定积分的换元法和分部积分法
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§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
定积分的换元积分法和分部积分法
下一页
返回
例2 计算
x
ln 8
ln 3
1 e x dx .
ln(t2
2 td t - 1) ， dx 2 . t 1
解 令 1 e t, 则 x =
x ln3 ln8 t 2 3
于是
3
ln 8
ln 3
1 e x dx 2
3 1 2t 2 dt dt 22 1 2 2 t 1 t 1
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例13 解
计算
1
0
(arcsinx )3dx.
先换元，再分部积分.
x 0 1 令 arcsinx = t， = sin t， dx = cos tdt， 则 x ， t 0 2 1
0 2 0
于是
(arcsinx )3dx 2 t 3 cos tdt .
2 0
e 2 [e x cos x ]02 e x sin xdx
2 0
e 2 1 2 e x sin xdx
移项，解得
上一页
1 e x sin xdx (e 2 1) 2
下一页
0
返回
e x dx. 例10 计算 0
1
解 先换元，后分部积分.
1
解 令 x t，则 x = t2 ，dx = 2tdt，
于是
1 2t dx 0 1 x 0 1 t dt
x 0 1 ， t 0 1
1
1 2 1 dt 0 1 t
1
2t ln | 1 t | 0 2 2 ln 2.
定积分的换元法和分布积分法
x2 1
x
2
dx
1
40
x2(1 1 x2 ) 1 (1 x2 ) dx
1
40 (1
1
x2
)dx
4
4 1 0
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx ;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
1
2 0
arcsin
xdx
x
arcsin
x
1 2
0
1
2 0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2
0
1
1 cos 2
x
d
(cos
x)
2
arctan(cos
x)0
( ) 2 . 2 44 4
二、分部积分公式
设函数u( x)、v( x)在区间a,b上具有连续
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t ) 然后相减就行了.
例1 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0,
5.3 定积分的换元法和分部积分法
( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
定积分换元法
t x x
x
x
t
x
f (t )( x − t )dt.
t
证明 :
∫0 [∫0 f (u)du]dt = t ⋅ ∫0 f (u)du 0 − ∫0 t ⋅d[∫0 f (u)du]
=x
x
t
∫0 f (u )du − ∫0 tf (t )dt x x = x ∫ f (t )dt − ∫ tf (t )dt 0 0
7 5 3 1 π 35 = 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π. 8 6 4 2 2 64
例 周期函数的积分性质 6．求下列定积分： 若 30 π f ( x )是以 T为周期的周期函数 , 则
f( （2） 10(1) sin nx dx x ) dx = π
n
∫
n
∫a ∫
a +T
∫0 f ( x)dx;
1
∫
1
∫
1 3 − x4 1 1 2 1 1 − x4 =− x f ′( x)dx = − x e dx = e d (− x 4 ) 0 2 0 4 0
∫
∫
∫
1 − x 4 1 1 −1 = e = (e − 1). 0 4 4
例 14.设f ( x)连续, 证明 :
∫0 [∫0 f (u )du ]dt = ∫0
f ( − x ) g ( x) dx
a
∴∫
=
a −a
f ( x) g ( x)dx = ∫ f (− x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g ( x)dx
0 0
a
∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]g ( x)dx =∫ 0 Ag ( x)dx =A∫ 0 g ( x)dx.
x
x
t
x
f (t )( x − t )dt.
t
证明 :
∫0 [∫0 f (u)du]dt = t ⋅ ∫0 f (u)du 0 − ∫0 t ⋅d[∫0 f (u)du]
=x
x
t
∫0 f (u )du − ∫0 tf (t )dt x x = x ∫ f (t )dt − ∫ tf (t )dt 0 0
7 5 3 1 π 35 = 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π. 8 6 4 2 2 64
例 周期函数的积分性质 6．求下列定积分： 若 30 π f ( x )是以 T为周期的周期函数 , 则
f( （2） 10(1) sin nx dx x ) dx = π
n
∫
n
∫a ∫
a +T
∫0 f ( x)dx;
1
∫
1
∫
1 3 − x4 1 1 2 1 1 − x4 =− x f ′( x)dx = − x e dx = e d (− x 4 ) 0 2 0 4 0
∫
∫
∫
1 − x 4 1 1 −1 = e = (e − 1). 0 4 4
例 14.设f ( x)连续, 证明 :
∫0 [∫0 f (u )du ]dt = ∫0
f ( − x ) g ( x) dx
a
∴∫
=
a −a
f ( x) g ( x)dx = ∫ f (− x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g ( x)dx
0 0
a
∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]g ( x)dx =∫ 0 Ag ( x)dx =A∫ 0 g ( x)dx.
