＝1时，此时f ′(x )恒大于等于0，不可能有极小值．③当a ＜1时，不论a 是否大于0，f (x )的极小值只能是f (1)＝－12－a ， 令－12－a ＝12，即a ＝－1，满足a ＜1. 综上所述，a ＝－1.20．解 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ， 所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .从而F (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d －(3x 2＋2bx ＋c ) ＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x ＋(d －c )，由F (x )是一个奇函数，所以F (0)＝0，F (－x )＝－F (x )， 得d －c ＝0，b －3＝0，故b ＝3，d ＝c .又由F (1)＝－11可得1＋(b －3)＋(c －2b )＋(d －c )＝－11， 即b －d ＝9，所以d ＝c ＝－6.(2)由(1)知F (x )＝x 3－12x ，从而F ′(x )＝3x 2－12， 令3x 2－12＝0，得x ＝±2，由F ′(x )＝3x 2－12＞0，得x ＞2或x ＜－2， 由F ′(x )＝3x 2－12＜0，得－2＜x ＜2.故(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数F (x )的单调递增区间，(－2,2)是函数F (x )的单调递减区间．F (x )在x ＝－2时取得极大值，极大值为16， F (x )在x ＝2时取得极小值，极小值为－16. 21．解 f ′(x )＝cx ＋x ＋b ＝x 2＋bx ＋c x .因为f ′(1)＝0，所以b ＋c ＋1＝0， f ′(x )＝(x －1)(x －c )x且c ≠1. (1)因为x ＝1为f (x )的极大值点，所以c ＞1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当1＜x ＜c 时，f ′(x )＜0； 当x ＞c 时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，(c ，＋∞)；单调递减区间为(1，c )． (2)①若c ＜0，则f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 若f (x )＝0恰有两解，则f (1)＜0，即12＋b ＜0. 所以－12＜c ＜0.②若0＜c ＜1，则f (x )极大值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋bc ， f (x )极小值＝f (1)＝12＋b .因为b ＝－1－c ，所以f (x )极大值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0. f (x )极小值＝－12－c ＜0，从而f (x )＝0只有一解． ③若c ＞1，则f (x )极小值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c－c－c22＜0.f(x)极大值＝－12－c＜0，则f(x)＝0只有一解．综上，使f(x)＝0恰有两解的c的取值范围为(－12，0)．22．解(1)f′(x)＝ax＋x－1.由f′(2)＝0，得a＝－2，此时f′(x)＝－2x＋x－1＝x2－x－2x，可知，f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝－2ln2.(2)由f(x)－ax＝a ln x＋12x2－x－ax＞0在(e，＋∞)内恒成立，又因为x∈(e，＋∞)，所以x－ln x＞0，因而a＜12x2－x x－ln x.设g(x)＝12x2－xx－ln x，x∈(e，＋∞)．因为g′(x)＝(x－1)(x－ln x)－(1－1x)(12x2－x)(x－ln x)2＝(x－1)(12x＋1－ln x)(x－ln x)2，当x∈(e，＋∞)时，x－1＞0，令r(x)＝12x＋1－ln x，则r′(x)＝12－1x(x＞e)，所以r′(x)＞0，所以r(x)在(e，＋∞)上单调递增，所以对任意x∈(e，＋∞)，r(x)＞r(e)＝e2＞0.所以g′(x)＞0，所以g(x)在(e，＋∞)上为增函数，所以a≤g(e)＝e2－2e 2(e－1).。
高等数学课后习题及答案(共11单元)03导数的应用
习题3-11．验证下列函数在指定区间上是否满足拉格朗日中值定理： （1）25)(23-+-=x x x x f ，]1,0[∈x ； （2）x x f ln )(=，],1[e x ∈； （3）32)(x x f =，]2,1[-∈x ； （4）22)(xxx f -=，]1,1[-∈x . 答案：（1）25)(23-+-=x x x x f ，]1,0[∈x解 函数25)(23-+-=x x x x f 在闭区间]1，0[上连续，在开区间()10，内可导，并且312501)0()1(-=---=--）（）（f f .由于1103)(2+-='x x x f ，所以令311032-=+-x x ，解此方程得3135±=x ，这说明在)1,0(内有3135-=ξ，使得3)(-='ξf .（2）x x f ln )(=，],1[e x ∈解函数x x f ln )(=在闭区间]1[e ，上连续，在开区间()e ，1内可导，并且111011)1()(-=--=--e e e f e f .由于x x f 1)(='，所以令111-=e x ，解此方程得1-=e x ，这说明在),1(e 内有1-=e ξ，使得11)(-='e f ξ.（3）32)(x x f =，]2,1[-∈x解 函数32)(x x f =在闭区间]2，1[-上连续，在开区间()21，-内可导，并且314)1(2)1()2(3-=----f f .由于332)(x x f ='，所以令3143233-=x ，解此方程得33)142(-=x ，这说明在)2,1(-内有33)142(-=x ，使得314)(3-='ξf .（4）22)(x xx f -=，]1,1[-∈x 解 函数22)(x x x f -=在闭区间]1，1[-上不连续，所以22)(x xx f -=在]1，1[-不满足拉格朗日中值定理.2．用洛必达法则求下列极限：（1）bx axx sin tan lim 0→； （2）x e e x x x sin lim 0-→；（3）ax ax a x --→sin sin lim ； （4）23)3ln(lim 222+--→x x x x ；（5）x x x ln 1lim1-→； （6）x x x 3cos sin 21lim 6-→π；（7）xx x 1sin arctan 2lim -∞→π； （8）xx x 1arctan 2lim 0-+→π；（9）x x x ln lim+∞→； （10）xxx cot ln lim 0→；（11）xx x sin ln ln lim 0+→； （12）ax b x e x ∞→lim （a ，0>b ）.