第五章第3节定积分的换元法和分部积分法98745
定积分的换元法和分部积分法
定积分的换元法和分部积分法文章标题：深入探讨定积分的换元法和分部积分法在高等数学中，定积分的换元法和分部积分法是两种重要的积分求解方法，它们在求解复杂积分问题时起着至关重要的作用。
通过这篇文章，我们将从简到繁，由浅入深地探讨定积分的换元法和分部积分法，以便读者能更加全面、深刻地理解这两种方法。
1. 定积分的换元法在定积分的换元法中，我们通过引入一个新的变量来简化被积函数，从而更容易求解定积分。
在求解具体的定积分时，我们常常会遇到被积函数与变量之间的复杂关系，利用换元法可以将原积分转化为一个简单的形式，然后通过简单的积分求解方法来得到最终的结果。
举例来说，当被积函数为sin(x^2)时，我们可以通过令u=x^2来进行换元，将原积分化为sin(u)的形式，从而更容易求解出积分的结果。
2. 定积分的分部积分法与换元法类似，分部积分法也是在求解定积分时经常使用的方法之一。
通过分部积分法，我们可以将原积分中的乘积形式进行分解，然后转化为一个更容易求解的形式。
在分部积分法中，我们通常选择一个函数作为u，选择另一个函数的微分作为dv，然后通过积分公式将原积分转化为u*v的形式，最终求解出积分的结果。
举例来说，当被积函数为x*cos(x)时，我们可以通过选择u=x和dv=cos(x)dx来进行分部积分，将原积分化为x*sin(x)-∫(sin(x))dx的形式，从而更容易求解出积分的结果。
通过以上简单的介绍，我们可以看到定积分的换元法和分部积分法在简化复杂积分问题时起着至关重要的作用。
通过这两种方法，我们可以将原积分转化为更容易求解的形式，从而更加灵活地解决数学中的积分难题。
总结回顾：在本文中，我们从简到繁，由浅入深地探讨了定积分的换元法和分部积分法。
通过具体的例子，我们展示了这两种方法在求解复杂积分问题时的重要作用。
我们希望读者通过本文的介绍，能更加全面、深刻地理解定积分的换元法和分部积分法，并在实际的数学问题中灵活运用这两种方法。
积分的换元法与分部积分法
积分的换元法与分部积分法积分作为微积分中重要的概念和工具，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
积分可以通过不同的方法来求解，其中换元法和分部积分法是常见且重要的两种方法。
本文将介绍积分的换元法和分部积分法，并对其原理和应用进行详细讨论。
一、换元法换元法又被称为变量代换法，其核心思想是通过引入新的变量来简化被积函数的形式。
具体步骤如下：1. 选择合适的变量代换。
2. 计算新变量关于原变量的导数，确定微元的变换关系。
3. 将被积函数和微元用新变量表示，进行积分计算。
4. 将结果用原变量表示，得到最终的积分结果。
举例来说，如果要计算∫(2x+1)^2 dx，可以选择变量代换u = 2x + 1。
根据导数的链式法则，有du/dx = 2，从而dx = du/2。
将被积函数和微元用新变量表示，得到∫u^2 (du/2)。
对该表达式进行积分计算，并将结果用原变量表示，即可得到∫(2x+1)^2 dx的积分结果。
换元法在解决一些形式复杂的积分问题时非常有用，可以将原函数变换为更简单的形式，进而实现积分的计算。
二、分部积分法分部积分法是对求导和求积分的相互关系的一种应用。
其基本原理是根据乘积的求导法则，将被积函数分解为两个函数的乘积的导数形式，从而利用求导法进行积分的计算。
具体步骤如下：1. 选择合适的分解形式。
2. 对乘积中的一个函数求导。
3. 对另一个函数进行积分。
4. 将结果用原变量表示，得到最终的积分结果。
举例来说，如果要计算∫x*sin(x) dx，可以将被积函数分解为两个函数的乘积形式，即f(x) = x和g(x) = sin(x)。
根据导数的乘法法则，有(fg)' = f'g + fg'，其中f'和g'分别表示f(x)和g(x)的导数。
将该等式与积分的相互关系结合，得到∫f(x)g'(x)dx = fg - ∫f'(x)g(x)dx。
利用该等式进行计算，即可得到∫x*sin(x) dx的积分结果。
5-定积分的换元法和分部积分法
解
0x
sinxt t
dt
x 2sinu
0
du u
sin x2
原 式 x l i0m x120x2su iu ndu 00
lim
x0
x2 2x
2x
1
18
定积分的换元法和分部积分法
二、定积分的分部积分法
definite integral by parts
定理2 设 u(x),v(x)在区[a间 ,b]上有连续的导数,
1a2
4
这是半径为a的四分之一的圆的面积.
