最新(高等数学)第四章导数的应用
(高等数学)第四章 导数的应用
第四章 导数的应用第一节 中值定理一.费马定理1.定义1.极值设函数()x f 在点0x 的某邻域()0U x 内对一切()0x U x ∈有()()0f x f x ≤或（()()0f x f x ≥），则称()x f 在点0x 处取得极大值（或极小值）；并称0x 为()x f 的极大值点（或极小值点）.注意：极大值、极小值在今后统称为极值；极大值点、极小值点在今后统称为极值点；2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设()x f 在点0x 的某邻域()0U x 内有定义，且在0x 处可导,若()0f x 为极值，则必有：()00f x '=.证明：不妨设()0f x 为极大值。
按极大值的定义，则0x ∃的某个邻域，使对一切此邻域内的x 有()()0f x f x ≤--------------（1） 所以，()()()0000lim 0;x x f x f x f x x x --→-'=≥-()()()0000l i m 0;x x f x f x f x x x ++→-'=≤---------（2）又因为()0f x '存在，所以应有()()00f x f x -+''=---------（3） 故，由（2）式及（3）式，必有()00f x '=.1．注意：使()00f x '=的点0x 可能为()x f 的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：20,0.y x x == 二．中值定理1.定理2.罗尔中值定理：若值设函数()x f 满足：（1）()x f 在区间[]b a ,上连续； （2）()x f 在区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =.则，必至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0f ξ'=注意:罗尔定理的几何意义是说，在每点处都有非垂直切线的一段曲线上，若两端点处的高度相同，则在曲线上至少存在一条水平切线.（作图说明） 证明：由闭区间上连续函数的性质，()x f 在[]b a ,上有最大值M 及最小值m. （1） 若M=m ，则()M x f ≡，[]b a x ,∈∀.所以，()()0,,.f x x a b '≡∀∈任取()b a ,∈ξ，均满足()0f ξ'=；（2） 若m M ≠，则M 和m 中至少有一个不等于()()b f a f =，因此则M 和m中至少有一个在区间内部某点()b a ,∈ξ处取到.不妨设()ξf 为()x f 的最大值，从而也是极大值。
高等数学 第四章 导数的应用 4-3曲线的曲率
α = a(t + sint), β = a(cos t −1).
O′
ξ = a(τ − sinτ ), 可得 η = a(1− cosτ ).
( 仍为摆线 )
备用题
1 3 例2-1 铁路常用立方抛物线 y = x 作缓和曲线 作缓和曲线, 6Rl 其中R是圆弧弯道的半径 是圆弧弯道的半径, 是缓和曲线的长度, 其中 是圆弧弯道的半径 l 是缓和曲线的长度
则通过 计算可得
K=
x′ y′′ − x′′ y′
3 ′2 + y′2)2 (x
.
例2 抛 线y = ax2 + bx + c 上 一 的 率 大 物 哪 点 曲 最 ? 解 y′ = 2ax + b,
y′′ = 2a,
= 2a
3 [1+ (2ax + b)源自]2∴ k =y′′
3 (1+ y′2)2
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答： 直 AB 曲 ： 轨 的 率 k
AB
= 0,
A B
∴ 曲 半 ： AB = ∞. 率 径 ρ
圆 的 率 径 R= 0 数 而 弧 曲 半 ： = R (常 ). m2 v , 所 若 拐 点 以 在 弯 B 由 向 力 F 心力 = 于 心 ：向
1 曲率半径 R = = K
3 ′2)2 (1+ y
y′′
思考题
求双曲线 的曲率半径R, 并分析何处R最小 最小? 的曲率半径 并分析何处 最小
1 2 y ′ = − 2 , y′′ = 3 , 则 解 y x x 1 3 1 2 3 O 1 x (1+ 4 ) 2 2 (1+ y′ ) x = R= 2 y′′ x3 3 1 2 1 2 = (x + 2 ) ≥ 2, 2 x a2 + b2 ≥ 2ab 显 R x=±1 = 2 为 小 . 然 最 值
《导数的应用》ppt课件
设 x 1 cos , y 1 sin ,由x,y为正实数得: 0 .
xy
1
(1
2
cos
)si n
.