答案：（1）bx axx sin tan lim0→解 这是0型未定式，所以应用洛必达法则得ba bxb ax a bx ax x x ==→→cos sec lim sin tan lim 200. （2）xe e x x x sin lim 0-→解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 2111cos lim sin lim 00=+=+=--→-→x e e x e e x x x x x x . （3）a x ax a x --→sin sin lim解 这是0型未定式，所以应用洛必达法则得a x x a x a x a x a x a x cos cos lim 010cos lim sin sin lim ==--=--→→→. （4）23)3ln(lim 222+--→x x x x解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 41122)32)(3(2lim 23)3ln(lim 22222=⨯⨯=--=+--→→x x x x x x x x . （5）x x x ln 1lim 1-→解 这是00型未定式，所以应用洛必达法则得1lim 11lim ln 1lim 111===-→→→x xx x x x x . （6）x xx 3cos sin 21lim6-→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 33132323sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim 66=⨯-⨯-=--=-→→xx x x x x ππ. （7）xx x 1sin arctan 2lim -∞→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 limx→∞π2−arctan x sin1x=limx→∞−11+x 2−1x 2cos1x=lim x→∞x 21+x 2∙lim x→∞1cos 1x=1×1=1 （8）xx x 1arctan 2lim 0-+→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 111lim 1)1()1(11lim 1arctan 2lim 202200=+=-⋅+-=-+++→→→x x x x x x x x π （9）x xx ln lim +∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得01lim 11lim ln lim ===+∞→+∞→+∞→xx x x x x x . （10）x xx cot ln lim 0→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得01cos sin 2lim sin lim csc 1lim cot ln lim 020200=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x . （11）x xx sin ln ln lim 0+→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得1sec lim tan lim sin cos 1lim sin ln ln lim 20000====++++→→→→x xx xx x x x x x x x . （12）ax bx ex ∞→lim （a ，0>b ）解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得 0!lim )1(lim lim lim 221===-==∞→-∞→-∞→∞→ax b x axb x ax b x ax b x e a b e a x b b ae bx e x . 3．用洛必达法则求下列极限：（1）)11ln 1(lim 1--→x x x ； （2）)1(cot lim 0xx x -→；（3）)111(lim 0--→x x e x ； （4）x x x 2cot lim 0→；（5）2120lim x x e x →； （6）xx x sin 0lim →；（7）xx x-→111lim ； （8）xx x 2tan 4)(tan lim π→；（9）xx x ln 10)(cot lim +→.答案： （1）)11ln 1(lim 1--→x x x解 这是∞-∞型未定式，先变形化为型的未定式，再应用洛必达法则得 xxx x x x x x x x x x x ln 111lim )1(ln ln 1lim )11ln 1(lim 111+--=---=--→→→ =limx→1x−1x−1+x ln x=limx→111+1+ln x=12.（2）)1(cot lim 0xx x -→解 这是∞-∞型未定式，先变形化为型的未定式，再应用洛必达法则得 2000sin cos limsin sin cos lim )1(cot lim x xx x x x x x x x x x x x -=-=-→→→ 02sin lim 2cos sin cos lim 00=-=--=→→x x x x x x x x . （3）)111(lim 0--→x x e x解 这是∞-∞型未定式，先变形化为0型的未定式，再应用洛必达法则得xx x x x x x x x xe e e e x x e e x +--=---=--→→→11lim )1(1lim )111(lim 000 21021lim 0=+=++=→x x x x x xe e e e . （4）x x x 2cot lim 0→解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为0型的未定式，再应用洛必达法则得212cos 21lim 2sec 21lim 2tan lim2cot lim 202000====→→→→x x x x x x x x x x .（5）212lim x x e x →解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为∞∞型的未定式，再应用洛必达法则得 ∞==--==→→→→222210313021012lim 1212lim 1lim lim x x xx x x x x e x e x x e ex .（6）xx xsin 0lim →解 这是00型未定式，利用对数恒等式有x x x e e xln sin ln sinx sin x ==，而0)(lim 11lim 1ln lim ln lim ln sin lim 020000=-=-===→→→→→x xx x xx x x x x x x x x ， 所以1lim 0sin 0==→e xxx .（7）xx x-→111lim解 这是∞1型未定式，利用对数恒等式有x xx ee xln 11ln x-1111x-==-，而11lim 11lim 1ln lim 111-=-=-=-→→→xx x x x x x 所以ee xxx 1lim 1111==--→.（8）xx x 2tan 4)(tan lim π→解 这是∞1型未定式，有)ln(tan 2tan )ln(tan tan2x2tan tanx)x x x e e x==（，而x xx x x x x x x x 2csc 2sec tan 1lim 2cot )ln(tan lim )ln(tan 2tan lim 22444-==→→→πππ 1)2sin (lim 4-=-=→x x π所以ee x xx 1)(tan lim 12tan 4==-→π.（9）xx x ln 10)(cot lim +→解 这是0∞型未定式，有xxx xee co xln cot ln )ln(cot ln 1ln 1tx )==（，而x x x x x xx x xx x x x x 2sin 2lim sin cos lim 1)csc (cot 1lim ln cot ln lim 00200-=-=-=++++→→→→12cos 1lim 0-=-=+→x x所以e e x xx 1)(cot lim 1ln 10==-→+.4．求下列函数的极限： （1）x x xx x cos sin 2lim-+∞→； （2）xx x x sin 1sinlim20→；（3）xx xx x ln ln lim 2++∞→； （4）x x x x x e e e e --+∞→-+lim .答案： （1）xx xx x cos sin 2lim-+∞→解 20102cos 1sin 2lim cos sin 2lim =-+=-+=-+∞→∞→xx x xx x x x x x . （2）xx x x sin 1sinlim20→ 解 x xx x x x x x x x x x x x x sin lim 1sinlim sin 1sin lim sin 1sin lim00020→→→→== 0101sin 1lim ===∞→xxx .（3）xx xx x ln ln lim 2++∞→解 xx x x x x x x x x x x x x 1lim ln lim )1ln (lim ln ln lim2+∞→+∞→+∞→+∞→+=+=+ +∞==+=+∞→+∞→x xx x lim 011lim.（4）xx xx x e e e e --+∞→-+lim解101011111limlim 22=-+=-+=-++∞→--+∞→x x x xxxx x ee e e e e . 