7
定积分的换元法和分部积分法
几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分
由被积函数和积分区间来确定变换.
例 设 f(x )在[ 区 a ,a ]上 间 ,证 可明 积 令xt
a af(x )d x0a[f(x )f( x )d ] x d x d t.
证明 0af(x)dxa0f(t)dt 0af(x)dx
解 法一 令x2t, dxdt
13f(x2)dx11 f(t)dt
01(1t2)dt 01etdt
7 3
1 e
12
定积分的换元法和分部积分法
例 若 f(x)在 [0,1]上连 ,证 续明
(1 )0 2f(s x )d ix n 0 2f(c x )d o x ;s
证 (1) 设 x t d x d t
2
02
f(sinx)dx
0
f[sin(t)d ]t 2
2
02f(cot)sdt 02f(cox)sdx
14
定积分的换元法和分部积分法
周期函数的定积分公式
如果 T是连续f函 (x)的 数周, 期
aaTf(x)dx0Tf(x)dx a为任何. 常数
定积分换元法与分部积分法
定积分换元法与分部积分法在微积分中，求解定积分是一个常见的问题。
为了解决这一问题，数学家们发展出了一系列的积分技巧和方法。
其中，定积分换元法和分部积分法是两种常用的方法。
1. 定积分换元法定积分换元法，也经常被称为反链式法或者u-置换法，是一种通过变量替换的方法来求解定积分的方法。
其基本思想是：将被积函数中的一个变量替换为一个新的变量，使得原来的被积函数在新的变量下形式简化。
换元法的一般步骤如下：1.选择一个合适的变量替换，通常使用一个新的变量来替换被积函数中的一个变量。
2.计算新的变量对应的微元变量，并求得其微分。
3.将原来的被积函数表示为新的变量的函数，并对其进行简化。
4.计算新的定积分，并将结果转换回原来的变量。
通过这种换元法，我们可以简化复杂的被积函数，从而更容易求解定积分。
下面通过一个实例来进一步说明定积分换元法的具体步骤。
示例：求解定积分 $I = \\int_{1}^{2} \\frac{1}{x^2} dx$步骤1：选择合适的变量替换。
我们选取新变量u=x2，则du=2xdx步骤2：计算新变量对应的微元变量。
由du=2xdx，可以得到 $dx =\\frac{du}{2x}$步骤3：将原被积函数表示为新的变量的函数，并进行简化。
将x表示为u的函数，则 $x = \\sqrt{u}$。
将被积函数 $\\frac{1}{x^2}$ 替换为 $\\frac{1}{u}\\cdot \\frac{1}{2\\sqrt{u}} = \\frac{1}{2u\\sqrt{u}}$步骤4：计算新的定积分，并转换回原变量。
将积分的上下限也用新的变量表示，则新的定积分为 $I = \\int_{1}^{4} \\frac{1}{2u\\sqrt{u}} \\cdot\\frac{du}{2x}$。
对新的定积分进行计算，得到 $I = \\frac{1}{4}\\left( \\frac{1}{\\sqrt{4}} - \\frac{1}{\\sqrt{1}} \\right) = \\frac{1}{8} -\\frac{1}{4} = -\\frac{1}{8}$通过定积分换元法，我们成功求解了该定积分的值。
第三节 换元法、分部积分法
b
a vdu
（2）
几点注记：
b a
u
d
v
uv
b a
b
v du
a
（1）使用定积分的分部积分公式的方法或技巧 同不定积分的情形完全相同，其目的还是要快 捷、方便地求出原函数。
（2）使用分部积分法不需要变换积分上、下限.
