高等数学：第三节定积分的换元法与分部积分法

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大学高等数学：第四章第三讲定积分的换元法和分部积分法

大学高等数学：第四章第三讲定积分的换元法和分部积分法由上节我们知道计算定积分∫f(x)dx(上限b,下限a)的简便方法是把它转化为f(x)的原函数的增量，在第三章讲不定积分时，我们知道用换元法和分部积分法可以求出一些函数的原函数，因此，在一定条件下，可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分，下面我们就来讨论积分的这两种计算方法。

在讨论这两种积分方法前，我们补充下上节课定积分的性质中的一个知识点一.周期函数与奇偶函数的积分性质1.对称区间上奇偶函数的定积分对于对称区间上的定积分，首先要观察被积函数的奇偶性，这是因为有如下结论定理假定f(x)在[-a,a](a＞0)为可积函数或连续函数，则有如何证明，证明：证(2)设f(x)在[-a,a]为偶函数，记作F(x)=∫f(t)dt(上限x,下限0),要证F(x)在[-a,a]为奇函数，即证F(-x)=-F(x)或F(x)+F(-x)=0,(x∈[-a,a])即F(x)=∫f(t)dt(上限x,下限0)为奇函数当f(x)在[-a,a]连续且为偶函数时，也可通过求导数证F(x)+F(-x)=0(x∈[-a,a]).因[F(x)+F(-x)]'=f(x)-f(-x)=0(x∈[-a,a]),故F(x)+F(-x)在[-a,a]为常数，又[F(x)+F(-x)]=0(x=0),则有F(x)+F(-x)=0(x∈[-a,a]),即F(x)在[-a,a]为奇函数。

另一类结论类似可证证(3).∫f(x)dx=∫f(t)dt(上限x,下限0)+C，其中C为任意常数当f(x)为奇函数时，∫f(t)dt(上限x,下限0)为偶函数，任意常数C 也是偶函数→f(x)的全体原函数∫f(t)dt(上限x,下限0)+C为偶函数。

当f(x)为偶函数时，∫f(t)dt(上限x,下限0)为奇函数，任意常数C≠0时为偶函数→∫f(t)dt(上限x,下限0)+C既非奇函数也非偶函数，→f(x)只有唯一的一个原函数即∫f(t)dt是奇函数.2.周期函数的积分定理：假定函数f(x)以T为周期，即对于任意的实数x有f(x+T)=f(x),在[0,T]上f(x)可积(或连续)，那么通过列题来巩固下：设f(x)在[0,1]连续，∫f(lcosxl)dx(上限π/2，下限0)=A，则I=∫f(IcosxI)dx(上限2π，下限0)=？分析：由于f(IcosxI)在(-∞,+∞)连续，以π为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得下面看下有关定积分奇偶函数的证明列题列：n为自然数，证明在这个题目中注意两点：1.奇x奇=偶偶x偶=偶奇x偶=奇 2.当n为奇数，sin^nx周期为2π；当n为偶数，sin^nx周期为π。

换元积分与分部积分法

3 3 4
dt . 12
思考题解答
计算中第二步是错误的.
x sec t
x 2 1 tan t tan t .
2 3 t , , tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t

3 4
2 3
解原式 1
2
偶函数
奇函数
40
1
2 2 x 1 x (1 1 x ) dx 4 dx 2 2 0 1 1 x 1 (1 x )
2
40 (1 1 x )dx 4 40
2
1
1
1 x 2 dx
4 .
单位圆的面积
x 3 sin6 x 如: 4 dx 2 5 x 2x 7
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
练习题
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3
第三节定积分的换元法与分部积分法
• 一、换元积分法
• 二、分部积分法
一、换元公式
定理假设
（1） f ( x ) 在[a , b] 上连续；
( 2)(t )在[, ]连续且单调
（3 ）当t 在区间[ , ] 上变化时， x ( t ) 的值在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
1
( 4)
0
1
xarctanx 1 x
4
2
dx
x 0 1 t 0
4

D5_3 换元法与分部积分法

f (x) f (x)时
f (x) f (x)时
例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
并由此计算
n
I 0 1 sin 2x dx 解: (1) 记 (a) aT f (x)dx, 则
a
(a) f (a T ) f (a) 0 可见 (a)与a无关，因此 (a) (0), 即
1 2
b
a
f
( x)(2 x
a
b)
dx
再次分部积分
1 (2x
2
a
b)
f
(x)
b
a
b
a
f
(x) dx
=
左端
2
0
sin(
x
4
)
dx
令
t
x
4
5
n2Biblioteka 4 sin t dt
4
n 2 sin t dt 0
n 2 sin t dt 2 2 n 0
二、定积分的分部积分法
定理2. 设u(x), v(x) C1[a , b] , 则 b a
证: [u(x)v(x)] u(x)v(x) u(x)v(x)
n
0 1 sin 2x dx
anT
(2) a f (x)dx
并由此计算则有
n
0 1 sin 2x dx n0 1 sin 2x dx
周期的周期函数
n
0 1 sin 2x dx n0 1 sin 2x dx
n0
(cos x sin x)2 dx
n0 cos x sin x dx
n
备用题
1. 证明证：
是以为周期的函数.