习题3-21．判定下列函数在指定区间内的单调性： （1）x x x f -=arctan )(，),(+∞-∞∈x ； （2）x x x f cos )(+=，]2,0[π∈x ； （3）x x f tan )(=，)2,2(ππ-∈x . 答案：（1）x x x f -=arctan )(，),(+∞-∞∈x解 因为2221111)(x x x x f +-=-+='在指定区间),(+∞-∞内恒为负值， 所以x x x f -=arctan )(在),(+∞-∞内是单调减少的. （2）x x x f cos )(+=，]2,0[π∈x解 因为x x f sin 1)(-='在指定区间]2,0[π内恒为正值， 所以x x x f cos )(+=在]2,0[π内是单调增加的. （3）x x f tan )(=，)2,2(ππ-∈x解 因为x x f 2sec )(='在指定区间)2,2(ππ-内恒为正值， 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是单调增加的. 2．求下列函数的单调区间：（1）x x f ln )(=； （2）24)(+-=x x f ；（3）71862)(23---=x x x x f ； （4）x x x f ln 2)(2-=；（5）xe x xf -=)(； （6）22)(x x x f -=.答案：（1）x x f ln )(=解 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xx f 1)(='，在定义区间内0)(>'x f ， 所以函数)(x f 的单调增加区间是),0(+∞. （2）24)(+-=x x f解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，4)(-='x f ，在定义区间内0)(<'x f ， 所以函数)(x f 的单调减少区间是),(+∞-∞.（3）71862)(23---=x x x x f解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，18126)(2--='x x x f ，令0)(='x f ，得11-=x ，32=x .列表讨论如下：所以函数)(x f 的单调增加区间是)1,(--∞和),3(+∞，单调减少区间是]3,1[-. （4）x x x f ln 2)(2-=解 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，x x x x x f 1414)(2-=-='，令0)(='x f ，得21=x .所以函数)(x f 的单调增加区间是),21[+∞，单调减少区间是]21,0(. （5）xe x xf -=)(解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，xe xf -='1)(，令0)(='x f ，得0=x .列表讨论如下：所以函数)(x f 的单调增加区间是]0,(-∞，单调减少区间是),0[+∞. （6）22)(x x x f -=解 函数)(x f 的定义域为]2,0[，22212222)(xx x xx x x f --=--='，令0)(='x f ，得所以函数)(x f 的单调增加区间是]1,0[，单调减少区间是]2,1[. 3．求下列函数的极值点和极值：（1）263423+--=x x x y ； （2）1)1(22--=x y ； （3）)1ln(x x y +-=； （4）213xxy +=； （5）xxe e y --=2； （6）x x y tan +=.答案：（1）263423+--=x x x y 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；)1)(12(66612)(2-+=--='x x x x x f ，令0)(='x f ，解得驻点211-=x 、12=x ，另)(x f '不存在的点没有；因此，函数)(x f 的极大值点为2-=x ，极大值为4)1(=-f ；极小值点为1=x ，极小值为3)3(-=f .（2）1)1(22--=x y解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；)1(444)(23-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，解得驻点11-=x 、02=x 、13=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为1-=x 、1=x ，极小值为1)1(-=-f 、1)1(-=f ；极大值点为0=x ，极大值为0)0(=f .（3）)1ln(x x y +-=解 函数)(x f 的定义域为),1(+∞-； xxx x f +=+-='1111)(，令0)(='x f ，解得驻点01=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为0=x ，极小值为0)0(=f . （4）213xxy +=解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；2222222)1()1(3)1(6)1(3)(x x x x x x f +-=+-+='，令0)(='x f ，解得驻点11-=x 、12=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为1-=x ，极小值为2)1(-=-f ；极大值点为1=x ，极大值为23)1(=f . （5）xxee y --=2解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；xx xx ee ee xf 122)(2+=+='-，在定义区间内0)(>'x f ，)(x f 单调增加； 因此，函数)(x f 无极值点. （6）x x y tan +=解 函数)(x f 的定义域为)(2Z k k x ∈+≠ππ；x x f 2sec 1)(+='，在定义区间内0)(>'x f ，)(x f 单调增加；因此，函数)(x f 无极值点.习题3-31．求下列函数在给定区间上的最值： （1）)2(422-=x x y ，]2,2[-∈x ； （2）7186223---=x x x y ，]4,1[∈x ； （3）x x y +=，]4,0[∈x ；（4）12+=x xy ，],0[+∞∈x ；（5）322)2(x x y -=，]3,0[∈x ； （6）xxy +-=11arctan ，]1,0[∈x . 答案：（1）)2(422-=x x y ，]2,2[-∈x 解 )1(161616)(23-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，在]2,2[-上得驻点11-=x 、02=x 、13=x ； 驻点处的函数值为4)1(-=-f 、0)0(=f 、4)1(-=f ， 端点处的函数值为32)2(=-f 、32)2(=f ；所以，函数在]2,2[-上的最大值为32)2()2(==-f f ，最小值为4)1()1(-==-f f . （2）7186223---=x x x y ，]4,1[∈x 解 )3)(1(618126)(2-+=--='x x x x x f ，令0)(='x f ，在]4,1[上得驻点3=x ； 驻点处的函数值为61)3(-=f ，端点处的函数值为29)1(-=f 、47)4(-=f ；所以，函数在]2,2[-上的最大值为29)1(-=f ，最小值为61)3(-=f . （3）x x y +=，]4,0[∈x 解 0211)(>+='xx f ，因此函数)(x f 在区间]4,0[上单调增加； 所以，函数在]4,0[上的最大值为6)4(=f ，最小值为0)0(=f . （4）12+=x xy ，],0[+∞∈x 解 2222222)1(1)1(21)(+-=+-+='x x x x x x f ， 令0)(='x f ，在）,0[+∞上得驻点1=x ；驻点处的函数值为21)1(=f ，端点处的函数值为0)0(=f ；所以，函数在）,0[+∞上的最大值为21)1(=f ，最小值为0)0(=f . （5）322)2(x x y -=，]3,0[∈x 解 323223)1(4)22(232)(xx x x xx x f --=-⨯-='，令0)(='x f ，在]3,0[上得驻点1=x ；驻点处的函数值为1)1(=f ，端点处的函数值为0)0(=f 、39)3(=f ； 所以，函数在]3,0[上的最大值为39)3(=f ，最小值为0)0(=f .