定积分的换元法和分部积分法
f (x)dx
x = (t)
f [ (t) ] '(t) d t
a
b u d v = u vb −
b
v du
a
aa
a
aa
此公式称为定积分的分部积分公式.
例4.计算 1 x e x d x 0
0 x cos x d x
解: 1 x e x d x = 1 x d (e x )
0
0
=
x
e
x
1 0
−
1
e
x
d
x
0
=
x
e
x
1 0
−
e
x
1 0
= e − (e −1)
=1
1
例5.计算 arctan x d x 0
定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
提出问题
对于
1
e
2x
d
x
,
令
t
=
2
x
, 即令
x
=
1
t
,则
0
2
e 2x d t = 1 e t d t = 1 e t + C = 1 e 2x + C
2
2
2
于是
1
e
0
2x
d
x
=
1 2
e
2x
1 0
=
1 (e 2
2
− 1)
分析问题
1
(t
10−
t
11
)
d
t
x = (t)
f [ (t) ] '(t) d t
a
b u d v = u vb −
b
v du
a
aa
a
aa
此公式称为定积分的分部积分公式.
例4.计算 1 x e x d x 0
0 x cos x d x
解: 1 x e x d x = 1 x d (e x )
0
0
=
x
e
x
1 0
−
1
e
x
d
x
0
=
x
e
x
1 0
−
e
x
1 0
= e − (e −1)
=1
1
例5.计算 arctan x d x 0
定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
提出问题
对于
1
e
2x
d
x
,
令
t
=
2
x
, 即令
x
=
1
t
,则
0
2
e 2x d t = 1 e t d t = 1 e t + C = 1 e 2x + C
2
2
2
于是
1
e
0
2x
d
x
=
1 2
e
2x
1 0
=
1 (e 2
2
− 1)
分析问题
1
(t
10−
t
11
)
d
t
定积分的换元积分法与分部积分法
解：对 p 1,
a
dx (a 0) p x
收敛或发散
b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–
a
udv uv a vdu .
a
回忆：：
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公 式为 :
udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0
1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值
1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设 且f ( x)， ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时，a f ( x)dx 也收敛 ； (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义
第4节 定积分的换元法与分部积分法
4 1 0
1 0
1 x
1 0
ax dx
a 4
4
即
a
1 0
f ( x )d x
3
7/9/2013 12:56 AM
第6章
函数的积分
7. 设
f (x)
F 是连续函数， ( x ) 是 f ( x ) 的原
函数，则（ A ）
(A) (B ) (C ) (D) F 当 f ( x ) 是奇函数时， ( x ) 必是偶函数 F 当 f ( x ) 是偶函数时， ( x ) 是奇函数
dx )
8(e 2e 2
7/9/2013 12:56 AM
x
) 8(e 2 )
第6章
函数的积分
例9 设
解
f (x)
x 1
2
sin t t
2 2
dt ,
2
求
2
1
x f ( x )d x
0
f ( x ) 2 x
x f ( x )d x
2 1 0
sin x x
，
x 1
3
f ( t ) d t ln x ,
求
x 1
3
f (e ) 。
3
解
ln x
3
1
3 ( t ) d t f ( x ) f (1 ) f ( x ) f
令
u x ,
得
f ( u ) ln
3
u
1 3
ln u
f (e )
3
思考 是否还有其它方法？
1 0
1 x
1 0
ax dx
a 4
4
即
a
1 0
f ( x )d x
3
7/9/2013 12:56 AM
第6章
函数的积分
7. 设
f (x)
F 是连续函数， ( x ) 是 f ( x ) 的原
函数，则（ A ）
(A) (B ) (C ) (D) F 当 f ( x ) 是奇函数时， ( x ) 必是偶函数 F 当 f ( x ) 是偶函数时， ( x ) 是奇函数
dx )
8(e 2e 2
7/9/2013 12:56 AM
x
) 8(e 2 )
第6章
函数的积分
例9 设
解
f (x)
x 1
2
sin t t
2 2
dt ,
2
求
2
1
x f ( x )d x
0
f ( x ) 2 x
x f ( x )d x
2 1 0
sin x x
，
x 1
3
f ( t ) d t ln x ,
求
x 1
3
f (e ) 。
3
解
ln x
3
1
3 ( t ) d t f ( x ) f (1 ) f ( x ) f
令
u x ,
得
f ( u ) ln
3
u
1 3
ln u
f (e )
3
思考 是否还有其它方法？
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2
0
1
1 cos2
x
d (cos
x)
arctan(cos
2
x )0
( ) 2 . 2 44 4
15
二、分部积分公式
设函数u( x) 、v( x)在区间 a,b 上具有
连续导数，则有
b
a udv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (uv
第三节 定积分的换元法和分部积分法
不定积分
