高等数学导数应用微课
《名师伴你行》数学一轮复习--导数的应用(1)省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
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3．已知二次函数f(x)的图像如图所示，那么其导函数 f′(x)的图像大致形状是( )
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A．
B．
C．
D.
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解析：由函数f(x)的图像知，当x∈(－∞，1)时，f(x)为 减函数，∴f′(x)＜0.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)为增函数，∴f′(x)＞0. 答案：C
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名师伴你行
级高考数学一轮复习课件
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§3.2 导数的应用(一)
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[高考调研 明确考向]
考纲解读
考情分析
•了解函数单调性和导数的关系；能 •利用导数研究函数的单调性、极值
利用导数来研究函数单调性，会求 是近几年高考的热点． 函数的单调区间(其中多项式函数一 •选择题、填空题侧重于利用导数确 般不超过三次)． •了解函数在某点取得极值的必要条 定函数的单调性和极值．解答题侧
件和充分条件；会用导数求函数的 重于导数与函数、解析几何、不等
极大值、极小值(其中多项式函数一 式、数列的综合应用，一般难度较
般不超过三次).
大，属中高档题.
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知识梳理 1.函数的单调性与导数 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都 不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)为□1 ______________； f′(x)≤0⇔f(x)为□2 ______________.
围；若不是，请说明理由．
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解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝(－x2－2x)e－x， ∴f′(x)＝(x2－2)e－x. 令f′(x)＜0，得x2－2＜0. ∴－ 2＜x＜ 2. ∴函数的单调递减区间是(－ 2， 2)． (注：写成[－ 2， 2]也对)
届数学一轮复习第三章导数及其应用创新引领微课破解有关x与exlnx的组合函数的金钥匙教学案含解析
破解有关x与e x，ln x的组合函数的金钥匙微点聚焦突破有关x与e x，ln x的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式（或比较大小)、求参数的取值范围（或最值)等.如2019年全国Ⅰ卷T13是以x与e x 的组合函数为载体，考查切线方程的求解，2019年全国Ⅲ卷T6是以x与e x,ln x的组合函数为载体,考查导数的几何意义，2018年全国Ⅱ卷T3是以x与e x的组合函数为载体，考查函数的图象的识别,2019年天津卷T20以x与ln x，e x的组合函数为载体考查函数的零点与不等式证明。
预计今年高考对有关x与e x，ln x的组合函数的考查，除了延续往年的命题形式，还会更着眼于知识点的巧妙组合，突出对数学思维能力、数学核心素养的考查.类型一构造函数【例1】(2020·成都七中检测)已知函数f(x）＝ax－错误!,a∈R. (1）若f（x）≥0，求a的取值范围；(2)若y＝f(x)的图象与直线y＝a相切，求a的值.(1)解由题易知,函数f(x）的定义域为(0,＋∞）.由f（x）≥0，得ax－错误!≥0，所以ax≥ln xx，又x>0，所以a≥错误!。
令g（x）＝错误!，则g′(x）＝错误!。
令g′(x）>0，得0<x〈错误!，令g′(x）<0，得x〉错误!.所以当0〈x<错误!时，g（x)单调递增，当x〉错误!时，g(x)单调递减。
所以当x＝e时,g（x）取得最大值g（e)＝错误!，所以a≥错误!，即a的取值范围是错误!.（2）证明设y＝f(x）的图象与直线y＝a相切于点（t,a），依题意可得错误!因为f′(x)＝a－错误!，所以错误!消去a可得t－1－(2t－1)ln t＝0.(＊)令h(t)＝t－1－（2t－1）ln t，则h′(t）＝错误!－2ln t－1，易知h′(t)在(0，＋∞)上单调递减,且h′(1)＝0，所以当0<t<1时,h′(t）>0,h（t）单调递增，当t>1时，h′(t）<0，h(t）单调递减。
高等数学(理工科)课件第3章导数的应用
0
0
极
f (x) ↗ 大
值
极大值 f (1) 10,
极
↘
小
↗
值
极小值 f (3) 22.
高等数学应用教程 3.2.1 函数的极值及其求法
解法2 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) f (x) 6x 6 6(x 1)
令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 由于 f (1) 12 0， 则 f (1) 10为极大值 由于 f (3) 12 0， 则 f (3) 22为极小值
1、求出函数 f（x）所有的临界点（驻点和不可导点）；
2、计算各临界点的函数值和区间端点的函数值；
3、比较各函数值的大小，其中最大的就是函数 f(x)在区 间[a, b]上的最大值，最小的就是函数 f(x)在区间[a, b] 的最小值.
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值 例3
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值
2
arctan
1 n
n
( n 为正整数)?