（6）x xy +-=11arctan，]1,0[∈x 解 0)1()1(2)1(2)11(11)(2222<-++-=+-⨯+-+='x x x xx x f ，因此函数)(x f 在区间]1,0[上单调减少；所以，函数在]4,0[上的最大值为4)0(π=f ，最小值为0)1(=f .2.证明：（1）面积一定的矩形中，正方形周长最短；（2）周长一定的矩形中，正方形面积最大. （1）证明：设面积为S 的矩形长为x ，则其宽为x S ，矩形周长)(2xS x A +=； 因22222)(2224xS x x S x x A -=--='，令0='A ，得S x =； 所以长S x =的矩形周长A 最小，即：面积一定的矩形中，正方形周长最短.（2）证明：设周长为A 的矩形长为x ，则其宽为22x A -，矩形面积2)2(x A x S -=； 因24x A S -='，令0='S ，得4Ax =； 所以长4Ax =的矩形面积S 最大，即：周长一定的矩形中，正方形面积最大.3．设22221)()()(n a x a x a x S -++-+-= ，问x 取多大时，S 最小？ 解 由22221)()()(n a x a x a x S -++-+-= 知)(22)22()22()22(121n n a a nx a x a x a x S ++-=-++-+-=' ，令0='S ，得na a a x n+++=21；所以当na a a x n+++= 21时，S 最小.4．某企业生产每批产品x 单位的总成本x x C +=3)(（万元），得到的总收入26)(x x x R -=（万元），为了提高经济效益，每批生产产品多少单位，才能使总利润最大？解 总利润35)3()6()()()(22-+-=+--=-=x x x x x x C x R x F ，52)(+-='x x F ，令0)(='x F ，得25=x ； 所以每批生产产品25单位，才能使总利润最大.5．某厂生产一种自行车，每月固定成本3万元.而每生产1千辆，要增加成本5万元，大批量生产时，可节约部分开支，当每月生产x 千辆时，可以节约成本326001407x x -万元.问x 为多大时，其成本最低？（6030<<x ）解 总成本32600140753)(x x x x F +-+=， 52072001)(2+-='x x x F ； 令0)(='x F ，得函数0)(=x F 在)60,30(内唯一驻点50=x ；所以50=x 千辆时，其成本最低.6．甲船以6千米/小时的速度向东航行，乙船在甲船北16千米处，以8千米/小时的速度向南航行，问何时两船距离最近？解 设x 小时后，两船距离y 千米256256100)816()6(222=-=-+=x x x x y ，256200-='x y ，令0='y ，得28.1=x ；所以1.28小时后两船距离最近.习题3-41．求下列曲线的凹凸性和拐点：（1）24x x y -=； （2）1323+-=x x y ；（3）5224-+=x x y ； （4）xx y 12+=； （5）32x x y =； （6）)1ln(2x y +=； （7）xey arctan =； （8）)7ln 12(4-=x x y .答案：（1）24x x y -=解 函数的定义域为),(+∞-∞，42+-='x y ，02<-=''y ；因此，函数在区间),(+∞-∞内是凸的，无拐点. （2）1323+-=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 632-='，66-=''x y ； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为)1,1(-. （3）5224-+=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 443+='，04122>+=''x y ；因此，函数在区间),(+∞-∞内是凹的，无拐点. （4）xx y 12+= 解 函数的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，212xx y -='，3322x x y +=''；令0=''y ，解得定义区间内的实根1-=x ；所以列表讨论如下：因此函数在区间)1,(--∞和),0(+∞内是凹的、在区间)0,1(-内是凸的，拐点为)0,1(-. （5）32x x y =解 函数的定义域为),(+∞-∞，3235x y ='，331910910xx y ==''-； 0=''y 无解，y ''不存在的点0=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)0,(-∞内是凸的、在区间),0(+∞内是凹的，拐点为)0,0(.（6）)1ln(2x y +=解 函数的定义域为),(+∞-∞，212xx y +='，222)1()1(2x x y +-=''. 令0=''y ，解得定义区间内的实根1±=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(--∞和),1(+∞内是凸的、在区间)1,1(-内是凹的，拐点为)2ln ,1(-和)2ln ,1(.（7）xey arctan =解 函数的定义域为),(+∞-∞，2arctan 1xe y x +='，22arctan )1)21(x x e y x +-=''（； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间),21(+∞内是凸的、在区间)21,(-∞内是凹的，拐点为),21(21arctan e .（8）)7ln 12(4-=x x y解 函数的定义域为),0(+∞，3316ln 48x x x y -='，x x y ln 1442=''； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,0(内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为)7,1(-. 2．已知曲线4923+-+=x ax x y 在1=x 处有拐点，试确定系数a ，并求出曲线的凹凸区间和拐点.解 由4923+-+=x ax x y 知9232-+='ax x y ，a x y 26+=''； 因为曲线在1=x 处有拐点，所以0216=+⨯a ，得3-=a ；可知曲线方程为49323+--=x x x y ，9632--='x x y ，66-=''x y ；因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)7,1(-. 3．a 、b 为何值时，点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点？ 解 由曲线方程23bx ax y +=知bx ax y 232+='，b ax y 26+=''； 令0=''y ，解得ab x 3-=； 又因为点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，所以3=+b a 、13=-ab； 联立方程组，求解得：23-=a ，29=b 4．试证明曲线112+-=x x y 有位于同一直线上的三个拐点（提示：证明任意两个拐点的连线斜率相等）.证明 因为曲线方程为112+-=x x y ，定义域为),(+∞-∞；222)1(12+++-='x x x y ，322)1()14)(12++-+=''x x x x y （； 令0=''y ，解得11-=x 、322-=x 、323+=x ；所以曲线拐点为)1,1(--A 、）34831,32(---B 、）34831,32(+++C ； 因为9624132134831=+-+--=--=A B A B ABx x y y k 、9624=--=A C A C AC x x y y k ； AC AB k k =，所以曲线三个拐点位于同一直线上.习题3-51．求下列曲线的渐近线： （1）211x y -=； （2）2)3(361++=x y ；（3）11-=xe y ； （4）xx y 12+=. 