2
设 f ( ) 1 (1 cos )sin .
2
f
(
)
1
[
s i n2
(1
cos
) co s
]
(cos
1)(cos
1 ).
2
2
令 f ( ) 0,得 cos 1,cos 1 ;又0 , .
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
2
1
2 3
(1
x)3
成立.
令 Y
x6
3
0
1 2x
,得
4.
x
1.
当x<-1时, Y 0,则Y单调减小;当-1<x<0时, Y 0,则
Y单调增加;当0<x<1时,Y 0,则Y单调减小;当x>1
时,Y 0 ,则Y单调增加. 故当x 1时,Y有最小值5/6,此时点 (1, 1 )为所求.
3
例4: 如图,在二次函数f(x)=
2 ( x 1)3( x 3
0).
则
f
( x)
1 x
1 x2
( x 1)
2( x 1)2
(x
1)3
2x 1 x2 ,
令f (x) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f (x) 0;x>1时,f (x) 0 ,所以x=1是f(x)的 极小值点.
所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
令
S(
x)
0
高等数第4章 导数的应用
4
4
4.3 曲线的凹凸与拐点
4.3.3 曲线的渐近线 若曲线y=f(x)上的动点P沿着曲线无限地远离 原点时，点P与某直线L的距离趋于零，则L称为 该曲线的渐近线。 渐近线分为三类： 水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
4.3 曲线的凹凸与拐点
1. 垂直渐近线 若 limf(x)，则c是f(x)的垂直渐近线。
x x 0 x 0 x
边际收入 MRdRR'(x)
dx
边际利润 MLdLL'(x)
dx
4.5 应用与实践
例 9 某糕点厂生产某种糕点的收入函数为 R(x) x (千元)，成本函数为C(x) x 3 (千元)，
4.3 曲线的凹凸与拐点
例6 求曲线的凹向区间与拐点。
yx4 2x3 arct1an
解：y'4x36x2 y" 1x2 2 1x2 1x(2 x 1 )
x1 0，x2 1
y拐x0点为ar(c0 , t1a)n和4(1,
yx1 )112arc1ta4 n1
xc
f(x)lnsinx
4.3 曲线的凹凸与拐点
2. 水平渐近线 limf(x)b ，则y=b是f(x)的水平渐近线。
x
f (x) x 1 x
x=-1为垂直渐近线
y=1为水平渐近线
4.3 曲线的凹凸与拐点
4.3.4 作函数图形的一般步骤
1．确定函数的定义域、间断点； 2．确定函数的特性，如奇偶性、周期性等； 3．求出函数的一二阶导数，确定极值点、拐点； 4．确定曲线的渐近线； 5．计算一些特殊点的坐标； 6．间断点、极值点与拐点把定义域分为若干区 间，列表说明这些区间上函数的增减性与凹凸性； 7．作图。
高等数学第四章 第一节、极值
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对作业的讲解：
1.求函数 f ( x) arctan x x 的增减区间及极值点。 1 1 解： f ( x) 1 ,令f ( x) 0，即 1=0， 2 2 1 x 1 x x2 解得 x 0, 当x 0时, f ( x)= 0. 2 1 x x2 当x 0时, f ( x)= 0. 2 1 x 于是可得 , 是函数的减区间，并且无极值点。
0
y
y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
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y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
(2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根;
(3) 检查 f ( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点 ;
(4) 求极值.
2.求函数 f ( x ) x 区间及极值点。
1 x 的增减
1 解： f ( x ) 1 , 2 1 x 1 令f ( x ) 0，即 1 =0， 2 1 x 3 解得 x , 4 并且知函数的定义域为 -，， 1
3 2 1 x 1 当1 x 时, f ( x)= 0. 4 2 1 x 3 当x 时, f ( x) 0. 4 3 3 于是可得 ,1 是函数的减区间， , 是函数 4 4 3 3 5 的增区间，并且极大值点为x ，极大值为f ( )= 。 4 4 4
(a,b)内的一个点, 如果存在着点x 0的一个邻域, 对于这邻域内的任何点 x,除了点x 0外, 恒有： f(x) f(x0 )均成立, f(x) f(x0 )均成立, 就称f(x 0 )是函数f(x)的一 个极小值.
