北师大版七年级下册数学整式的乘除幂的乘方与积的乘方

北师大版七年级下册数学整式的乘除幂的乘方
与积的乘方
集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
教学设计幂的乘方与积的乘方
第二课时
整体设计
教学重点与难点
教学重点：积的乘方的运算性质的推导及应用．
教学难点：幂的乘方与积的乘方运算性质的灵活应用(二者的区别、正用、逆用)．
学情分析
学生通过从特殊到一般的研究过程，使用归纳概括的研究方法，已经学习了“同底数幂的乘法”和“幂的乘方”这两种和幂有关的运算，并且在练习了与之有关的延伸题及变形题后具有了一定的解题能力. 本节课应继续提供给学生合作交流的空间，继续让学生感受知识之间的内在联系，加深对新法则及算理的理解．
教学目标
1．通过探索积的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．了解积的乘方的运算性质，并能解决实际问题．
3．培养学生的观察探究能力，体会转化的数学思想．
教学方法
本课采用引导探究法，让学生进行自主探索、合作交流的研讨式学习．先通过回顾环节复习新课探究所需的旧知识，再设计层层递进的问题串，把对具体数据的研究转化为对抽象规律的概括，使学生在独立思考与讨论中主动建构知识，得出法则，最后辅以习题巩固熟练．
教学过程
一、复习导入
设计说明
在学习过程中保持思维的连贯性是一件十分重要的事情，前面学生已经学习了两节幂的运算，而本节由复习开始，就是让学生在回忆旧知识的同时回忆推导过程所蕴涵的数学思想，着重立足知识的建构，从而为新知识的学习打下坚实的基础．
1．幂的意义：
2．同底数幂的乘法法则：a m·a n＝a m＋n(m，n为正整数)．
3．幂的乘方的运算法则：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)．
教学说明
这节课是幂的运算系列的第三个课时，教师要注意引导学生对知识进行及时的梳理整合．对于中上游的学生来说，从记准公式法则到对比法则的形成推导过程，应要求他们体会出知识之间的连贯性以及蕴涵的从特殊到一般的数学思想．对于基础稍弱些的学生，就要注意检查他们对几种运算的区分情况，避免出现使用公式时“张冠李戴”．
二、讲授新课
设计说明
这个环节主要按探索——归纳——例题解析的顺序展开，让学生经历从特殊到一般的数学思维过程，在自主探究和合作学习中，使知识和能力得到螺旋式上升．教学过程采用边练、边议、边总结的方法，以训练学生的推理能力、有条理的语言表达能力和推广发散的深入思考能力．
(一)探索练习：
问题：×53等于多少？怎样计算？
答案：(23×53)＝(2×2×2)×(5×5×5)＝(2×5)×(2×5)×(2×5)＝(2×5)3＝103.
2．根据乘方的意义，(ab)3表示什么？
答案：表示3个ab相乘．
3．为了计算算式ab·ab·ab，可以应用乘法的交换律和结合律把它写成什么形式？
答案：ab·ab·ab＝(a·a·a)(b·b·b)＝a3b3.
4．在上面的计算中你发现了什么规律？能用式子表示吗？你能验证这一结论吗？
答案：
(二)观察归纳：
积的乘方的运算性质：(ab)n＝a n b n(n是正整数)．
语言叙述：积的乘方，等于把积中各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
引申：(最好由教师引导学生思考后表述)
1．底数中的a，b可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式．
2．公式可推广使用：(abc)n＝a n b n c n(n为正整数)．
3．公式的逆用：a n b n＝(ab)n(n是正整数).
(此处变形还可理解为“同指数幂的乘法运算”，可以作为拓展试着让学生叙述出法则：指数不变，底数相乘．)
(三)例题解析：
例1 计算：(1)(3x)2；(2)(－2b)5；(3)(－2xy)4；(4)(3a2)n.
答案：(1)9x2；(2)－32b5；(3)16x4y4；(4)3n a2n.
例2 地球可以近似地看作是球体，如果用V, r分别代表球的体积和半径，那么V＝4
πr3.地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取
3
答案：约为×1011
立方千米．
例3 计算：(1)28×58；(2)(－5)16×(－2)15；(3)24×44×(－4.
答案：(1)108；(2)－5×1015；(3)1.