答案： （1）211xy -=解 由于函数211x y -=的定义域为),1()1,1()1,(+∞---∞ ， 且011lim 2=-∞→x x ，∞=--→2111lim x x 、∞=-→2111lim x x ； 因此直线0=y 为曲线的水平渐近线，直线1-=x 、1=x 为曲线的垂直渐近线. （2）2)3(361++=x y 解 由于函数2)3(361++=x y 的定义域为),3()3,(+∞---∞ ， 且lim x→∞[1+36(x+3)2]=1，lim x→−3[1+36(x+3)2]=∞； 因此直线y =1为曲线的水平渐近线，直线3-=x 为曲线的垂直渐近线. （3）11-=xe y解 由于函数11-=xe y 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且0)1(lim 1=-∞→xx e ，lim x→0+(e 1x −1)=+∞； 因此直线0=y 为曲线的水平渐近线，直线0=x 为曲线的垂直渐近线. （4）xx y 12+= 解 由于函数xx y 12+=的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且)1(lim 2x x x +∞→不存在，∞=+→)1lim 20xx x （； 因此直线0=x 为曲线的垂直渐近线，曲线无水平渐近线.2．作出下列函数的图像：（1）3210710x x x y -++=； （2）2)2)(1(-+=x x y ； （3）)1ln(+-=x x y ； （4）x x y 2cos 21+=，)20(π≤≤x ； （5）xxe y -=； （6）x x y arctan +=答案：（1）3210710x x x y -++= 解 函数的定义域为),(+∞-∞，)7)(13(+-+='x x y ，令0='y 得311-=x 、72=x ；206+-=''x y ，令0=''y 得3103=x ；取辅助点)12,1(-，)10,0(，)26,1(，)134,4(，)194,8(；根据以上讨论，做出函数3210710x x x y -++=的图像如图所示图3-1（2）2)2)(1(-+=x x y 解 函数的定义域为),(+∞-∞，)2(3-='x x y ，令0='y 得01=x 、22=x ； 66-=''x y ，令0=''y 得13=x ；x)0,(-∞)1,0(1)2,1(2),2(+∞y '＋ 0 － － － 0 ＋ y ''－ － － 0 ＋ ＋ ＋ y╭极大值4 ╮拐点）2，1（ ╰极小值╯取辅助点)0,1(-，)827,21(，)85,23(，)4,3(； 根据以上讨论，做出函数2)2)(1(-+=x x y 的图像如图所示图3-2（3）)1ln(+-=x x y 解 函数的定义域为),1(+∞-，1+='x xy ，令0='y 得01=x ； 2)11+=''x y （，令0=''y ，无解； 列表讨论如下：x)0,1(-),0(+∞y '－ 0 ＋ y ''＋ ＋ ＋ y╰极小值0╯取辅助点)2ln 21,21(+--，)2ln 1,1(-； 根据以上讨论，做出函数)1ln(+-=x x y 的图像如图所示图3-3（4）x x y 2cos 21+=，)20(π≤≤x 解 函数的定义域为]2,0[π， x y 2sin 211-='，令0='y ，无解；x y 2cos -=''，令0=''y 得41π=x 、432π=x 、453π=x 、474π=x ； 列表讨论如下：x )4,0(π4π)43,4(ππ 43π )45,43(ππ 45π)47,45(ππ47π )2,47(ππ y '＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ y ''－ 0 ＋ 0 － 0 ＋ 0 － y╭拐点╯拐点╭拐点╯拐点╭拐点）41，4（+ππ、拐点）413，43（+ππ、拐点）415，45（+ππ、拐点）417，47（+ππ 取辅助点)21,0(，)2,2(ππ，)21,(+ππ，)23,23(ππ，)212,2(+ππ； 根据以上讨论，做出函数x x y 2cos 21+=的图像如图所示图3-4（5）xxey -=解 函数的定义域为),(+∞-∞，)1(x e y x -='-，令0='y 得11=x ； )2(x e y x +-=''-，令0=''y 得22=x ；x)1,(-∞1)2,1(2),2(+∞y '＋ 0 － － － y ''－－－0 ＋y╭ 极大值e1╮拐点)2，2(2e╰0=y 为水平渐近线；取辅助点)0,0(，)3,3(3e；根据以上讨论，做出函数xxey -=的图像如图所示图3-5（6）x x y arctan +=解 函数的定义域为),(+∞-∞，奇函数， 2212x x y ++='，令0='y ，无解；22)12+-=''x x y （，令0=''y 得01=x ； x)0,(-∞),0(+∞y '＋ ＋ ＋ y ''＋ 0－ y╯拐点)0，0( ╭取辅助点)41,1(π---，)41,1(π+；根据以上讨论，做出函数x x y arctan +=的图像如图所示图3-6习题3-61．求下列曲线在指定点处的曲率：（1）24x x y -=在其顶点处； （2）x x y cos =在原点处； （3）32x y =在点)8,4(处； （4）x y sin =在点)1,2(π处.答案：（1）24x x y -=在其顶点处解 由24x x y -=得42+-='x y ，2-=''y ； 代入计算公式得：曲线曲率为232)17164(2+-=x x K ；曲线顶点为2=x ，所以顶点处曲率为22==x K .（2）x x y cos =在原点处解 由x x y cos =得x x x y sin cos -='，x x x y cos sin 2--=''， 代入计算公式得：曲线曲率为23222)1sin 2sin (cos cos sin 2++---=x x x x x xx x K ；所以原点处曲率为00==x K.（3）32x y =在点)8,4(处解 由32x y =得23x y =，知2123x y ='，2143-=''x y ；代入计算公式得：曲线曲率为2321)491(43x x K +=-；所以点)8,4(处曲率为8001034==x K . （4）x y sin =在点)1,2(π处解 由x y sin =得x y cos ='，x y sin -=''； 代入计算公式得：曲线曲率为232)cos 1(sin x x K +-=；所以点)1,2(π处曲率为14==x K.2．求下列曲线在指定点处的曲率半径：（1）4=xy 在点)2,2(处； （2）)0(42>=p px y 在点)2,(p p 处； （3）x y ln =在点21=x 处； （4）x y cos =在点0=x 处；（5）x y tan =在点)1,4(π处； （6）x x y 44cos sin -=在点)1,0(-处.答案：（1）4=xy 在点)2,2(处解 由4=xy 得14-=x y ，知24--='x y ，38-=''x y ；代入计算公式得：曲线曲率为2343)161(8--+=x x K ；所以点)2,2(处曲率半径为22122====x X K R .（2）)0(42>=p px y 在点)2,(p p 处解 由)0(42>=p px y 得212x p y =（所讨论的点为)2,(p p ）， 知21-='x p y ，2321--=''xp y ；代入计算公式得：曲线曲率为23123)1(21--+=px xp K ；所以点)2,(p p 处曲率半径为R |X=p =1K |x=p=252p =4√2p .（3）x y ln =在点21=x 处解 由x y ln =得xy 1='，21x y -=''；代入计算公式得：曲线曲率为2322)11(1xx K +=； 所以点21=x 处曲率半径为23312121====x x KR . （4）x y cos =在点0=x 处解 由x y cos =得x y sin -='，x y cos -=''； 代入计算公式得：曲线曲率为232)sin 1(cos x x K +=；所以点0=x 处曲率半径为1111====x x K R . （5）x y tan =在点)1,4(π处解 由x y tan =得x y 2sec ='，x x y tan sec 22=''；代入计算公式得：曲线曲率为2342)sec 1(tan sec 2x x x K +=；所以点)1,4(π处曲率半径为545144====ππx x KR . （6）x x y 44cos sin -=在点)1,0(-处解 由x x y 44cos sin -=得x x x y 2sin 2cos sin 4=='，x x x y 2cos 4sin 4cos 422=-=''；代入计算公式得：曲线曲率为232)2sin 41(2cos 4x x K +=；所以点)1,0(-处曲率半径为41100====x x K R .