高等数学导数的应用

第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 函数的性质 第三节 洛必达法则
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第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
第二节 函数的性质
本节主要内容: 一.函数的单调性 二.函数的极值 三.函数的最值 四.曲线的凹凸性 五.曲线的渐近线 六.函数的分析作图法
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第三章 导数的应用
x (-,-1) -1 (-1,3) 3
f ( x) +
0
-
0
f (x)
驻点
驻点
(3,+ ) +
所以(-,-1]和[3, +)是单调增区间， [-1,3]是单调减区间． 10
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
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例5 求函数 f ( x) ( x 2) x 3 的单调区间.
解 （1）函数的定义域为(-,+)；
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第三章 导数的应用
求函数单调区间的步骤： （1）确定f(x)的定义域；
第二节 函数的性质
（2）求出函数 在考察范围内的全部驻点和不可导点 （除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；
（3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干 个子区间；
（4）确定f (x)在各部分区间的符号，据判定定理判 定出f (x)的单调性
（2） f ( x) 5x 4 33 x
,不可导点为x1=0.
令f (x)=0 ，得,x2=4/5 ．
（3）将定义域分为三个区间 (-,0),(0,4/5),(4/5, +)；
x f ( x) f (x)
(-,0) +
0
不存在
不可导点
(0,4/5) -
4/5 0 驻点
(4/5,+ ) +
所以(-,0]和[4/5, +)是单调增区间, [0,4/5]是单调减区间．
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第三章 导数的应用
利用单调性证明不等式
第二节 函数的性质
例6 证明：当x>0时，ex>1+x ．
证明 令f(x)=ex-1-x ，则f(x)在[0,+ )上连续、可导,且 f (x)= ex-1
当x>0时， y>0 ,函数在[0,+ )上单调增加
所以x∈ [0,+ ),有f(x)>f(0)=0，即ex-1-x>0
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取
得极值的点称为极值点．
注： 1、极值是指函数值，而极值点是自变量的值； 2、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较， 该点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最 大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大；
3、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端 点。
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第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
例4 求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的单调区间.
解 （1）函数的定义域为(-,+)；
（2） f (x)= 3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) ，无不可导点
令f (x)=0 ，得 x1=-1,x2=3 ． （3）它们将定义域划分为三个子区间： (-,-1) , (-1,3),(3, +)；
y =ex-1，
当x>0时， y>0 ,函数在( 0,+ )上单调增加 当x<0时， y<0,函数在(-, 0)上单调减少
当x=0时， y=0；x=0为单调区间的分界点
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第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
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例3 讨论函数 f x x3 的单调性.
解
函数的定义域为(-,+)； y
2
1
x3
2
3
33 x
所以：当x>0时， y>0 ,函数在[0,+ )上单调增加 又因为： f(0)=0， 所以x∈ [0,+ ),有f(x)>f(0)，即不等式成立.
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第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
二、函数的极值
设函数 y = ƒ(x)在(a ‚ b)内图形如下图: yM y= ƒ(x)
a
o 1
2
m
bx
在1处的函数值f(1) 比它附近各点的函数值都要小; 而在2处的函数值f(2)比它附近各点的函数值都要大;
所以当x>0时， ex>1+x
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第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
例7 证明：1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ( x 0).
证明 令 f ( x) 1 x ln( x 1 x2 ) 1 x2
则 f '( x) ln( x 1 x2 ) 0 ( x 0)
但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此,我 们引入极值与极值点的概念.
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第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
定义3.2.1
定义，x
N
(
x0
,
设函数f(x)在x0的某领域N(x0,)内有
) ，都有
（1）f(x)<f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极大值；
（2）f(x)>f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极小值．
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第三章 导数的应用
一、函数的单调性
第二节 函数的性质
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第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
定理3.2.1（函数单调性的判定法）设y=f(x)在[a,b] 上连续，在开区间(a,b)内可导，则
（1)如果在(a,b)内f (x)>0 ，那么函数y=f(x)在[a,b]上单 调增加；
（2)如果在(a,b)内f (x)<0 ，那么函数y=f(x)在[a,b]上单 调减少．
当x=0时， y=0 由函数图像可知函数在(-,+)上是单调递增的
当f(x)在某区间内仅在个别点处的导数为0或不存在， 而在其余各点处导数均为正（或负）时，f(x)在该区 间仍是单增（或单减）的。
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第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
例2 论函数f(x)=ex-x-1的单调性. 解 函数的定义域为(-,+)；
当x>0时， y>0 ,函数在( 0,+ )上单调增加
当x<0时， y<0,函数在(-, 0)上单调减少
当x=0时， y不存在. x=0为单调区间的分界点
当f(x)在定义区间除去有限个点外导数均存在,那么 只要用导数为零的点(驻点)和导数不存在的点来划分 f(x)的定义域，就能保证在各个部分区间上单调。 （单调区间的分界点为驻点和不可导点）
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第三章 导数的应用
单调性的应用
第二节 函数的性质
利用导数性质来判断函数的性质，它包含两个典 型的问题：
（1）求函数单调区间
（2）证明不等式，通常是两项不等式
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第三章 导数的应用
例1 讨论函数y=x3的单调性.
第二节 函数的性质
解 y= x3的定义域为(-,+)；
y =3x2，当x∈ (- ,0)和 (0 ,+)时， y>0