换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结 思考题
1
一、换元公式
定理 假设 f ( x)在[a,b]上连续，函数x (t )
满足条件：
（1） ( ) a ， ( ) b；
（2） (t)在[ , ]（或 , ）上具有连续导数， 且其值域R a, b；
14
0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t))
a
或配元
(t) (t)
(t) d(t)
配元不换限
5
例1 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
1
0
xf
(2 x )dx
1 2
1
0
xdf
(2
x)
1 2
xf
(2 x)10
1 2
1
f (2x)dx
0
1 2
f
(2)
1
4
f
(2 x )10
5 1 f (2) f (0) 2.
24
34
思考题2
指出求 2 dx 的解法中的错误，并写出正确
2 x x2 1
的解法.
解 令 x sect, t : 2 3 , dx tan t sectdt,
解：右端 1
b
( x a)( x b)d f ( x)
2a
分部积分积分
1 ( x a)( x b) f ( x) b
2
a
1
b
f ( x)(2x a b)dx
2a
再次分部积分
1
(2 x
a
b)
f
( x)
b
b f ( x) dx = 左端
2
a
a
30
三、小结
定积分的换元法
b
a
f ( x)dx
)dx
b
uv a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx,
b
udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
16
1
例8 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
4、1 x ln xdx _____________；
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
2、
e 1
ln x
dx ；
e
37
3、J (m) x sinm xdx，（m 为自然数） 0
1
0 xf ( x)dx
11
2 0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
20
f
(
x)
x2
1
sin t
t
dt ,
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
4
1 2 2
,
2
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 u sinn1 x, dv sin xdx,
du (n 1)sinn2 x cos xdx, v cos x,
22
In
sinn1 x cos x
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
11 1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
x)10
5 ln 2 3
ln
3.
19
例11
x2 sin t
设 f (x)
dt, 求
1
xf ( x)dx.
1t
0
解 因为sin t 没有初等形式的原函数，
t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
则
有 b a
f
(
x)dx
f [ (t)] (t)dt .
2
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
(t) F[(t)],
(t) dF dx f ( x) (t) f [(t )](t),
dx dt
(t)是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
思考与练习
换元必换限 配元不换限 边积边代限
1. d x sin100( x t ) d t _s_i_n_10_0_x__ dx 0 提示: 令 u x t , 则
x
sin100( x t ) d t 0
sin100 u
25
2. 设 解法1
f (x3)
解法2 对已知等式两边求导, 得
① f ( x)为偶函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
11
例6
计算
1
2x2 x cos x dx.
In
(n
1) 2 0
sin n 2
xdx
(n
1) 2 0
sin n
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
In
n1 n In2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
n n
3 2
In4
, 直到下标减到0或1为止
23
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 5 26
3 4
1 2
I0,
(m 1,2,)
1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40
(1
4 .
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
12
例 7 若 f ( x)在[0,1] 上连续，证明
思考: 若改题为
提示: 两边求导, 得
26
3. 设 求
解:
(分部积分)
27
作业
P249 1 (4) , (10) , (16) ; 6 ; 11 (4), (9), (10)
28
备用题
1. 证明 证：
是以 为周期的函数. 令u t
是以 为周期的周期函数.
29
2. 设 f ( x)在 [a,b] 上有连续的二阶导数, 且 f (a) f (b) 0, 试证
3
3
e4
e
d(ln x)
e4
ln x (1 ln x) 2 e
3
2 arcsin(
ln x)
e4 e
. 6
d ln x 1 ( ln x)2
8
例4
a
计算
0 x
1
dx.
a2 x2