高等数学第四章
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
1 1 x 1 x ．
2
例 2 证明方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内有 且只有一个实根．
证明 设 f (x) x3 x2 2x 1，显然 f (x) 在[0,1] 上连续，且 f (0) 1, f (1) 3 ，则有 f (0) f (1) 0 ， 故由连续函数根的存在定理知，在 (0,1) 内至少有
第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数单调性 第四节 函数的极值与最值 第五节 曲线的凹凸性与拐点 第六节 函数图形的描绘
第一节 微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔中值定理
罗尔定理 设函数 f(x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：·
如果 A¼ B 是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不
垂直于 x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么
在曲线弧 A¼ B 上至少存在一点C ，在该点处曲线的切线
平行于 x 轴.
二、拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
一个 ，使得 f ( ) 0 ．
又 f (x) 3x2 2x 2 0 ， x (0,1) ，
故 f (x) 在[0,1] 上单调增加，因而函数 f (x)
的图形和 x 轴至多只有一个交点，即方程只有一
个实根． 综合可得，方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内
高等数学与工程数学课件第四章导数应用.ppt
思考题 1.极值点与驻点的关系是什么? 2.说明极值与最值的区别. 3.极值存在的必要条件是什么?
答案 答案 答案
课堂练习题 1.求y = x2 2x 3的极值.
2.求出y x4 2x2 1的全部驻点.
答案 答案
第三节 函数的最大值和最小值
在工农业生产和科学实验中，常要遇到在一定条件下，怎 样用料最省、效率最高或性能最好等问题，这些问题归纳到 数学上，即为函数最大值或最小值问题.
在x 0处无极值以上三题中都有y'x0 0, y''x0 0,所以说情形(3)失 效,失效时必须用定理2来判定驻点是否为极值点.
例2 求函数f (x)(x2 1)3 1的极值.
解 因为f '(x) 6x(x2 1)2,令f '(x) 0,得驻点x 1,x 0,x 1
所以f ''(x) 6(x2 1)2 6x2(x2 1)2x 6(x2 1)(5x2 1). 又因为f ''(0)60,所以函数f (x)在x 0处取得极小值为f (0)0.
0
0
可导, 如果
(1)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极大值f (x0);
(2)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极小值f (x0);
(3)当x从x0时的左侧变化到右侧时, f '(x)不变号,则f (x) 在x0处无极值.
定理 设函数y f (x)在(a,b)内可导,若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在 (a,b)上为增函数;若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在(a,b)上为减函数.( 一阶导数符号和函数单调性是否为充要条件?)
高等数学 第四章 导数的应用 4-4函数图形的描绘
1 , lim
x2 x2
x 0
,
曲线y
1 e 1 e
有两条渐近线,
分别为水平渐近线y 1, 铅直渐近线x 0.
备用题
例2-1 描绘函数 y e
x2
的图形. 图形对称于 y 轴.
解 (1) 定义域为
(2) 求关键点
y 2 x e
x2
,
y 2( 2 x 1) e
或 x , 或 x
b lim[ f ( x ) ax].
x 或 x , 或 x
x2 例1 求 y 的渐近线. 1 x
解
D ( , 1) ( 1, ).
x2 无水平渐近线. lim f ( x ) , y 1 x x
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b (b 为常数)
x
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线.
例如:
y arctan x ,
有水平渐近线两条:
y , 2
y . 2
3.斜渐近线:
y ax b
f ( x) 其中 lim a x x
1 查水平渐近线
2 查铅直渐近线
x 1
lim f ( x ) ,
x2 x 1 是曲线 y 的铅直渐近线. 1 x
3 查斜渐近线 f ( x) x lim lim 1, a 1 x x x 1 x
b lim[ f ( x ) ax]
(5) 作图 x
( ,1) 1 (1, 1线: y 1, 1 铅直渐近线: x 1.