高等数学应用教程
二、 型未定式
定理3.3.2 如果函数 f (x)和g (x)满足：
2)
f
( x)、g ( x)
，在
o
U(x0 )
内可导，且
f (x)
3) lim
A
xx0 g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xx0 g(x) xx0 g(x)
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
1.2.1《导数的计算》省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
x
xx
x x xx
x2
1 x
•
， x
所以
y'
lim
x0
y x
lim x0
x2
1 x
•
x
1 x2
.
11/32
探究
画出函数
y
1 x
图象.依据图象,描述它改变情况,并求出
曲线在点(1,1)处切线方程.
y
2 1
-2 -1
12
x
-1
-2
12/32
5.函数 y = f (x) = x 导数
因为 y f x x f x x x x
f ' (1)等于 ___e___
1
(4) (1oga x )' ___x_l_n_a__
20/32
4.求以下函数导数
(1) y x12 (2) y x x (3) y 1 (4) y 5 x3
x4
1
(5) y x (6) y x3
21/32
小结、基本初等函数导数公式 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=___0__;
f (x)g(x) f (x)g(x)
g ( x)2
3:求以下函数导数
(1)y=tanx
sin x cos2 x sin2 x 1
y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x
(2) y
x3 x2 3
y'
x2 6x (x2 3)2
3
27/32
堂上练习 求以下函数导数：
1y 2x4 20x2 40x 1
2y 3 2x 4x2 5x3 1 x4
6
3y (2x3 1)(3x2 x)
导数专题及其应用教案
导数专题及其应用教案教案标题：导数专题及其应用教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 熟悉导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。
教学难点：1. 理解导数的概念和意义；2. 运用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具；2. 学生准备：教材、笔记、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 通过一个简单的例子，引导学生思考导数的意义。
二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数；3. 通过示例演示导数的计算过程。
三、导数在函数图像中的应用（15分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系，包括导数与函数的增减性、极值和拐点；2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性，并绘制函数图像；3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点，并绘制函数图像。
四、导数在曲线的切线方程中的应用（15分钟）1. 引入导数与曲线的切线方程的关系；2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤；3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程，并进行实际问题的应用练习。
五、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用领域，如物理、经济等；2. 提供一些实际问题，引导学生运用导数解决问题；3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。
六、总结（5分钟）1. 简要回顾导数的概念和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用；3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。
教学延伸：1. 提供更多的导数计算练习题，巩固学生的计算能力；2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例，并进行讨论和分享。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成课后作业，包括导数计算和应用题目；3. 学生进行小组或个人报告，展示导数在实际问题中的应用案例。
高中数学中的导数应用案例全面解析与计算
高中数学中的导数应用案例全面解析与计算导数是高中数学中的一个重要概念，在不同的数学问题中都有广泛的应用。
本文将通过一些具体案例，全面解析和计算导数的应用，以帮助读者更好地理解和应用导数。
案例一：汽车行驶问题假设一辆汽车以恒定的速度行驶，车速为v(t)（单位：m/s）。
我们需要求出汽车行驶过程中的加速度a(t)。
根据导数的定义，加速度a(t)可以表示为车速v(t)对时间t的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
由此，我们可以通过求车速对时间的导数得到加速度。
在具体计算中，我们可以用一个具体的函数来描述车速v(t)的变化规律。
例如，假设车速v(t) = 2t + 3，其中t为时间（单位：s）。
根据导数的计算规则，这个函数的导数即为加速度。
对v(t)进行求导，有：dv(t)/dt = d(2t + 3)/dt = 2因此，这辆汽车的加速度恒定为2 m/s²。
案例二：曲线的切线问题假设有一条曲线y = f(x)，我们需要求出该曲线在某一点P(x0, y0)处的切线斜率k。
根据导数的定义，斜率k可以表示为曲线y = f(x)在点P处的斜率，即k = dy/dx |x=x0。
其中，dy/dx表示y对x的导数，"|"表示在x=x0的意思。
在实际计算中，我们首先需要确定曲线函数f(x)的具体形式，以及点P(x0, y0)的坐标。
然后，对曲线函数进行求导，并将x的值代入导函数，即可得到切线斜率k的值。
以一个具体的例子来说明。
假设曲线为y = x²，要求在点P(2, 4)处的切线斜率k。
首先，对曲线函数y = x²进行求导，得到导函数dy/dx = 2x。
然后，将点P(2, 4)中的x坐标代入导函数2x，即可得到切线斜率：k = dy/dx |x=2 = 2(2) = 4所以，在曲线y = x²的点P(2, 4)处，切线的斜率为4。
通过以上两个案例，我们可以看到导数在不同数学问题中的应用。