（3）分部积分法常与换元法结合使用。
例1：计算
1
0
xe x dx
解：
n
I 0 1 sin 2x dx
aT
解: (1) 记 (a) a f (x)dx, 则
(a) f (a T ) f (a) 0
可见 (a)与a无关，因此 (a) (0), 即
并由此计算
例12：设f
(x)
1 x2 ex
x0 ,求
x0
3
f ( x 2) d x
1
解：
3 1
b
F(b) F(a) a f (x)d x
几点注记：
b
a
f ( x)d x
f [ (t)] '(t)d t
（1）换元的基本思路是方便有效地找出被积函
数的原函数。这与不定积分的换元思路相同。
（2）换元的同时一定要相应地变换积分的上、 下限。
（3）同不定积分的换元法不同的是，在用换元 法求出原函数后，不必代回原来的变量，这使 问题变得更加方便、简单。
第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 不定积分的换元法
• 第一类换元公式
u (x)
f [(x)] '(x) d x
f (u) du (1)
• 第二类换元公式
x (t)
f (x) d x f [ (t) ] '(t)dt (2)
第三节 定积分的换元法和
t3 2[
3
t ]12
8 3
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2020年3月7日3时21分
13
第三节 定积分的换元法和分部积分法
本节
例2
计算 2 sin3 x cos xdx 0
知识 引入
解 令sin x t,则dt cos xdt.
本节 目的
x 0 t 0; x t 1
0
1 2
5 eudu
1
1 eu 2
5 1
1 (e5 e) 2
注意: 定积分的换元法一定要换积分的上下限.
2020年3月7日3时21分
10
解: (2)令 2x 1 u,则dx udu 当x 0, u 1;当x 4, u 3.
4
x 2 dx
u2 1 2
0
20
由此计算
x sin x 0 1 cos2 x
dx .
证 （1）设 x t dx dt, 2
x 0 t ,
2
x t 0, 2
2020年3月7日3时21分
21
2 f (sin x)dx
0
0
2
f
sin
2
9
➢ 换元积分法
例3.求下列定积分
(1) 2 e2x1dx 0
4 x2
(2)0
dx 2x 1
1
(3)
1 x2 dx
0
解: (1)令2x 1 u,则dx 1 du
2
说明: 换积分上下限.通过u=2x+1来计算.
当x=0时,u=1;当x=2时,u=5. 所以
高等数学：第三节 定积分的换元法与分部积分法
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
26
1
1 2
20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1 x2
1 2
0
12
3 1. 2
27
例2 计算 4
xdx .
0 1 cos 2 x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
sin cos
x
2
x
dx
.
证 设 x0 t dx dt
0
0
xf (sin x)dx
(
t) f [sin(
t)]dt
0 ( t) f (sin t)dt
0 xf (sin x)dx
0 f (sin t)dt 0 t f (sin t)dt
xf (sin x)dx
关于奇、偶函数、三角函数、周期函数的定积分的
例子.
例 设f ( x)在区间[a, a]上可积,则
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
证
由于
a
f ( x)dx
0
f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
a
0
对 0 f ( x)dx作变换, 令x t, dx dt. a
f (sin x)dx.
0
20
18
xf (sin x)dx
0
2 0
f (sin x)dx
0
1
x
sin x cos2 x
高等数学§5-3定积分的换元法-PPT文档资料
则 有 f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt . a
b
应用换元公式时应注意:
（1） 用x
( t )把变量 x换成新变量 t 时，积分限也
相应的改变.
求出 （2）
f [ ( t )] ( t )的一个原函数 ( t ) 后，不必象
计算不定积分那样再要把 ( t ) 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入
2
．
2
这时由于没有换元 , 也就不需要换限 , 这样计算更为简便.
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例3
计算
2
0
5
2
5 cos x sin xdx .
5 解： cos x sin xdx cos cos x xd
2
0
0
令 t cos x
0
1
t dt
5
t 6
6 1
0
1 . 6
，
3 . x4 s in x 2 1 x2 dx 0 2
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二、定积分的分部积分法
设函数 u( x )、v ( x ) 在区间a , b上具有连续导数，则有
a udv uv a a vdu.
b b
b
上式称为定积分的分部积分公式 推导
uv u v u v ,
1 u e 2
2
0
.