5-3定积分的换元法与分部法

2 sin x cosxdx
0

2 sin xd sin x
0
1 sin 2 2

x |02

1 2
例5
设 f (x)在对称区间[a, a] 上连续，证明：
(1) 当f (x) 为偶函数时， a f (x) d x 2
a
f (x)d x .
a
0
(2) 当f (x) 为奇函数时， a f (x) d x 0 . a

et
1 0
]
2e (e 1)
2.
本节小结
1、定积分的换元法
定理若 (1) f (x)在[a, b] 上连续 ;
(2) ( ) a，( ) b.且（t）在[, ]上单调
(3) x (t)在[, ] 上有连续的导数(t)
b

则 a f (x) d x f ((t))(t) d t
xe 解
1 xe2xdx 1 2x 1 1 1e2xdx
0
2
0 20
e e 1 2 1 2x 1 2 40

1 4
(e2
1).
例7
解
1
1
x arcsin x 2 2
00
x dx 1 x2

1
1
2(1

x
2
)
1 2
d
(1

x
2
)
12 2 0

(1
a
a
f (t) d t
0
f (x)d x .
0
于是
a

§3.3定积分换元法

π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2

高等数学6.3 第三节定积分的积分方法

e 1

ln
2
例4 求 49
x dx. x 1
解令 x t，则x t 2,dx 2tdt，
当x 4时，t 2，当x 9时，t 3，
49
x
x dx 1

23t
t 2tdt 1

223t 2
1 1dt t 1

223
(t

1

t
1
)dt 1

dx

0,
而(arctan x)2 1 x2
在区间
1,1上为偶函数，则有
11
(arctan 1 x
x)
2
2
dx

201
(arctan 1 x
x)
2
2
dx
201(arctan x)2d(arctan x)

2 3
(arctan
x)3
1 0
π3 ,
96

1
1
sin
x
(arctan 1 x2
则当x a时，t a，当x 0时，t 0，有
0a f (x)dx a0 f (t)dt 0a f (t)dt 0a f (x)dx
aa f (x)dx 0a f (x)dx 0a f (x)dx
0a f (x) f (x)dx
(1)如果f (x)是偶函数，即f (x) f (x)，则
a
a
f
( x)dx

20a
f
( x)dx.
(2)如果f (x)是奇函数，即f (x) f (x)，则
aa f (x)dx 0.

5.3 定积分的换元法和分部积分法

( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0

+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0

2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质偶倍奇零
第三节定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .

定积分的积分法

例3 计算解
∫
1
0
ln(1 + x ) dx . 2 (2 + x )
∫0
1
1 ln(1 + x ) 1 dx = − ∫0 ln(1 + x )d 2 (2 + x ) 2+ x
1
1 1 ln(1 + x ) = − + ∫0 2 + x d ln(1 + x ) 2 + x 0
第三节定积分的积分法
一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理假设
上连续；（1 ） f ( x ) 在[a , b]上连续；（2 ）函数 x = ϕ (t ) 在[α , β ]上是单值的且有连续导数；导数；
上变化时，（3 ）当 t 在区间[α , β ]上变化时， x = ϕ (t ) 的值上变化，在[a , b]上变化，且ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ，
则有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt .
b
β
应用换元公式时应注意: 应用换元公式时应注意
用（1） x = ϕ (t ) 把变量 x 换成新变量t 时，积分限也）相应的改变. 相应的改变
（2））求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数Φ (t ) 后，不
1 ln 2 1 1 1 1 dx +∫ ⋅ =− − 0 2+ x 1+ x 3 1+ x 2 + x ln 2 5 1 =− + [ln(1 + x ) − ln( 2 + x )]0 = ln 2 − ln 3. 3 3