复习题三1．填空题：（1）如果函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少尊在一点ξ，使得=')(ξf ____________________.（2）设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果0)(>'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(≡'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内____________________.（3）函数x x x f -=sin )(在定义域内单调_______________.（4）曲线xxe y =在区间______________内是凹的，在区间_______________内是凸的. （5）函数xxy ln =在区间_______________内单调递增，在区间_______________内单调递减，在区间_______________内是凹的，在区间_______________内是凸的.（6）函数xxy ln =的极值点是_______________，拐点是_______________，渐近线为____________________.（7）函数)1ln(2x y +=在区间]2,1[-上的最大值为_______________，最小值为_______________.答案：（1）如果函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得=')(ξf ____________________.解ab a f b f --)()(；（2）设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果0)(>'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(≡'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内____________________.解 单调增加，单调减少，是常数；（3）函数x x x f -=sin )(在定义域内单调_______________. 解 减少；（提示：01cos )(<-='x x f ）（4）曲线xxe y =在区间____________内是凹的，在区间___________内是凸的.解 ),2(+∞-，)2,(--∞；（提示：)2x e y x+=''（，拐点为2-=x ）（5）函数xxy ln =在区间_______________内单调递增，在区间_______________内单调递减，在区间_______________内是凹的，在区间_______________内是凸的.解 ),0(e ，),(+∞e ，),(23+∞e ，),0(23e ；（提示：2ln 1x x y -='，驻点为e x =；3ln 23xxy +-=''，拐点为23e x =） （6）函数xxy ln =的极值点是________，拐点是_________，渐近线为__________. 解 e x =，)23,(2323-e e ，直线0=x ，直线0=y ；（提示：∞==→→x x x x x 1lim ln lim00，01lim ln lim ==∞→∞→xx x x x ）（7）函数)1ln(2x y +=在区间]2,1[-上的最大值为________，最小值为_________. 解 5ln )2(=f ，0)0(=f . （提示：212x xy +='，驻点为0=x ；0)0(=f ，2ln )1(=-f ，5ln )2(=f ） 2．选择题：（1）设函数22)4(-=x y ，则在区间)0,2(-和),2(+∞内此函数分别为（ ） A ．单调递增，单调递增； B ．单调递增，单调递减；C ．单调递减，单调递增；D ．单调递减，单调递减. （2）函数)1ln(x x y +-=的单调递减区间是（ ） A ．),1(+∞-； B ．)0,1(-； C ．),0(+∞； D ．)1,(--∞.（3）设函数232+-=x x y ，则（ ）A ．y 有极小值41，但无极大值； B ．y 有极小值0，但无极大值； C ．y 有极小值0，极大值41； D ．y 有极大值41，但无极小值.（4）设函数4322x x x y +-=，则在区间)2,1(和)4,2(内，曲线分别为（ ） A ．凸的，凸的； B ．凸的，凹的；C ．凹的，凸的；D ．凹的，凹的. （5）函数xex y -=2在区间)2,1(内是（ ）A ．单调递增且是凸的；B ．单调递增且是凹的；C ．单调递减且是凸的；D ．单调递减且是凹的. 答案：（1）设函数22)4(-=x y ，则在区间)0,2(-和),2(+∞内此函数分别为（） A ．单调递增，单调递增； B ．单调递增，单调递减； C ．单调递减，单调递增； D ．单调递减，单调递减. 解A ；（提示：)4(42-='x x y ）（2）函数)1ln(x x y +-=的单调递减区间是（） A ．),1(+∞-； B ．)0,1(-； C ．),0(+∞； D ．)1,(--∞.解B ；（提示：定义域为),1(+∞-，xxy +='1） （3）设函数232+-=x x y ，则（）A ．y 有极小值41，但无极大值； B ．y 有极小值0，但无极大值； C ．y 有极小值0，极大值41； D ．y 有极大值41，但无极小值.解C ；（提示：由图像分析可知）（4）设函数4322x x x y +-=，则在区间)2,1(和)4,2(内，曲线分别为（） A ．凸的，凸的； B ．凸的，凹的；C ．凹的，凸的；D ．凹的，凹的. 解D ；（提示：)112-=''x x y （） （5）函数xex y -=2在区间)2,1(内是（）A ．单调递增且是凸的；B ．单调递增且是凹的；C ．单调递减且是凸的；D ．单调递减且是凹的. 解A （提示：)2(x xe y x-='-，)42(2x x e y x+-=''-） 3．求下列极限：（1）2233lim a x a x a x --→； （2）30arctan lim xxx x -→； （3）x x x 4sin 1tan lim 4-→π； （4）x x e x 3lim +∞→；（5）xx xx x ln ln lim 2++∞→； （5）)1(lim 1-+∞→x x e x .答案：（1）2233lim a x a x a x --→解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 a x x x a x a x a x a x a x 2323lim 23lim lim 22233===--→→→. （2）3arctan lim xxx x -→ 解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 31)1(31lim 3111lim arctan lim202203=+=+-=-→→→x x x x xx x x x .（3）xx x 4sin 1tan lim4-→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 21424cos 4sec lim 4sin 1tan lim 244-=-==-→→xx x x x x ππ. （4）x x ex 3lim +∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得06lim 6lim 3lim lim 23====+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x ee x e x e x . （5）xx x x x ln ln lim 2++∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得 xx x x x xx x x x x x 112lim ln 112lim ln ln lim 22-=++=++∞→+∞→+∞→ ∞==-=+∞→+∞→x xx x x 4lim 12lim 2. （6）)1(lim 1-+∞→xx e x解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为00型的未定式，再应用洛必达法则得11lim 1lim )1(lim 001==-=-→→+∞→xx x x xx e xe e x . 