教学说明
在探索环节中，通过设计四个层层递进的问题，加上学生通过多次推理所具备的分析能力，此处公式及法则的推导产生得更加自然准确．尤其是探索练习的第4问，学生的说理及运算步骤的书写非常清晰流畅，同时为归纳性质提供了翔实的结果．
由于考虑到课本知识与实际应用之间的差距，所以在归纳环节继续补充了“引申”部分，教学中教师一方面可以引导学生类比“同底数幂的乘法”和“幂的乘方”的学习进行讨论，另一方面也是增加了进一步训练和发展学生的发散思维的时机，并为后面知识的整合打下基础．
例题解析环节的例1与例2 均采用课本原题，例2为补充题，因为公式逆用在实际问题解决的过程中能够为计算带来简便作用，尤其在“积的乘方”的逆用上考查特别突出．
三、变式训练，熟练技能
设计说明
设计的题目以落实本节重点知识为目的，让学生充分熟练积的乘方的运算性质，特别是公式使用准确，符号的运算准确，形成初步技能．
练习1：判断下面计算是否正确？如果有错误请改正．
(1)(ab 4)4＝ab 8； (2)(－3pq )2＝－6p 2q 2.
练习2：计算：
(1)(－3n )3； (2)(5xy )3； (3)－a 3＋(－4a )2a .
练习3：下列运算错误的是( )．
A ．(2xy 2)2＝4x 2y 4 2＝14
a 4
b 2 C ．(－2x 2y 3)3＝－8x 6y 9 D ．(－2ab 2)2＝－4a 2b 4
练习4：计算：
(1)70×872；
(2)a 6b 3＝27，则a 2b ＝__________；
(3)a 3·a 4·a ＋(－a 2)4＋(－2a 4)2－(a 2b 2)3.
答案：1.(1)错误，应该为a 4b 16；(2)错误，应该为9p 2q 2.
2．(1)－27n 3；(2)125x 3y 3；(3)15a 3.
3．D
4．(1)64；(2)3；(3)6a 8－a 6b 6.
教学说明
练习1与练习2选自课后“数学理解”和“随堂练习”，练习3是补充题，这些题目比较基础，旨在熟悉运算公式及法则．
补充的练习4除了训练积的乘方运算的逆用之外，还关注同其他运算的结合. 做题时一方面注意运算性质不能用错，另一方面要注意合并同类项．
最后注意让学生反思自己基本技能的熟练情况，做好自我评价与小组评价．
四、总结反思
通过今天的学习，讲讲自己对积的乘方的性质掌握得好的方面，同时你认为在法则的理解和运用中应该提醒同学们注意哪些事项．
组织学生先在小组内反思讨论，然后互相补充，总结以下几点：
1．底数中的a ，b 可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式．
2．公式的逆用给运算带来简便．
3．一定要严格区分“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”三种运算中指数运算的不同．
五、布置作业
1．理解并记忆积的乘方的运算性质，包括公式和语言表述．
2．课本本节习题“知识技能”的第1,2题，“联系拓广”的第6题．
六、拓展练习
3等于( )．
a 4
b 2 a 6b 3 C ．－18a 6b 3 D ．－18a 5b 3
2．在下列各式中，计算正确的有( )．
(1)a 3·a 4＝a 12；(2)(a 3)4＝a 7；(3)a 5－a 3＝a 2；(4)(xy 2)3＝x 3y 6；(5)2a 2＋a ＝3a 3；
(6)(－a )2·(－a 2)＝a 4.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．若n 是正整数，且x n ＝6，y n ＝5，求(xy )2n 的值．
答案：
3．(xy )2n ＝x 2n y 2n ＝(x n )2(y n )2＝(x n y n )2＝(6×5)2＝302
＝900. 评价与反思
1．对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学思想方法，因为许多数学思想方法不但可以训练学生的数学思维，而且对他们处理其他问题也有很大的帮助，像本节课主要涉及的从特殊到一般的数学思想就是其中很重要的一种，并且在前面连续几个课时的学习中，上述方法始终被反复使用．
2．本节课不论是新知识的探索，还是课堂练习的巩固与反思，小组合作学习的优势体现得非常突出. 数学课堂本来就是学生自主学习的课堂，借助小组成员间的合作交流，使
他们通过自己的视角发现问题，用自己的智慧解决问题，远比教师的讲解要有效得多．当然教师并不是完全的放手，适时地做指导或引导仍然很关键．。