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8
a
1
dx (a 0)
0 x a2 x2
解令 x a sint, dx a costdt
x0t0
x a t
2
原式
2
0
a
sin
t
a cost a 2 (1
sin2
t
)
dt
1
2
20
sin t cost cos t sin t sin t cos t
dt
1 2
2 0
1
4
4
cos 1 e
x
x
dx
4
0
cos x 1 e x
cos x 1 ex
dx
4 cos xdx
0
2 2
12
由
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx 可得:
a
0
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
当f ( x)在[a, a]上连续,且有
(1) f (x)为偶函数,则
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限分别代入(t )然后相减就行了.
5
例 2 sin3 xdx 0
t cosx0
2
解
2 sin3 xdx
2 sin2 x sin xdx
0
0
x 0, t 1 x ,t 0
2
2 (1 cos2 x)dcos x
关于奇、偶函数、三角函数、周期函数的定积分的
例子.
例设f ( x)在区间[a, a]上可积,则
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
证
由于
a
f ( x)dx
0
f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
a
0
对 0 f ( x)dx作变换, 令x t, dx dt. a
2dx
8 3
15
三角函数的定积分公式
例若f ( x)在[0,1]上连续,证明
(1) 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx
a
0
(2) f (x)为奇函数,则
a
f ( x)dx 0 a
由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.
13
例 x4 sin xdx 0
5 5
x
x3 sin2 4 2x2
x
dx 1
0
1 4 x2dx 2 1 4 x2dx
1
0
14
cos t sin t
sin t cos t
dt
1 2
2
1 ln sin t
2
cos t
2 0
4
.
9
3
e4
dx
例3
计算 e
x
. ln x(1 ln x)
3
3
解
原式 e4 e
d(ln x) ln x(1 ln x)
e4
e
d(ln x) ln x (1 ln x)
3
t ln x
4 1
第三节定积分的换元法和分部积分法
一、定积分的换元法 definite integral by substitution 二、定积分的分部积分法 definite integral by parts 三、小结思考题练习题四、作业
1
定积分的换元法和分部积分法
上一节的牛—莱公式将定积分的计算归结为求不定积分, 而不定积分可用换元法和分部积分法求积 , 这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了.
2
x]
2
3
03
7
例 a a2 x2dx (a 0) 0
换解令x a sin t, dx acostdt.
x 0, t 0
x a,t 2
元需
原式 a2
2 cos2tdt
a2
2
1
cos
2t
dt
1 a2
0
0
2
4
换
限！注：由定积分的几何意义直接得出结果
（四分之一圆的面积）.
t cos x
0(1 t 2 )dt
0
1
0
t 1 t 3 2 .
3 1 3
换元需换限！
6
新注的变时在量,用t“, 定凑积”分微的分上的、方下法限就不不明要显变地.写出
2 sin3 xdx
2 sin2 x sin xdx
0
0
2 (1 cos2 x)dcos x
0
[cos x 1 cos3
2
dt t(1 t)
3
2
4 1
dt
2 1 ( t )2
3/2
u t 2
du
2/2 1u2
3
e4
2 e
d ln x 1 ( ln x)2
3
2 arcsin(
ln
x)
e4 e
.
6
2 arcsin u 3 / 2 2( ) .
2 /2
34 6
10
换元积分还可以证明一些定积分等式, 通常由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.
（1） 2 x | x |dx 1
1
2
x | x |dx x | x |dx
1
0
2
1 1
x 2dx
1
2 (4
2 1)
1
5
2 x5 x4 x3 x2 2
(2) 2
1 x2
dx
2 2
x5 x3 1 x2
dx
2 x4 x2 2 2 1 x2 dx
02
2 0
x4 x2 1 x2
11
a
f ( x)dx
0
f ( x)dx
a
f ( x)dx
令x t
a
a
0
则 x a, t a; x 0, t 0.
dx dt.
0
f ( x)dx
0
f (t)dt
a f (xt)dxt
a
a
0
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
利用这一结果计算:
如果将换元法和分部积分法写成定积分的形式, 常可使得计算更简单.
2
一、定积分的换元法
definite integral by substitution
定理1 假设函数 f ( x) C[a,b],函数 x (t)
满足条件:
(1) ( ) a,( ) b;
(2) (t)在 [ , ](或[ , ])上具有连续导数,
且其值域 R [a,b],
则有
b
a
f
(
x)dx
f
(t
)
(t
)dt
定积分换元公式
3
b
a f ( x)dx
f (t)(t)dt
证因为f ( x) C[a, b], 所以存在原函数 Байду номын сангаас( x),
则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
N--L公式
由于 d dt
F (t) F(t)(t)
f (t)(t)
故 F (t)是 f (t) (t)的原函数, N--L公式
则
f [ (t)](t)dt
F ( )
F ( )
F(b) F(a)
故有
b
f ( x)dx
f (t)(t)dt
a
4
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t)把变量 x换成新变量t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t ) 后，不