数字信号处理学习心得

数字信号处理报告

数学与信息科学学院

信息与计算科学

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数字信号处理

信号处理的问题在各个领域都非常普遍，信号的表现形式也多种多样。若将信号看作自变量时间影响的因变量，则也可细分为如下几种：信号的自变量和函数值均取连续值，称之为模拟信号或时域离散信号；若自变量取离散值，而函数值取连续值，则称此信号为时域离散信号；若自变量和函数值均取离散值，则称为数字信号。

1.模拟信号数字处理方法

在现实生活中及工程技术领域中涉及的信号一般都是模拟信号，即在时域与频域均连续的信号。对模拟信号的处理是通过一些模拟器件，如：晶体管、电阻、电容等，完成对信号的处理。模拟信号处理时改变参数时不具备一些灵活性，而且在计算精度方面也不能得到较高的精度，故处理模拟信号时我们更倾向于将其经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理。最后，如果需要，则可以将数字信号再转换为模拟信号，进行恢复。

图1 模拟信号数字处理框图

1.1采样间隔与采样信号表示

对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S 。假设电子开关每隔周期T 合上一次，每次合上的时间为T τ<<，在电子开关输出端得到其

采样信号^()a

x t 。该电子开关的作用等效成一宽度为τ，周期为T 的矩形脉冲串()P t τ相乘的结果。

如果电子开关合上的时间0τ→，则形成理想采样，此时上面的脉冲串变成单位冲激串，用()P t δ表示。()P t δ中每个单位冲激处在采样点上，强度为1。理想采样则是()a x t 与()P t δ相乘的结果。

用公式表示为：

^()()

()()()()()n a a a n P t t nT x t x t P t x t t nT δδδδ∞=-∞∞

=-∞=

-=⋅=-∑∑ 其中上式中()t δ是单位冲激信号，在上式中只有当t nT =时，才可能有非零值，因此将采样信号表示为下式：

^

()()()a

a n x t x nT t nT δ∞

=-∞=-∑ 1.2采样速率与模拟信号最高频率的关系

为了使采样信号不失真的恢复原模拟信号，需寻找速率s f 与模拟信号最高频率c f 之间的关系。在傅里叶变换中，两个信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积，因此：

()FT[(t)]

()FT[(t)]()FT[P (t)]a a a a X j x X j x P j δδ∧∧

Ω=Ω=Ω=

由()2()k s k P j a k δπδ∞=-∞

Ω=Ω-Ω∑和/2/211()d s T jk t k T a t e t T T δ-Ω-==⎰，可得： 2()()s k P j k T δπδ∞

=-∞

Ω=Ω-Ω∑ 1()()*()21()a a a s k X j X j P j X j jk T δπδ∧∞

=-∞

Ω=ΩΩ=Ω-Ω∑ 因此，采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率s Ω重复出现一次，即进行周期延拓而成的。

将原模拟信号的频谱称为基带频谱，如果满足2s c Ω≥Ω，或者用频率表示该式，即满足2s c f f ≥，基带谱与其它周期延拓形成的谱不重叠，可以用理想低通滤波器()G j Ω从采样信号中不失真地提取原模拟信号；如果选择采样频率低，或者说信号截止频率高，使2s c f f <，()a X j Ω按照采样频率s f 周期延拓时，形成频谱混叠的现象，这种情况下用理想低通滤波器进行滤波，得到的是失真的模拟信号。

1,2()10,2

s s T G j ⎧Ω<Ω⎪⎪Ω=⎨⎪Ω≥Ω⎪⎩

()[()]()()a a a Y j FT y t X j G j ∧

Ω==Ω⋅Ω 1()[()]

1()(),2

1()(),2

a a a a c s a a c s y t F T Y j y t x t y t x t -=Ω=Ω≤Ω≠Ω>Ω 1.3采样定理

对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性延拓形成的。设连续信号()a x t 属带限信号，最高截止频率为c Ω，如果采样角频率2s c Ω≥Ω，那么让采样信号(t)a x ∧通过一个

增益为T ，截止频率为12

s Ω的理想滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号()a x t 。否则2s c Ω<Ω会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真的恢复原连续信号。这里不做详细讲述。

1.4 模拟信号的恢复

模拟信号()a x t 经过理想采样，得到采样信号(t)a x ∧，()a x t 和(t)a x ∧之间的关系

为^

()()()a

a n x t x nT t nT δ∞=-∞=-∑。如果选择采样频率s f 满足采样定理，(t)a x ∧

的频谱没有混叠现象，可以用一个理想低通滤波器()G j Ω，不失真的把原模拟信号()a x t 恢复出来，这是一种理想恢复，在此不做详细讨论。

2.序列的傅里叶变换、Z 变换以及拉普拉斯变换的关系

信号和系统的分析分两种，一种是时域分析方法，一种是频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量t 的函数来表示，系统则用微风方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换或傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析采用Z 变换或傅里叶变换作为数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但有类似的性质。

3.1傅里叶变换

傅立叶分析：建立以时间为自变量的“信号”和以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种关系,在1822年, 由法国科学家 Fourier 提出,其基本思想为：任意函数可分解为无穷多个不同频率正弦信号的和,即频谱分析。

一般情况下，定义

()()jw

jwn n X e x n e ∞-=-∞=∑

为序列()x n 的傅里叶变换，也可记作FT 变换。其充分条件是序列()x n 满足绝对可和的条件，即满足：

()n x n ∞=-∞<∞∑。

用i e ω乘等式的两边，并在~ππ-内对ω进行积分，可得

1()()d 2jw jw x n X e e w ππ

π-=⎰ 即为傅里叶的逆变换，也称为FT 的逆变换。并与傅里叶变换组成一对傅里叶变换公式。

傅里叶变换具有线性性、对称性、周期性，并且当序列分为实部和虚部两部分时，实部对应的FT 具有共轭对称性，虚部和j 一起对应的具有共轭反对称性。

3.2 Z 变换

定义序列()x n 的Z 变换为：

()()n n X z x n z ∞-=-∞=

∑

式中的z 是一个复变量，它所在的复平面称为z 平面。Z 变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即

()n n x n z ∞-=-∞<∞∑

使该式成立的变量取值域称为收敛域，一般收敛域用环状域表示，即

x x R z R -+<<

当已知序列的Z 变换及其收敛域，求序列则称为求逆Z 变换，其逆Z 变换表示为：

11()()dz 2n c

x n X z z j π-=⎰ ，(,)x x c R R -+∈ 3.3序列的傅里叶变换、Z 变换以及拉普拉斯变换的关系

我们学过拉普拉斯变换，作为连续时间傅里叶变换的一种推广，做这中推广的部分原因是由于拉普拉斯变换比傅里叶变换有着更广泛的适用范围，有许多信号，其傅里叶变换不存在，但却有拉普拉斯变换，比如一个不稳定的线性时不变