4．求下列函数的单调区间： （1）149323+--=x x x y ； （2）x ex y -=2；（3）x x y sin 2-=，]2,0[π∈x . 答案：（1）149323+--=x x x y解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，9632--='x x y ， 令0='y ，得11-=x ，32=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调增加区间是)1,(--∞和),3(+∞，单调减少区间是)3,1(-. （2）xex y -=2解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，)2(x xe y x-='-， 令0='y ，得01=x ，22=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调减少区间是)0,(-∞和),2(+∞，单调增加区间是)2,0(. （3）x x y sin 2-=，]2,0[π∈x 解x y cos 21-='，]2,0[π∈x ， 令0='y ，得1π=x ，52π=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调减少区间是)3,0(π和)2,35(ππ，单调增加区间是)35,3(ππ. 5．求下列函数的极值：（1）43+=x xy ； （2）x x y 2ln =；（3）221xx y +=； （4）x x y 33cos sin +=； （5）32)1(23+-=x y ； （6）)1ln(21arctan 2x x y +-=.答案： （1）43+=x xy 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，233)4()2(2+--='x x y ；令0='y ，解得驻点32=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数43+=x x y 的极大值为62323==x y .（2）xxy ln =解 函数y 的定义域为),0(+∞，2ln 1x xy -='； 令0='y ，解得驻点e x =，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数x y =的极大值为e y e x ==. （3）221xx y +=解 函数y 的定义域为),0()0,+∞∞- （，34)12x x y -='（； 令0='y ，解得驻点1±=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数22x x y +=的极小值为21=±=x y . （4）x x y 33cos sin +=解 )cos (sin cos sin 3x x x x y -='，]2,0[π∈x ， 令0='y ，得01=x 、42π=x 、23π=x 、234π=x 、455π=x ；列表讨论如下：因此，函数x x y 33cos sin +=的极小值为224==πx y 和123-====ππx x y y ， 极大值为120====πx x y y 和2245-==πx y . （5）32)1(23+-=x y解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，3134+-='x y ；令0='y ，无解，另y '不存在的点为1-=x ；列表讨论如下：因此，函数32)1(23+-=x y 的极大值为31=-=x y . （6）)1ln(21arctan 2x x y +-= 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，211xxy +-='； 令0='y ，解得驻点1=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数y 的极大值为2ln 241-==x y .6．求下列函数在指定区间上的最值：（1）2211x x x x y -++-=，]1,0[∈x ； （2）x x y 2tan tan 2-=，]3,0[π∈x . 答案：（1）2211xx x x y -++-=，]1,0[∈x 解 221)122）（（x x x y -+-='，令0='y ，在]1,0[上得驻点21=x ； 驻点处的函数值为5321==x y ，端点处的函数值为110====x x y y ； 所以，函数在]1,0[上的最大值为110====x x y y ，最小值为5321==x y . （2）x x y 2tan tan 2-=，]3,0[π∈x解 )tan 1(sec 22x x y -='，令0='y ，在]3,0[π上得驻点4π=x ；驻点处的函数值为14==πx y ，端点处的函数值为00==x y ，3323-==πx y ；所以，函数在]3,0[π上的最大值为14==πx y ，最小值为00==x y .7．求下列函数的凹凸区间和拐点：（1）1323+-=x x y ； （2）)7ln 12(4-=x x y .答案：（1）1323+-=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 632-='，66-=''x y ； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)1,1(-. （2）)7ln 12(4-=x x y解 函数的定义域为),0(+∞，)1ln 3(163-='x x y ，x x y ln 1442=''； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,0(内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)7,1(-. 8．作出下列函数的图像： （1）23x x y -=； （2）115-+=x y ； （3）2xx e e y -+=； （4）32)1(x x y -=.答案： （1）23x xy -=解 函数的定义域为），3（）3，3（)3,(∞+---∞ ，222)3(3x x y -+='，令0='y ，无解；322)3)92x x x y -+=''（（，令0=''y 得0=x ；0=y 为水平渐近线，3±=x 为垂直渐近线；取辅助点)21,3(-，)2,2(-，)21,1(--，)21,1(，)4,2(-，)21,3(-；。
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一、是非题：１． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ．错误 ∵不满足罗尔定理的条件。
２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得极值．错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。
３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴的切线．错误 ∵曲线3x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。
４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值．正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。