1 2 0 1 2 (e e ) (e 1) 2 2
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在例2中,被积函数的原函数可采用凑微分来 计算,即
2
0
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一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结
1
一、换元公式
定理 假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2 ） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（ 3） 当 t在 区 间 [,]上 变 化 时 ，x(t)的 值 在 [a,b]上 变 化 ， 且 ()a、 ()b，
0
2(31)4
2
例 5
2 dx
2
dx
2 x x2 1
2
x2
1 ( 1 )2
x
2
2
d(1 ) x
1 ( 1 )2 x
arcsin1 x
2
26
4
12
8
例６ 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3 解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3n xsi5n xdx
则 有 a bf(x )d x f[(t)](t)d.t
2
证 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
b
af(x)d xF (b)F (a),
令 (t)F[(t)],
则 () F (() )F (a ), () F (() )F (b )
(t)dFdxf(x)(t)f[ (t) ](t),
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 af(x ) d中 令 x x t,
12
0
a
f(x)dxa0f(t)dt0a
f
(t)dt,
① f(x ) 为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx
2 0
1 2cos2
dx x
2
2 2
1
0 cos2
d( x) x2
2 tan
x 2
2 0
2(tanta0n)2
4
2
14
例11
计算
1 2x2xcoxs dx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs dx 1 1x2
偶函数
奇函数
401
1
x2 1x2
dx401
x2(1 1x2) 1(1x2) dx
a
20 f(t)d;t
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )d0x .
13
0 如 55(x4xs2ixn22x3)2dx
例10 221c1oxs(1sinxx4 1)dx
2 2
1 dx
0 1cosx
2
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
0
2
sinx23dsinx
2
sin
5
x2
2
2
2 sin
5
x 2
4.
5
055Βιβλιοθήκη 293e4
dx
例７
计算
e
x
. lnx(1lnx)
3
解
原式 e4 e
d(lnx) lnx(1lnx)
3
4 x2 dx .
0 2x1
解: 令 t
2x1, 则
t21 x , dxtdt
2
且当 x0时 t 1, x4时 t 3
∴ 原式 =
3
t
2 1 2
2
t
dt
1t
1 3(t2 3)dt 21
1(1t3 3t ) 3 22
23
13
6
例３ 计算 2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,sd tsix nd, x
2 0
0
f(sinx)dx 2
fsin2tdt
2 f(cots)dt 2 f(coxs)dx;
0
0
16
(2 ) 0x(fsx i)d n x20f(sx i)d nx
由此计 01 x 算 csio2n xx sdx
证明: 设 x t d xd,t
x0 t, xt0,
0
0 xf(sinx)dx(t)f[s i nt)(d ] t
3
e4
e
d(lnx)
e4
lnx (1lnx) 2 e
d lnx 1( lnx)2
3
2arcslin nx)(e4 e
6
.
10
例８
计算
a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解 令 xasitn , d xaco tds , t
xa t , x0t0,
2
原式 2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)
1
40(1
1x2)dx 4401
1x2dx
单位圆的面积
4.
15
例 1 2 若 f ( x ) 在 [ 0 ,1 ] 上 连 续 ， 证 明
（ 1 ） 2 f (sin x ) dx 2 f (cos x ) dx ;
0
0
证
（1）设 x t 2
d xd,t
x0 t ,
2
x 2
t0,
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ) ] 的 一 个 原 函 数 .
3
f[(t)](t)d t () (),
F [() ]F [( )]
F (b)F (a),
即 bf(x)d xF(b)F(a) f[(t)](t)d.t
a
注意: 1、当 时,换元公式仍;成立
x t0, x0t1,
2
2 co5sxsinxdx
0
0t5dt
t6 1
1.
1
66
0
3、不换元就不换限。
如2
0
c
o5sxs
inx
dx
2
0
co5sxdcoxs 1cos6 6
x2 0
1 6
7
例 4 4 2 dx 4 d(2x1)
0 2x 1
0 2x1
1
11 4
(2x 1) 2
1 1
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn cots0 2
4
.
11
例9 当f(x)在[a,a]上连续，且有
①f(x)为偶函数，则
a
a
f
a
(x)dx20
f(x)dx；
②f(x)为奇函数，则aa f(x)dx0.
证
0(t)f(sti)n d,t
17
0 f(sitn)dt0 tf(sint)dt
0 f(sixn)dx0 xf(sixn)dx,
x(fsx ) id n x f(sx ) id n .x
0
20
01xscions2xxdx2 01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
２、换元要换限。
4
例1. 计算 a a2x2dx(a0). 0
解: 令 xasint,则 dxacotdst,
且当x0时 t 0, xa时 t 2
∴ 原式 = a 2 2 cos2 t dt 0
a2
2 (1co2st)dt
20
a2 1 (t sin2t)
2
a2
22
0
4
5
例2. 计算