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(高等数学)第四章导数的应用第四章导数的应用第一节中值定理一.费马定理1.定义1.极值设函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的某邻域«Skip Record If...»内对一切«Skip Record If...»有«Skip Record If...»或（«Skip Record If...»），则称«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处取得极大值（或极小值）；并称«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的极大值点（或极小值点）.注意：极大值、极小值在今后统称为极值；极大值点、极小值点在今后统称为极值点；2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的某邻域«Skip Record If...»内有定义，且在«Skip Record If...»处可导,若«Skip Record If...»为极值，则必有：«Skip Record If...».证明：不妨设«Skip Record If...»为极大值。
按极大值的定义，则«Skip Record If...»的某个邻域，使对一切此邻域内的«Skip Record If...»有«Skip Record If...»--------------（1）所以，«Skip Record If...»«Skip Record If...»--------（2）又因为«Skip Record If...»存在，所以应有«Skip Record If...»---------（3）故，由（2）式及（3）式，必有«Skip Record If...».1．注意：使«Skip Record If...»的点«Skip Record If...»可能为«Skip Record If...»的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：«Skip Record If...»二．中值定理1.定理2.罗尔中值定理：若值设函数«Skip Record If...»满足：（1）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；（2）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内可导；（3）«Skip Record If...».则，必至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»注意:罗尔定理的几何意义是说，在每点处都有非垂直切线的一段曲线上，若两端点处的高度相同，则在曲线上至少存在一条水平切线.（作图说明）证明：由闭区间上连续函数的性质，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有最大值M及最小值m.（1）若M=m，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以，«Skip Record If...»任取«Skip Record If...»，均满足«Skip Record If...»；（2）若«Skip Record If...»，则M和m中至少有一个不等于«Skip Record If...»，因此则M和m中至少有一个在区间内部某点«Skip Record If...»处取到.不妨设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的最大值，从而也是极大值。
又因 «Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内可导，则由费马定理知，«Skip Record If...».注意：罗尔定理中的三条件如缺少其中任何一条，则结论可能不再成立.反例1.«Skip Record If...»（不满足条件（1））；反例2.«Skip Record If...»，（不满足条件（2））；反例3.«Skip Record If...».2.定理3．拉格朗日中值定理：若值设函数«Skip Record If...»满足：（1）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；（2）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内可导；则，必至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»注意：（1）拉氏定理中，如仍有«Skip Record If...»,则结论将变为：必至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...».可见罗尔定理是拉氏定理的特殊情形；（3）拉氏定理的几何意义：在«Skip Record If...»上曲线«Skip Record If...»上至少存在一点«Skip Record If...»，使该点处的切线平行于弦AB.证明：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足罗尔定理的三个条件.所以，由罗尔定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record If...».即，«Skip Record If...»..--------（*）注意：（1）注意到（*）式当«Skip Record If...»时仍然成立；（2）为方便应用，（*）式也常改写为«Skip Record If...»-----（**）（**）式称为拉格朗日中值公式；（3）罗尔定理及拉氏定理仅指明«Skip Record If...»，具体«SkipRecord If...»的位置是什么，定理本身并未明确指出.但在大多数问题中知道这一点已经足够了。
因此我们才称上述两定理为中值定理，这个“中”其实是“内部”的意思，并非“正中间”.中值定理是利用导数的局部性态来研究函数整体性态的重要工具；（4）为了强调中值«Skip Record If...»的位置特征，可记«Skip Record If...»；（5）故拉氏定理又可写为«Skip Record If...»----（4）（6）由拉氏定理，«Skip Record If...»上式称为有限增量公式.例1.验证：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足拉氏定理的条件，并求出定理结论中的点«Skip Record If...».解：（一）1.由«Skip Record If...»，知«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处连续，从而在«Skip Record If...»上连续；2.按左、右导数的定义不难求出«Skip Record If...»从而«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»因此，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足拉氏定理的条件. （二）由拉氏定理的结论：«Skip Record If...»，使«Skip Record If...».不难算得：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。
注意：中值定理中结论只保证中间值«Skip Record If...»的存在性，至于«Skip Record If...»是否唯一，不唯一时有几个，如何求«Skip Record If...»？定理本身并未指出.例2．设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»证明：«Skip Record If...»使«Skip Record If...»证明：（分析寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析.命题只须证«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，或者«Skip Record If...».故令«Skip Record If...»«Skip Record If...»。