５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹．正确二、填空：１．设()x bx x a x f ++=2ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a（ 23-），=b （ 16- ）． ∵()12++='bx xax f ，当2,121==x x 时，012=++b a ，0142=++b a ，解之得61,32-=-=b a２．函数()()1ln 2+=x x f 的极值点是（ 0=x ）．∵()x xx f 2112⋅+='，令()0='x f ，得0=x 。
又0>x ，()0>'x f ； 0<x ，()0<'x f ，∴函数()()1ln 2+=x x f 在0=x 取得极小值。
３．曲线()x x x f -=3的拐点是（()0,0）．∵()122-='x x f ，()x x f 4=''，令()0=''x f ，得0=x 。
又0>x ，()0>''x f ；0<x ，()0<''x f ，∴函数()x x x f -=3的拐点是()0,0。
４．曲线()x x f ln =的凸区间是（ ()+∞,0 ）．∵()x x f 1='，()21xx f -=''，使()x f ''无意义的点为0=x 。
当0>x 时，()0<''x f ，∴曲线()x x f ln =的凸区间是()+∞,0。
５．若212sin lim 0=-→x b e ax x ，则=a （ 1 ），=b （ 1 ）．∵x b e ax x 2sin lim0-→=-=→x b e ax x 2lim 021lim 210=-→x b e ax x ，即1lim 0=-→xbe ax x 又当0→x 时，1-xe ～x ，∴1,1==b a 。
三、选择填空：１．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ c ． ） a ．()xe xf = b ．()x xg ln =c ．()21x x h -= d ．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx x k∵()xe xf =在端点的值不相等；()x xg ln =在区间[]1,1-上不连续；对()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx x k 在0=x 不可导；()21x x h -=在区间[]1,1-上满足罗尔定理的条件。
∴c 是正确的。
２．罗尔定理的条件是其结论的（ a ． ）a ．充分条件b ．必要条件c ．充要条件３．函数()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤-=x xx x x f 1110232在区间[]2,0上（ a ． ）a ．满足拉格朗日定理条件b ．不满足拉格朗日定理条件∵123lim201=--→x x ，11lim 01=+→x x ，()()11lim 1f x f x ==→ ∴函数()x f 在1=x 连续，函数()x f 在[]2,0上连续。
∵()()1231112-=-='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='==-x x x x f ，()1111121-=⎪⎭⎫⎝⎛-='⎪⎭⎫⎝⎛='==+x x x x f ∴函数()x f 在1=x 可导，函数()x f 在[]2,0上可导。
∴函数()x f 在[]2,0上满足拉格朗日定理条件，因而a 是正确的。
４．设()x f 在0x 有二阶导数，()00='x f ， ()00=''x f ，则()x f 在0x 处( a ． ) a ．不能确定有无极值 b ．有极大值 c ．有极小值 ５．设函数()x f 在()a ,0具有二阶导数，且()()0>'-''x f x f x ，则()xx f '在()a ,0内是（a ．）a ．单调增加的b ．单调减少的∵()()()02>'-''='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'x x f x f x x x f （∵()()0>'-''x f x f x ） ∴()xx f '在()a ,0内是单调增加的，因而a ．是正确的。
６．函数()x f 的连续但不可导的点（ d ． ）a ．一定不是极值点b ．一定是极值点c ．一定不是拐点d ．一定不是驻点四、计算题： １．0sin limtan x x xx x→--解 222220000sin 1cos 122lim lim lim lim tan 1sec tan 2x x x x x x x x x x x x x x →→→→--====----- 2．()xx e x x--→1cos 1lim 20解 ()()()2220001cos sin lim lim lim 11x x x x x x x x x x x x e →→→-===-⋅-⋅--３．⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x 解()200000111111lim lim lim lim lim 12221x x x x x x x x x x e x e x e x x e x x x x e →→→→→-----⎛⎫-===== ⎪--⎝⎭４．x x x sin ln lim 0→解22000002ln sin cot lim ln sin lim lim lim lim 011tan x x x x x x x x x x x x x x x→→→→→===-=-=- ５．11sin lim2-+→x x x x解原式))2221limlim12x x x x x →→→⋅+===+=６．sin limsin x x xx x→∞-+解 sin 1sin lim lim1sin sin 1x x x x x x x x x x→∞→∞--==++７．()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→x x x x x 11ln lim 210 解 ()()112200ln 1ln 11lim lim x xx x x x x x x x ++→→⎛⎫++--= ⎪ ⎪⎝⎭()()()21ln 1ln 111lim lim2x x x x x x x x→→++-++-==()00ln 11lim lim 222x x x x x x →→+=== ８．()201ln limxx x +→ 解 ()2200ln 1lim lim x x x x xx →→+==∞９．()x x x +⋅+→1ln ln lim 0解()0000000021ln lim ln ln 1lim ln lim lim 011x x x x xx x x x x x x→+→+→+→+⋅+====- 10． 求函数()3231x x y -⋅=的极值．解 定义域为R对函数两边取自然对数得（不妨设01x <<）12ln ln ln(1)33y x x =+-11233(1)y y x x '=+-所以123133(1)3(1)x y y x x x x ⎡⎤-'=+==⎢⎥--⎣⎦令0y '=，得13x =；0x =，1x =为不可导点 列表所以极大值为1()3y =，极小值为(1)0y =．11．若直角三角形的一直角边与斜线之和为常数，求有最大面积的直角三角形． 解 设两直角边分别为x 、y ，则面积12S xy =（0,0x y >>） 设常数为c ．由c x =222c y x c-=．所以224c y S y c-=⋅（0y c <<） 2344c y S c '=-，令23044c y S c '=-=，得y =，所以3c x =驻点唯一，故当两直角边分别为3c12．求乘积为常数0a >，且其和为最小的两个正数． 解 设其中一正数为x 、则另一正数为ax；设这两个正数之和为S ． aS x x=+（0x >） 21aS x'=-，令0S '=，得x =13．设圆柱形有盖茶缸V 为常数，求表面积为最小时，底半径x 与高y 之比． 解 底半径为x ，则高y 为2Vx π；设表面积为S ． 2222222V V S x x x x xππππ=+⋅=+；224VS x x π'=-，令0S '=，得x =驻点唯一，故当底半径x =，高y =。